Excelencia Académica
5
Programación General Estudio de las Matrices (Primera Parte) Definición de una matriz Elementos de una matriz Orden de una matriz Igualdad de matrices Tipos especiales de matrices
Matriz cuadrada Matriz nula Matriz diagonal Matriz escalar Matriz unidad o identidad Matriz traspuesta Matriz simétrica
Matriz hemisimetrica o antisimetrica Operaciones con matrices Suma algebraica de matrices Multiplicación de una matriz por un escalar Multiplicación de matrices
Producto de un vector fila por un vector columna Multiplicación de dos matrices
Matrices particulares Matriz triangular superior
Matriz triangular inferior Autoaprendizaje 4 horas
Fascículo 1 Estudio de las Matrices (Segunda Parte) Propiedades complementarias Casos particulares de matrices cuadradas
Matriz inversa Matriz involutiva Matriz conjugada Matriz hermítica. Matriz antihermitica
Suma directa o matriz escalonada Potenciación de matrices
Autoaprendizaje 4 horas Fascículo 2
Determinantes Definición Notación
Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 Propiedades Menores y cofactores Obtención de determinantes por cofactores
Autoaprendizaje, 4 horas Fascículo 3
Excelencia Académica
6
1
Estudio de las Matrices (Tercera Parte)
Matriz de cofactores Matriz adjunta Matriz inversa Obtención de la matriz inversa por el método de la matriz adjunta Rango de una matriz Operaciones elementales Matrices equivalentes Matriz escalonada (por filas) Obtención del rango de una matriz por operaciones elementales Obtención de la inversa de una matriz por operaciones elementales
Autoaprendizaje, 4 horas Fascículo 4
Sistema de ecuaciones lineales Rango de un sistema de ecuaciones lineales Regla de Cramer Autoaprendizaje 4 horas Fascículo 5 Sistema de ecuaciones homogéneo
Autoaprendizaje, 4 horas Fascículo 6
Marices Diagonalizables (Primera Parte)
Valores y vectores propios Definiciones Propiedades de los valores y vectores propios Matrices semejantes Matrices diagonalizables
Autoaprendizaje, 4 horas Fascículo 7
Marices Diagonalizables (Segunda Parte)
Aplicación de matrices a la geometría vectorial Teorema fundamental Demostración de regreso Construcción de la matriz “P” que diagonaliza a la matriz “A” Propiedades complementarias de las matrices semejantes Observaciones importantes Teorema de Cayley Hamilton Diagonalización de una matriz simétrica Proceso de Gram Schmidt Construcción de la matriz ortogonal “P” que diagonaliza ortogonalmente a a la matriz simétrica “A” (de orden n)
Autoaprendizaje, 4 horas Fascículo 8
Excelencia Académica
7
Tabla de Contenido Presentación Programa general Fascículo I Estudio de las Matrices (Primera Parte) 9 Definición de una matriz 9 Elementos de una matriz 9 Orden de una matriz 10 Igualdad de matrices 10 Tipos especiales de matrices 11 Operaciones con matrices 14 Suma algebraica de matrices Multiplicación de una matriz por un escalar Multiplicación de matrices Producto de un vector fila por un vector columna Multiplicación de dos matrices Matrices particulares 18 Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Autoevaluación formativa 22 Fascículo II Estudio de las Matrices (Segunda Parte) 25 Propiedades complementarias 25 Casos particulares de matrices cuadradas 26 Matriz inversa 28 Matriz involutiva 29 Matriz conjugada 29 Matriz hermítica. 31 Matriz antihermitica 31 Suma directa o matriz escalonada 32 Potenciación de matrices 37 Autoevaluación formativa 41 Fascículo III Determinantes 43 Definición 43 Notación 43 Determinante de una matriz cuadrada de orden 2 43 Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 44 Propiedades 45 Menores y cofactores 48 Obtención de determinantes por cofactores 49 Autoevaluación formativa 54
Excelencia Académica
8
1
Fascículo IV Estudio de las Matrices (Tercera Parte) 55 Matriz de cofactores 55 Matriz adjunta 55 Matriz inversa 56 Obtención de la matriz inversa por el método de la matriz adjunta 57 Rango de una matriz 58 Operaciones elementales 59 Matrices equivalentes 59 Matriz escalonada (por filas) 60 Obtención del rango de una matriz por operaciones elementales 61 Obtención de la inversa de una matriz por operaciones elementales 62 Autoevaluación formativa 66 Fascículo V Sistema de ecuaciones lineales 67 Rango de un sistema de ecuaciones lineales 71 Regla de cramer 73 Autoevaluación formativa 79 Fascículo VI Sistema de ecuaciones homogéneo 81 Autoevaluación formativa 85 Fascículo VII Marices Diagonalizables (Primera Parte) 87 Valores y vectores propios 87 Definiciones 87 Propiedades de los valores y vectores propios 94 Matrices semejantes 96 Matrices diagolizables 98 Autoevaluación formativa 99 Fascículo VIII Matrices Diagonalizables (Segunda Parte) 101 Aplicación de matrices a la geometría vectorial 101 Teorema fundamental 102 Demostración de regreso 104 Construcción de la matriz “P” que diagonaliza a la matriz “A” 105 Propiedades complementarias de las matrices semejantes 108 Teorema de Cayley Hamilton 110 Diagonalización de una matriz simétrica 111 Proceso de Gram Schmidt 112 Construcción de la matriz ortogonal “P” que diagonaliza ortogonalmente a la matriz simétrica “A” (de orden n) 116 Autoevaluación formativa 124
Excelencia Académica
9
MATRICES
DEFINICION DE UNA MATRIZ Una matriz es la ordenación de números, funciones, vectores, etc; en filas y columnas, encerradas entre corchetes. Ejemplo:
28 5 4 / 31 2 6
, 3 6 3 , 7 54 7 6
10 7 2 2 1 4
x x
x
x x
La primera matriz puede ser, matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales
2 5 0
4 7 6 0
x y z
x y z
La segunda matriz podría considerar a sus filas como las coordenadas ciertos puntos (8, 5, 4), (3, 6, 3), (10, 7, -2), en el espacio. Otras de las muchas aplicaciones será determinar si estos puntos pertenecen a un plano o recta.
Opcionalmente las matrices pueden ser encerradas por paréntesis ( ) o por barras
Las matrices de denotan por letras mayúsculas (A, B, C, D, etc.) y en general vienen representadas por el siguiente arreglo:
11 12 1j 1n
21 22 2 j 2n
iji1 i2 ij in
m1 m2 mj mn
a a a a
a a a a
A aa a a a
a a a a
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ
Los elementos: 11 12 13 1n 21 ij mna ,a ,a , a , a ..., a ..., a ; se denotan por funciones ija .
i-ésima fila
j-ésima columna
Excelencia Académica
10
1
El primero de los subíndices indica la fila y el segundo la columna al que pertenece dicho elemento. Ejemplo: Sea la matriz:
5 3 0
B 1 1 0
2 3 1
entonces b11 = 5; b21 = 1; b53 = no tiene.
El conjunto de números i1 i2 i3 ina ,a ,a ,....,a , en la matriz A anterior se denomina i-
ésima fila.
El conjunto de números 1j 2 j 3 j mja ,a ,a ,....,a , de la matriz A anterior constituye j-ésima
columna. ORDEN DE UNA MATRIZ. El orden de una matriz viene dada mediante el número de filas por el número de columnas. En el caso de nuestra matriz A el orden será: mxn . Esquemáticamente y tomando como base la matriz A, toda matriz se representa por:
matriz ija ,mxn
- matriz ijA a ,mxn
- matriz A (si el orden esta sobreentendido o no interesa.)
mxnA
ij mxnA a
ijA a , i 1, 2, 3,...,m
j 1, 2, 3,...,n
Para todos los casos se lee la matriz A de orden mxn generado por los elementos ija
La matriz no tiene valor numérico o sea no puede identificarse como un número.
IGUALDAD DE MATRICES Dos matrices A y B serán iguales si solo si el orden es el mismo y sus respectivos elementos sean iguales. Sea:
Excelencia Académica
11
ij mxnA a ; y ij rxs
B b .
ij ijA B m r, n s, a b
Para cada “i” y para cada “j". Ejemplo:
2 0 1 1 2 0 1 1
A 1 5 1 2 B= 1 5 1 2
3 4 1 7 3 4 1 7
34 34a =b
7 7 TIPOS ESPECIALES DE MATRICES
MATRIZ CUADRADA Una matriz cuadrada será aquella que posee igual número de filas y columnas.
Esquemáticamente se representa por nA y se lee: matriz cuadrada de orden n
Ejemplo:
1 0 5
A 3 2 1
5 1 4
Representación 3 ij 3A ,A a
En una matriz cuadrada “la diagonal principal” se forma con los elementos
11 22 33 nna ,a ,a , a
A la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz se le llama “Traza”. Ejemplo:
1 1A
2 3
; Traza(A) = 1 + 3 = 4
MATRIZ NULA
Es aquella cuyos elementos son ceros. Algunos autores la representan por: Ejemplo:
0 0A
0 0
A = 0
A =
(matriz nula) MATRIZ DIAGONAL
Es aquella matriz cuadrada en la cual los elementos fuera de la diagonal principal son ceros. Ejemplo:
Excelencia Académica
12
1
1 0 0 0
0 0 0 3 0 0A B =
0 1 0 0 -1 0
0 0 0 4
11
22
ij
nn
c 0 0 0
0 c 0 0
0C
0 0 c 0
0 0 0 c
Esquemáticamente C = diagonal 11 22 33 nn(c ,c ,c , c )
MATRIZ ESCALAR
Es una matriz diagonal, donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo:
k 0 0 0
0 k 0 0A
0 0 k 0
0 0 0 k
MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD Es una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son unos
(1) y el resto de los elementos son ceros se representa por nI ;
A 1; 1I o I
3
1 0 0
B 0 1 0 = I
0 0 1
MATRIZ TRASPUESTA
La matriz traspuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz tA , se obtiene
permutando las filas por las columnas.
Excelencia Académica
13
Ejemplo:
t
3 1 43 5 4 7
5 3 21 3 7 5 A =
4 7 44 2 4 1
7 5 1
A
MATRIZ SIMÉTRICA
Si tA A , entonces la matriz se llama simétrica. Para esto debe cumplir lo
siguiente: - la matriz “A“ debe ser cuadrada - los elementos de la diagonal principal permanecen fijos al efectuar la
transposición de términos. - aij es igual a aji, para todo “i” y para todo “j”. Ejemplo:
31 13
5 1 7 5 1 7
A 1 3 4 A 1 3 4
7 4 2 7 4 2
A A a a
A es simetrica
Para determinar si una matriz es simétrica no es necesario hallar su traspuesta solo será necesario comprobar la simetría de sus elementos respecto a su diagonal principal; esto significa que al doblar la matriz por la diagonal principal los elementos opuestos son iguales..
Ejemplo:
1 1 0 1 1 1 0 1
1 3 8 7 1 3 8 7B B
0 8 4 5 0 8 4 5
1 7 5 5 1 7 5 5
Excelencia Académica
14
1
MATRIZ HEMISIMETRICA O ANTISIMETRICA
Si tA A , entonces la matriz A es antisimétrica. Para ello debe cumplir lo
siguiente: - la matriz A debe ser cuadrada. - Los elementos de la diagonal principal deben ser ceros. - ai j = -aji, para todo i y j .
Ejemplo:
0 5 1 0 5 1
A 5 0 8 A 5 0 8
1 8 0 1 8 0
A es antisimétrico
Para construir una matriz antisimétrica los elementos de la diagonal principal se hacen ceros y los simétricos respecto a ella deben ser de signo contrario.
1.1
1. Representen dos matrices de orden 5x4, cuyos elementos sumados nos den
una matriz identidad 2. Halle la matriz traspuesta de la matriz identidad, de orden 23 3. Presente una matriz simétrica y otra antisimétrica de orden cualquiera
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA ALGEBRAICA DE MATRICES Sean las matrices A = [ aij] y B = [ bij] ambas de orden mxn, la suma o diferencia de ambas A B es otra matriz C =[ cij] de orden mxn, en la que cada elemento de C es igual a la suma o diferencia de los elementos correspondientes de A y B .
ij ijA B a b
Siendo:
Excelencia Académica
15
0 1 2 3
A 2 3 B 5 4
1 4 -3 1
0 2 1 3 2 4
A B 2 5 3 4 A B 7 7
1 3 4 1 4 5
Las matrices se llaman conformes respecto a la suma si son del mismo orden eso significa que matrices de orden diferente no se pueden suma o restar.
PROPIEDADES 1) A + B = B + A; ( Prop. Comutativa)
2) (A +B ) + C = A + (B + C); (Prop. Asociativa)
3) k(A +B) = kA +kB ; Donde k : cte. (Prop. Distributiva)
4) (k +m)A = kA + mA ( k, m : escalares)
5) (km)A=k(mA) (k, m = escalares)
6) lA = A
7) (-1) A = -A ( -A es llamado inversa ó matriz opuesta de A)
8) Existe una matriz D tal que A + D = B
1.2
1. Que significa sumar dos matrices conformes respecto a la suma algebraica. 2. Demuestre matricialmente las propiedades anteriores con matrices de orden 3
MATRIZ FILA.- Se llama matriz fila a aun matriz de orden 1xn de la forma:
11 12 13 1nA a a a a
MATRIZ COLUMNA.- Viene a ser una matriz de orden nx1 de la forma:
11
21t
n1
a
aA
a
VECTOR: Una cantidad ordenada de números, si seguimos a la matriz por ejemplo:
11 21 31 n1a ,a ,a , a se llama Vector de “n” componentes, Tanto una matriz fila como una
Excelencia Académica
16
1
matriz columna se denomina vector, fila y vector columna respectivamente. Por convención a la matriz columna se le llama vector.
MULTIPLICACION DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR
El multiplicar una matriz por un escalar significa sumar la matriz tantas veces como sea el número escalar. Ejemplo: Hallar 3A si:
2A 3A=A+A+A
1
2 3x2 63A=3
1 3x1 3
Por tanto, se deduce:
ijkA ka
MULTIPLICACION DE MATRICES
PRODUCTO DE UN VECTOR FILA POR UN VECTOR COLUMNA Sean:
11 12 13 1nA a a a a
11
21
n1
b
bB
b
11 11 12 21 13 31 1n n1
n
1k k1k 1
AB a b a b a b a b
AB a b
Para hallar AB se multiplica la fila por la columna, cada elemento de la fila se multiplica por el correspondiente de la columna y finalmente se suman los productos obtenidos.
