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MatemcaMatemca bsica
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Rua General Celso de Mello Rezende, 301 Tel.: (16) 32386300
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SISTEMA COC DE ENSINODireo-Geral: Sandro Bons
Direo Pedaggica: Zelci C. de OliveiraDireo Editorial:Roger Trimer
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Gerncia Editorial: Osvaldo GovoneGerncia Operacional: Danilo Maurin
Gerncia de Relacionamento:Danilo LippiOuvidoria: Regina Gimenes
Conselho Editorial: Jos Tadeu B.Terra, Luiz Fernando Duarte, Osvaldo
Govone e Zelci C. de Oliveira
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do Amaral Braga e Jeferson PetronilhoEditoria: Jos F. Rufato, Marina A.
Barreto e Paulo S. AdamiCoordenao editorial: Luzia H. Fvero F. Lpez
Assistente Editorial: George R. BaldimProjeto grfico e direo de
arte: Matheus C. SisdeliPreparao de originais:Marisa A. dos Santos
e Silva e Sebastio S. Rodrigues NetoIconografia e licenciamento de texto:Cristian N. Zaramella, Marcela Pelizaro
e Paula de Oliveira Quirino.Diagramao:BFS bureau digital
Ilustrao:BFS bureau digital
Reviso:Flvia P. Cruz, Flvio R. Santos,Jos S. Lara, Leda G. de Almeida e
Maria Ceclia R. D. B. Ribeiro.Capa:LABCOM comunicao totalFechamento: Matheus C. Sisdeli
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Sumrio
CAPTULO 01 POTENCIAO E RADICIAO 71. Potenciao 7
2. Radiciao 10
CAPTULO 02 PRODUTOS NOTVEIS 171. Quadrado da soma de dois termos 17
2. Quadrado da diferena de dois termos 17
3. Produto da soma pela diferena de dois termos 17
4. Cubo da soma de dois termos 17
5. Cubo da diferena de dois termos 17
CAPTULO 03 FATORAO 191. Denio 19
2. Casos de fatorao 20CAPTULO 04 PORCENTAGEM 221. Introduo 22
2. Denio 22
3. Forma decimal 22
4. Porcentagem de quanas 22
5. Lucro 24
6. Aumento percentual 25
7. Desconto percentual 268. Aumentos e descontos sucessivos 28
CAPTULO 05 MLTIPLOS E DIVISORES 301. Conceitos bsicos 30
2. Propriedades 33
3. Mximo divisor comum 35
4. Mnimo mlplo comum 36
5. MDC e MMC pelo mtodo da decomposio isolada 36
6. MMC e MDC pelo mtodo da fatorao simultnea 367. MDC pelo mtodo das divises sucessivas 37
8. Propriedades do MDC e do MMC 37
CAPTULO 06 EQUAES 391. Introduo 39
2. Equao matemca 39
3. Raiz (ou soluo) de uma equao 39
4. Resoluo de equaes 39
5. Equaes equivalentes 406. Equao do 1 grau 40
7. Problemas matemcos 40
8. Passos para resolver um problema matemco 40
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9. Equao do 2 grau 43
10. Resoluo de equaes com mudana de varivel 47
11. Equaes irracionais 48
CAPTULO 07 TEORIA DOS CONJUNTOS 501. Introduo 50
2. Notao e representao 50
3. Relao de pernncia 50
4. Relao de incluso 51
5. Conjuntos especiais 51
6. Conjunto universo 52
7. Conjunto de partes 52
8. Igualdade de conjuntos 52
9. Operaes com conjuntos 5210. Nmero de elementos da unio e da interseco de conjuntos 55
11. Conjuntos numricos 56
12. Operaes com intervalos 57
EXERCCIOS PROPOSTOS 59Captulo 01 61
Captulo 02 66
Captulo 03 68
Captulo 04 70Captulo 05 78
Captulo 06 83
Captulo 07 93
GABARITO 102
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Teoria
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Exemplos
1. 105 102= 105 + 2= 10.000.000
2. (10)5 (10)2= (10)5+ 2= 10.000.000
P2: Quociente de potncias de mesmabase
Para dividirmos potncias de mesma base,conservamosa base esubtramos os expoentes.
Justificativa
a a a a e a a a am
m vezes
n
n vezes
= = ... ...
1) Sendo m > n, temos:
a
a
a a a a
a a a aa a a
m
n
m vezes
n vezes
=
=
...
......
(( )m n vezes
m na
=
2) Se m = n: a
aa a
m
n
m n= = = =1 10( )
3) Se m < n: a
a a a a aa
m
n
n m vezes
n m
m n=
=
=1 1
...
( )
( )
( )
Exemplos
1.5
55 5 125
7
47 4 3= = =
2.2
22 2
1
2
3
4
1= = =3 4
3. 2
22
2
x= 2 x
P3: Produto de potncias de mesmoexpoente
Para multiplicarmos potncias de mesmo ex-
poente, conservamos o expoentee multipli-camos as bases.
1. Potenciao
A. Denies
Em todas as definies apresentadas abaixo, arepresenta um nmero real e n,um nmeronatural diferente de zero.
1. Para n maior que 1, an igual ao produ-to de n fatores idnticos a a, isto :
a a a a an
n
= ...
fatores idnticos
Notao: O elemento a chamadobase, n denominado expoentee an, potncia.
2. Para n= 1, define-se: a1= a.
3. Paran = 0e a 0, define-se: a0= 1.
4. Expoente inteiro e negativo: aa
n
n
= 1
,com a 0.
Exemplos
1. 105= 10 10 10 10 10 = 10.000
2. 51= 5
3. (2)0= 1
4. 3 13
1
3 3 3 3
1
81
4
4
= =
=
B. PropriedadesConsideremos os nmeros reais a e b e osnmeros naturais men. Ento, so vlidas asseguintes propriedades:
P1: Produto de potncias de mesmabase
Para multiplicarmos potncias de mesma base,
conservamosa base e somamosos expoentes.
Justificativa
a a a a a
a a a a aa
m
m vezes
n
n vezes
=
=
...
...
mm n
m vezes n vezes
m n
a
a a a a a a a a
a a a
=
=
=
... ...
+
a a a
m n vezes
...
( )
Assim: am an= am + n
CAPTULO 01 POTENCIAO E RADICIAO
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Justificativa
a a a a a e b b b b b
a
n
n vezes
n
n vezes
n
= =
... ...
( )
bb a a a a b b b b
ab ab
n
n vezes n vezes
= =
=
... ...
ab ab
n vezes
...
Assim: an bn= (ab)n
Exemplos
1. 23 33= (2 3)3= 63
2. (a b c)2 = a2 b2 c2
P4: Quociente de potncias de mesmoexpoente
Para dividirmos potncias de mesmo expoente,conservamos o expoente e dividimos asbases.
Justificativa
a a a a a e b b b b b
a
b
n
n vezes
n
n vezes
n
n
= =
=
... ...
aa a a a
b b b b
a
b
a
b
n vezes
n vezes
n
n
=
...
...
=
a
b
a
b
a
b
Assim a
b
n vezes
n
n
...
:
aa
b
n
Exemplos
1.2
11
2
11
2
2
2
=
2.a
b c
a
b c
a
b c
3
3 3
3
3
3
=
( )
=
P5: Potncia de uma potncia
Para elevarmos uma potncia a um novo ex-poente, conservamos a base e multiplicamosos expoentes.
Justificativa
a a a a
a a a a
m n
m m m
n vezes
m n
m m m m n
m
( ) =
( ) = ( ) =+ + +
...
...
nn
n vezes
Exemplos
1. (25)2= 25 2= 210
2. 5 5 55 2
3
5 2 3 30( )( ) = =
Observao
As propriedades apresentadas podem ser es-tendidas para os expoentes meninteiros.
Exemplos
a. 23 22= 23 + (2)= 21(P1)
b. 55
2
3= 52 (3)= 52 + 3= 55(P2)
c. 53 23= (5 2)3= 103(P3)
d.7
5
7
5
2
2
2
4
=
( )P
e. (22)3= 2(2) (3)= 26
C. Situaes especiais
A. (a)n
e an
As potncias (a)ne an, em geral, apresentamresultados diferentes, pois:
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
...
a a a a a
a a a a
n
n vezes
n
=
=
a
n vezes
Exemplos
1. (2)2= (2) (2) = 4
2. 22= (2) (2) = 4
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B. a e am n
m( ) n
As potncias a e am n
m( ) n
, em geral, apresentam
resultados diferentes, pois:
a a a a am
nm m m m
n vezes
( ) =( ) ( ) ( ) ( )...
e
a am m m m
n vezes
n
= ...
Exemplos
1. (25)2= 25 2= 210
2. 2 2 25 5 5 252 = =
EXERCCIOS RESOLVIDOS
01. UFMG
O valor da expresso (a1+ b1)2:
a.ab
a b( )+ 2
b. ab
a b( )2 2 2+
c. a2+ b2
d. a b
a b
2 2
2( )+
Resoluo
a ba b
b a
ab b a
ab
+( ) = +
=
+
=+
1 1 2
2 21 1 1
=
+
=
+( )
2
22 2
2
ab
a b
a b
a b
Resposta
D
02. UECE
Se a = 32e b = a2, ento o valor do produto ab igual a:
a. 36
b. 38
c. 96
d. 98
Resoluo
a b = a a2= a3 = ( )3 32 3 6=Resposta
A
03. UFRGS
Sabendo-se que 6x + 2= 72, tem-se que 6xvale:
a. 4b. 2
c. 0
d.1
2
e. 2
Resoluo
6x + 2= 72 6x 62= 72 6x=72
36
6x= 2
6x
=1
6
1
2x=
Resposta
D
04. ENEM
A resoluo das cmeras digitais modernas dada em megapixels, unidade de medida querepresenta um milho de pontos. As informa-es sobre cada um desses pontos so arma-zenadas, em geral, em 3 bytes. Porm, paraevitar que as imagens ocupem muito espao,elas so submetidas a algoritmos de compresso,que reduzem em at 95% a quantidade de bytesnecessrios para armazen-las. Considere 1 KB =1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB.
Utilizando uma cmera de 2.0 megapixelscujoalgoritmo de compresso 95%, Joo fotogra-fou 150 imagens para seu trabalho escolar. Seele deseja armazen-las de modo que o espa-o restante no dispositivo seja o menor espaopossvel, ele deve utilizar:
a. um CD de 700 MB.
b. umpendrivede 1 GB.
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c. um HD externo de 16 GB.
d. um memory stickde 16 MB.
e. um carto de memria de 64 MB.
Resoluo
1 megapixel= 106pontos 1 ponto = 3 bytes
Aps compresso, 1 ponto ocupar:5
100
3 bytes= 0,15 byte
Trabalho de Joo:
150 2 106 0,15 = 45 106bytes=
=
45 10
10
6
6MB = 45 MB
Resposta
E
05. Ibmec-SP
Os astrnomos estimam que, no universo vi-svel, existem, aproximadamente, 100 bilhesde galxias, cada uma com 100 bilhes de es-trelas. De acordo com esses nmeros, se cada
estrela tiver, em mdia, 10 planetas a sua vol-ta, ento existem no universo visvel, aproxi-madamente:
a. 1012planetas.
b. 1017planetas.
c. 1023planetas.
d. 10121planetas.
e. 10220planetas.