MULTIPLICACIÓN DE DOS MATRICES El producto AB en esa secuencia de la matriz A de orden mxp, siendo A = [aij]mxp por otra B de orden pxn, siendo B = [bij]pxn, da como resultado otra matriz C de orden mxn siendo C = [cij], tal que ;
ij i1 1j i2 2 j i3 3 j ip pj
p
ij ik kjk 1
c a b a b a b a b
c a b (i 1,2,3,...,m; j 1,2,3,...,n)
Excelencia Académica
17
Para halla C = AB, se multiplica cada fila de “A” por todas y cada una de las columnas de “B”. El elemento cij será la sumatoria de los elementos correspondientes a la fila i-esima de “A” multiplicado por los respectivos elementos de la columna j-esima de B. Ejemplo:
11 1211 12 13 14
21 2221 22 23 24 2x4
31 32 3x2
a ab b b b
A a a Bb b b b
a a
11 11 12 21 11 12 12 22 11 13 12 23 11 14 12 24
21 11 22 21 21 12 22 22 21 13 22 23 21 14 22 24
31 11 32 21 31 12 32 22 31 13 32 23 31 14 32 24 3x 4
a b a b a b a b a b a b a b a b
AB a b a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b a b a b a b
Ejemplo:
2x53x2
3x5
2 20 0 0 1 0
A 3 1 ; B0 0 0 1 0
1 1
0 0 0 4 0
AB 0 0 0 4 0
0 0 0 2 0
El producto AB está definido, o sea A es conforme con B, respecto de la multiplicación, cuando el número de columnas de A es igual al de filas de B.
PROPIEDADES Suponiendo que A, B y C son matrices conformes respecto a la suma algebraica y producto, se tienen: 1) A(B + C) = AB + AC (1ª Prop. Distributiva) 2) (A + B)C = AC + BC (2ª Prop. Distributiva) 3) A(BC) = (AB)C (Prop. Asociativa) 4) AB BA por lo general 5) AB = 0 no implica necesariamente que:
A = 0 ó B = 0 6) AB = AC no implica necesariamente que B = C 7) A = 8) 0A =
Excelencia Académica
18
1
1.3
1. Que significa multiplicar dos matrices conformes respecto al producto
algebraico. 2. Demuestre matricialmente las propiedades anteriores con matrices de
orden 3 Ejercicio de aplicación:
Sean las matrices:
0 1 2 3A ; B
3 2 0 1
x – 2y = -A ; x – y = B
Donde x e y son matrices de orden 2, entonces X, es:
Solución:
Resolviendo la ecuación: x – 2y = -A
-2x + 2y = - 2B
Obtenemos: - x = - 2B – A
Reemplazando, obtenemos:
2 3 0 1
x 20 1 3 2
4 7x
3 0
MATRICES PARTICULARES
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Es una matriz cuadrada A = [aij], se llama triangular superior si aij= 0 para i > j.
Excelencia Académica
19
11 12 1j 1n
22 2 j 2n
ij in
nn nxn
a a a a
0 a a a
A0 0 a a
0 0 0 a
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Es una matriz cuadrada A = [aij], se llama triangular inferior si aij = 0 para i < j.
11
21 22
j1 j2 ij
n1 n2 nj nn nxn
a 0 0 0
a a 0 0
Aa a a 0
a a a a
1.4
1. Represente una matriz triangular superior y otra triangular inferior, del mismo
orden. 2. Sume las matrices anteriores. 3. Multiplique las matrices anteriores
Ejercicios de aplicación:
Si:
2 2
2
3 2 3 2 0 1 1 0A ;B ;AB ;BA
1 3 1 3 1 0 1 1
Calcule : (A B)
Excelencia Académica
20
1
Solución: 2 2 2
2
2
(A B) A AB BA B
3 2 0 1 1 0 3 2(A B)
1 3 1 0 |1 1 1 3
1 1(A B)
0 1
Dada las matrices: 1 3
A2 5
y 4 1
B2 6
Halle “x” de: (AB)t + x = 2(Bt +A) Solución:
t
t
2 19 2 18AB AB
18 28 19 28
4 2B
1 6
Hallando “x”
2 18 4 2 1 3x 2
19 28 1 6 2 5
12 20x
21 6
Halle el valor del polinomio f(A) de la matriz A.
f(x) = 3x2 – 2x + 5
1 2 3
A 2 4 1
3 5 2
Solución:
2
1 2 3 1 2 3 6 9 7
A AA 2 4 1 2 4 1 3 7 4
3 5 2 3 5 2 1 4 8
Reemplazando: f(A) = 3A2 – 2A + 5
Excelencia Académica
21
6 9 7 1 2 3
f(A) 3 3 7 4 2 2 4 1 5
1 4 8 3 5 2
21 23 15
f(A) 13 34 10
9 22 25
Sean las matrices
1 2 1 1 1 1 1 0
0 1 1 2 1 0 1 0A y B
1 3 1 0 2 1 1 1
0 1 1 2 1 0 1 0
Si C = (AB)t + A . Halle la suma S = C21 + C32 + C33 Solución:
t
2 0 3 1 2 3 2 5
3 1 4 1 0 1 0 1AB (AB)
2 0 3 1 3 4 3 2
5 1 2 1 1 1 1 1
Reemplazando: C = (AB)t + A
2 3 2 5 1 2 1 1 1 5 3 6
0 1 0 1 0 1 1 2 0 2 1 3C
3 4 3 2 1 3 1 0 2 7 4 2
1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 0 1
S = C21 + C32 + C33 = 0 + 7 + 4 = 11
Las matrices son representaciones, conjunto de números o símbolos algebraicos colocados en líneas horizontales y verticales y dispuestos en forma de rectángulo.
Excelencia Académica
22
1
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
11 12 1j 1n
21 22 2 j 2n
iji1 i2 ij in
m1 m2 mj mn
a a a a
a a a a
A aa a a a
a a a a
Se estudiará en este fascículo los diversos tipos de matrices, sus características, con aplicación de ejemplos directos. Se estudiaran las principales operaciones con matrices, llamase suma de matrices conformes y multiplicación de matrices conformes.
R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS
Editorial America 2001
C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”,
Editorial GOMEZ, Perú, 1998.
Frank Ayres JR, “MATRICES”,
Editorial McGraw-HILL, México, 1998.
Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”,
Ediciones UNI, Perú, 1992.
En el siguiente fascículo, continuaremos con el estudio de las propiedades importantes de
las matrices, estudiaremos otras matrices importantes en relación a su aplicación directa
con sendos ejercicios resueltos totalmente.
Nº 1
Nombre_________________________________________________________
Apellidos ______________________________Fecha ____________________
Excelencia Académica
23
Ciudad _______________________________Semestre__________________
1. Dado las matrices 1 3
A2 5
y 4 1
B2 6
Halle “x” en t t(AB) x 2(B A)
2. Halle “x” de la ecuación matricial:
2 18 4 2 1 3x 2
19 28 1 6 2 5
3. Halle el valor del polinomio f(A) de la matriz A.
f(x) = 3x2 – 2x + 5 , si:
1 2 3
A 2 4 1
3 5 2
4. Sean las matrices
1 2 1 1 1 1 1 0
0 1 1 2 1 0 1 0A y B
1 3 1 0 2 1 1 1
0 1 1 2 1 0 1 0
Si:tC (AB) A Halle la suma 21 32 33c + c + c
5. Si
3 0 1 6 3 2
A 1 4 1 y B 2 4 0
2 2 1 1 5 2
ytC (BA) 2A .
Halle la suma de los elementos de la segunda fila de la matriz C.
Excelencia Académica
24
1
Excelencia Académica
25
ESTUDIO DE LAS MATRICES En este fascículo, se complementará el estudio de las matrices más importantes, y sus
diversas aplicaciones con ejercicios totalmente resueltos, brindando a los estudiantes el
desarrollo de métodos para enfrentar problemas.
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Define matrices especiales Interpreta matrices cuadradas Estudia matriz inversa Aplica matrices al desarrollo de ejercicios.
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS
a) t t tA B A B
b) ttA A
c) t tcA cA ; c es real.
d) El producto de dos matrices diagonales es otra matriz diagonal. e) La multiplicación de “n” veces una matriz diagonal se representa por
n
n veces
D.D.D.D D D
n
n
n
n
nnxn
a 0 0 0
0 b 0 0
D0 0 h 0
0 0 0 s
f) Si A es de orden mxn, entonces:
AI = A, con In IA = A con Im,
Excelencia Académica
26
1
no obstante si A es de orden “n” entonces
AI = IA = A. con In
Ejemplo: sea
3x2
1 0
A 2 2
3 1
Halle: AI
2
2x23x2 3x2
1 0 1 01 0 1 0
I ; AI 2 2 2 2 A0 1 0 1
3 1 3 1
Halle: IA
3
3x2
1 0 0 1 0 0 1 0 1 0
I 0 1 0 ; IA 0 1 0 2 2 2 2 A
0 0 1 0 0 1 3 1 3 1
g) Si A es una matriz cuadrada, entonces la matriz tA A es simétrica
Demostración:
t tt t t tA A A A A A
h) Si A es una matriz cuadrada, entonces la matriz tA A es antisimétrica
Demostración:
t tt t t t tA A A A A A A A
i) Toda matriz cuadrada A se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y
otra antisimétrica.
1 1A A A A A
2 2
CASOS PARTICULARES DE MATRICES CUADRADAS
a) Siendo A y B dos matrices cuadradas se llaman permutables, conmutativas
o que conmutan si se verifica que:
AB = BA
Excelencia Académica
27
Es fácil entender que si A es una matriz cuadrada de orden “n” conmuta consigo mismo y además con In.
b) En las condiciones del caso anterior si AB = - BA, las matrices A y B se llaman antipermutables o anticonmutativas.
Decir que A y B no conmutan no es lo mismo decir que A y B son
anticonmutativas ya que en el primer caso AB BA y en el segundo
caso AB BA .
DEFINICIÓN.- Si A es una matriz cuadrada de orden “n” y B aA bI .
Donde: a y b son escalares entonces A y B conmutan, B aA bI Esta definición nos indica como construir matrices conmutativas, pero no indica que todas las matrices conmutables con A sean de la forma: B aA bI . DEMOSTRACIÓN
B
AB A aA bI
AB AaA AbI
AB aAA bAI
AB aAA b IA
AB aA bI A
AB BA
Ejemplo: Sea
1 0A
3 2
Halle una matriz conmutativa de A
Asumiendo: a = 2, b = 3 B = 2A + 3I
1 0 1 0 2 0 3 0 5 0B 2 3
3 2 0 1 6 4 0 3 6 7
Excelencia Académica
28
1
1 0 5 0 5 0 0 0 5 0AB
3 2 6 7 15 12 0 14 27 14
5 0 1 0 5 0 0 0 5 0BA
6 7 3 2 6 21 0 14 27 14
DEFINICIÓN.- Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden, A y B
conmutaran siempre y cuando: A rI y B rI conmuten, donde “r” es un
escalar.
c) Una matriz A de manera que: r 1A A ,siendo r un numero entero positivo, de
llama PERIÓDICA. Si “r” es el menor numero entero y positivo para el cual: r 1A A , la matriz A tiene periodo “r”.
Siendo r = 1 osea A2 = A, tal matriz A se denomina IDEMPOTENTE.
d) Una matriz A tal que Ap = 0, siendo “p” un entero positivo, tal matriz A se denomina matriz NILPOTENTE. Si “p” es el menor número entero y positivo para el cual Ap = 0, entonces la matriz A es Nilpotente de índice p.
2.1
4. Elabore dos matrices de orden 3 que sean permutables 5. Elabore dos matrices de orden 3 que sean antipermutables
6. Dado:
4 0 0 0
0 2 0 0D
0 0 1 0
0 0 0 3
. Halle 9D
MATRIZ INVERSA
Sean A y B dos matrices cuadradas de forma que
AB = BA = I , la matriz B se llama inversa de A y se representa por B = A-1,
leyéndose B es igual a la inversa de A. Recíprocamente la matriz A es la inversa de B y se escribe A = B-1. Ejemplo: Verificar si A y B son matrices inversas, si:
Excelencia Académica
29
1 2 3 3 2 1
A 2 5 7 ; B 4 1 1
2 4 5 2 0 1
1 0 0
AB 0 1 0 BA I
0 0 1
Posteriormente veremos que no toda matriz tiene inversa, no obstante toda inversa es única.
PROPIEDAD: Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden, cuyas inversas son A-1 y B-1 respectivamente, se compilara que: (AB)-1 = B-1.A-1 ; lo anterior es único.
MATRIZ INVOLUTIVA
Una matriz cuadrada A, tal que 2A I , se llama involutiva.
Una matriz unidad por ejemplo es involutiva. Una matriz unidad por ejemplo es involutiva. La inversa de una matriz involutiva es ella misma.
MATRIZ CONJUGADA
Dado el número complejo: z = a + bi , donde “a”, “b” son constantes; i es un
imaginario i 1
Complejos conjugados
Z a bi
Z a bi a bi
Sean: 1
2
Z a bi
Z c di
Sumando:
Excelencia Académica
30
1
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
Z +Z = (a+c)+(b+d)i
Z +Z (a+c)-(b+d)i
Z +Z (a-bi)+(c-di)
Z +Z Z Z
Multiplicando:
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
Z Z (a+bi)+(c+di)
Z Z (ac bd) (ad bc)i
Z Z (ac bd) (ad bc)i
Z Z (a-bi)(c-di)
Z Z Z .Z
Por tanto:
La conjugada de una matriz, se halla sustituyendo cada elemento de la matriz
original por su conjugada respectiva y se representa por: A Ejemplo: sean
i 1 i 1
A A2 i i 4 2 i i 4
PROPIEDADES:
A A
kA kA , k: escalar no imaginario
A+B A B
AB A.B
A la transpuesta de la conjugada de A, se escribe como t
A (se lee transpuesta de la conjugada de A) y a veces se le representa por A*
La matriz transpuesta de la conjugada de A es igual a la conjugada de la
traspuesta ttA A
Ejemplo: sea
Excelencia Académica
31
t
t t
i 3 i i 3 iA ; A ;
i 1 4 i 1 4
i i 1A
3 i 4
i i 1 i i 1A ; A
3 i 4 3 i 4
MATRIZ HERMITICA.
Una matriz cuadrada A = [aij], se llama hermítica o autoadjunta siempre que
tA A . Es lógico pensar que los elementos de la diagonal principal de una
matriz hermítica serán números reales:
Ejemplo: sea 1 i 2
Ai 2 0
t t1 i 2 1 i 2A ; A
i 2 0 i 2 0
Los elementos simétricos respecto a la diagonal principal deben ser conjugados.
MATRIZ ANTIHERMITICA
Una matriz cuadrada A se llama hemihermítica siempre que:tA A . Se entiende
que los elementos de la diagonal principal deben de ser nulos o números imaginarios puros. Ejemplo: sea
i i 2 i 1
A i 2 0 i
i 1 i 0
Excelencia Académica
32
1
t t
i i+2 i-1 i i 2 i 1
A i-2 0 -i A i 2 0 i
i+1 -i 0 i 1 i 0
kA es hemihermítica, si k es real o imaginario puro
PROPIEDADES:
t(A A ) es hermítica
t(A A ). es hemihermítica
Toda matriz A cuyos elementos sean números complejos, se puede descomponerse en la suma de una matriz hermítica y otra hemihermítica de la siguiente forma:
t t1 1A (A A ) (A A )
2 2
SUMA DIRECTA O MATRIZ ESCALONADA
Teniendo A1, A2, A3,..., An, matrices cuadradas de ordenes crecientes m1,m2, m3,...,ms, respectivamente; se puede generalizar del siguiente modo:
1
2
31 2 3 n
n
A 0 0 0
0 A 0 0
A 0diag(A ,A ,A ,...,A )
0 0 0
0 0 0 A
Y es llamada suma directa o matriz escalonada de las matrices Ai
1 2 3
0 1 22 5
A 1 ; A ; A 1 1 14 3
3 1 1
Excelencia Académica
33
1 2 s
1 0 0 0 0 0
0 2 5 0 0 0
0 4 3 0 0 0A diag(A ,A , ,A )
0 0 0 0 1 2
0 0 0 1 1 1
0 0 0 3 1 1
PROPIEDAD: Si: A = diag(A1, A2,...,A5) y B = diag(B1, B2, B3, ..., Bs) donde A y B son del mismo orden, se verifica que: AB = diag(A1B1, A2B2, A3B3,...,AsBs)
Ejercicio: Siendo:
2 2
2
2
2 2
3 2 1 3 2 3A B , AB , BA
1 0 2 2 1 0
Halle: (A+B) ; (A B)(A B)
(A+B) (A B)(A B)
(A AB BA B )
3 2 1 3 2 3 3 2
1 0 2 2 1 0 1 0
9 10
3 2
(A B)
2 2(A B) A AB BA B
3 2 1 3 2 3 3 2
1 0 2 2 1 0 1 0
1 0
3 2
Ejercicio:
Excelencia Académica
34
1
Sea una matriz A de 3x3, tal que A = aI + bD, en donde D es una matriz tal que todos sus elementos de la diagonal principal son ceros y todos los demás son unos. Hallar a y b de modo que A2 = I. Solución: se entiende que:
0 1 1 1 0 0
D 1 0 1 I 0 1 0
1 1 0 0 0 1
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
1 0 0 0 1 1
A a 0 1 0 b 1 0 1
0 0 1 1 1 0
a 0 0 0 b b
A 0 a 0 b 0 b
0 0 a b b 0
a b b a b b a b b
A b a b A b a b b a b
b b a b b a b b a
a 2b b 2ab b 2ab
A b 2ab a 2b b 2ab
b 2ab b 2ab a
2
2 2
2
2
2
1
2 22
2 2
1 0 0
0 1 0
2b 0 0 1
a 2b 1.......(1)
b 2ab 0.......(2)
de la ec. (2) :
b 2ab 0 0
2a 4a 4(1)0 2a 2ab
2 2b 0, a 1
b 2a a 2( 2a) 1
a 8a 1
2
2
9a 1
a 1 3
2 b 3
Excelencia Académica
35
Ejercicio Hallar todas las matrices de orden dos que conmutan con:
1 1A
0 2
Solución: Sea B una matriz conmutable con A: osea AB = BA sea:
a bB
c d
AB BA
1 1 a b a b 1 1
0 2 c d c d 0 2
a c b d a a 2b
2c 2d c c 2d
a c a c 0
b d a 2b a d b
2d=-c+2d c 0
2c c no tiene aplicacion
d b bB d, b R
0 d
Ejercicio
Si A y B son matrices involutivas y
5 8 0
(AB) (BA) 3 5 0
1 2 1
Halle la traza de la matriz H = (A+B)2 Solución Son involutivas cuando: A2 = I y B2 = I de esto se tiene que: A2 + B2 = 2I también que A2B2 = (AB)(AB) = I2 = I Reemplazando en H = A2 + B2 + (AB) + (BA)
H = 2I + 2(AB) 1 0 0 5 8 0 8 16 0
H 2 0 1 0 2 3 5 0 6 12 0
0 0 1 1 2 1 2 4 0
Excelencia Académica
36
1
la traza de H será 4 Ejercicio Siendo
i 0A
0 i
Deduce una formula para las potencias enteras positivas de A Solución:
1
22
3 2
3
A A
i 0 i 0 1 0A I
0 i 0 i 0 1
A A A A
1 0 i 0 i 0A A
0 1 0 i 0 i
4 2 22
42
A A A I
1 0 1 0 1 0A I
0 1 0 1 0 1
5 4
5
6 4 22 2 2
7 62
8 4 42 2 2
9 82
A A A A
1 0 i 0 i 0A A
0 1 0 i 0 i
A A A I ( I ) I
A A A I (A) A
A A A I (I ) I
A A A I (A) A
10 8 22 2 2
11 102
12 10 22 2 2
13 122
A A A I ( I ) I
A A A I (A) A
A A A I ( I ) I
A A A I (A) A
Excelencia Académica
37
1 5 9
2 6 102
3 7 11
4 8 122
n2 2
A ,A ,A ,..., A
A ,A ,A ,..., I
A ,A ,A ,..., A
A ,A ,A ,..., I
A A, I , A, I
Para: n=4k+1,4k+2, 4k+3,4k+4
Donde: k N POTENCIACION DE MATRICES
Se define por inducción matemática: A0=I A2=AA A3= AA2
An= AAn-1=An-1A PROPIEDADES La potenciación de matrices es conmutable: - Si A es una matriz cuadrada, entonces:
Am.An = An.Am, donde “m” y “n” son enteros positivos - Si A y B conmutan, Am y Bn conmutan siendo “m” y “n” enteros positivos
PROPIEDADES DE LA TRAZA DE UNA MATRIZ 1) Traza(A + B) = Traza (A) + Traza (B) 2) Traza(kA) = kTraza(A), donde k: escalar 3) Traza (AB) = Traza (BA) Ejemplo: Sea
2 1 1 1A ; B
0 2 0 2
2 0 2 1AB ; BA
0 4 0 4
Traza (AB) = 6 Traza (BA) = 6 Ejercicio Sea A=[aij] una matriz triangular superior de orden “n” tal que: aij = 1, si i j . De la matriz: A3 = [bij]
Halle el elemento bij si: a) i = 3, j = n
Excelencia Académica
38
1
b) i = n, j = 3 c) i = 3, j = n – 3 d) i = j Solución:
nxn
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
A
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
2
nxn nxn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
A AA
0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
2
nxn
1 2 3 i n
0 1 2 i 1 n 1
0 0 1 i 2 n 2
A
0 0 0 1 n (i 1)
0 0 0 0 1
3 2
nxn nxn
1 2 3 i n 1 1 1 1 1
0 1 2 i 1 n 1 0 1 1 1 1
0 0 1 i 2 n 2 0 0 1 1 1
A A A
0 0 0 1 n (i 1) 0 0 0 1 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
Excelencia Académica
39
3
i(i 1) (n 2)(n 1) n(n 1) n(n 1)1 3 6
2 2 2 2i(i 1) (n 3)(n 2) (n 2)(n 1) n(n 1)
0 1 32 2 2 2
(i 2)(i 1) (n 4)(n 3) (n 3)(n 2) (n 2)(n 1)0 0 1
2 2 2 2A 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 3 6
0 0 0 0 0 0 1 3
0 0 0 0 0 0 0 0 1
(n 2)(n 1)
(a) 2
(b) 0
(n 5)(n 4)(c)
2(d) 1
2.1
4. Elabore una matriz de orden 3 y demuestre que es hermética 5. Construya una matriz de orden 3 y halle su inversa.
El estudio de las propiedades complementarias y sus aplicaciones dotará al estudiante de
las herramientas necesarias para enfrentar problemas.
El estudio de matrices permutables, define conceptos necesarios para el entendimiento de
las matrices.
A.B = B.A Matrices conmutativas
AB BA Matrices no conmutan
AB BA Matrices anticonmutativas
Excelencia Académica
40
1
El estudio de la matriz inversa AB = BA = I , es uno de los casos mas importantes en el
estudio de las matrices, ya que el entendimiento y calculo de ella genera la aplicación de
esfuerzos y deformaciones en el campo de ingeniería y otras aplicaciones.
R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS
Editorial America 2001
C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”,
Editorial GOMEZ, Perú, 1998.
Frank Ayres JR, “MATRICES”,
Editorial McGraw-HILL, México, 1998.
Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”,
Ediciones UNI, Perú, 1992.
Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas.
Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998.
En la siguiente fascículo, continuaremos con el estudio de algunas propiedades
importantes de las matrices, al aplicarlas en el desarrollo de determinantes.
Aprenderemos métodos directos de evaluación de determinantes de matrices cuadradas de
ordenes varios.
Excelencia Académica
41
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
Nº 2
Nombre_________________________________________________________
Apellidos ______________________________Fecha ____________________
Ciudad _______________________________Semestre__________________
01 Si A =
0 1 0
1 1 1
0 0 1
, Hallar A100
02 Si A =
2 3 5
1 4 5
1 3 4
y B=
1 3 5
1 3 5
1 3 4
,
Halle A5.B7
03 Determine si la matriz A =
1 1 3
5 2 6
2 1 3
es nilpotente
04 Sean las matrices:
A =
1 2 1
4 0 5
3 1 2
y B =
1 0 0213 05
0 0 1
Si (AB)t + x = 2(Bt + A)
Halle la traza de la matriz “x”.
Excelencia Académica
42
1
Excelencia Académica
43
DETERMINANTES
En este fascículo comenzamos con el estudio de los determinantes y sus diversos métodos
de solución, dependiendo del orden de la matriz. Se utilizarán métodos directos para
matrices de ordenes menores.
Al finalizar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Resuelve determinantes de orden 2, 3 Resuelve determinantes por el método de los cofactores Interpreta propiedades de los determinantes.
DEFINICIÓN.-
Viene a ser una función que aplicada a una matriz cuadrada da solo un valor numérico.
NOTACIÓN
Sea una matriz A y su determinante se expresa como: |A|, det(A), detA
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 2 Sea:
11 12 11 1211 22 21 12
21 22 21 22
a a a aA | A | a a a a
a a a a
Ejemplo: Sea:
1 1 1 1A | A | 1( 4) (3)( 1) 1
3 4 3 4
Excelencia Académica
44
1
Para este caso se utilizará la diferencia del producto de la diagonal principal y la diagonal secundaria.
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA DE ORDEN 3 Sea:
11 12 13
21 22 2311 12 13 11 12 13 11 12
31 32 3321 22 23 21 22 23 21 22
31 32 33 31 32 33 31 32 11 12 13
21 22 23
11 22 33 31 12 23 13 21 32 31 22 13 11 32 23 33 21 12
a a a
a a aa a a a a a a a
a a aA a a a | A | a a a a a
a a a a a a a a a a a
a a a
| A | a a a a a a a a a a a a a a a a a a
Para este caso utilizaremos la diferencia de producto a derechas e izquierdas, como en el caso de la determinante de orden 2.
Ejemplo: Sea las matriz:
1 2 3
A 0 0 2
2 3 4
Su determinante es:
A (1x0x4 + 2x2x2 + 3x0x3) – (2x0x3 + 2x3x1 + 2x0x4)
A (0 + 8 + 0) – (0 + 6 +0) = ( 8 ) – ( 6 ) =
Excelencia Académica
45
PROPIEDADES
1) DetA = DetAt Ejemplo:
t t1 2 1 3A | A | 2; A | A | -2
3 4 2 4
2) El determinante de una matriz cambia de signo cuando dos filas y dos columnas no
necesariamente adyacentes se intercambian.
Ejemplo: Sea
1 3
1 3 1
A 0 2 0 |A|=-2
2 1 1
si se intercambian C xC mutuamente se halla la matriz:
1 3 1
B= 0 2 0 |B|=2
1 1 2
|B|=-|A|
3) Si la matriz B se obtiene trasladando una de sus filas (o columnas) k lugares a partir
de una matriz original A, entonces :
kB 1 A ; número de lugares desplazados
1 0 2
A 3 4 1 |A|=8
0 0 2
Si B se halla, trasladando la 1ª fila dos lugares, se tiene:
2
3 4 1 3 4 1
B= 0 0 2 | B | 0 0 2 8
1 0 2 1 0 2
| B | ( 1) | 8 8
Excelencia Académica
46
1
4) Si una matriz A de orden nxn es multiplicada por el escalar k (esto significa que
todas las filas son multiplicadas por dicho escalar o en forma equivalente todas las
columnas son multiplicadas por k), entonces el determinante de la matriz A queda
multiplicada por kn, por tanto, se tendrá que:
n| kA | k | A | Ejemplo: Sea
n
2
1 2A ; k 2
4 5
1 2 2 4 2 4kA 2A 2 | kA | 12
4 5 8 10 8 6
Ademas: n=2
1 2|A|= 3
4 3
| kA | k | A |
12 2 ( 3)
12 12
5) Si en una matriz se tiene que una fila o columna es múltiplo de otra fila o columna
respectivamente, entonces la determinante de dicha matriz vale cero.
Ejemplo: Sea
1 2 1 2A | A | 0
5 10 5 10
La 1ª fila es múltiplo de la 2ª fila
6) Si en una fila (o columna) de una matriz, todos sus elementos valen cero,
entonces su determinante valdrá cero.
Ejemplo:
1 2 1 2A | A | 0
0 0 0 0
7) Si en una matriz todos los elementos de una fila (o columna) son multiplicados por
un escalar k entonces el valor del determinante también queda multiplicado por k.
Ejemplo:
Excelencia Académica
47
3 4 3 4A | A | 2
1 2 1 2
B se halla de A, al multiplicar la 1ª fila por 3
3(3) 3(4) 9 12B=
1 2 1 2
| B | 3 | A | 3(2) 6
B k A
8) Si ha una fila (columna) de una matriz dada, se le suma el múltiplo de otra fila (o
columna), la determinante de la matriz no varia Ejemplo:
1 3 4 1 3 4
A 0 0 2 | A | 0 0 2 10
2 1 1 2 1 1
Hallando B a partir de A, donde: 3ºFB = 3ºFA + 2x1ºFA
1 2 3 1 2 3
B 0 0 2 | B | 0 0 2 10
2 2 1 6 1 8 4 7 9
9) Si los elementos de una fila (o columna) de una matriz constan de dos términos, el
determinante puede ser expresado como la suma de otros dos determinantes.
Ejemplo:
10 4 10 4A | A | 0
5 2 5 2
8+2 3 1 8 3 2 1| A | 1 1 0
5 2 5 2 5 2
10) El determinante de una matriz identidad es la unidad.
El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de la
diagonal principal.
11) El determinante de una matriz triangular superior o inferior es igual al producto de
los elementos de la diagonal principal.
Excelencia Académica
48
1
Ejemplo:
1 2 3 1 2 3
A 0 4 2 | B | 0 4 2 1x4x3 12
0 0 3 0 0 3
12) |A+B| |A| + |B| por lo general
|AB|=|A||B| (Ay B sean cuadradas y del mismo orden)
3.1
Construya matrices de orden 3 y 1. Compruebe las primeras seis propiedades 2. Compruebe las 6 últimas propiedades
MENORES Y COFACTORES Teniendo el siguiente arreglo.