Resoluo
100 bilhes de galxias: 102 109= 1011galxias
100 bilhes de estrelas: 102 109= 1011estrelasem cada galxia
Logo, temos:
(n de galxias) (n estrelas/galxias)
1011galxias 1011estrelas = 1022estrelas
Cada estrela tem, em mdia, 10 planetas.
Assim, (n de estrelas) (n de planetas/estrelas)
1022 10 = 1023planetas
Resposta
C
2. Radiciao
A. Denies
1. Considere aum nmero real no negativo e n um nmero natural diferente de zero.
O smbolo an representa um nmero real b, no negativo, que satisfaz a igualdade bn= a.
Notao: O nmero a chamado radicando, n denominado ndicee an araiz n-sima de a.
Observao: O smbolo a representa o mesmo que a2 .
Exemplos
1. 25= 5, pois 52= 25 (raiz quadrada de 25)
2. 21 = 2, pois 21= 2 (raiz primeira de 2)
3. 03 = 0, pois 03= 0 (raiz cbica de zero)
2. Considere a um nmero real e num nmero natural mpar.
O smbolo an representa um nmero real b que satisfaz a igualdade bn= a.
Exemplos
1. 8 23 = , pois 23= 8
2. 8 23 = , pois (2)3= 8
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B. Raiz quadrada do quadradode um nmero real
a a2 = , se a for um nmero real no negativo.
a a2
=
, se a for um nmero real negativo.Costuma-se indicar: a a2 = (valor absoluto de a),
Exemplos
1. 5 52 =
2. (5 5 52
( ) = =)
3. 2 3 2 3 2 3 02
( ) = >, pois
4. 2 5 2 5 5 2 2 5 02
( ) = ( ) = , 0, n inteiro e k inteiro positivo.
Exemplo
5 5 5
1
2 12= =
Observao
Todas as propriedades apresentadas para po-tncias de expoentes inteiros so vlidas paraexpoentes racionais.
D. PropriedadesConsideraremos os nmeros reais a e b nonegativos e os nmeros naturais no nulos m,n e p. Ento:
P1: Produto de radicais de mesmo ndice
Justificativa
a b a b a b a bn n
n n n n = = ( ) = 1 1 1
Exemplos
1. 10 10 10 10 10 1023 3 2 13 33 = = =
2. 2 64 2 64 2 8 8 2 = = =
P2: Diviso de radicais de mesmo ndice
Justificativa
a
b
a
b
a
b
a
b
n
n
n
n
nn= =
=
1
1
1
Exemplos
1. 128
4
128
432 2
5
5
5 5= = =
2.4
25
4
25
2
50 4= = = ,
P3: Potncia de uma raiz
Justificativa
a a a an
m
n
mm
n mn( ) =
= =
1
Observao
A propriedade P3 tambm vlida quando oexpoente m inteiro negativo.
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Exemplos
1. ( )5 5 52 2= =
2. ( )2 2 43 2 23 3= =
P4: Raiz de outra raiz
Exemplos
a. 10 10 1046 4 26 2 23= =::
b. 2 2 2208 20 48 4 5= =::
c. 5 5 548 12
= =
E. Simplicao de radicais
Simplificar um radical significa transform-loem uma expresso equivalente ao radicaldado, porm escrita de forma mais simples.Obtemos essa transformao atravs da apli-cao das propriedades anteriormente vistas.
Exemplos
a. 81 33 3
3
5 7 33 4 5 7 33
3 3 2 6 33
33 33 6
= =
= =
=
x y z x y zx x y y z
x y33 33 23
2 23
3
3 3
=
=
z x y
x y z x y
b. a b c a b b c b a bc2 65 2 55 25 = =
c. 324 2 3 2 3 3
3 2 3 3 12
3 2 43 2 33
23 3
= = =
= =
F. Reduo de radicaisao mesmo ndice
Para reduzirmos dois ou mais radicais a ummesmo ndice, inicialmente, calculamos oMMC de todos os ndices, obtendo, assim, ondice comum a todos os radicais. Em seguida,dividimos o novo ndice por todos os ndicesanteriores, multiplicando o resultado pelos ex-
poentes dos fatores do respectivo radicando.Exemplos
a. xy x e y23 34;
MMC (3, 4, 2) = 12, ento:
xy x y x x y y23 4 812 34 912 612= = =; ;
b. 2 3 53 4, e
MMC (2, 3, 4) = 12, ento:
2 2 3 3 5 5612 3 412 4 312= = =; ;
Justificativa
a a a a amn
m
n m
n n m n m= = = =
1
11
Exemplos
1) 7 7 754 2 4 5 40
= =
2) 3 3 32 2 4
= =
P5: Simplificao de radicais
Justificativa
a a a amn
m
n
m p
n p m pn p
= = =
Exemplos
1. 5 5 53 3 42 4
128= =
2. 2 2 2 226 1 23 2
13 3= = =
Observao
Como podemos observar nos exemplos, o valor
de uma raiz no se altera quando dividimos ondice do radical e o expoente do radicandopor um fator comum natural no nulo.
a amn m p
n p
= ::
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Matemca
Observaes
1. Conforme vimos nas propriedadesP1eP2, a multiplicao e a diviso de razess devem ser efetuadas se os radicaistiverem ndices iguais, ento esta pro-
priedade, que permite reduzir os radi-cais ao mesmo ndice, bastante im-portante nesses casos.
Exemplo
5 2 3 5 2 3 5 2 33 4 412 612 312 4 6 312
= =
2. Para que possamos comparar razes,tambm devemos t-las com os ndicesiguais, e a maior raiz ser aquela quetiver o maior radicando.
Exemplos
2 2 4
3 3 3
3 2
3 1 23 2 6
1 32 3
36
3= =
= =
>
EXERCCIOS RESOLVIDOS
01.
D o valor de:
a. 81
b. 164
c. 1253
d. 1253
e. 06
Resoluoa. 81 9= , pois 92= 81
b. 16 24 = , pois 24= 16
c. 125 53 = , pois 53= 125
d. = 125 53
, pois (5)3= 125
e. 0 06 = , pois 06= 0
02. UECEA expresso numrica 5 54 3 163 3 igual a:
a. 1 4583
.
b. 7293
c. 2 703
d. 2 383
Resoluo
5 54 5 2 3 5 3 2 15 2
3 16 3 2 3 2 2 3 2 2 6 2
5 54 3
3 33 3 3
3 43 33 3 3
3
= = =
= = = =
116 15 2 6 2 9 2
9 2 1458
3 3 3 3
33 3
= = =
= =
RespostaA
03. UFAL
A expresso 10 10 10 10+ igual a:
a. 0
b. 10
c. 10 10
d. 3 10
e. 90
Resoluo
10 10 10 10 10 10 10 10
10 10 100 10 90 3 102 2
+ = +( ) ( ) =
= = =
.
Resposta
D
04.
Forme uma sucesso decrescente com os
nmeros reais 2 3 3 2, e 2.Resoluo
2 3 2 3 12 12
3 2 3 2 18 18
2 2 2 16
18 16 12
2 4
2 4
1 1 41 4 4
4 4 4
= = =
= = =
= = =
> >
Resposta
3 2 2 2 3 > >
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05. UFC-CE
Dentre as alternativas a seguir, marque aquelaque contm o maior nmero.
a. 5 63
b. 6 53
c. 5 63
d. 5 63
e. 6 53
Resoluo
5 6 30 30
6 5 6 5 1080 1 080
5 6 5 6 750 750
5 6
3 3 6
3 33 3 6
3 33 3 6
3
= =
= = =
= = =
=
55 6 150 150
6 5 5 180 180
23 3 6
3 3 3 6
= =
= = =6
O maior nmero 1.080
2
6== 6 5
3.
RespostaB
G. Racionalizao de denominadores
Racionalizar um denominador de uma frao significa transform-lo em outra sem radicais irra-
cionais no denominador, a fim de facilitar o clculo da diviso. Em termos prticos, racionalizarum denominador significa eliminar o radical do denominador.A racionalizao pode ser feita multiplicando-se o numerador e o denominador da frao por ummesmo fator, obtendo, assim, uma frao equivalente anterior.
Esse fator chamado fator de racionalizao ou fator racionalizante.
ExemplosRacionalizar os denominadores:
a.1
5
1 5
5 5
5
5=
=
b.2
4
2
2
2 2
2 2
2 2
8
2 2
22
3 23
3
23 3
3
3
3
3= =
= = =
Notemos que, se no denominador aparecer uma raiz quadrada, o fator racionalizante outra raizquadrada igual existente no denominador da frao.
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2 caso: Denominadores do tipo a b
Neste caso, vamos relembrar o produto notvel (A + B) (A B) = A2 B2. Notamos que este pro-duto notvel, aplicado aos denominadores deste caso, produz resultado racional.
Ou seja:
a b a b a b a b+( )( ) = ( ) ( ) = 2 2
Portanto, se tivermos que racionalizar denominadores do tipo a b , basta multiplicarmos
o numerador e o denominador da frao pelo conjugado do denominador, eliminando assim o
radical (nmero irracional) do denominador.
Assim:
denominador: a b+ conjugado: a b
denominador: a b conjugado: a b+
Exemplos
1)1
3 2
1 3 2
3 2 3 2
3 2
3 23 2
=
+( )( ) +( )
=
+( )= +( )
2)2
6 2 1
2 6 2 1
6 2 1 6 2 1
6 2 2
36 2 1
12 2
+
=
( )+( ) ( )
=
( )
=
71
Observao
A racionalizao permite fazer divises com erros menores. Por exemplo, na frao1
5
h a
diviso de 1 por 5=2,2360679774.... Como o denominador um decimal infinito e no peridi-co, fica difcil saber qual a melhor aproximao para a 5 , mas, ao utilizar a frao equivalente
5
5, no s teremos o trabalho facilitado como tambm conseguiremos uma melhor aproximao.
EXERCCIOS RESOLVIDOS
01.
Racionalize os denominadores e simplifique,se possvel, as fraes.
a. 1
5
b.14
7
c. 6
7
d.4
44
e. 3 7
3 7
+
Resoluo
a.1
5
5
5
5
5
=
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b.14
7
7
7
14 7
72 7
= =
c.6
7
7
7
42
7
=
d.4
4
4
4
4 4
42 2 2 2
4
34
34
34
64 3
= = = =
e.3 7
3 7
3 7
3 7
9 6 7 7
9 78 3 7
+( )( )
+( )+( )
=
+ +
= +
02. UCSal-BA
Se x = ++
3 31
3 3
1
3 3
, ento:
a. x 5b. 3 x < 5
c. 1 x
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CAPTULO 02 PRODUTOS NOTVEIS
Os produtos notveis obedecem a leis espe-ciais de formao e, por isso, sua utilizaopermite agilizar determinados tipos de clcu-los que, pelas regras normais da multiplicaode expresses, ficariam mais longos. Apresen-tam-se em grande nmero e do origem a umconjunto de identidades de grande aplicao.
Considere a e b, expresses em R.
1. Quadrado da soma de dois termos
(a + b)2= (a + b) (a + b) = a2+ 2ab + b2
2. Quadrado da diferenade dois termos
(a b)2= (a b) (a b) = a2 2ab + b2
3. Produto da soma pela
diferena de dois termos(a + b) (a b) = a2 ab ab b+ 2
4. Cubo da soma de dois termos
(a + b)3= (a + b) (a + b)2 = (a + b) (a2+ 2ab + b2)
(a + b)3= a3+ 2a2b + ab2+ a2b + 2ab2+ b3
5. Cubo da diferena de dois termos
(a b)3= (a b) (a2 2ab + b2)
(a b)3= a3 2a2b + ab2 a2b + 2ab2 b3
EXERCCIOS RESOLVIDOS01.Desenvolva os produtos notveis abaixo:
a. (3x + 2)2
b. 1 2
xx+
c. (3x 2y)2
d. x x2
2
3 4
Resoluoa. (3x + 2)2= (3x)2+ 2 (3x) 2 + 22
= 9x2+ 12x + 4Resposta
9x2 + 12x + 4
b.1 1
21
1 2
12
2 2
2
2
2
2
xx
x xx x
x
x
xx
xx
+
=
+
+ =
= + + =
= + + 22
Resposta
12
2
2
xx+ +
c. (3x 2y)2= (3x)2 2(3x) (2y) + (2y)2=
= 9x2 12xy + 4y2
Resposta
9x2 12 xy + 4y2
d. x x x x x x
x
2 2
2 2
2 2
4
3 4 32
3 4 4
=
+
=
=yy
x x
x x x
2
12 4
9 6 4
3 2
4 3 2
+ =
= +
Resposta
x x x4 3 2
9 6 16 +
Observe que, quando desenvolvemos o qua-drado da soma ou da diferena de um bin-mio, produzimos um trinmio chamado trin-mio quadrado perfeito.
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02.
Desenvolva os produtos notveis abaixo:
a. (3xy + 5) (3xy 5)
b. 3 5 2 3 5 2+
( )( )
c. (x + 2)3
d. (2x 2)3
Resoluo
a. (3xy + 5) (3xy 5) = (3xy)2 52= 9x2y2 25
Resposta
9x2y2 25
b. 3 5 2 3 5 2
3 5 2 9 5 4 412
2
+
( )
( )=
= ( ) = =
Resposta
41
c. (x + 2)3= x3+ 3 x2 2 + 3 x 22+ 23= x3+ 6x2++ 12x + 8
Resposta
x3+ 6x2+ 12x + 8
d. (2x 2)3= (2x)3 3 (2x)2 2 + 3 2x 22 23== 8x3 3 4 x2 2 + 3 2 x 4 8 =
= 8x3 24x2+ 24x 8
Resposta
8x3 24x2+ 24x 8
03.
Desenvolva: (x 1)2 (2x + 4) (2x 4).
Resoluo
(x 1)2 (2x + 4) (2x 4) =
= (x 1)2 ((2x)2 42) =
= (x 1)2 (4x2 16) =
= x2 2x + 1 (4x2 16) =
= x2 2x 4x2+ 17 =
= 3x2 2x + 17
Resposta
3x2 2 x + 17
04.
Calcule 31 29 usando produto notvel.
Resoluo
31 29 =
= (30 + 1) (30 1) =
= (30)2 12=
= 900 1 =
= 899
Resposta
899
05.
Sendo xx
+ =1
2, determine xx
3
3
1+ .
Resoluo
x+1
x=2
x + 3x 1
x+ 3 x
1
x+
1
x= 8
x + 3x +3
x+
1
x=
3
3
3 2
2 3
3
3
88
x
x + 3 2 +1
x= 8
x +1
x= 2
3
3
3
3
3
+ +
+ =
31 1
83
xx x
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CAPTULO 03 FATORAO
1. Defnio
Fatorar uma expresso algbrica modificar
sua forma de soma algbrica para produto,isto , obter outra expresso que:
a. seja equivalente expresso dada;
b. sua forma equivalente se apresente naforma de produto.
Na maioria dos casos, o resultado de uma fato-rao um produto notvel.
Nas tcnicas de fatorao que estudaremos aseguir, suponha a, b, c, x e y expresses no
fatorveis.2. Casos de fatorao
A. Fator comum
Devemos reconhecer o fator comum, seja elenumrico, literal ou misto; em seguida, coloca-mos em evidncia esse fator comum e simplifi-camos a expresso deixando entre parntesesa soma algbrica.
Observe os exemplos abaixo.
a. ab + ac = a (b + c)
b. 3x3y 6x2y3= 3x2y(x 2y2)
B. Agrupamento
Devemos dispor os termos do polinmio demodo que formem dois ou mais grupos entreos quais haja um fator comum e, em seguida,colocar o fator comum em evidncia.
Observe:
ax + ay + bx + by == a (x + y) + b (x + y) =
= (a + b) (x +y)
C. Diferena de quadrados
Utilizamos a fatorao pelo mtodo de dife-
rena de quadrados sempre que dispuser-mos da diferena entre dois monmios cujasliterais tenham expoentes pares. A fatoraoalgbrica de tais expresses obtida com osseguintes passos:
1) Extramos as razes quadradas dos fato-res numricos de cada monmio;
2) Dividimos por dois os expoentes das li-terais;
3) Escrevemos a expresso como produtoda soma pela diferena dos novos mo-nmios assim obtidos.
Por exemplo, a expresso a2 b2seria fatoradada seguinte forma:
D. Trinmio quadrado perfeito
Uma expresso algbrica pode ser identificada
como trinmio quadrado perfeito sempre queresultar do quadrado da soma ou diferenaentre dois monmios.
Por exemplo, o trinmio x4+ 4x2+ 4 quadradoperfeito, uma vez que corresponde a (x2+ 2)2.
So, portanto, trinmios quadrados perfeitostodas as expresses da forma a22ab + b2,fatorveis nas formas seguintes:
EXERCCIOS RESOLVIDOS
01.
Fatore a expresso: 8x3 6x2
Resoluo8x3 6x2 = 2x2(4x 3)
Resposta
2x2(4x 3)
02.
Fatore a expresso: x3 x2+ x 1
Resoluox3 x2+ x 1 = x2(x 1) + 1(x 1) = (x 1) (x2+ 1)
Resposta
(x 1) (x2+ 1)
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03.
Fatore a expresso: x2 25y2
Resoluo
x2 25y2= x2 (5y)2= (x + 5y) (x 5y)
Resposta
(x + 5y) (x 5y)
04.
Fatore: (x2+ 2xy + y2) + 2(x + y) + 1
Resoluo
(x2+2xy +y2) +2(x +y) +1 =
(x +y)2+2(x +y) +1 = [(x +y) +1]2= (x +y +1)2
Resposta
(x +y +1)2
05. Vunesp
Por hiptese, considere a = b.
Multiplique ambos os membros por a.
a2= ab.
Subtraia de ambos os membros b2.
a2 b2= ab b2
Fatore os termos de ambos os membros.
(a + b) (a b) = b (a b)
Simplifique os fatores comuns (a + b) = b.
Use a hiptese que a = b.
2b = b
Simplifique a equao e obtenha 2 = 1.
A explicao para isso :
a. A lgebra moderna, quando aplicada teoria dos conjuntos, prev tal resultado.
b. A hiptese no pode ser feita, poiscomo 2 = 1, a deveria ser (b + 1).
c. Na simplificao dos fatores comuns,ocorreu diviso por zero, gerando oabsurdo.
d. Na fatorao, faltou um termo igual a 2ab, no membro esquerdo.
e. Na fatorao, faltou um termo iguala +2ab, no membro esquerdo.
Resoluo
(a + b) (a b) = b (a b) a + b = b
A equivalncia acima s possvel se dividir-mos os dois membros por (a b), porm dahiptese a = b, assim a b = 0, e a diviso porzero no definida.
Resposta
C
06.
Simplifique a expresso:a a
a a
4 2
2
1
1
+ +
+ +.
Resoluo
a a
a a
a a a a
a a
a a a
a a
4 2
2
4 2 2 2
2
4 2 2
2
1
1
1
1
2 1
1
+ +
+ +=
+ + +
+ +=
+ +
+ +
a a
a a
a a a a
a a
2 2
2
2
2 2
2
1
1
1 1
1
+( )
+ +
=
+ +( ) + ( )
+ +
=
= a2a +1
Resposta
a2 a + 1
E. Trinmio do 2 grau
Considerando o trinmio do 2 grau ax2+ bx + c, a 0 e suas razes reais x1e x2, a seguinte igual-dade verdadeira:
ax2+ bx + c = a (x x1) (x x2)
F. Soma e diferena de cubos
Observe a multiplicao:
(a + b) (a2 ab + b2) =
= a3 a2b + ab2+ ba2 ab2+ b3=
= a3+ b3
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01.
Fatore a expresso: x x2 1 2 2 + +( ) .
Resoluo
x x
S
Px x
x x
2
1 2
1 2 2 0
1 2
21 2
1 2
( )
;
( )( )
+ + =
= +
=
= =
Resposta
( ) ( )x x 1 2
02.
Fatore a expresso: x6 y6.
Resoluo
x6 y6= (x2)3 (y2)3=
= (x2 y2) (x2+ x2y2+ y2) =
= (x +y) (x y) (x2+(xy)2 + y2)
Resposta
(x + y) (x y) (x2+ (xy)2+ y2)
EXERCCIOS RESOLVIDOS
03.
Simplifique a expresso:
x y
x y
x y
x y
3 3 3 3
+
+
Resoluo
x y
x y
x y
x y
x y x xy y
x y
x y x xy y
x y
3 3 3 3
2 2 2 2
+
+
=
=
( ) + +( )
+( ) +( )+
=
= xx xy y x xy y xy2 2 2 2 2+ +( ) +( ) =
04.
Sendo (a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3e (a b)3=
= a3 3a2b + 3ab2 b3, fatore as expresses:a. 8x3+ 12x2+ 6x + 1
b. 8a3 12a2b + 6ab2 b3
Resoluo
a. 8x3+ 12x2+ 6x + 1 =
= (2x)3+ 3 (2x)2 1 + 3 2x 12 + 13=
= (2x + 1)3
Como tambm j foi dado no enunciado,
pode-se obter esse resultado sem esse proce-dimento.
b. 8a3 12a2b + 6ab2 b3
8a3 12a2b + 6ab2 b3=
= (2a)3 3 (2a)2 b + 3 (2a) b2 b3=
= (2a b)3
A partir deste resultado, podemos fatorar a soma de dois cubos:
a3+ b3= (a + b) (a2 ab + b2)
Pode-se mostrar, de modo semelhante, que a3 b3= (a b) (a2+ ab + b2).
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CAPTULO 04 PORCENTAGEM
1. Introduo
Em uma empresa h trs categorias de fun-cionrios, A, B e C, que possuem salrios di-ferentes reajustados na mesma poca. Parano haver desconforto, necessrio fazer oaumento de maneira proporcional. O funcio-nrio responsvel pelos clculos consegueaplicar uma proporo idntica a cada catego-ria, recorrendo apenas regra de trs simples.Tal procedimento pode ser at vivel nessa si-tuao, porm, se aumentarmos a quantidadede salrios distintos, este procedimento ser
inadequado, por isso foi preciso desenvolveruma tcnica matemtica para calcular propor-es equivalentes; tal tcnica, utilizada desdeo sculo XVII, conhecida por porcentagem.