11 12 1j 1n
21 22 2 j 2n
i1 i2 ij in
m1 m2 mj nn
a a a a
a a a a
A a a a a
a a a a
i1 i2 ij in
1j 2 j ij nj
la fila i esta dada por: a a a a
la culumna j esta dada por: a a a a
Sea Mij la submatriz cuadrada de orden (n – 1), que resulta de eliminar la fila “i” y la
columna “j” de A, entonces:
1) El determinante de Mij se llama “menor complementario” del elemento aij de A
2) El cofactor del elemento aij que se simboliza por Aij, se define por:
i j
ij ijA 1 M
Excelencia Académica
49
Ejemplo: Sea
3 0 5 1
4 2 4 0A=
2 3 0 1
1 4 1 0
12 12
4 4 0 4 4 0
M 2 0 1 | M | 2 0 1 0
1 1 0 1 1 0
34 34
3 0 5 3 0 5
M 4 2 4 | M | 4 2 4 28
1 4 1 1 4 1
Hallando los cofactores: 1 2
12 12
12
3 434 34
34
A ( 1) | M |
A ( 1)0 0
A ( 1) | M |
A ( 1)28 28
OBTENCIÓN DE DETERMINATES POR COFACTORES
El determinante de una matriz cuadrada A = [aij]nxn, es igual a la suma de los productos
de los elementos de cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores.
Por definición:
Si se eligiera la fila “k” el determinante valdría
n
kj kjj 1
| A | a A
Si se eligiera la columna “j” el valor de la determinante sería:
Excelencia Académica
50
1
n
kj kjk 1
| A | a A
Ejemplo: Sea:
1 3 0 1 3 0
A 0 1 2 | A | 0 1 2 5
2 4 1 2 4 1
31 31 32 32 33 33
3
kj kjj 1
| A | a A a A a A ...(1)
| A | a A
3 131
3 232
3 333
3 0A ( 1) 6
1 2
1 0A ( 1) 2
0 2
1 3A ( 1) 1
0 1
En (1): |A|=2(6)+4(-2)+1(1)=5
Ejercicio: Halle el determinante de:
0 1 1 6 2
2 1 3 1 0 0
3 3 4 - 8 4B =10 2 0 35
0 1 5 3 1
Solución:
5
k1 k1k 1
11 11 21 21 31 31 41 41 51 51
| B | b B
| B | b B b B b B b B b B ...(1)
2 1 3 121 31
C D
1 1 6 2 1 1 6 2
3 4 8 4 1 3 10 0B ( 1) ; B ( 1)1 12 0 3 2 0 35 5
1 5 3 1 1 5 3 1
Excelencia Académica
51
31 31 32 32 33 33 34 34
1 1 6 2
3 4 8 4| C | |C|=c C c C c C c C12 0 35
1 5 3 1
1 6 2 1 1 2 1 1 61
| C | 2 4 8 4 3 4 4 3 3 4 85
5 3 1 1 5 1 1 5 3
1| C | 2(180) (7) 3(101)
5| C | 58,4
14 14 24 24 34 34 44 44| D | d D d D d D d D
1 3 10 1 1 6 1 1 61| D | 2 2 0 31 3 10 1 1 3 105
1 5 3 13 01 5 3 5| D | 2(81,6) 3( 22) ( 23,6)
| D | 120,8
2 1 3 1| B | ( 1) | C | ( 1) | D |
| B | ( 1)(58,4) ( 120,8)
| B | 179,2
3.2
1. Construya una matriz de orden 4 y halle su determinante por cofactores 2. Halle el determinante de la matriz
2 3 4
1 3 0
6 8 3
3. Halle la suma de los determinantes de las matrices
1 3 4
6 0 0
8 3 2
+
9 0 2
6 5 0
2 3 1
+
10 1 3
0 0 0
81 3 2
Excelencia Académica
52
1
En este fascículo se estudió los conceptos fundamentales sobre las aplicaciones de los
determinantes así como sus diversos métodos de solución.
Se presentaron los casos de prácticos para hallar determinantes de orden 2 y 3, de forma
directa.
Así como hallar el determinante de matrices de orden superior por el método de cofactores.
Se desarrollaron ejercicios a aplicación a las diversas propiedades analizadas, para
proponer las actividades al estudiante.
R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS
Editorial America 2001
C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”,
Editorial GOMEZ, Perú, 1998.
Frank Ayres JR, “MATRICES”,
Editorial McGraw-HILL, México, 1998.
Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”,
Ediciones UNI, Perú, 1992.
Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas.
Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998.
En el siguiente fascículo se continuará con el estudio de las matrices especiales. Buscando
obtener un método para hallar matrices inversas por el método de la matriz adjunta.
Excelencia Académica
53
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
Se analizaran el método de las operaciones elementales para hallar matriz inversa, el
rango de una matriz, matriz escalonada entre otros.
Nº 3
Nombre_________________________________________________________
Apellidos ______________________________Fecha ____________________
Ciudad _______________________________Semestre__________________
1. Halle el determinante de: 12 1
4 1
:
2 8 0
4 3 0
5 1 4
(aplique método directo)
2. Halle el determinante de (1) por cofactores 3. Halle el determinante de: (aplique cofactores)
1 6 3 2
3 2 0 0
4 0 5 2
1 0 1 1
4. Halle : 44M , 23M , 42M del problema anterior
5. Halle el determinante de:
2 7 6 8
0 3 8 9A
0 0 1 32
0 0 0 7
Excelencia Académica
54
1
Excelencia Académica
55
Estudio de las Matrices
En el presente fascículo continuaremos con el estudio de las matrices
especiales.
Se estudiaran métodos para hallar el determinante de matrices de ordenes
superiores, así como hallar el matricial inverso y el rango de una matriz de
orden “n”
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Reconoce matrices especiales Halla determinantes de orden “n” Halla el matricial inverso
MATRIZ DE COFACTORES
Si A es una matriz cuadrada de orden “n” y Aij, es el cofactor del elemento aij, entonces
la matriz de cofactores en A, viene dada por el siguiente arreglo.
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
A A A
A A ACofact A Cofact A
A A A
MATRIZ ADJUNTA La matriz adjunta A, es la traspuesta de la matriz de cofactores de A.
tadjA cofactA
Ejemplo: Sea:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
3 3 1 A A A
A 2 2 1 cofactA A A A
1 4 1 A A A
Excelencia Académica
56
1
2 1 2 1 2 2
4 1 1 1 1 4
3 1 3 1 3 3cofactA
4 1 1 1 1 4
3 1 3 1 3 3
2 1 2 1 2 2
2 1 6 2 1 1
cofactA 1 2 9 adjA 1 2 1 L
1 1 0 6 9 0
MATRIZ INVERSA
Sea A una matriz cuadrada de orden “n” y si existe otra matriz B tal que:
AB BA I
La matriz B se llama inversa de A y se denota por :
B = A-1
Características: 1.- La inversa de una matriz es única. 2.- Si B es inversa de A, se puede decir que también que A es
inversa de B. 3.- No toda matriz cuadrada tiene inversa.
.
Definiciones: 1) Una matriz cuadrada se dice que es “no singular” si su determinante es
distinto de cero (|A| 0), una matriz de este tipo tiene inversa.
2)
3) Una matriz cuadrada A se dice que es “singular” si su determinante es cero
(|A| = 0), una matriz de este tipo no tiene inversa.
Excelencia Académica
57
OBTENCION DE LA MATRIZ INVERSA POR EL METODO DE LA MATRIZ ADJUNTA
1 adjA
A| A |
Ejemplo: Hallar A-1 de: 1 3 1
A 0 1 1
2 2 0
Solución:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
A A A
cofactA A A A
A A A
1 1 0 1 0 1
2 0 2 0 2 2
3 1 1 1 1 3cofactA
2 0 2 0 2 2
3 1 1 1 1 3
1 1 0 1 0 1
2 2 2 2 2 4
cofactA 2 2 4 adjA 2 2 1
4 1 1 2 4 1
1
| A | 6
1 1 2
3 3 32 2 41 1 1 1
A 2 2 16 3 3 6
2 4 11 2 1
3 3 6
Excelencia Académica
58
1
4.1
1. Halle la matriz inversa de:
5 2 1
2 5 3
1 3 5
2. Halle la inversa de:
2 3 1
6 9 3
1 3 5
RANGO DE UNA MATRIZ
SUBMATRICES CUADRADAS
Dada una matriz A de orden m x n, se pueden construir diferentes submatrices
cuadradas de orden k x k contenidas en A.
Ejemplo: Construir la submatrices de:
2x3
1 0 2A
2 1 3
Solucion:
1 0 1 2 0 2; ;
2 1 2 3 1 3
1 ; 0 ; 2 ; 2 ; 1 ; 3
El rango de una matriz A de orden mxn es el orden de la submatriz cuadrada más grande contenida en A, cuyo determinante es no nula y se simboliza por “r(A)”.
Excelencia Académica
59
Ejemplo:
Para el problema anterior el rango de A es igual a 2 porque los determinantes de
cualquier submatriz de orden 2 es diferente de cero.
OPERACIONES ELEMENTALES
Son transformaciones elementales, que se dan entre filas o columnas de una matriz:
Intercambio de dos filas o dos columnas. Se representa por:
fi x fk ; Ci x Ck
Multiplicación de una fila o una columna, por un escalar no nulo. Se representa
por:
kfi ; kCj.
A una fila o columna se le suma el múltiplo de otra fila o columna. Se representa por:
fi +kfj ; Ci + kCj.
MATRICES EQUIVALENTES Se dice que una matriz A de orden mxn es equivalente (por filas) a matriz B de orden
mxn, si se puede obtener B a partir de A por medio de un número finito de operaciones
elementales (por filas). Se simboliza por:
A B
Ejemplo:
Por operaciones elementales llevar si es posible a la matriz I, a la matriz dada:
3 31 12 2 2 2
2 1 2112
3 1
2 3 1 1 1f 4f 1f
A 4 5 1 f 4 5 1 0 1 3f 2f
2 0 2 2 0 2 0 3 3
Excelencia Académica
60
1
3 12 2
3 2 1363
1 22
1 3
2 3
1 1 0 4 1 0 4f 3f
0 1 3 0 1 3 f 0 1 3f f
0 3 3 0 0 6 0 0 1
1 0 0f 4f
0 1 0 If 3f
0 0 1
A I
MATRIZ ESCALONADA (por filas)
Una matriz escalonada E = [eij], de orden mxn, es escalonada si se presenta la
siguiente estructura:
1) Las primeras “k” filas son no nulas y las restantes
(m - k) filas son nulas.
2) El primer elemento no nulo de cada una de las primeras “k” filas es la unidad.
3) En cada una de las “k” filas, el número de ceros anteriores a la unidad crece de fila
en fila
Una fila (o una columna) es nula si todos sus elementos son ceros.
Ejemplo: matrices escalonadas:
1
mxn
2
4x5
1 0 2 1k Si: k=2 y m=5 (m k) 3
0 1 3 2
E 0 0 0 0
0 0 0 0 (m k)
0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 2 3E k Si: k=4 y m=4 m-k=0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
Excelencia Académica
61
Ejemplo: Por operaciones elementales llevar A a su forma escalonada:
54
1 1 0 1 1 0
A 1 2 2 O.E 0 1
1 2 3 0 0 0
A B
OBTENCION DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR OPERACIONES ELEMENTALES
Propiedad: Las matrices equivalentes tiene el mismo rango, es decir:
A B r(A) = r (B)
Para hallar el rango de una matriz es necesario llevar a dicha matriz a su forma
escalonada.
Luego el rango de dicha matriz será igual al rango de su matriz escalonada.
El rango de la matriz escalonada será “k”, donde “k” es el número de filas no nulas.
Esta regla será aplicable por lo general en matrices de orden mxn (m diferente de n).
En el caso de matrices cuadradas se debe tener bastante cuidado.
Ejemplo importante:
para el ejercicio anterior vemos:
A E
Obsérvese que la submatriz mayor contenida en A es:
3x3
1 1 0
A 1 2 2
1 2 3
Y su determinante es diferente de cero, por lo tanto r(A) = 3
También se nota que k = 2 (en su equivalente matriz escalonada), por lo que r(E) = 2
Sin embargo para este caso r(A) r(EA)
Excelencia Académica
62
1
OBTENCION DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR OPERACIONES ELEMENTALES
Se aplica el método de GAUSS – JORDAN.
Sea : A = [aij]mxn , => el método es:
-1(A:I) 0.E. (I:B) => B = A
Donde I es de orden “n”.
Si A es singular (|A| = 0) ocurre que uno de los elementos de la diagonal principal de “I”
que aparece en (I:B) es cero, por lo que dicha matriz nunca será identidad, ya que no
existe A-1
Propiedades:
1) (AB)-1 = B-1A-1
2) (A-1)t = (At)-1 , Es de una matriz cuadrada no singular.
Ejercicio: Hallar A-1 si:
3 5A
2 4
Solución:
1 2 2 1
3 5 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1f f f 2f
2 4 0 1 2 4 0 1 0 2 2 3
3 52 21
1x 2 1 1 22
5 52 2
2 1 13 32 2
1
0 2 2 3 0 1 1 1 0 2f f f f f
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 2 1 0 2f f 1f
0 1 1 0 1 1
2 5 / 2A
1 3 / 2
Ejercicio de aplicación: Hallar el determinante de la matriz A de orden “n”
Excelencia Académica
63
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 3 2 2A
2 2 2 4 2
2 2 2 2 n
Solución:
Hacemos 3 2 4 2 5 2 n 2(f f ),(f f ),(f f ), (f f )
1 1 2multiplicamos por (-2) a la f y sumamos f a la f
1 2 2 2 2
0 2 2 2 2
0 0 1 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 (n 2)
como |A| es una matriz triangular superior
| A | 1( 2).1x2x3x...x(n 2)
| A | 2(n 2)!
Ejercicio de aplicación: Hallar el determinante de :
nxn
2 1 0 0 0
1 2 1 0 0
0 1 2 1 0A
0 0 0 0 1 2
Solución: Multiplicando: 1 2 3 n1xf ,2xf ,3xf ,..., nxf
Excelencia Académica
64
1
2
3
n 1
nxn
*2 2 1
* *3 3
* *4 4
* *n n
2 1 0 0 0
2 4 2 0 0
0 3 6 3 01| A |
1x2x3...xn
0 0 0 0 2n
hallando las nuevas filas en la forma siquiente: (*)=nueva fila.
f f f
f f f
f f f
f f f
| A |
nxn
2 1 0 0 0
0 3 2 0 0
0 0 4 3 01
n!
0 0 0 (n 1)
0 0 0 (n 1)
2x3x4x...x(n 1) (n 1)!| A | (n 1)
n! n!