2. Defnio
A porcentagem (ou percentagem) uma for-ma de apresentar fraes em que o denomina-dor igual a 100, podendo tambm ser consi-deradas as formas equivalentes. Para facilitar asua representao foi criado o smbolo % quese l: por cento e que significa: dividir porcem.
A representao 30% o mesmo que 30
100
.
3. Forma decimal
A forma percentual 30% pode ter outras repre-sentaes equivalentes:
3030
100
3
100 3% ,= = =
30% a representao percentual.
30
100
3
10= so representaes fracionrias.
0,3 sua representao decimal.
4. Porcentagem de quanas
O clculo x% de P efetuado da seguinte ma-
neira: x P100
x% de Px
P=
100
Exemplo35% de 200 =
35
100200 70
=
EXERCCIOS RESOLVIDOS
01.
Calcule o valor de:
a. 30% de 84
b. 2,5% de 44
Resoluo
a. 30% de 84 = 0,30 84 = 25,20
b. 2,5% de 44 = 0,025 44 = 1,10
Resposta
a. 25,20
b. 1,10
02. Fuvest-SP
(10%)2 igual a:
a. 100%
b. 20%
c. 5%
d. 1%
e. 0,1%
Resoluo
( %).
%10 10
100
10
100
1 0 0
10 00 0
1
10012 = = = =
Resposta
D
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03.
Quatro quantos por cento de cinco?
Resoluo
Sendo x% a taxa percentual, temos, pela defi-
nio, que:x
1005 4 =
x
100
4
5=
Ou, de outra forma:
4
50 8
80
10080= = =, %
Resposta80%
04. Unicap-PE
Determine, em reais, 10% do valor de umbem, sabendo que 15% do preo do citadobem R$ 18,00.
Resoluo
Valor do bem = x
15% x = 180,15x = 18
x = 18
0 15,
x = R$ 120,00
10% de R$ 120,00 = R$ 12,00
Resposta
R$ 12,00
05. UFRGS-RS
O grfico abaixo representa o valor de um d-lar em reais em diferentes datas do ano de2003.
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
R$
01/1 31/1 28/2 31/3 30/4 31/5 30/6 31/7 31/8 Dia
3,533
2,890 2,9
66
2,872 2,9
662,9
673,5
263,5
63
3,353
Evoluo das cotaes da moeda norte-americana
A partir desses dados, pode-se afirmar que, noprimeiro semestre de 2003, o real, em relaoao dlar:
a. desvalorizou 0,661.
b. desvalorizou mais de 10%.
c. manteve seu valor.
d. valorizou menos de 10%.
e. valorizou mais de 20%.
Resoluo
No incio do semestre:
1 dlar = R$ 3,533
Logo: 1 real =1
3 533,
No final do semestre:1 dlar = 2,872 reais
Logo: 1 real =1
2 872,
Montando a equao da variao do real, temos:1
3 533
1
2 872
3 533
2 8721 23
,
,
,
,,x x x= =
Portanto, uma valorizao de 23%.
Resposta
E
06. ENEM
Para se obter 1,5 kg do dixido de urnio puro,matria-prima para a produo de combustvelnuclear, necessrio extrair-se e tratar-se1,0 tonelada de minrio. Assim, o rendimento(dado em % em massa) do tratamento do min-rio at chegar ao dixido de urnio puro de:
a. 0,10%
b. 0,15%
c. 0,20%
d. 1,5%
e. 2,0%
Resoluo
Massa do minrio = 1,0 t = 1.000 kg
Massa do dixido de urnio puro = 1,5 kg
1.000 kg 100%
1,5 kg xx = 0,15%
Resposta
B
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07. Unicamp-SP modificado
Quando uma determinada marca de caf custaR$12,00 o quilo, seu preo representa 40% dopreo do quilo de outra marca de caf. Qual opreo do quilo desse caf?
Resoluo
Seja x o preo do quilo do caf, assim 12 = 0,4 x
x = =12
0 430
,.
Resposta
O preo do quilo R$ 30,00.
08. ENEM
A escolaridade dos jogadores de futebol nos
grandes centros maior do que se imagina,como mostra a pesquisa abaixo, realizada comos jogadores profissionais dos quatro princi-pais clubes de futebol do Rio de Janeiro.
0
Fund
amen
tal
incom
pleto
20
40
60
14
Fund
amen
tal
16
Total: 112 jogadores
Md
io
incom
pleto
14
Md
io
54
Supe
rior
incom
pleto
14
O Globo, 24/7/2005.
De acordo com esses dados, o percentual dosjogadores dos quatro clubes que concluram oEnsino Mdio de, aproximadamente:
a. 14%
b. 48%
c. 54%
d. 60%
e. 68%
Resoluo
Observando o grfico, o nmero de jogadoresque concluiu o Ensino Mdio 68, sendo 54apenas do Ensino Mdio e 14 do Superior in-completo (que concluram obrigatoriamente oEnsino Mdio).
Assim, num total de 112 jogadores, o percen-tual dos jogadores dos quatro clubes que con-
cluiu o Ensino Mdio 68
1120 607= , .
Logo, a melhor alternativa a que traz 60%.
Resposta
D
5. Lucro
Chamamos de lucro a diferena entre o preo de venda e o preo de custo.
Lucro = preo de venda preo de custo.
Caso essa diferena seja negativa, ela ser chamada de prejuzo.
Assim, podemos escrever:
Preo de custo + lucro = preo de venda
Preo de custo prejuzo = preo de vendaPodemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Observao A mesma anlise pode ser feita para o caso de prejuzo.
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Matemca bsica
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Matemca
01. PUC-SP
A semirreta representada no grfico seguinte
expressa o custo de produo C, em reais, de nquilos de certo produto.
C (reais)
180
80
200 n (quilogramas)
Se o fabricante vender um quilo desse produtoa R$ 102,00, a porcentagem de lucro sobre opreo de custo ser de:
a. 25%
b. 20%
c. 18%
d. 15%
e. 14%ResoluoSe para 20 quilos o preo aumenta R$ 100,00,para cada 1 quilo, aumenta R$ 5,00.
Custo de 1 quilo = R$ 102,00
L = R$ 17,00
L
C= = =
17
850 2 20, %
Resposta
B
02. Fuvest-SP
Um vendedor ambulante vende os seus pro-
dutos com lucro de 50% sobre o preo de ven-da. Ento, o seu lucro sobre o preo de custo de:
a. 10%
b. 25%
c. 33,333...%
d. 100%
e. 120%
Resoluo
Sejam:
L : lucro, Pc: preo de custo e Pv: preo de venda
L P I
P L P P P P
P P P P II
Sub
v
C V C V V
C V V C
=
+ = + =
= =
0 50
0 50
0 50 2
, ( )
,
, ( )
sstituindo I em II temos
L P L PC C
( ) ( ), :
, = =0 5 2
Portanto, o lucro representa 100% do preo decusto.
Resposta
D
EXERCCIOS RESOLVIDOS
6. Aumento percentual
Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos deA o valor do aumento e VAo valor aps o aumento. Ento:
V V A Vp
VA
= + = +
100
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Matemca
em que 1100
+
p o fator de aumento.
Exemplos
Valor
inicial
Aumento
percentual
Fator de
aumento
Valor aps
aumento
50 24% 1,24 1,24 50
40 5% 1,05 1,05 40
70 250% 3,50 3,50 70
7. Desconto percentual
Consideremos um valor inicial V que deve so-frer um desconto de p% de seu valor. Chame-
mos de D o valor do desconto e VDo valor apso desconto. Ento:
V V D Vp
VD
= =
100
em que 1100
p
o fator de desconto.
Exemplos
Valorinicial
Descontopercentual
Fator dedesconto
Valor apsdesconto
50 24% 0,76 0,76 5040 5% 0,95 0,95 40
70 1,5% 0,985 0,985 70
EXERCCIOS RESOLVIDOS
01.
Dado o valor V, exprimir em funo de V:a. o valor de um aumento de 25%;
b. o valor aps um aumento de 25%;
c. o valor de um desconto de 45%;
d. o valor aps um desconto de 45%.
Resoluo
a. 25% de V =25
100
V = 0,25 V
b. V + 25% de V = V +25
100 V = V + 0,25 V = 1,25 V
c. 45% de V = 45
100
V = 0,45 V
d. V 45% de V = V 45
100 V = V 0,45 V = 0,55 V
Resposta
a. 0,25 V
b. 1,25 V
c. 0,45 V
d. 0,55 V
02. Fuvest-SP
Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50,teve um aumento, passando a custar R$ 13,50.A majorao sobre o preo antigo de:
a. 1,0%
b. 10,0%
c. 12,5%
d. 8,0%
e. 10,8%
Resoluo
Seja fAo fator de aumento.
Assim:
12 50 13 50
13 50
12 501 08, ,
,
,, = = =f f
A A
O aumento foi de 8%.
Resposta
D
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03. Uespi
Joana e Marta vendem um perfume a domi-clio. Joana d desconto de R$ 10,00 sobre opreo do perfume e recebe de comisso 15%do preo de venda. Marta vende o mesmo
perfume com desconto de R$ 20,00 e recebe30% de comisso sobre o preo de venda. Seas duas recebem o mesmo valor de comisso,qual o preo do perfume?
a. R$ 26,00
b. R$ 27,00
c. R$ 28,00
d. R$ 29,00
e. R$ 30,00Resoluo
Preo do perfume = x
Joana vende por x 10 e ganha 0,15 (x 10)
Marta vende por x 20 e ganha 0,3 (x 20)
0,15 (x 10) = 0,3 (x 20)
x = R$ 30,00
RespostaE
04. Vunesp
O fabricante de determinada marca de papel hi-ginico fez uma maquiagem no seu produto,substituindo as embalagens com quatro rolos,cada um com 40 metros, que custavam R$ 1,80,por embalagens com quatro rolos, cada umcom 30 metros, com custo de R$ 1,62.
Nessas condies, pode-se concluir que o pre-o do papel higinico foi:
a. aumentado em 10%.
b. aumentado em 20%.
c. aumentado em 25%.
d. aumentado em 10%.
e. mantido o mesmo.
Resoluo
Seja x1: preo do metro na 1 embalagem x2: preo do metro na 2 embalagem
f: fator (aumento ou desconto)
x centavos
x centavos
1
2
1 80
400 045
1 62
300 054
= =
= =
,,
,,
5,4 = f 4,5
f=5 4
4 5
,
,
f = 1,2
o aumento foi de 20%.
Resposta
B
05. Uespi
Um artigo vendido vista com 15% de des-conto ou em duas parcelas iguais, sem descon-to, uma paga no ato da compra e a outra apsum ms. Quais os juros mensais embutidos nacompra a prazo? Indique o inteiro mais prximo.
a. 41%
b. 42%
c. 43%
d. 44%
e. 45%
Resoluo
Preo do produto = x
vista = 0,85 x
A prazoparcela x
parcela x
1 0 5
2 0 5
,
,
=
=
Se vendesse sem juros, na segunda parcela de-veria pagar 0,35x.
Logo, os juros so: 0,35x j = 0,5x; J = fator deaumento
j 1,42 aumento aproximado de 42%
Resposta
B
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8. Aumentos e descontos sucessivos
A. Aumentos sucessivos
Consideremos um valor inicial V, que ir sofrerdois aumentos sucessivos de p1% e p2%. SendoV1o valor aps o primeiro aumento, temos:
V Vp
1
11
100= +
Sendo V2o valor aps o segundo aumento, te-mos:
V Vp
2 1
2
1 100= +
B. Descontos sucessivos
Sendo V um valor inicial, vamos considerar
que ele ir sofrer dois descontos sucessivos dep1% e p2%.
Sendo V1 o valor aps o primeiro desconto,temos:
V Vp
1
11
100=
EXERCCIOS RESOLVIDOS
Sendo V2o valor aps o segundo desconto,temos:
V Vp
2 1
21
100=
C. Aumento e desconto sucessivos(Desconto e aumento sucessivo)
Seja V um valor inicial, vamos considerar que
ir sofrer um aumento de p1% e, sucessiva-mente, um desconto de p2%.
Sendo V1o valor aps o aumento, temos:
V Vp
1
11
100= +
Sendo V2o valor aps o desconto, temos:
V Vp
2 1
21
100=
Observao: Se for um desconto seguido deaumento, teremos:
V Vp p
2
1 21
1001
100=
+
01. FGV-SP
Certo capital C aumentou em R$ 1.200,00 e,em seguida, esse montante decresceu 11%,resultando em R$ 32,00 a menos do que C.Sendo assim, o valor de C, em R$, :
a. 9.600,00b. 9.800,00
c. 9.900,00
d. 10.000,00
e. 11.900,00
ResoluoChamaremos C de capital e M de montante.Logo, teremos o sistema:
M C
M M C
M C
M C= +
=
==
1 200
0 11 32
1 200
0 89 32
.
,
.
,
,Multiplicando a segunda equao inteira por(1), temos:
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M C
M CM M
M M
=
+ =
=
= =
1 200
320 89 1 232
0 11 1 2321 232
., .
, ..
0,89
00 1111 200
,.=
Como M = 11.200, temos, da primeira equa-o: M C = 1.200 11.200 C = 1.200 C= 1.200 11.200 C = 10.000Resposta
D
02. Vunesp
Uma instituio bancria oferece um rendi-mento de 15% ao ano para depsitos feitosnuma certa modalidade de aplicao finan-ceira. Um cliente deste banco deposita 1.000reais nessa aplicao. Ao final de n anos, o ca-pital que esse cliente ter em reais, relativo aesse depsito, :
a. 1.000 + 0,15n
b. 1.000 0,15n
c. 1.000 0,15n
d. 1.000 + 1, 15n
e. 1.000 1,15n
Resoluo
V p
v
V
V
A
n
A
n
An
= +
= +
=
1100
1 15
1001 000
1 000 1 15
.
. ( , )
Resposta
E
03. Fuvest-SP
O preo de uma mercadoria subiu 25%. Calcu-le a porcentagem que se deve reduzir do seupreo atual para que volte a custar o que cus-tava antes do aumento.
Resoluo
Se a mercadoria custa x, ento, com o aumentode 25%, ela custar:
x x x
V desconto V
x D x
D
x
x
D
D
final inicial
+ =
=
=
=
=
=
1
4
5
4
5
4
5
4
4
5
0 8
,
logo, o desconto ter sido de 20%.
04. PUC-SP
Descontos sucessivos de 20% e 30% so equi-valentes a um nico desconto de:
a. 25%b. 26%
c. 44%
d. 45%
e. 50%
Resoluo
V V
V V V
V
D
D
D
=
= =
=
120
1001
30
100
0 8 0 7 0 56
0 56
, , ,
, VV V=
1
44
100
Assim, o valor do desconto de 44%.
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CAPTULO 05 MLTIPLOS E DIVISORES
1. Conceitos bsicos
A. Nmeros naturaisOs nmeros 0, 1, 2, 3, ... formam o conjuntodos nmeros naturais, que representadopelo smbolo .Assim:
= {0, 1, 2, 3,...}
Representamos o conjunto dos nmeros naturaisno nulos por *.
Assim:
* = (1, 2, 3, ...} = N {0}
B. Nmeros inteiros
Os nmeros..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ... formamo conjunto dos nmeros inteiros, que repres-sentado pelo smbolo . Assim:
= {..., 3, 2, 1, 2, 3,...}
Representamos o conjunto dos nmeros intei-ros no nulos por *.
Assim sendo:
* = {..., 3, 2, 1, 1, 2, 3, ...}Observemos algumas outras notaes:
+: conjunto dos inteiros no negativos:
+= (0, 1, 2, 3, ...} =
: conjunto dos inteiros no positivos:
= {..., 3, 2, 1, 0}
*+: conjunto dos inteiros positivos:
*+ = {1, 2, 3, ...} =*
* : conjunto dos inteiros negativos:
*:{..., 3, 2, 1}.
C. Divisor de um nmero inteiroDados dois nmeros inteiros, d e n, d um di-visorou fatorde n se existir um nmero intei-ro k, satisfazendo: n = k d.
Exemplos1. 2 um divisor de 6, pois 2 3 = 6. Nesse
caso, 3 seria o valor de k.2. 5 um fator de 35, pois 5 (7) = 35,nesse caso, 7 seria o valor de k.
3. Zero divisor de zero, pois 0 (k) = 0,para qualquer valor inteiro de k.
No entanto, 0(zero) no divisor de 5, poisno existe um inteiro k, tal que:
0 k = 5Observemos que 1 divisor de qualquernmero inteiro k, pois sempre vai existir umnmero inteiro k tal que:
1 k = k
Indicaremos por D (n) todos os divisores inteirosdo nmero inteiro n.
Observemos algumas outras notaes:
D*+ (n): divisores inteiros positivos (ou natu-rais) do nmero inteiro n.
D* ( n) : divisores inteiros negativos do n-mero inteiro n.
D. Mlplos de um nmero inteiro
Dados dois nmeros inteiros d e n, n ummltiplo ded se existir um nmero inteiro k,satisfazendo: n = k d.
1. 35 mltiplo de 5, pois 35 = 7 5. Nessecaso, 7 seria o valor de k.
2. 38 mltiplo de 2, pois 38 = 19 2.Nesse caso, 19 seria o valor de k.
3. Zero mltiplo de qualquer nmero in-teiro d, pois 0 = 0 (d), para qualquer
valor inteiro de d.
Indicaremos por M(d) todos os mltiplosinteiros do nmero inteiro.
Observemos algumas outras notaes:
M+(d): mltiplos inteiros no negativos(ou naturais) do nmero inteiro d.
M(d): mltiplos inteiros no positivosdo nmero inteiro d.
M*+ (d): mltiplos inteiros positivos donmero inteiro d.
M*+ (d): mltiplos inteiros negativos donmero inteiro d.
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E. Paridade de nmeros inteirosDizemos que um nmero inteiro a par se, esomente se, a M(2). Sendo, ento, a um ml-tiplo de 2, temos que a forma geral de apre-sentarmos um nmero par :
Dizemos que um nmero inteiro b mparse,e somente se, b M(2). A forma geral de apre-sentarmos um nmero mpar :
F. Nmeros primos e compostos
Um nmero inteiro dito nmero primo quandona sua relao de divisores inteiros tivermosapenas quatro divisores.
Um nmero inteiro dito nmero compostoquando na sua relao de divisores inteiros ti-vermos mais de quatro divisores.
Para reconhecermos se um nmero primo,devemos dividir este nmero, sucessivamente,pelos nmeros primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...at obtermos um quociente x menor ou igualao divisor. Se at ento no tivermos obtidodiviso exata, dizemos que o nmero primo.
Exemplos
a) Reconhecer se o nmero 673 primo.
673 2
1 336
673 3
1 224
673 5
3 134
673 7
1 96
673 13
2 61
673 13
10 51
673 17
10 39
673 19
8 35
673 23
6 29
673 29
6 23
Na ltima diviso, o quociente j menor queo divisor e ainda no obtivemos diviso exata,portanto o 673 um nmero primo.
G. Divisibilidade aritmca
Podemos verificar quando um nmero divis-vel por outro efetuando a operao de diviso.Existem, porm, critrios que nos permitemreconhecer a divisibilidade entre dois nme-ros sem que faamos a diviso. Tais critrios seaplicam aos principais e mais usados divisores,como observaremos a seguir:
divisibilidade por 2: um nmero divi-svel por 2 quando for par.
divisibilidade por 3: um nmero divisvel por 3 quando a soma dosalgarismos que o formam resultar emum nmero mltiplo de 3.
Exemplos
3.210 divisvel por 2, pois par, e tambm divisvel por 3, pois a soma dos algarismos3 + 2 + 1 + 0 = 6 divisvel por 3.
divisibilidade por 4: um nmero divi-svel por 4 quando o nmero formadopelos seus dois ltimos algarismos dadireita for divisvel por 4.
Exemplo
1.840 divisvel por 4, pois os dois ltimos al-garismos, 40, divisvel por 4.
divisibilidade por 5: um nmero divi-svel por 5 quando o seu algarismo daunidade for zero ou cinco.
divisibilidade por 6: um nmero divi-svel por 6 quando for divisvel, separa-damente, por 2 e por 3.
divisibilidade por 8: um nmero divi-svel por 8 quando o nmero formadopelos trs ltimos algarismos da direitafor divisvel por 8.
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Exemplo
35.712 divisvel por 8, pois 712 divisvel por 8.
divisibilidade por 9: um nmero di-visvel por 9 quando a soma dos alga-rismos que o formam resultar em umnmero mltiplo de 9.
Exemplo
18.711 divisvel por 9, pois:
1 + 8 + 7 + 1 + 1 = 18 mltiplo de 9.
divisibilidade por 10: um nmero divisvel por 10 quando o seu algarismoda unidade for zero.
divisibilidade por 11: um nmero divisvel por 11 quando a diferena entre assomas dos valores absolutos dos alga-rismos de posio mpar e a dos algaris-mos de posio par for divisvel por 11.
Exemplo
83.765 divisvel por 11, pois a diferenada soma dos algarismos de posiompar (5 + 7 + 8 = 20) e a soma dos
algarismos de posio par (3 + 6 = 9) um nmero divisvel por 11.
divisibilidade por 12: um nmero divisvel por 12 quando for divisvel,separadamente, por 3 e por 4.
H. Fatorao numrica
Todo nmero composto pode ser decompostoou fatorado num produto de nmeros primos.Assim, por exemplo, o nmero 90, que no
primo, pode ser decomposto como:90 = 2 45
O nmero 45, por sua vez, sendo composto,pode ser fatorado na forma:
45 = 3 15
Dessa forma, poderamos apresentar o nme-ro 90 com uma fatorao:
90 = 2 3 15
Sendo o nmero 15 tambm um nmero com-posto, podemos apresent-lo atravs do se-guinte produto:
15 = 3 5
Teremos, finalmente, a fatorao completa donmero 90:
90 = 2 3 3 5
Como procedimento geral, podemos estabe-
lecer uma regra para a decomposio de umnmero natural em fatores primos.