A n 1
1.-Halle el rango de la matriz:
1 7 6 5
1 2 5 4
1 2 3 1
4 0 0 4
2.-Halle el equivalente de matriz dada a su forma escalonada (si es posible)
3 1 6
5 0 2
6 2 12
4.2
Excelencia Académica
65
En el presente fascículo se abordaron los conceptos fundamentales para hallar
determinantes de orden superior (orden “n”)
Se presentó el método de operaciones elementales por filas o columnas, para resolver
problemas selectos.
Se puede hallar matrices equivalentes por operaciones elementales. Este entendimiento
ayudará a encontrar matrices escalonadas las cuales son la base para resolver sistemas
de ecuaciones lineales.
R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS
Editorial America 2001
C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”,
Editorial GOMEZ, Perú, 1998.
Frank Ayres JR, “MATRICES”,
Editorial McGraw-HILL, México, 1998.
Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”,
Ediciones UNI, Perú, 1992.
Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas.
Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998.
En el próximo fascículo comenzaremos con el estudio de los sistemas de ecuaciones
lineales.
Veremos el caso de ecuaciones matriciales y sus posibles soluciones, para ello será
necesario evaluar el tipo de ecuación asociado.
Excelencia Académica
66
1
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa Nº 4
Nombre_________________________________________________________
Apellidos______________________________Fecha ____________________
Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1. Calcular el determinante:
1 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 3 2 2
2 2 2 4 2
2 2 2 2 5
2. Calcular la determinante de orden n.
1 2 3 n
1 0 3 n
A 1 2 0 n
1 2 3 0
3. Calcular la determinante de la siguiente matriz de orden n.
n
3 2 0 0
1 3 2 0
A 0 1 3 0
0 0 0 3
Excelencia Académica
67
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
En este fascículo estudiaremos a las ecuaciones lineales, dándole la forma de una
ecuación matricial.
Para ello debemos analizar el tipo de ecuación lineal y sus posibles soluciones; en general
estudiares los casos:
a) Sistema consistente con una sola solución:
b) Sistema consistente con infinitas soluciones:
c) Sistema inconsistente sin solución alguna:
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Comprende y analiza ecuaciones lineales Identifica tipos de soluciones Resuelve ecuaciones
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Dado el sistema de ecuaciones lineales de “m” ecuaciones y “n” incognitas:
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
m1 1 m2 2 m3 3 mn n m
a x a x a x .... a x b
a x a x a x .... a x b(1)
a x a x a x .... a x b
Es equivalente a la ecuación matricial
Excelencia Académica
68
1
11 12 1j 1n 1 1
21 22 2 j 2n 2 2
i1 i2 ij in i i
m1 m2 mj mn n m
a a a a x b
a a a a x b
(2)a a a a x b
a a a a x b
O también: AX = b A es de orden mxn
X es de orden nx1
B es de orden mx1
OBSERVACIONES:
1) Como (1) es equivalente a (2) entonces cualquier solución de (1) lo será también
de (2) y viceversa
2) Una solución del sistema es una determinada cantidad de números
1 2 3 nx ,x ,x , ,x , para los que se satisfacen las ecuaciones propuestas.
3) La matriz A se denomina matriz de coeficientes del sistema.
4) La matriz Aa = [A:b] de orden mx(n+1) se denomina “matriz aumentada” o “matriz
ampliada” del sistema, y obedece a la siguiente estructura.
11 12 1j 1n 1
21 22 2 j 2n 2
ai1 i2 ij in i
m1 m2 mj mn m
a a a a b
a a a a b
A A ba a a a b
a a a a b
5) Si el sistema (1) tiene uno o mas soluciones se le denomina consistente, caso
contrario será inconsistente.
CASOS:
a) Sistema consistente con una sola solución:
2 3 5
3 8 2
x y
x y
Excelencia Académica
69
OE
b) Sistema consistente con infinitas soluciones:
2 3 2
6 9 6
x y
x y
c) Sistema inconsistente sin solución alguna:
2 2
2 5
x y
x y
Si en el sistema (1) b1 = b2 = b3 == bn = 0 , el sistema se llamará
homogéneo, si por lo menos uno de los bi es distinto de cero se
llamará no homogéneo.
PROPIEDADES:
1) Los sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si sus respectivas matrices
aumentadas son equivalentes. O sea el sistema AX = b es al sistema BX = c si y
solo si:
bAAa cBBa
2) Dado el sistema de ecuaciones lineales (2) o sea AX = b la matriz aumentada de
coeficientes es: Aa = [A|b] y la matriz escalonada correspondiente a Aa es:
Ea = [EA|Eb] (matriz escalonada de la matriz aumentada de la matriz de coeficientes
del sistema).
Por lo tanto se tendrá que los sistemas de ecuaciones AX = b y EAX = Eb , son
equivalentes; lo que quiere decir que posee las mismas soluciones.
Esta propiedad sugiere que para resolver un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo debe llevarse a la matriz ampliada y luego a
Excelencia Académica
70
1
la forma escalonada de esta, y a partir de dicha forma deducir las soluciones.
Ejercicio:
Aplicando la teoría anterior. Halle las soluciones del sistema de ecuaciones lineales:
3x 2y z 5
2x 3y 2z 4
y 3z 6
Solución: AX = b EAX = Eb
a a A
3 2 1 5
A 2 3 2 4 llevando A a E por O.E
0 1 3 6
1 2 1 2
3 2 3
2 1 55 111 2 3 3 3 33 31 35 8 2f 2 3 2 4 f 2f 0 f3 3 33 5
0 1 3 6 0 1 3 6
2 1 5 2 1 51 13 3 3 33 358 82 20 1 f f 0 1 f5 5 5 5 7
0 1 3 6 7 280 1 5 5
2 11 3 380 1
bA
EE
2y z 5x+5 3 3 33 z=4
8z2 2 y y=-65 5 55x=70 0 1 4 z 4
5.1
1. Resuelve las siguiente ecuaciones:
5x y z 1
5x 2y 8z 2
2x 3y z 3
Excelencia Académica
71
2. Resuelve 2x 3y z 1
4x 6y 2z 2
7x 3y 3z 3
RANGO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
1) Una condición necesaria y suficiente para que el sistema (1) sea consistente es que
el rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la matriz aumentada, o
sea:
ar(A) = r(A )
2) Si el sistema es consistente se presenta los siguientes casos:
a) Que el sistema tenga una única solución para cada incógnita. Ello ocurre si
el número de incógnitas es igual la rango de la matriz aumentada, es decir,
como el sistema tiene “n” incógnitas y es consistente:
b) ar(A) = r(A ) = n (una solución)
c) Que el sistema tenga infinitas soluciones ello ocurre si el número de
incógnitas es mayor que el rango de la matriz aumentada. Es decir como el
sistema tiene “n” incógnitas es consistente (se supone que r(A) = r(Aa) = k,
tendrá mas de una solución si:
ar(A) = r(A ) = k < n (más de una solución)
(n – k ) incógnitas tomarán valores arbitrios, llamándoseles variables
libres, variables independientes o parámetros.
3) Si: r(A) diferente r(Aa) el sistema es consistente .
Ejercicio:
Resolver con la teoría dada en el ejercicio anterior:
Excelencia Académica
72
1
3 2 5
2 3 2 4
3 6
x y z
x y z
y z
Solución:
A
2 11 3 33 2 18A 2 3 2 E 0 1 5
0 1 3 0 0 1
A
a a
a
r(E ) r(A) 3
ademas se tiene:
r(A ) r(E ) 3 n 3
r A r A n 3
Entonces el sistema tendrá solución única
Ejercicio: Resolver el sistema: 6 4 2 2
5 3 3 2
7x+4 5 2
x y z
x y z
y z Solución:
Ax b
1 2 2 1a
12 3 12
6 4 2 2 1 1 1 0
5 3 3 2 f f 5 3 3 2 f 5fA
7 4 5 3 7 4 5 3
1 1 1 0 1 1 1 0
0 2 8 2 f 0 1 4 1 f 7f
7 4 5 3 7 4 5 3
3 3 a
1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 4 1 f 3f 0 1 4 1 E
0 3 12 3 0 0 0 0
ar(A) r(A ) 2 k n 3
Excelencia Académica
73
Sistema consistente con “n” soluciones. (n – k) = 3 – 2 = 1 (Una variable será parámetro “t”)
A b
AX b
E X E
1 1 1 x 0
0 1 4 y 1
0 0 0 z 0
x y z 0 x 1 3t y 4z 1
y 4t 1
z t
REGLA DE CRAMER
En el sistema de ecuaciones lineales con “n” ecuaciones y “n” incognitas.
11 1 12 2 13 3 1n n 1
21 1 22 2 23 3 2n n 2
n1 1 n2 2 n3 3 nn n n
a x a x a x .... a x b
a x a x a x .... a x b
a x a x a x .... a x b
Equivalente a la ecuación matricial: Ax b
Si A es no singular ( A 0 ) entonces existe A-1 y el sistema tiene solución única, dada
por: 1x A b
Forma Práctica:
El sistema sólo tiene solución si: A 0 , y la solución viene dada por:
ii
Ax , i 1,2,3, ,n
A
Ai es la matriz obtenida con origen en A reemplazando la columna “i” de A por la matriz
“b”.
Así:
Excelencia Académica
74
1
1
2
12 1n
22 2n1
n2 nnn
a a
a a
b
a a
bA
b
11 12
21 22
1
2
n
n
n1 n2
a a
a aA
a
b
b
ba
Utilice la forma práctica para resolver ecuaciones cuyas variables no sean mayores a 4 incógnitas; en caso contrario realizará demasiadas operaciones.
Ejercicio de aplicación:
2x y 3z 6
x y 4z 10
y z 2
Solución: (aplicando regla de cramer )
1) det(A)=
2 1 3
1 1 4
0 1 1
2 1 3
1 1 4
(-2-3+0) - (0-8+1) = -5 - (-7) = 2
A 2
detc1=
6 1 3
10 1 4
2 1 1
6 1 3
10 1 4
detc2=
2 6 3
1 10 4
0 2 1
2 6 3
1 10 4
Excelencia Académica
75
(-6-30+8) - (-6-24+10) = -28 - (-20)= -8 (20+6+0)-(0+16+6) = 26 - (22) = 4
detC3=
2 1 6
1 1 10
0 1 2
2 1 6
1 1 10
= (-4-6+0) - (0-20+2) = -10 - (-18) = 8
Luego:
1 2 3
8X -4, x 2, x 4
24
X 2
1
5.2
1. Aplicando la regla de cramer, resuelve:
2x y 5z w 5
x y 3z 4w 1
3x 6y 2z w 8
2x 2y 2z 3w 2
Ejercicios de aplicación: Hallar la solución del sistema:
x y 2z 3
x 5y z 4
3x 2y z 5
2x y 3z 2
Solución: Por matriz aumentada:
Excelencia Académica
76
1
2 1
3 1
4 1 1
5 1 2 5
F FF 3FF F ( 1)FF 2F F F
a
1 . 1 2 2 1 1 2 3 1 1 2 3
1 5 1 4 0 4 3 7 0 1 10 11
A 3 2 1 5 0 1 5 4 0 1 5 4
1 3 5 6 0 2 7 9 0 2 7 9
2 1 3 2 0 3 7 4 0 3 7 4
43
5 24 2
11FF
1315F 3FF 2F
1 1 2 3 1 1 2 3
0 1 10 11 0 1 10 11
0 0 1 1 0 0 1 1
0 0 13 13 0 0 1 1
0 3 7 4 0 0 37 37
del sistema tenemos: z 1 ; y 10z 11 y 10 11 y 1 y
x y 2z 3 x 1 2 3 x 2 Resolver el sistema de ecuaciones
-x1 + x2 + 2x3 + x4 = 4 2x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 2 3x1 - 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 - x2 + x3 - x4 = 5
Solución:
2 1
3 1
4 1
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4F 2F2 2 1 3 2 0 0 5 5 10
F 3F3 3 1 3 3 0 0 7 6 15
F F1 1 1 1 5 0 0 3 0 9
2 1
1 3 1
4 1
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4F 2F0 0 5 5 10 0 0 5 5 10
( 1) F F 3F0 0 7 6 15 0 0 1 6 3
F F0 0 3 0 9 0 0 3 0 9
2 43
4 3
1 1 2 1 4 1 1 2 1 4F 5FF ( 1/ 3) 0 0 5 5 10 0 0 0 5 5
0 0 1 6 3 0 0 0 6 6F F
0 0 1 0 3 0 0 1 0 3
Excelencia Académica
77
1 4
3 2
1 1 0 1 2F (F )2 0 0 0 5 5
0 0 0 1 1F F
0 0 1 0 3
x3 = 3 x4 = -1 x1 - x2 – x4 =2 x1 = 1 + x2 Asignando x2 = r x1 = 1 + r x2 = r x3 = 3 x4 = -1 Resolver el sistema de ecuaciones x1 - 2x2 + 2x3 - x4 = -14 3x1 - 2x2 - x3 + 2x4 = 17 2x1 + 3x2 - x3 - x4 = 18 2x1 - 5x2 + 3x3 - 3x4 = -26 Solución:
2 1
3 1
4 1
1 2 2 1 14 1 2 2 1 14F 3F3 2 1 2 17 0 8 7 5 59
F 2F2 3 1 1 18 0 7 5 1 46
F 2F2 5 3 3 26 0 1 1 5 2
2 3 3 4
1 2 2 1 14 1 2 2 1 14
0 1 2 4 13 0 1 2 4 13F F F 7F
0 7 5 1 46 0 0 12 36 60
0 1 1 5 2 0 1 1 5 2
1 2
3 2 132
142
1 2 2 1 14 1 1 0 3 1F FF F 0 1 2 4 13 0 1 2 4 13
F0 0 12 36 60 0 0 1 3 5
F0 0 3 9 13 0 0 1 3 5
2 4
1 4
1 1 1 0 6F 2F 0 1 0 2 3
0 0 1 3 5F F0 0 1 3 5
Excelencia Académica
78
1
4 3
1 1 1 0 6
0 1 0 2 3F F
0 0 1 3 5
0 0 0 0 0
x1 - x2 + x3 = -6 x1 = -x4 + 2 x2 - 2x4 = 3 x2 = 2x4 + 3 x3 -3 x4 = -5 x3 = 3x4 - 5 Asignando un valor para x4 = r x1 = 2 - r x2 = 3 + 2r x3 = 3r - 5 x4 = r
En este fascículo se estudio las ecuaciones lineales no homogéneas.
Además se utiliza el procedimiento de la matriz equivalente para hallar su matriz ampliada
y luego su forma escalonada para resolver cualquier matriz (ecuación) de “n” variables.
Se busca demostrar si es una ecuación consistente o inconsistente.
R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS
Editorial America 2001
C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”,
Editorial GOMEZ, Perú, 1998.
Frank Ayres JR, “MATRICES”,
Editorial McGraw-HILL, México, 1998.
Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”,
Ediciones UNI, Perú, 1992.
Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas.
Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998.
Excelencia Académica
79
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
En el siguiente fascículo se continuará con el estudio de las ecuaciones, pero se analizará
el caso de las matrices homogéneas, es decir los términos bij = 0.
Nº 5 Nombre_________________________________________________________
Apellidos______________________________Fecha ____________________
Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1. Resolver e indicar el número de soluciones
3x + 2y + z = 5
2x + 3y + z = 1
2x + y + 3z = 1
2. Resolver el sistema:
9
1
7
0
1300
1221
3213
1111
4
3
2
1
x
x
x
x
3. Calcular el valor de “k” para que el sistema:
x (1 k)y 0
(1 k)x ky 1 k
(1 k)x (12 k)y (1 k)
Sea compatible 4. Resolver el sistema
x y 3z 1
2x y 2z 1
x y z 3
x 2y 3z 1
Excelencia Académica
80
1
Excelencia Académica
81
SISTEMA DE ECUACIONES HOMOGENEO
En el fascículo anterior se definió los conceptos sobre ecuaciones lineales no homogéneas.
Estos principios básicos rigen también para ecuaciones homogéneas debido a que sólo
cambian los bij, los cuales se hacen cero.
En este fascículo estudiaremos sus aplicaciones más importantes y sus métodos de
desarrollo.
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Reconoce ecuaciones lineales homogéneas. Resuelve ecuaciones homogéneas Interpreta métodos de solución
Sistema de Ecuaciones Lineales Homogéneos En el sistema de “m” ecuaciones, con “n” incógnitas:
11 1 12 2 13 3 1n n
21 1 22 2 23 3 2n n
m 1 1 m 2 2 m 3 3 m n n
a x a x a x .... a x 0
a x a x a x .... a x 0
a x a x a x .... a x 0
Es equivalente a la ecuación matricial: Ax 0 OBSERVACIONES: 1) El sistema siempre tiene por lo menos una solución (denominada solución trivial),
de la forma:
1 2 nx x x 0
Excelencia Académica
82
1
Por ello es consistente y ar A r A
2) Una condición para que el sistema tenga más que una solución es:
ar A r A k , en este caso el sistema posee soluciones diferentes de la nula
llamadas no triviales. Para hallarlas se aplica el método utilizado en las ecuaciones
lineales no homogéneas.
3) Si: ar A r A k n , el sistema posee una única solución, la cual es la
trivial.
4) Si en el sistema: m = n, una condición para que el sistema tenga soluciones no
triviales es que A 0 , ya que en este caso: r A n.
Dado que siempre ar A r A , en un sistema homogéneo
entonces para solucionarlo se aplica el mismo método utilizado en un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo, con la diferencia de que en lugar de trabajar con Aa se hace con A.
Ejercicio de aplicación: Resolver 6x 4y 2z 0
5x 3y 3z 0
x y z 0
Solución: A 0
A
1 2 2 1
12 3 12
E
6 4 2 1 1 1
A 5 3 3 f f 5 3 3 f 5 f
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 2 8 f 0 1 4 f f 0 1 4
1 1 1 1 1 1 0 0 0
x y z 0
y 4z 0
Excelencia Académica
83
Como: Ar A r E 2 n 3
Sea: z = t
z t
y 4t
x 3t
Ejercicio de aplicación:
Hallar el valor de k, de manera que el siguiente sistema lineal homogéneo tenga
soluciones no triviales:
(1- k)x y - z 0
2x - ky - 2z 0
x - y - (1 k)z 0
Solución:
Para que tenga soluciones no triviales, el determinante de la matriz de los coeficientes
debe valer cero
1 k 1 1 k 1 1k 2 1 1
2 k 2 0 k 2 k k1 (1 k) k 2
1 1 (1 k) k 1 (1 k)
= - k [k + k2 – 2] – k [– 2 – k] = 0
- k [k + k2 – 2 – 2 – k] = - k [k2 – 4] = 0 k = 0, k = 2; k = -2
Ejercicio de aplicación:
Indicar un valor irracional de “a” para el sistema homogéneo
ax y z 0
x (a 1)y z 0
x y az 0
Tiene soluciones no triviales
Excelencia Académica
84
1
SOLUCION Usando sólo la matriz de coeficientes:
2 11 3
23 1
a 1 1 1 1 a f f 1 1 af xf
1 a 1 1 1 a 1 1 0 a 1 a
1 1 a a 1 1 f af 0 1 a 1 a
1 2
2
2 2 23 2
a 11 0 a
1 1 a af f1f 1 a 1 a
0 1 0 1aa a
f (a 1)f0 1 a 1 a 1 a (a 1)
0 0a
Si el sistema homogéneo de tres variables (n=3) tiene soluciones distintas de la trivial entonces la características de la matriz de coeficientes debe ser: r < 3 y para esto:
2
2 2(a 1)1 a 0 (a 1)(a 2a 1) 0
a
Luego 2a 1 a 2a 1 0
Como a Q (irracionales), entonces de: 2a 2a 1 0
a 1 2
6.1
Resolver
1.
x y z w 0
x 3y 2z 4w 0
2x z w 0
Existen dos tipos de soluciones, en forma escalonada: m=n, Esto es, hay tantas ecuaciones como incógnitas. Entonces el sistema tiene solución única.
Excelencia Académica
85
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
m<n, Esto es, hay menos ecuaciones que incognitas. Entonces podemos asigna arbitrariamente a las (n - m) variables libres y obtener una solución del sistema
En este fascículo se estudió los sistemas de ecuaciones homogéneos, los cuales por su
forma los elementos ijb 0 .
Sus métodos de resolución son similares a las ecuaciones lineales no homogéneos.
R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS
Editorial America 2001
C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”,
Editorial GOMEZ, Perú, 1998.
Frank Ayres JR, “MATRICES”,
Editorial McGraw-HILL, México, 1998.
Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”,
Ediciones UNI, Perú, 1992.
Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas.
Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998.
En el siguiente fascículo se abordarán las aplicaciones de las matrices, buscando definir
los valores propios para hallar vectores propios linealmente independientes. Estos generan
espacios vectoriales unidimensionales
Nº 6
Nombre_________________________________________________________
Excelencia Académica
86
1
Apellidos______________________________Fecha ____________________
Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1. Resolver
x 2y 3z 2w 0
3x 7y 2z 4w 0
4x 3y 5z 2w 0
2. Resolver
x 2y z 0
2x 5y 2z 0
x 4y 7z 0
x 3y 3z 0
3. Dado el sistema de ecuaciones lineales: y + az + bt = 0 -x + cz + dt = 0 ax + cy – et = 0 bx + dy + ez = 0
que condiciones deben satisfacer las constantes a, b, c, d y e para que el sistema tenga
dos variables arbitrarias o libres.
Excelencia Académica
87
MATRICES
DIAGONALIZABLES En este fascículo estudiaremos las matrices susceptibles a ser diagonalizadas y sus
diversas aplicaciones para hallar espacios vectoriales.
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Halla valores y vectores propios Reconoce matriz semejante
Matrices Diagonalizables
VALORES Y VECTORES PROPIOS
La definición de valores y vectores propios, se obtiene a partir del siguiente problema
general:
“Dada una matriz A de orden nxn, encontrar todos los números reales tal que la
ecuación matricial: AX = X tenga soluciones X diferentes a la trivial (no nulas).
Solución:
AX = X……….(1) AX - X = 0 (A - I)X = 0…….(2)
11 12 1n 1 1
21 22 nn 2 2
n1 n2 nn n n
a a a x x
a a a x x......................(1 )
a a a x x
Equivalente a:
Excelencia Académica
88
1
11 12 1n 1
21 22 nn 2
n1 n2 nn n
a a a x
a a a x0......(2 )
a a a x
Debe obtenerse X de orden nx1.
La ecuación 2 es una ecuación homogénea, que tendrá soluciones diferentes a la
trivial, si y solo si: |A – I| = 0, es decir:
11 12 1n
21 22 nn
n1 n2 nn
a a a
a a aA I 0..........(3)
a a a
De todo lo anterior se obtiene las siguientes conclusiones:
Se observa que una solución inmediata (trivial) del sistema
AX = X es X = 0, en cuyo caso es cualquier número real.
El determinante de la matriz es (A – I) es un polinomio de grado “n” en , (ya
que siendo la matriz A de orden “n”, aparece en cada fila y columna de la
diagonal de (A – I). Desarrollando |A – I| se obtiene el llamado polinomio
característico y viene representado por :
n n-1 n11 22 33 nn|A- I| = P( ) = - (a +a +a + + a ) + +(-1) |A|
A la ecuación |A - I| = 0, aparecida anteriormente se le conoce por “ecuación
característica de A” y viene representado por:
n n-1 n11 22 33 nn - (a +a +a + + a ) + +(-1) |A|=0
Como la ecuación característica es de grado “n”, entonces se tendrá en total
“n” raíces: 1, 2, 3,… n. Para cada una de estas raíces el sistema 2
tendrá soluciones distintas de la trivial, donde las “n” raíces
1, 2, 3,… n, son reales.
A los valores de que satisfacen la ecuación característica se les llama valores
propios de la matriz A.
A las soluciones asociadas a cada valor propio según 2 se les llama vectores
propios correspondientes a dicho valor propio.
Excelencia Académica
89
DEFINICIONES:
1) Asociados con cada vector propio se tiene un “conjunto de vectores propios” de los
cuales nos interesan aquellos que son linealmente independientes, ya que ellos
generan un espacio vectorial y por lo tanto, constituyen una base para dicho
espacio vectorial.
2) En realidad se puede decir que el número de variables libres o independientes que
existen al resolver la ecuación (A – I) X = 0, para cierto valor de , nos dará el
número de vectores propios linealmente independientes, y por lo tanto indicara la
dimensión del espacio vectorial asociado.
Ejercicio de aplicación:
Hallar los valores y vectores propios de:
0 0 0
A 0 0 0
0 0 0
Solución:
1
2
3
0 0 0 0 0
| A I | 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
Respuesta:
Se tiene por valor propio único 0 (de multiplicidad 3)
Entonces hallando los vectores propios:
(A – I) X = 0
AX = 0
(A – 0I) X = 0
AX = 0
r(A) = 0 < n = 3 (infitas soluciones)
número de variables libres = 3 – 0 = 3
tomando el sistema: AX = 0 ……..(1)
Excelencia Académica
90
1
sea:
1
2
3
x
X x
x
Entonces de la ecuación (1) se obtiene:
1
2
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0 0 0 x
0 0 0 x 0
0 0 0 x
0x 0x 0x 0
0x 0x 0x 0
0x 0x 0x 0
0x 0x 0x 0
Como hay tres variables independientes se puede hacer que sean:
1
2
3
x r
x s r,s, t R
x t
Entonces se tendrá:
r r 0 0
x s 0 s 0
t 0 0 t
Se tiene entonces que el vector propio solución es:
r
x s
t
De ella encontramos los vectores propios linealmente independientes.
Ejemplo: sea
Excelencia Académica
91
1 2 3
r=1, s=t=0; s=1, r=t=0; t=1, r=s=0
1 0 0
x 0 ; x 1 ; x 0
0 0 t
Los cuales generan un espacio vectorial tridimensional (R3)
Cualquier vector que sea combinación de la base encontrada 1 2 3x rx sx tx ,
también será un vector propio.
Ejercicio:
Hallar los valores y vectores propios, si:
2 4A
4 8
Solución:
2 4 0A I 0
4 8 0
1
2
2 40
4 8
(2 )(8 ) 16 0
0valores propios
10
Con: 1 = 0
(A - I)X = 0
AX = 0
1
2
11 2 1 A2
2 4 x0
4 8 x
2 4 1 2 1 2A f f 4f E
4 8 4 8 0 0
r(A) = r (EA) = 1 < n = 2
variables independientes = 2 – 1 = 1
EAX = 0
Excelencia Académica
92
1
1
2
x1 20
x0 0
x1 + 2x2 = 0 0x1 + 0x2 = 0
x1 + 2x2 = 0 sea: x2 = t
=> x1 = -2t El vector propio será:
1
2
2t 2xx t
t 1x
Para t = 1, hallamos el vector propio independiente:
2x
1
Para hallar los vectores linealmente independientes se hace:
2 0x
0 1
Esto genera un espacio vectorial unidimensional. Geométricamente será una recta que pasa por el origen y que tiene como vector
direccional a( 2,1) ya que:
x = 0 + t(-2,1)
Con 2 = 10
1
2
1
2
x2 40
x4 8
x8 40
x4 2
Excelencia Académica
93
2
2
1 12 21
2 1 2 1 (A I)8
(A I)
8 4 1 1(A I) f f 4f E
4 2 4 2 0 0
E X 0
r(A – 2I) = r(
2(A )E ) = 1 < n = 2
variables independientes =2 – 1 = 1
1
2
1 2
11 x2 0x0 0
1x x 0
2
Si: x1 = t x2= 2t el vector propio será:
1
2
x t 1X t
x 2t 2
Para t = ½ hallamos el vector propio independiente:
12X1
Ello genera un espacio vectorial unidimensional. Geométricamente será una recta que pasa por el origen de coordenadas y que tiene
por vector direccional 1
a( ,1)2
Espacio vectorial unidimensional.
Si X es un vector propio asociado a un valor propio , entonces tX (t ≠ 0) es también un vector propio asociado al mismo valor propio .
Excelencia Académica
94
1
PROPIEDADES DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS Sea A una matriz con valores propios i , entonces:
1) Los vectores propios correspondientes a valores propios diferentes, son linealmente
independientes.
2) La traspuesta de A tiene los mismos valores propio que A
3) La matriz kA tiene los valores propios k i.
4) La matriz Ak, donde k Z+ tiene los valores propios ki .
5) Si A es una matriz no singular (|A| 0), entonces A-1 tienes valores propios 1
i .
6) La matriz (A + kI) tiene los valores propios ( i + k).
7) Si f(x) es un polinomio en X, entonces f(A) denota la matriz obtenida al remplazar X
por la matriz cuadrada A.
Si i es un valor propio de A entonces f( i ) es un valor propio de f(A).