Exemplos
90
45
15
5
1
2
3
3
5
300
150
75
25
5
1
2
2
3
5
5
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
90 = 2 32 5 300 = 22 3 52 72 = 23 32
I. Nmero de divisores deum nmero natural
Determinao dos divisores naturais donmero 20
Decomposio prima do nmero 20: 20 = 22 5
Divisores de 20:
20 50= 1
20 51= 5
21 50= 2
21 51= 10
22 50= 4
22 51= 20D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Observao: possvel provar que:
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Exemplo
Determinar os divisores naturais do nmeronatural 60.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
1
2 60
4
3 6 12
5 10 20 15 30 60
60 1 2 3 4
D
D
+
+ =
( )
, ,
, , , , ,
( ) { , , , ,, , , , , , , , }5 6 10 12 15 20 30 60
2. PropriedadesOs mltiplos e os divisores dos nmeros na-turais apresentam algumas propriedades quenos so muito teis e que passaremos a estu-dar a seguir.
Propriedade 1
Exemplo
No exemplo anterior, n[D(20)] = (2 + 1) (1 + 1) = 6
Como observao, podemos estabelecer queo nmero de divisores inteiros de um nmero
natural o dobro do nmero de divisores na-turais, pois a cada divisor natural existem doisdivisores inteiros: um positivo e o oposto .
Assim:
Exemplo
Consideremos: 60 = 22 31 51
Temos que o nmero de divisores naturais de
60 :n[D+(60)] = (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 12
Temos que, a partir desse resultado, o nmerode divisores inteiros de 60 :
n[D(60)] = 2 n[D+(60)] = 2 12 = 24
J. Determinao dos divisoresde um nmero natural
Justificativa
P d
r q P d q r P r d q = + =
Portanto, (P r) mltiplo de d.
Exemplo
45 6
3 7 45 3 42 = que , de fato, um
mltiplo do divisor 6.
Propriedade 2
Justificativa
P d P d q r igualdade I
r q
= + ( )
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Adicionando-se (d r) aos dois membros daigualdade I, teremos:
P + (d r) = d q + r + (d r)
P + (d r) = d q + d
Assim: P + (d r) = d (q + 1)
Portanto, P + (d r) um mltiplo de d.
Exemplo
45 6 45 6 3 48
3 7
+ =( ) , que , de fato, um
mltiplo do divisor 6.
Propriedade 3
Justificativa
Sendo A um mltiplo de B, temos que:
A = k B, onde k (I).
Sendo d um divisor qualquer de B, temos que:
B = k1 d, em que k1(II)Substituindo (II) em (I), temos:
A = k k1 d, em que k k1
Portanto, A um mltiplo de d.
Exemplo
O nmero 40 mltiplo de 20, pois 40 = 20 2.
Os divisores naturais de 20 so: 1; 2; 4; 5; 10e 20.
O nmero 40 tambm mltiplo dos divisoresde 20.
Propriedade 4
Justificativa
Consideremos a sequncia dos nmeros natu-rais no nulos:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16,...
Observemos que os mltiplos do nmero 3aparecem de trs em trs nesta sequncia eque, portanto, qualquer conjunto com trsnmeros consecutivos vai apresentar, neces-sariamente, um mltiplo de 3.
Podemos extrapolar a ideia para todos os n-meros naturais, confirmando a propriedade.
EXERCCIOS RESOLVIDOS
01.
Dado o nmero inteiro 60:a. decomponha-o em fatores primos;
b. determine o seu nmero de divisoresnaturais;
c. determine o seu nmero de divisoresinteiros;
d. determine todos os seus divisores na-turais;
e. determine todos os seus divisores inteiros.
Resoluo
a. 60
30
15
5
1
2
2
3
5
60 = 22 3 5
b. D(60) = (2+1) (1+1) (1+1) = 12
c. D(60) = 12 2 = 24
d. 1
60 2 2
30 2 4
15 3 3, 6, 12
5 5 5, 10, 20, 15, 30, 60
1
D+(60) ={1, 2, 4, 3, 6, 5, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
e. D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12,15, 20, 30, 60}
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02. UEPB
Se k um nmero inteiro positivo, ento oconjunto A formado pelos elementos k2+ k ,necessariamente:
a. o conjunto dos inteiros no negativos.
b. um conjunto de mltiplos de 3.
c. um conjunto de nmeros mpares.
d. um conjunto de nmeros primos.
e. um conjunto de mltiplos de 2.
Resoluo
k2+ k = k(k + 1)
Nmero par para qualquer k.
Resposta
E
03.
Mostre que se a diviso de um nmero naturaln, com n positivo, por 5, d resto 1, ento(n 1) (n + 4) mltiplo de 25.
Resoluo
Sabemos que: n n q
q
5 5 1
1
= +
Pelas propriedades dos divisores:
n 1 mltiplo de 5 n 1 = 5 K1 (1)
n + (5 1) mltiplo de 5 n + 4 = 5 K2 (2)
Multiplicando 1 por 2:
(n 1) (n + 4) = 5 K1 5 K2
(n 1) (n + 4) = 25 K1 K2
K1 K2= K
Logo, (n 1) (n + 4) = 25 KAssim, (n 1) (n + 4) mltiplo de 25.
04. UEPE
O nmero N = 63104 15x, sendo x um inteiropositivo, admite 240 divisores inteiros e posi-tivos. Indique x.Resoluo
A fatorao em primos de N :
27 33+x 54+x, logo seu nmero de divisores
8(4 + x)(5 + x) = 240.
Segue que (4+x)(5+x) = 30
20 + 4x + 5x + x2= 30
x2+ 9x + 10 = m0
x = 1 ou x = 10 (no convm)
Resposta
x = 105. Fuvest-SPUm nmero natural N tem trs algarismos.Quando dele subtramos 396, resulta o nmeroque obtido invertendo-se a ordem dos algaris-mos de N. Se, alm disso, a soma do algarismodas centenas e do algarismo das unidades de N igual a 8, ento o algarismo das centenas de N :
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
Resoluo
N abc
abc cba
a b c c b a
a c
a c
a
=
=
+ + = + +
=
=
396
100 10 396 100 10
99 99 396
4
++ =
=
=
c
a
c
8
6
2
Resposta
C3. Mximo divisor comum
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Podemos estabelecer uma sequncia de eta-pas at determinarmos o valor do mximo di-visor comum de dois ou mais nmeros comoveremos a seguir, num exemplo.
Consideremos:
1. O nmero 18 e os seus divisores naturais:
D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
2. O nmero 24 e os seus divisores naturais:
D+(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Podemos descrever, agora, os divisorescomuns a 18 e 24:
D+(18) D+(24) = {1, 2, 3, 6}
Observando os divisores comuns, podemos
identificar o maior divisor comum dos nmeros18 e 24, ou seja:
MDC (18, 24) = 6
4. Mnimo mlplo comum
Podemos estabelecer uma sequncia de eta-pas at determinarmos o valor do mnimomltiplo comum de dois ou mais nmeros,como veremos a seguir, num exemplo.
Consideremos:
1. O nmero 6 e os seus mltiplos positivos:
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,...}
2. O nmero 8 e os seus mltiplos positivos:
M*+ (8) = (8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,...}
Podemos descrever, agora, os mltiplos posi-tivos comuns:
M*+ (6) M*+ (8) = {24, 48, 72, ...}
Observando os mltiplos comuns, podemosidentificar o mnimo mltiplo comum dos n-
meros 6 e 8, ou seja: MMC (6, 8) = 24.
Exemplo
Consideremos os nmeros A, B e C j fatorados:
A = 23 3 52
B = 22 5 7
C = 24 32 53
Teremos que:MDC (A, B, C) = 22 5 e MMC (A, B, C) = 24 32 53 7
6. MMC e MDC pelo mtododa fatorao simultnea
5. MDC e MMC pelo mtododa decomposio isolada
Para determinarmos o MDC e o MMC de vriosnmeros, devemos colocar todos os nmerosna forma fatorada. Aps esse procedimento,podemos estabelecer:
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Exemplo
Consideremos os nmeros 2.520 e 2.700:
2 520 2 700
1 260 1 350
630 375
315 675
105 225
35 75
35 25
7 5
7
. , .
. , .
,
,
,
,
,
,
,11
1 1
2
2
2
3
3
3
5
5
7
,
*
*
*
*
*
Teremos que:
MDC (2.700, 2.520) = 22 32 5 e
MMC (2.700, 2.520) = 23 33 52 7
7. MDC pelo mtodo dasdivises sucessivas
Exemplos
a) Determinar o MDC dos nmeros 252 e
140.1 1 4
252 140 112 28
112 28 0
quocientes
restos
MDC (252, 140) = 28
b) Determinar o MDC dos nmeros 330,210 e 165. Tomemos, inicialmente, osdois maiores nmeros:
1 1 1 3
330 210 120 90 30
120 90 30 0
MDC (330, 210) = 30
Posteriormente, tomamos o terceiro nmerocom o MDC dos dois primeiros:
5 2
165 30 15
15 0
MDC (330, 210, 165) = 15
8. Propriedades do MDC e do MMC
Propriedade 1
Justificativa
Consideremos os nmeros A e B decompostosem fatores primos:
A a b c p e
B a b c p
=
=
1 1 1
2 2 2 2
1
Para o clculo do MDC (A, B), tomamos osfatores comuns com os menores expoentes;para o clculo do MMC (A, B), tomamos to-
dos os fatores comuns ou no comuns com osmaiores expoentes. Vamos considerar o casodo fator a:
1< 2, teremos 1no MDC e 2 no MMC.
1> 2, teremos 1no MMC e 2 no MDC.
No produto A B, o fator a ter expoente(1 + 2). No produto MDC (A, B) MMC (A, B),o fator a tambm ter expoente (1+ 2).
Fazendo a mesma considerao para todos os
outros fatores primos, verificaremos que osmesmos fatores, com os mesmos expoentes,que compem o produto dos nmeros A e B,compem, tambm, o produto do MDC e oMMC desses nmeros e, portanto:
Propriedade 2
MDC (k A, k B) = k MDC (A, B)
Propriedade 3
MMC (k A, k B) = k MMC (A, B)
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Propriedade 4
Os divisores comuns de dois ou mais nmerosnaturais so os divisores do MDC desses nmeros.
Propriedade 5
Os mltiplos comuns de dois ou mais nmerosnaturais so os mltiplos do MMC desses nmeros.
Propriedade 6
Dois nmeros so considerados primos entresi se o MDC deles igual a 1.
Os nmeros 5 e 7 so primos entre si, bemcomo 4 e 9, pois MDC (5, 7) = 1 e MDC (4, 9) = 1.Notemos que, para que os nmeros sejam primosentre si, no necessrio que eles sejam primos.
Propriedade 7
Dois nmeros naturais consecutivos so, sem-pre, primos entre si.
Propriedade 8
Para os dois nmeros primos entre si, o MMC o produto deles.