8) Si i es un valor propio de A, entonces i
| A |
es un valor propio de la matriz adj(A)
Demuestre propiedad (7)
Sea n n 1
n n 1 1 0f (x) a x a x ... a x a , un polinomio de coeficientes reales,
entonces n n 1
n n 1 1 0f (x) a A a A ... a A a I
Como: AX = iX
n n 1n n 1 1 0
n n 1n n 1 1 0
n n 1n i n 1 i i 0
n n 1n i n 1 i 1 i 0
i
[f (A)]X [a A a A ... a A a I]X
[f (A)]X a A X a A X ... a AX a IX
[f (A)]X a X a X ... a X a X
[f (A)]X a a ... a a X
[f (A)]X f ( )X
La matriz f(A) tiene los valores propios f( i) (con el mismo vector propio de A)
Ejercicio: Calcule los valores y vectores propios de A y f(A) si
Si : 35 6A ;f (A) A 3A 2
3 2
Solución: AX = X
AX –X = 0
Excelencia Académica
95
(A – I))X = 0 ……….(1)
| A – I | = 0
5 60
3 2
(5 – )(2 – ) – 18 = 0
2 - 7 – 8 = 0
(8– )( + 1) = 0
1 = 8 ; 2 = -1
Con 1 = 8
(A – 8I)X = 0
E(A – 8I)X = 0 …………..(2)
11 2 1 (A 8I)3
3 6 1 2 1 2[A-8I]= f f 3f E
3 6 3 6 0 0
1(A I)r E 1 2 n (una variable libre)
En la ecuación (2):
1
2
x1 20
x0 0
x1 – 2x2 = 0
sea: x1 = t x 2 = t/2
tx t
2
Con: t = 1 1
x 1
2
Con: 2 = -1
En la ecuación (1)
(A + I)X = 0
E(A+I)X = 0……….(3)
1
1 2 16 A I
6 6 1 1 1 1A I f f 3f E
3 3 3 3 0 0
En la ecuación (3)
Excelencia Académica
96
1
1
2
x1 10
x0 0
x1 + x2 = 0 x1 = -x2 Sea : x1 = t; x2 = -t
tX
t
para : t 1
1X
1
Valores y vectores propios de f(A) f(A)X = f( i)X 1 = 8 f( 1) = 83+3(8) – 2 = 534 2 = -1 f( 2) = (-1)3+3(-1) – 2 = -6
Respuesta:
Valores propios
1= 534
2= -6
cuyos vectores propios son los mismos que A:
1 2
1 1x ; x1 12
MATRICES SEMEJANTES Definición.-
Dos matrices cuadradas A y B de orden “n”, son semejantes si existe una matriz no
singular “P” tal que:
-1B = P AP
Ejercicio:
Las matrices
1 0 0
A 1 2 0
1 0 3
y
1 0 0
B 0 2 0
0 0 3
Son semejantes, ya que cumple con la condición anterior
Excelencia Académica
97
Con
2 0 0
P 2 1 0
1 0 1
y 1
1/ 2 0 0
P 1 1 0
1/ 2 0 1
7.1
1. Demuestre el ejercicio anterior
Si A y B son de orden “n”. Traza (AB) = Traza(BA)
PROPIEDADES:
1) Si A es semejante a B, entonces Traza (A) = Traza(B)
2) Si A es semejante a B, entonces |A| = |B|
a) Si no se sabe nada acerca de las matrices A y B, y ocurre que la
Traza (A) = Traza(B); entonces no puede asegurarse que A es
semejante a B.
b) De igual modo, si |A| = |B|, no puede asegurarse que A es semejante
a B.
c) El uso de las propiedades (1) y (2) es por negación. Si Traza (A)
(B) ó |A| |B|; A no es semejante a B.
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS
Sean A, B y C de orden “n”, entonces:
1) Toda matriz A es semejante consigo misma.
Excelencia Académica
98
1
2) Si A es semejante a B, entonces B es semejante a A.
3) Si A es semejante a B y B a C, entonces A es semejante a C.
MATRICES DIAGONALIZABLES Definición.-
Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz P no
singular, tal que:
P-1AP = D; donde D es una matriz diagonal. En este caso se dice que P
diagonaliza a A y A es semejante a D.
Continúa fascículo siguiente.
En este fascículo estudiamos la forma de obtener valores y vectores propios. Así como
matrices semejantes. Los cuales Generan espacios vectoriales.
LARSON, Roland E., HOSTETLER, Robert P. y EDWARDS, Bruce H.
Cálculo y Geometría Analítica,
Volumen 1 y 2, 6ª edición, Editorial McGraw-Hill.
R. Figueroa . G. “MATEMÁTICAS BÁSICAS
Editorial America 2001
C. Saal R, “MATEMÁTICAS BÁSICAS II”,
Editorial GOMEZ, Perú, 1998.
Frank Ayres JR, “MATRICES”,
Editorial McGraw-HILL, México, 1998.
Espinosa R, “MATRICES Y DETERMINANTE”,
Ediciones UNI, Perú, 1992.
Aponte, Gladis. Fundamentos de Matemáticas Básicas.
Editorial Addi-son Wesley Segunda Edición,1998..
Excelencia Académica
99
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
STEIN, Sherman K., BARCELLOS, Anthony, Cálculo y Geometría Analítica, Volumen 1 y 2,
Editorial McGraw-Hill.
PURCELL, Edwin J., VARBERG, Dale, Cálculo con Geometría Analítica, Sexta Edición,
Edición actualizada, Prentice-Hall Hispanoamericana, SA.
En el siguiente fascículo definiremos la forma de diagonalizar matrices y casos
aplicativos a las formas cuadráticas.
Nª 7
Nombre_________________________________________________________
Apellidos______________________________Fecha ____________________
Ciudad _______________________________Semestre_____________________
1. Dados las matrices
1 2A
3 4
y
1 0 2
B 3 2 5
6 7 2
Demostrar si son semejantes
2. Halle los valores y vectores propios de
5 4A
1 1
3. Halle los valores y vectores propios de
5 6B
3 2
4. Halle los valores y vectores propios de
3 10C
1 3
Excelencia Académica
100
1
Excelencia Académica
101
Matrices Diagonalizables (Segunda Parte)
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante: Diagonaliza matrices Aplica matrices a la Geometría Vectorial
APLICACIÓN DE MATRICES A LA GEOMETRIA VECTORIAL Sea: 1 2 3 nv , v , v ,..., v
un conjunto de “n” vectores, donde cada vector iv
esta en Rm, o
sea, cada vector iv
, tiene “m” componentes y por lo tanto será de la forma:
i 1 2 3 nv v , v , v ,..., v
, donde 1 i n . Se presentan los siguientes casos, en la
construcción de matrices a partir de vectores:
a) Si los vectores iv
, se consideran como vectores columnas de una matriz A,
entonces se tiene: b)
11 12 1n
21 22 2n1 2 n mxn
m1 m2 mn mxn
v v v
v v vv v v
v v v
(Notese que cada vector representa una columna de la matriz A)
b) Si los vectores iv
se consideran como vectores fila de una matriz de una matriz B,
entonces se tiene:
111 12 m1
21 22 m2 2
1n 2n mn nxm n nxm
vv v v
v v v v
v v v v
Excelencia Académica
102
1
TEOREMA FUANDAMENTAL Una matriz A se orden nxn es diagonalizable (y por lo tanto semejante a una matriz
diagonal), si y solo si tiene “n” vectores propios linealmente independientes.
DEMOSTRACION:
Si A es una matriz diagonalizable, entonces existe una matriz P no singular tal que P-
1AP = D, donde D es una matriz diagonal.
Sean:
11 12 1n 1
21 22 nn 2
n1 n2 nn n
P P P d 0 0
P P P 0 dP y D
P P P 0 0 d
De: P-1AP = D se llega a: AP = PD………..(1)
11 12 1n 1
21 22 2n 2
n1 n2 nn n
P P P d 0 0
P P P 0 dPD
P P P 0 0 d
1 11 2 12 n 1n
1 21 2 22 n 2n
1 n1 2 n2 n nn
d P d P d P
d P d P d PPD
d P d P d P
Sean: 1 2 nP ,P , ,P
, los vectores columna de P (matrices columna), entonces ( )
puede expresarse como :
1 1 2 2 n nPD d P d P d P
Asimismo sean: 1 2 na ,a , ,a
, los vectores fila de A (matrices fila), entonces:
Excelencia Académica
103
11 12 1n 11 12 1n
21 22 2n 21 22 2n
n1 n2 nn n1 n2 nn
1
21 2 n
n
a a a P P P
a a a P P PAP
a a a P P P
a
aAP p p p
a
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
n 1 n 2 n n
a P a P a P
a P a P a PAP
a P a P a P
Como 1 2 na ,a , ,a
, son los vectores fila de la matriz A, vemos que los vectores
columna de ( ), se pueden expresarse como:
1ervector columna : AP1
2do vector columna : AP2
sucesivamente.
Luego ( ) puede expresarse como:
1 2 nAD = [AP AP AP ]
Llevando los equivalentes de y en (1)
AP = PD
1 2 n 1 1 2 2 n nAP AP AP d P d P d P
De donde:
A 1P
= d1 1P
; A 2P
= d2 2P
; …; A nP
= dn nP
; …..
Como P es no singular |P| 0, implica que los vectores columnas de P son diferentes
de cero. Deduciendo que los di de , son valores propios de A, y 1 2 nP ,P , ,P
son
los vectores propios correspondientes. NOTA:
Excelencia Académica
104
1
1. Semejanza de matrices, si:
B = P-1AP => A es semejante con B
2. Si : A ~ B y
B ~ C, donde C = D (matriz diagonal)
A ~ C
3. A es diagonal si:
P-1AP = D
A y D son semejantes
B es diagonal si:
P-1AP = D;
B y D son semejantes.
Igualmente |A| 0 implica que ninguno es múltiplo o combinación lineal de las otras,
en consecuencia 1 2 nP ,P , ,P
, son vectores propios linealmente independientes.
DEMOSTRACION DE REGRESO
Si A tiene “n” vectores propios linealmente independientes; 1 2 nP ,P , ,P
, las columnas
del producto AP son: 1 2 3 nAP , AP , AP ,..., AP
, pero: i i iAP P , i 1,2,3,..., n
, cuya:
1 2 3 n
1 1 2 2 3 3 n n
AP AP ,AP ,AP ,...,AP
AP P , P , P ,..., P
1 11 2 12 n 1n
1 21 2 22 n 2n
1 n1 2 n 2 n nn
11 12 1n 1
21 22 2n 2
n1 n2 nn n
P P P
P P PAP
P P P
P P P 0 0
P P P 0AP
P P P 0 0
AP PD
D es una matriz diagonal cuyos elementos son los valores propios de A, y como los
vectores propios de la columna de P, son linealmente independientes.
=> |P| 0
Excelencia Académica
105
AP = PD
P-1AP = D
A (matriz diagonalizable y semejante a D)
COSNTRUCCION DE LA MATRIZ “P” QUE DIAGONALIZA A LA MATRIZ “A” 1. Calcular los valores propios de A (A de orden n).
2. Obtener los respectivas “n” vectores propios linealmente independientes (para
asegurar que exista
P-1)
3. Construir P (de orden nxn) de modo que cada vector propio encontrado en (2) es
una matriz columna de P.
4. Tendrá sus elementos (que en realidad son los valores propios) en el mismo orden
que aparecen los vectores propios.
Ejercicio de aplicación:
Averiguar si son semejantes A y B.
3 4 4 2A B
5 6 11 5
Solución: Con la matriz A Paso I (A – I)X = 0 por lo tanto |A - I| = 0
1
2
3 40
5 6
(3 )(6 ) 20 0
9 89
2
9 89
2
Paso II
Excelencia Académica
106
1
Con: 1 = 9 89
2
(A – I)X = 0
1
9 893 4
2| A I |6 9 89
52
1
1
|A I|
(A I)
81
E 3 890 0
R 1 2 n
Número de variables libres = 2 - 1 = 1
1
2
21
1 2
1
81 x 0
3 89x 0
0 0
8xx 0
3 89
3 89Si : x t x t
8 sea : t 8
18
x t x3 893 89
8
2
2 2
9 89con :
2(A I)X 0 | A I | 0
Resolviendo queda:
2(A I)
81
E 3 890 0
Excelencia Académica
107
Número de variables libres = 2 – 1 = 1
1
2
21
1
2
81 x
03 89x
0 0
8xx 0
3 89Si : x t
89 3x t
8
Sea t = 8
1 2
18
x t x85 389 3
8
Paso III
8 8P
3 89 89 3
Hallando P-1
1
89 3 1
48 6P89 3 1
48 6
P-1AP = D
3 89 18 83448 6 D
56 3 89 89 33 89 1
48 6
49 3 89 15 898 848 12 D
3 89 89 349 3 89 15 89
48 12
A y D son semejantes con la matriz B B y D son semejantes: si D = D1 =>A y B son semejantes
Excelencia Académica
108
1
PROPIEDADES COMPLEMENTARIAS DE LAS MATRICES SEMEJANTES
Sean A, B, P matrices de nxn.
1. Sean A ~ B, entonces A y B tienen los mismos valores propios.
2. Si una matriz A tiene “n” vectores propios diferentes, entonces es diagonalizable.
3. Dos matrices A y B que tiene los mismos valores propios no son semejantes si una
de ellas es diagonalizable y la otra no.
4. Si A es semejante a B y si X es un vector propio de B; entonces PX es un vector
propio de A.
Los valores propios repetidos (de una multiplicidad dada) no generan vectores propios linealmente independientes
Ejercicio de aplicación:
Siendo A semejante a B. Halle los vectores propios de A aplicando la propiedad
complementaria (4). Si:
1
1 12 1 2 4 1 1 2 2B A P P0 7 5 3 1 1 1 1
2 2
Solución:
Hallando los vectores propios de B.
|B – I| = 0
1
2
2 10
0 7
( 2 )(7 ) 0
2 0 2
7 0 7
Con: 1 = -2
1(B - I)E = 0
Excelencia Académica
109
( B I )1
1 1 2 1
E
2 2 1 0 1 0 1 0 1B I f x( 1) f 9f
0 7 2 0 9 0 9 0 0
r(1(B I)E ) = 1 < 2 = n
Una variable libre (n – k)
1
2
x0 1 0
x0 0 0
1 20x 0x 0
1
2
x tx
x 0
Sea: 1
2
x t
x 0
Para: t 1
1
1x
0
Con: 2 = 7
2(B I)E X 0
B I2
2 1
E
112 7 1 9 1 1 9B I f0 7 7 0 0 9 0 0
r(2(B I)E ) = 1 < 2 = n
Una variable libre
1
2
11 x 09x 00 0
21
xx 0
9
sea: x1 = t; x2= -9t
1
2
x tX
x 9t
Para: t = 1
2
1x
9
Hallando los vectores propios de A para 1 = -2
Excelencia Académica
110
1
1
1 1 1 1Px
1 1 0 1
para 2 = 7
2
1 1 1 8Px
1 1 9 10
TEOREMA DE CAYLEY – HAMILTON
Se basa en la ecuación característica de una matriz A y establece: Si A es una matriz
cuadrada P( ) = 0 es una ecuación característica, entonces P(A) = 0 (matriz nula)
donde: 0A I
Ejercicio: Comprobar el teorema dado para A:
3 2A
1 5
Solución: |A - I| = 0
3 20
1 5
(3 – )(5- ) - 2 = 0 , P( ) = 0 P( ) = 2 – 8 + 13 = 0 P(A) = 0
P(A) = A2 – 8A + 13
0
I
A = 0
3 2 3 2 3 2 1 08 13 0
1 5 1 5 1 5 0 1
11 16 24 16 13 0 0 0
8 27 8 40 0 13 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Ejercicio de aplicación:
Excelencia Académica
111
Halle A-1 para el A anterior, usando el A anterior usando el teorema en mención.