EXERCCIOS RESOLVIDOS
01. Unisul-SC
Num painel de propaganda, trs luminosos seacendem em intervalos regulares: o primeiro acada 12 segundos, o segundo a cada 18 segun-dos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em umdado instante, os trs se acenderem ao mesmotempo, os luminosos voltaro a se acender, si-multaneamente, depois de:
a. 2 minutos e 30 segundos.b. 3 minutos.c. 2 minutos.
d. 1 minuto e 30 segundos.e. 36 segundos.
Resoluo
Os luminosos se acendem simultaneamenteem um tempo mltiplo dos intervalos, pelaprimeira vez no menor mltiplo .
mmc(12, 30, 18) = 180 s = 3 minRespostaB
02.Os restos das divises de 247 e de 315 por x so7 e 3, respectivamente. Os restos das divisesde 167 e de 213 por y so 5 e 3, respectivamente.O maior valor possvel para a soma x + y :
a. 36b. 34c. 30d. 25e. 48
Resoluo
247 7 mltiplo de x x divisor de 240.315 3 mltiplo de x x divisor de 312.
O nmero x o maior divisor comum de 240 e de312.
240 2 3 5
312 2 3 13240 312 2 3 24 24
4
33
=
=
( ) = = =
. .
. ., .mdc x
167 5 mltiplo de y y divisor de 162
213 3 mltiplo de y y divisor de 210
O nmero y o maior divisor comum de 162 e de 210.
162 2 3
210 2 3 5 7160 210 2 3 6 6
4=
=
( ) = = =.
. . ., .mdc y
Assim, o valor mximo de x + y 30.RespostaC
03. Unicamp-SPUma sala retangular medindo 3 m por 4,25 mdeve ser ladrilhada com ladrilhos quadradosiguais. Supondo que no haja espao entre la-drilhos vizinhos, pergunta-se:
a. Qual deve ser a dimenso mxima, emcentmetros, de cada um desses ladri-lhos para que a sala possa ser ladrilha-da sem cortar nenhum ladrilho?
b. Quantos desses mesmos ladrilhos sonecessrios?
ResoluoSala: 300 cm x 425 cm
a. Seja n o lado do ladrilho
n = mdc (300, 425) n = 25 cm
b. No lado de 425 cm : 425 25 = 17
No lado de 300 cm : 300 25 = 12
Nmero de ladrilhos: 17 12 = 204 ladrilhosRespostaa. 15 cmb. 204 ladrilhos
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1. Introduo
Observemos as igualdades abaixo:
I. 4 + 7 = 10
II. 4 + 7 = 11
III. 4 + x = 7
As duas primeiras igualdades so sentenasmatemticas fechadas, uma vez que cada umadelas admite uma, e somente uma, das se-guintes classificaes: FALSA ou VERDADEIRA.No caso acima, a sentena (I) FALSA e a (II) VERDADEIRA.
A igualdade (III) uma sentena matemticaaberta, pois no podemos classific-la comoFALSA ou VERDADEIRA, porque no sabe-mos o valor que a letra x representa. Na sen-tena matemtica aberta, o ente matemti-co desconhecido, geralmente representadopor uma letra, recebe o nome de incgnita,ou varivel. Dependendo do valor que seatribui incgnita em uma sentena aberta,pode-se obter uma sentena FALSA ou VER-DADEIRA. Por exemplo, em (III), se atribuir-mos o valor 3 para a letra x, teremos umasentena VERDADEIRA, mas, se atribuirmoso valor 4, teremos uma sentena FALSA.
2. Equao matemca
As sentenas matemticas abertas com umaou mais incgnitas so denominadas equa-es matemticas.
Exemplos de equaes matemticas:
01. 2x + 10 = 002. x2+ 1 = 0
03. x + x = 2
04.1
x+ 1 = 1
05. x2 11x + 28 = 0
06. 0 x = 1
07. 2x= 4
08. 0 x = 0
3. Raiz (ou soluo) de uma equao
o nmero do conjunto universo que, quando
colocado no lugar da incgnita, transforma asentena matemtica aberta em uma sen-tena matemtica fechada verdadeira. Demaneira prtica, podemos dizer que raiz onmero que, substitudo no lugar da incgni-ta, torna a igualdade verdadeira.
Observao Conjunto universo de umaequao o conjunto constitudo dos poss-veis valores que a incgnita pode assumir.
Exemplo 1 Observe a equao 2x + 10 = 0de-finida em.
a. O conjunto universo o conjunto ,conjunto dos nmeros reais.
b. Se substituirmos xpor 5na equao2x + 10 = 0, teremos 2( 5) + 10 = 0,que uma igualdade verdadeira. Dize-mos, ento, que 5 raiz da equao.
c. O nmero 5, mesmo sendo um elemen-to pertencente ao conjunto universo,no soluo da equao2x + 10 = 0,pois 2(5) + 10 = 0 falsa.
Exemplo 2 Observe a equao 2x + 10 = 0de-finida em.
a. O conjunto universo o conjunto ,conjunto dos nmeros naturais.
b. Se substituirmos xpor 5na equao2x + 10 = 0,teremos: 2( 5) + 10 = 0, que uma igualdade verdadeira, mas 5no raiz da equao, pois o nmero 5no
elemento pertencente ao conjunto.
4. Resoluo de equaes
Encontrar todas as razes (ou solues) da equa-o e represent-las em um conjunto denomi-nado conjunto soluo.
Ao resolver uma equao, preciso estar aten-to ao conjunto universo em que est definidaa equao.
CAPTULO 06 EQUAES
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5. Equaes equivalentes
So aquelas que possuem as mesmas razes,isto , o mesmo conjunto soluo, no mesmouniverso.
ExemploAs equaes 2x + 10 = 0e x + 5 = 0so equi-valentes, pois ambas possuem uma nica raiz,que 5.
Os teoremas a seguir permitem transformaruma equao em outra equao equivalente.
T1.Adicionar (subtrair) um mesmo nmero, doconjunto universo, em ambos os membros daigualdade.
a = b a + c = b + c ou a = b a c = b cT2.Multiplicar (dividir) um mesmo nmero dife-rente de zero, do conjunto universo, em ambosos membros da igualdade.
a = b a c = b c ou a = b a
c
b
c=
ExemploObserve a equao 2x + 10 = 0definida em.
Considere os procedimentos a seguir:
2x + 10 = 0
2x + 10 = 0(vamos subtrair 10 dos dois mem-bros da igualdade, T1.)
2x + 10 10= 0 10)
2x = 10(agora, vamos dividir os membros daigualdade por 2, T2)
2
2
10
2
x=
x = 5
Pelo teorema T1, a equao 2x + 10 = 0 equi-valente equao 2x = 10e, pelo teorema T2,esta equivalente equao x = 5. Assim,podemos dizer que as trs equaes so equi-valentes entre si, sendo que a ltima a maissimples e nos leva soluo. O uso de teore-mas de equivalncia de grande auxlio na re-soluo de equaes matemticas.
6. Equao do 1 grau
Observando os oito exemplos de equaes ci-tados anteriormente, percebemos que h di-versos tipos distintos de equaes, por isso preciso organizar as equaes em grupos comcaractersticas semelhantes.
O primeiro grupo que iremos organizar paraestudo o das equaes do 1 grau.
Denominamos equao do 1 grau em , naincgnita x, toda equao que pode ser escritana forma ax + b = 0, com a 0, a e b .
Dentre os oito exemplos de equaes citadosanteriormente, apenas a primeira equao do 1 grau, e comparando a forma geralax + b = 0com a equao 2x + 10 = 0, verifica-mos que a= 2 e b= 10.
Observe que a 6 e a 8 equaes, emborapossam ser escritas na forma ax + b = 0, noso equaes do 1 grau, pois a= 0.
Os dois teoremas citados anteriormente nos
auxiliam na resoluo de equaes do 1 grau.Observe:
Forma geral: ax + b = 0
(T1) Subtraindo bdos dois membros da
igualdade: ax + b b= 0 b
Equao equivalente: ax = b
(T2) Dividindo os dois membros por a:
ax
a
b
a=
Equao equivalente: x = b
a(descobrimos o
valor dox)
S =b
a
7. Problemas matemcos
Proposio a ser resolvida a partir dos dadosdo problema, os quais so informaes conti-
das no enunciado da questo de forma expl-cita ou implcita. Um problema matemticopode ter uma soluo, mais de uma soluoou no ter soluo.
Para resolver um problema matemtico, preci-samos encontrar todos os possveis valores dasincgnitas propostas no enunciado da questo.
8. Passos para resolver um problemamatemco
01. Equacionar o problema (organizar osdados da questo em uma ou maisequaes matemticas).
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02. Resolver as equaes.
03. Analisar os resultados encontradosavaliando se algum serve, se todos ser-vem ou se nenhum deles serve.
04. Apresentar a resposta final.
Exemplo
A soma das idades de dois irmos 30. A idadedo mais velho excede a idade do mais novo em10 anos. Quais so as idades dos irmos?
Podemos organizar os dados do problema emuma tabela, que um artifcio de muita utili-dade.
Idade dos irmos
Irmo mais novo x
Irmo mais velho
x + 10 (o enunciado dizque a idade do mais velho
excede a idade do maisnovo em 10 anos.)
Ainda do enunciado, temos: x + x + 10 = 30(a soma das idades 30).
Resolver a equao: 2x + 10 = 30
2x = 20
x = 10
Resposta O irmo mais novo tem 10 anos e oirmo mais velho tem 20 anos.
Um problema pode ter mais de um modo dese resolver.
2 modo
No exemplo anterior, poderamos montar a ta-bela do seguinte modo:
Idade dos irmos
Irmo mais novo x
Irmo mais velho 30 x (a soma das idades 30.)
Ainda do enunciado: 30 x = x + 10(a idade do mais velho excede a idade domais novo em 10 anos.)
30 10 = x + x
20 = 2x 10 = x
Resposta O irmo mais novo tem 10 anos e oirmo mais velho tem 20 anos.
3 modo
O mesmo problema poderia ser resolvido utili-zando-se duas incgnitas.
Idade
Mais novo x
Mais velho y
(A soma das idades 30.) x + y = 30
(A idade do mais velho excede a idade do mais
novo em 10 anos.) y = x + 10
Substituir a 2 equao na 1: x + x + 10 = 30
2x = 20
x = 10
Substituir o resultado na 2 equao: y = 10 + 10
y = 20
Resposta O irmo mais novo tem 10 anos e oirmo mais velho tem 20 anos.
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01.
Resolver ema equaox x
+ =1
2 3
1.
Resoluo
1 passo:reduzindo a um denominador comum:
x x+ =
1
2 31
mmc (2; 3) = 6 3 1 2
6
6 1
6
+ =
( )x x
Multiplicando ambos osmembros por 6, temos: 3 (x 1) + 2 x = 6 1
2 passo:isolar a incgnita em um dos membros da igualdade com auxlio dos teoremas T 1e T2anteriores:
3 x 3 + 2 x = 6
5 x 3 = 6
5 x = 6 + 3
5 x = 9
x =
9
5
x = 1,8Conjunto soluo S = {1,8}
02.
Yasmin, ao sair de casa, tinha em sua bolsa moedas, todas de mesmo valor. Entrou em uma loja edeixou metade delas na compra de um produto A. Em seguida, gastou a metade das moedas quesobraram na compra de um produto B, em outra loja, ficando com exatamente 30 moedas. Comquantas moedas Yasmin saiu de casa?
Resoluo
Inicial 1 compra 1 sobra 2 compra 2 sobra
Moedas x x
2
xx x
=
2 2
x
x2
2 4
=x x x
2 4 430 = =
x
430=
x = 30 4
x = 120Resposta
Yasmin tinha 120 moedas.
EXERCCIOS RESOLVIDOS
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9. Equao do 2 grau
A. Introduo
O segundo grupo de equaes que iremosorganizar para estudo so as equaes do 2
grau.
B. Equao do 2 grau
Denominamos equao do 2 grau em, na incgnita x, toda equao quepode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0,com a 0, a, be c .
Exemplo
A equao 2x2+ x 1 = 0 do segundo grau.
Comparando-a com a forma genrica ax2
+ bx + c = 0,temos: a= 2, b= 1 e c= 1.
C. Resolvendo equaes do 2 grau
Exemplo
Resolver, em, as equaes:
a. x2 25 = 0
b. x2 2 x = 0
c. x2 4x 7 = 0
Resoluo:a. x2 25 = 0
x2= 25
x = 25 (Note que o smbolo exigncia da equao do 2 grau, e no da raizquadrada.)
x = 5 (leia-se x igual a mais ou menos cinco.)
A igualdade acima apresenta como soluesx = 5 ou x = 5.
S = {5, 5}
b. x2 2x = 0
(Observe que x um fator comum.)
x (x 2) = 0 (Uma multiplicao de reais igual a zero significa que pelo menos
um dos fatores igual a zero.)
x = 0 ou x 2 = 0
x = 0 ou x = 2 S = {0; 2}
c. x2 4x 7 = 0
x2 4x = 7(Somar nmero conveniente nosdois membros da igualdade paraque o trinmio que ir surgir, no
membro da esquerda, seja um tri-nmio quadrado perfeito.)
x24x + 4= 7 + 4
(x 2)2 = 11
( ) ( )
{ , }
x ou x
x ou x
S
= =
= + =
= +
2 11 2 11
2 11 2 11
2 11 2 11
As equaes, dos itens (a) e (b) do exemploacima, so conhecidas como equaes in-completas do 2 grau, pois apresentamb = 0 ou c = 0.
D. Equaes incompletas do 2 grau
As equaes incompletas do 2 grau so dedois tipos:
a. ax2+ c = 0 (b = 0, resoluo rpida: isolar
o x)b. ax2+ bx = 0 (c = 0, resoluo rpida:
fatorao)
E. Uma frmula para resolverequaes do 2 grau
Dada a equao do 2 grau na forma genricaax2+ bx + c = 0, consideremos os passos ma-temticos a seguir.
ax2+ bx + c = 0
Multiplicando os dois membros da equao por4a, temos:
4a2x2+ 4abx + 4ac = 0
4a2x2+ 4abx = 4ac
Adicionando-seb2a cada um dos membrosda equao, temos:
4a2x2+ 4abx + b2= 4ac + b2
(2ax)2+ 2(2ax)b + b2= b2 4ac
Observe que (2ax + b)2= (2ax)2+ 2(2ax)b + b2(trinmio quadrado perfeito) e substituindo,temos:
(2ax + b)2= b2 4ac
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O termo b2 4ac denominado discriminantee costuma ser representado pela letra grega .
(2ax + b)2=
2ax + b =
2ax = b
x =
2a
b
Concluso Dada a equao do 2 grau
ax2+ bx + c = 0, a 0, podemos encontrar os va-
lores de x atravs da frmula x =
2a
b com
= b2 4ac. Essa frmula costuma ser designa-
da por frmula resolutiva de Bhaskara.
Exemplo
Resolver emas equaes:
a. 4x2 10x 4 = 0
b. x2 20x + 100 = 0
c. x2 2x 2 = 0
Resoluo
a. =
=
=
=
4x 10x 4 0 102
a
b
c
4
4
= b2 4ac = ( 10)2 4 ( 4) ( 4)
= 100 64
= 36
x
b
a
x
x
=
=
=
2
10 362 4
10 6
8
( )( )
x ou x
x ou x
= +
=
= =
=
10 6
8
10 6
8
21
2
1
2S 2;
b. x 2 x 12 + =
=
=
=
0 00 0
1
20
100
a
b
c
= b2 4ac = ( 20)2 4 1 100
= 400 400
= 0
x
b
a
x
x
=
=
=
2
20 0
2 1
20 0
2
( )
x ou x=
+=
20 0
2
20 0
2
x = 10 ou x = 10
S = {10}
c. x2 2x 2 = 0
Mutiplicando os dois membros por (1), temos:
x 2x 22 + + =
=
=
=
0
1
2
2
a
b
c
= b2 4ac = 22 4 1 2
= 4
Na frmula resolutiva, necessrio calcular
e, neste exemplo, precisaramos encon-
trar 4, porm este nmero no existe noconjunto dos nmeros reais. Dizemos, ento,que no existe soluo real.
S = (conjunto vazio)Observaes:
I. No exemplo a, encontramos um valorde positivo e duas razes reais e dis-tintas.
II. No exemplo b, o valor do zero e asduas razes so reais e iguais.
III. No exemplo c, o negativo e no exis-tem razes reais.
De maneira geral, em uma equao do 2 grau,
podemos dizer que:a. > 0 h duas razes reais e distintas;
b. = 0 h duas razes reais e iguais;
c. < 0 no h raiz real.
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F. A soma e o produto das razesde uma equao do 2 grau
Consideremos a equao do 2 grau
ax2+ bx + c = 0, a 0.
Pela frmula resolutiva, temos:
x x21
2 2=
+=
b
a
b
a
;
Indicaremos a soma das razes por Se o pro-duto por P.
S x x1 2
= + = +
+
= +
=
=
b
a
b
a
S b ba
S b
a
S b
a
2 2
2
2
2
P
P
P
= +
=
=
b
a
b
a
b
a
b
a
2 2
4
4
2 2
2
2
2
( )
=
P
b b ac
a
2 2
2
4
4
( )
P
P
P
= +
=
=
b b ac
aac
aa
c
a
2 2
2
4
44
4
ResumindoDada a equao do 2 grau
ax2+ bx + c = 0, com razes x1e x2, ento:
S = x1+ x2= b
ae P = x1 x2=
c
a
Exemplo
Resolver, em, a equaox x2 3 1 3 0 =( )
Resoluo:
x x
a
b
c
S b
a
2 3 1 3 0
1
3 1
3
3
=
=
=
=
= =
( ) ( )
[ (Soma das razes:
=
= =
=
1
13 1
3
13
)]
Produto das razes: P c
a
Os nmeros 3 e 1 so dois nmeros reais
que possuem soma igual a 3 1 e produto
igual a 3. Assim, as razes so x1= 1 e x2= 3.
S = {1; 3}
G. Escrever uma equao do 2grau conhecendo suas razes
Considere a seguinte proposta: escrever umaequao do 2 grau que tem como razes osnmeros 10e 8.
A equaox2 18x + 80 = 0satisfaz a proposta.Vejamos:
102 18 10 + 80 = 100 180 + 80 = 0
(10 uma raiz.)82 18 8 + 80 = 64 144 + 80 = 0 (8 umaraiz.)
Analisemos como foi montada a equao.
A forma geral de uma equao do 2 grau ax2+ bx + c = 0. Observe que afoi substitudopor 1, b por 18 e c por 80, em que 18 asoma das razes e 80 o produto.
Podemos dizer que ax2+ bx + c = 0 equi-
valente a x2
Sx + P = 0, em que S a somadas razes e P produto das razes. As seguin-tes passagens justificam essa afirmativa.
ax2+ bx + c = 0(dividir os dois membros daigualdade por a.)
ax bx c
a a
a
ax
b
ax
c
a
Como S ba
S ba
e P ca
te
2
2
0
0
+ +=
+ + =
= = = mos:, ,
x2 Sx + P = 0
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01.
Resolver, em, a equaox x
x
2 2
23
= .
Resoluo
x x
x
2 2
23
= (C.E.: x 2)
x2 2x = 3 (x 2)
x2 2x = 3x 6
x x
a
b
c
2 5 6 0
1
5
6
+ =
=
=
=
= b2 4 a c
= (5)2 4 1 6
= 1
x b
a
x
x ou x
x ou x
S
no serve
=
=
=
=
+
= =
=
2
5 1
2 1
5 1
2
5 1
2
2 3
3
( )
{ }
02.
Escreva duas equaes do 2 grau que tenhamcomo razes os nmeros 4e 3.
Resoluo
S = 4 + 3 = 7
P = 4 3 = 12
ax2+ bx + c = 0 equivalente a x2 Sx + P = 0;assim, temos:
x2 7x + 12 = 0
Para encontrar uma segunda equao, bas-ta multiplicar ou dividir os dois membros daigualdade por um nmero real diferente dezero.
x2 7x + 12 = 0 (multiplicar os dois lados por 5)
5x2 35x + 60 = 0, que equivalente a
x2 7x + 12 = 0Resposta
Duas equaes que tm como razes 4 e 3 so:
x2 7x + 12 = 0e 5x2 35x + 60 = 0
Obs.Dividindo ou multiplicando a equaox2 7x + 12 = 0 por um nmero real dife-rente de zero, obteremos novas equaesequivalentes, portanto h infinitas equa-es do 2 grau que possuem as razes
4 e 3.03.
Considere a equao ax2+ bx + c = 0, a 0 ,com razes x1 e x2. Mostre que a expressoax 2 + bx + c equivalente expressoa (x x1) (x x2).
Resoluo
Comox1ex2so razes da equao ax2+ bx + c = 0,
temos que x1+x
2=
b
a
(soma das razes ) e
x1 x2=c
a
(produto das razes)
a x2+ b x + c = a x b
ax
c
a + +
=2
=
+
a x
b
ax
c
a
2 = a [x2 (x1+ x2) x + (x1 x2)] =
= a [x2 x x1 x x2+ x1 x2) =
= a [x (x x1) x2(x x1)] =
= a [(x x1) (x x2)]=
= a (x x1) (x x2)
Assim, temos que: ax2+ bx + c = a (x x1) (x
x2)(c. q. d.)
A forma a (x x1) (x x2) a forma fatorada deax2+ bx + c, quando x1e x2so as razes.
EXERCCIOS RESOLVIDOS
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10. Resoluo de equaescom mudana de varivel
Frequentemente nos deparamos com equa-es que, mesmo no sendo do 2 grau, po-dem ser resolvidas com o auxlio dela. Nessassituaes, devemos nos valer de mudanasnas variveis da equao de tal forma que elase transforme, temporariamente, numa equa-o do 2 grau, como nos exemplos que vere-mos a seguir:
Exemplos
a) Resolver a equao:
x4 3x2 4 = 0
Notemos que esta uma equao de quarto
grau, porm com uma caracterstica particu-lar: apresenta apenas os termos de grau par.
Se fizermos:
x2= y
teremos:
y2 3y 4 = 0
Resolvendo esta equao, teremos:
y1= 1 e y2= 4
Considerando que y est ocupando o lugar dex2, tere