Solución:
P(A) = A2 – 8A + 13I
A2 – 8A = -13I
A-1A(A – 8I) = -13IA-1
(A – 8I) = -13A-1
A-1 = 1
13 (A - 8I)
1
5 213 131
3113 13
3 2 8 01A
1 5 0 813
5 21A
1 313
DIAGONALIZACION DE UNA MATRIZ SIMETRICA
Definiciones.- MATRIZ ORTOGONAL. Se llama matriz ortogonal a toda matriz que cumple:
tA.A = I
BASE ORTONORMAL. Los vectores columna (o fila) de una matriz ortogonal forman
una base ortonormal. Se llamará base ortonormal en definitiva a aquellos cuyos
vectores son ortogonales y normales (o sea unitarios).
DIAGONALIZACION ORTOGONAL. Una matriz cuadrada A es diagonalizable
ortogonalmente si existe una matriz P, ortogonal, tal que :
tP AP D
Donde: D es una matriz diagonal. En este caso se dirá que P diagonaliza a la matriz A
ya que A es semejante a D.
Debe observarse que una matriz diagonalizable ortogonalmente, únicamente si es
simétrica, tA A
Demuestre:
t t t tP AP D P(P AP)P PDP
Solo si A es simétrica:
Excelencia Académica
112
1
t
tt t
t tt t
t t t
A PDP
A PDP
A P PD
A PD P
PROPIEDADES 1) Si A es una matriz simétrica los vectores propios asociados a valores propios
diferentes, son ortogonales entre si. Por ejemplo si en la resolución de un problema
dado se halla tres valores propios diferentes los cuales generan sendos vectores
propios x1 x2 y x3 respectivamente; ellos serán ortogonales entre si, puesto que:
t t t1 2 2 3 2 3x x 0, x x 0, x x 0
2) Si una matriz simétrica tiene valores propios de multiplicidad “k”, entonces
asociados con dicho valor propio se encuentran “k2 vectores propios linealmente
independientes
Una matriz simétrica A de orden nxn siempre tiene “n” vectores propios linealmente independientes. Si uno de sus valores propios es de multiplicidad k < n y los otros valores propios son diferentes, entonces asociados con el valor propio de multiplicidad k, existen k vectores propios linealmente independientes, mientras que asociados con los otros valores propios diferentes existen vectores que son ortogonales entre si y ortogonales a los vectores propios que provienen del valor propio de multiplicidad k. Para soslayar cualquier problema inherente a lo explicado, estudiaremos lo siguiente:
PROCESO DE GRAM – SCHMIDT
Este proceso llevará a la construcción de un conjunto de vectores mutuamente
ortonormales (ortogonales y unitario), dado un conjunto de vectores linealmente
independientes. Como consecuencia ayudará a obtener siempre los “n” vectores
propios en una matriz simétrica que sean mutuamente ortogonales.
Excelencia Académica
113
TEOREMA (Ortogonalización de GRAM – SCHMIDT)
Sea: {x1, x2, x3,…, xn} un conjunto de vectores linealmente independientes en Rn, con
el producto escalar definido en la forma usual. Entonces se puede construir un
conjunto ortonormal de vectores {U1, U2, U3,…, Un}, tal que para cada i con 1 i n ,
generan todo espacio de una dimensión Rn , al igual que el conjunto {x1, x2, x3,…, xn}.
Primero se forma un conjunto ortogonal de vectores {v1, v2, v3,…, vn} y luego se las
normaliza; porque:
11
1
vU
| v |
PASOS: 1) Vi debe se un múltiplo de xi para que genere el mismo espacio, así: v1 = x1
Luego: 11
1
vU
| v |
2) Se elige el segundo vector x2 y se le extrae un múltiplo de v1 , así por ejemplo:
v2 = x2 – r1u1, donde r1,es elegido de forma U1 y v2 sean ortogonales. Luego:
0 = U1 v2 = U1(x2 – r1U1)
= U1 x1 - r1U1 U1
r1 = U1 x2
v2 = x2 – (U1x2)U1
22
2
vU
| v |
Como x1 y x2 son combinaciones lineales de de U1 y U2; y viceversa entonces generan el mismo espacio
3) Análogamente se construye v3 , sustrayendo un múltiplo de v1 y v2 del tercer vector
dado x3 , así :
v3 = x3 – r2U2 – r1U1 donde r2 y r1 se determinan de forma que v3 sea ortogonal a
v2 y v1.
Excelencia Académica
114
1
Luego: 0 = U2v3
0 = U2(x3 – r2U2 – r1U1)
0 = U2x3 – r2 (U2 U2) – r1(U2U1)
0 = U2x3 – r2
U2 U1 = 0 ; U2 U2 = 1
r2 = U2x3
Luego:
0 = U1v3
0 = U1(x3 – r2U2 – r1U1)
0 = U1x3 – r2(U1 U2) – r1(U1U1)
0 = U1x3 – r1
r1 = U1x3
v3 = x3 – (U2x1)U2 – (U1x3)U1
33
3
vU
| v |
4) Generalizando:
Vk = xk(Uk -1xk)Uk – 1 – (Uk-2xk)Uk – 2 - … -(U1xk)U1
kk
k
vU
| v |
Ejercicio de aplicación:
Obtener un conjunto ortonormal de vectores a partir del conjunto de vectores:
1 2 3
1 2 1
1 1 2x x x
1 1 2
1 1 1
Solución:
1) Se toma: v1 = 1
1
1x
1
1
2) Se hace 2v = x2 – r1v1
Excelencia Académica
115
de modo que: v1 2v = 0 = v1 (x2 – r1v1)
v1 v2 = 0 = v1x2 – r1(v1 v1)
1 21
1 1
v x 1r
v v 4
Donde: t
1 2 1 2
t1 1 1 1
v x se interpreta como v x (producto matricial)
v v v v
2 2 1
94
31 4v x v
344
34
2
3
1v
1
1
(v2 sigue la dirección de 2v , ya que para la construcción del conjunto ortonormal, lo
que interesa son los vectores unitarios; y, v2 y2
2v y tienen el mismo vector unitario)
3) Sea 3v = x3 – r2v2 – r1v1, de modo que:
v2 3v = 0 = v 2x3 – r2(v2v2) – r1(2 1
0
v v )
2 32
2 2
v x 1r
v v 2
v1 3v = 0 = v 1x3 – r2(1 2
0
v v
) – r1(v1 v1)
1 31
1 1
v x 1r
v v 2
Excelencia Académica
116
1
3 3 2 1
3 3
1 1v x v v
2 20
1v v
1
2
v1, v2 y v3 son ortogonales. Para formar lo pedido de normaliza
1 21 2
1 2
33
3
1 3
1 1v 1 v 1U ; U ;
1 1| v | 2 | v | 2 3
1 1
0
1v 1U ;
1| v | 6
2
Conjunto ortonormal {U1, U2 , U3} CONSTRUCCION DE LA MATRIZ ORTOGONAL P QUE DIAGONALIZA ORTOGONALMENTE A LA MATRIZ SIMÉTRICA A (de orden n)
tP AP = D
D es matriz diagonal Como P es una matriz ortogonal, sus vectores columna forman una base ortonormal.
Para construir la matriz P, se sigue el proceso dado para construir la matriz que
diagonaliza a la matriz A, cuidando que de que los vectores columna P, sean
ortogonales entre si y unitarios. (normales).
a) Si la matriz simétrica A de orden “n” tiene “n” valores propios diferentes, entonces
los vectores propios que se obtienen son ortogonales entre si. Para construir la
matriz ortogonal P, lo único que falta es normalizar a dichos vectores propios. Los
elementos de la diagonal de la matriz D son los valores propios de A, en el mismo
orden en que aparecen los vectores columna que fueron originados por los vectores
propios.
Excelencia Académica
117
b) Si la matriz simétrica A (de orden n) tiene un valor propio (o mas) de multiplicidad k
(k < n), y los otros valores propios son diferentes se tiene que:
1.- Para cada valor propio de multiplicidad k se obtiene k vectores propios
linealmente independientes, los cuales se ortogonalizan (o si se desea se
ortonormalizan) de acuerdo al proceso de Gram Schmitt.
2. Para valores propios diferentes se obtienen vectores propios ortogonales entre
si (y ortogonales a los vectores propios de uno). Se procede a normalizar los
vectores propios obtenidos y se construye la matriz ortogonal P.
Ejercicio: Diagonalizar ortogonalmente la siguiente matriz.
3 1 0 0 0
3 1 0 0 0
A 0 0 2 1 1
0 0 1 2 1
0 0 1 1 2
I. Calculo de valores propios 3 1 0 0 0
3 1 0 0 0
| A I | 0 0 2 1 1
0 0 1 2 1
0 0 1 1 2
2
3 0 0 0 1 0 0 0
0 2 1 1 0 2 1 1| A I | (3 )
0 1 2 1 0 1 2 1
0 1 1 2 0 1 1 2
2 1 1 2 1 1
| A I | (3 ) 1 2 1 1 2 1
1 1 2 1 1 2
|A – I| = 2 3 33 2 2 3(2 ) 2 2 3(2 )
|A – I| = 2 33 1 (2 ) 2 3(2 )
Excelencia Académica
118
1
|A – I| =2 3(4 )(2 )(4 9 6 )
|A – I| = 2 3 2
Factorizando(Rufinni)
( 4) (2 )( 6 9 4)
2 2A I ( 4) (2 )( 1)
Valores propios:
1
2
3
4
1
2
II. Calculo de vectores propios
Con: 1 = 4 (de multiplicidad de 2)
1
2 1
1
3
14 13
4
5 3
1 1 0 0 0( 1)f1 1 0 0 00 0 0 0 0f f *1 1 0 0 0
1 10 0 1(A I) 0 0 2 1 1 1 2 2f
3 30 0 1 2 1 2 0 0 0 2 20 0 1 1 2 f f * 0 0 1 1 2
1 1 0 0 0
0 0 0 0 03
f 1 10 0 12 2 2f f
5 4
2 3 3 4
1 1 0 0 0
0 0 0 0 03 1 1f f 0 0 1 2 22
0 0 0 1 1 0 0 0 1 13 30 0 0 0 0 0 0 02 2
1 1 0 0 0
1 10 0 1 2 2f xf f xf0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
(A I)
1 1 0 0 0
1 10 0 1 2 2E0 0 0 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
R(A – I)= 3 < 5 = n Número de variables libres = 5 – 3 = 2 E(A – I)X= 0
Excelencia Académica
119
1
2
3
4
5
1 2
3 4 5
4 5
1 1 0 0 0 x1 10 0 1 x2 2
x 00 0 0 1 1x0 0 0 0 0x0 0 0 0 0
x x 0.................(1)
1 1x x x 0..........(2)
2 2x x 0.....................(3)
Sea x1 = r => x2 = r de (1) Sea x4 = s x4 = x5 = s de (3) De (2)
3
3
1 1x s s
2 2x s
r r 0
r r 0
X s 0 s
s 0 s
s 0 s
1 0
1 0
X r s0 1
0 1
0 1
Con r = 1, s = 0 Con r = 0, s = 1
1 2
1 0
1 0
x ; x0 1
0 1
0 1
Con: 2 = 1(de multiplicidad 2)
Excelencia Académica
120
1
1
2
2 1
2
4 3
5 3
1 1 2 0 0 02 1 0 0 031 0 0 0 01 2 0 0 0 2f
2(A I) 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1f f *0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
0 0 1 1 1 0 0 1 1 1
11 0 0 02 2f3 0 1 0 0 0
f f * 0 0 1 1 1
f f * 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
2(A I)E
r(A – 2I) = 3 < 5 = n número de variables libres = 5 – 3 = 2 E(A – I)X = 0
1
2
3
4
5
11 0 0 0 0 x2x0 1 0 0 0 0x 00 0 1 1 1 1x0 0 0 0 0 0x0 0 0 0 0 0
1 2
2
3 4 5
1x x 0...........(1)
2x 0...................(2)
x x x 0..........(3)
(2) en (1)
x1 = 0
sea x4 = r; x5 = s
de (3)
x3 = - (r+s)
0 0
0 0
x (r s) r s
r r
s s
0 0
0 0
x r s1 1
1 0
0 1
Excelencia Académica
121
Con r = 1, S = 0 Con r = 0, s = 1
3 4
0 0
0 0
x x1 1
1 0
0 1
Ortogonalizando por Gram Schnitt
4 4 3
3 4 3 4 3
3 4 3 33 3
t3 4 3 4
t3 3 3 3
v x rv0
v v v (x rv ) 00
v x rv v 0v x 1
1 v x v xr
0 v v v v
t3 4
0
0
v x 0 0 1 1 0 11
0
1
t3 3
0
0
v v 0 0 1 1 0 21
1
0
1r
2
4 4 3
4
v x rv
00 000 0
1 1v 1 1 220 1 1
21 0 1
Por (2)
4
0
0
v 1
1
2
Excelencia Académica
122
1
Con 3 = 2
3 2 1 2 4
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
(A I) f f f xf0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
5 3 3 2
4 5
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
f xf f f0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
f xf f0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
4 3
4
f
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 1 0 11
f0 0 0 1 1 0 0 0 1 12
0 0 0 0 2 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
r(A – 3I) = 4 < 5 = n número de variables libres 5 – 4 = 1
3A IE X 0
1
2
3
4
5
1 2 4 5
3 5 3
4 5 1
5 2
x1 1 0 0 0
x0 0 1 0 1
x 00 0 0 1 1
x0 0 0 0 1
x0 0 0 0 0
x x 0 x x 0
x x 0 x 0
x x 0 sea : x s
x 0 x s
Excelencia Académica
123
con : s 1s
1s
1x 0
x 00
00
0
Como: x1 = v1; x2 = v2; no fue necesario ortogonal izar pues son independientes uno del otro
P = [U1 U2 U3 U4 U5 ]
2 2 2 2 2i
1
2ii
i 3
4
5
v 1 1 0 0 0
| v | 2
| v | 3vU
| v | | v | 2
| v | 6
| v | 2
1 10 0 02 2
1 10 0 02 2
1 1 10 0P3 2 6
1 1 10 03 2 6
1 20 0 03 6
PtAP = D
En el presente fascículo se abordaron los conceptos fundamentales sobre la diagonalización de matrices. Para ello se definió valores y vectores propios, además de presentar espacios vectoriales.
Excelencia Académica
124
1
Autoevaluación formativaAutoevaluación formativaAutoevaluación formativa
En este fascículo se da por finalizado el estudio de las matemáticas básicas que involucran
el cálculo matricial y sus diversas aplicaciones en el campo de la ingeniería.
Nº 8
Nombre_________________________________________________________
Apellidos______________________________Fecha ____________________
Ciudad _______________________________Semestre__________________ 1. Diagonal izar ortogonalmente la siguiente matriz
3 1 0 0 0
1 3 0 0 0
A 0 0 2 1 1
0 0 1 2 1
0 0 1 1 2
2. Obtener un conjunto orto normal de vectores, a partir del conjunto de vectores
( 1, 1, 1, -1 )t ; ( 2, -1, -1, 1 )t ; ( -1, 2, 2, 1 )t