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UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA
FAUSTO PINHEIRO DA SILVA
Matematica Basica
Medianeira - PR
2013
Sumario
Introducao 2
1 Soma, Adicao, Multiplicacao e Divisao de numeros Racionais 3
1.1 Mnimo Multiplo Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Adicao e Subtracao de numeros Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Multiplicacao e Divisao de fracoes por fracoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Tabela de Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Classificacao dos numeros reais 8
2.1 Numeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Numeros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Numeros Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Numeros Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Numeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Notacoes 11
3.1 Formas de representar um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Conjunto unitario, vazio e igualdade de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Subconjunto e Inclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Intervalos reais 14
4.1 Eixo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ii
5 Potenciacao 17
5.1 Definicao de Potenciacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Raiz n-esima de a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Equacao e Inequacao do 1o Grau 21
6.1 Resolucao de equacao do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2 Inequacao do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7 Produto Notaveis 24
7.1 Produto da soma pela diferenca de dois numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.2 Quadrado da soma e quadrado da diferenca de dois numeros . . . . . . . . . . . . . 24
7.3 Racionalizacao de denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.4 Fatoracao de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8 Equacao do 2o Grau 27
8.1 Resolucao de equacao do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.2 Completar Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.3 Fatoracao de Polinomios do Terceiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9 Modulo 32
9.1 Definicao de Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.2 Propriedades dos Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.3 Desigualdades e Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
10 Equacao Exponencial 37
10.1 Resolucao de equacao exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.2 Inequacao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11 Logaritmo 41
11.1 Definicao de Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.2 Propriedades dos Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
11.3 Equacao Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
iii
11.4 Inequacao Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12 Trigonometria 48
12.1 Trigonometria no Triangulo Retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
12.2 O radiano, unidade de medida de arco e angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
12.3 A medida da circunferencia em radianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
12.4 Extensoes dos conceitos de seno e co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
12.5 Metodo grafico para a resolucao de uma equacao Trigonometrica . . . . . . . . . . . 55
12.6 Metodo grafico para a resolucao de inequacoes de seno e co-seno . . . . . . . . . . . 57
12.7 Extensao do conceito de Tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12.8 Metodo grafico para a resolucao de equacao de tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 64
12.9 Metodo grafico para a resolucao de inequacoes de tangente . . . . . . . . . . . . . . 66
13 Respostas 69
Bibliografia 71
Introducao
2
Captulo 1
Soma, Adicao, Multiplicacao e Divisao
de numeros Racionais
Vamos relembrar algumas operacoes basicas como adicao, substracao, multiplicacao e divisao
de fracoes e para isto comecamos determinando a mnimo multiplo comum.
1.1 Mnimo Multiplo Comum
Definicao 1.1. Dados dois ou mais numeros, diferentes de zero, denomina-se mnimo multiplo
comum (m.m.c.) desses numeros o menor de seus multiplos comuns, diferente de zero.
Tecnicas para o calculo do M.M.C.
1o) Decompoe-se cada numero em seus fatores primos.
2o) Calcula-se o produto dos fatores comuns e nao comuns, cada um deles elevado ao maiorexpoente.
O produto assim obtido sera o m.m.c. procurado.
Exemplo 1.2. Calcular m.m.c.(60,24).
Resolucao
3
60 2 24 2 60 = 22 3 530 2 12 2 24 = 23 315 3 6 2
5 5 3 3 m.m.c(60, 24) = 23 3 5 =1 1 = 8 3 5 = 120
De modo pratico, as decomposicoes podem ser feitas simultaneamente, pois desta maneira ja
se obtem os fatores comuns e os fatores nao comuns com o maior expoente.
Exemplo 1.3. Calcular m.m.c.(8,10).
Resolucao
8, 10 2
4, 5 2
2, 5 2
1, 5 5
1, 1
m.m.c.(8, 10) = 23 5 = 8 5 = 40
Definicao 1.4. Quando as fracoes tem o mesmo denominador, mantem-se o denominador comum
e somam-se ou subtraem-se os numeradores.
Exemplo 1.5. Efetue adicao:
a)5
8+
2
8b)11
4 5
4Resolucao
a)5
8+
2
8=
5 + 2
8=
7
8
b)11
4 5
4=
11 54
=6
4=
3
2
1.2 Adicao e Subtracao de numeros Racionais
Definicao 1.6. Quando as fracoes tem denominadores diferentes, devemos, em primeiro lugar,
reduzilos ao menor denominador comum, calculando o m.m.c. para, em seguida, efetuar a adicao
ou a subtracao.
4
Exemplo 1.7. Efetue adicao:
a)3
5+
1
4b)7
8 1
4Resolucao
a)3
5+
1
4=
12
20+
5
20=
12 + 5
20=
17
20
b)7
8 1
4=
7
8 2
8=
7 28
=5
8
Observacao 1.8. Quando tivermos a expressao mista da forma 3 +5
2podemos reescreva-la da
seguinte forma3
1+5
2e calculamos o m.m.c. de 1 e 2 para podermos efetuar a adicao ou subtracao.
1.3 Multiplicacao e Divisao de fracoes por fracoes
Definicao 1.9. Para multiplicar uma fracao por outra, deve-se multiplicar o numerador da pri-
meira fracao com o numerador da segunda e o denominador da primeira fracao com o denominador
da segunda fracao.
Exemplo 1.10. Efetue a multiplicacao:
a)4
3 14
b)4 35
Resolucao
a)4
3 14=
4 13 4 =
4
12b)4 3
5=
4
1 35=
4 31 5 =
12
5
Definicao 1.11. Para se dividir uma fracao por outra, deve-se multiplicar o dividendo pelo inverso
do divisor.
Exemplo 1.12. Simplifique as seguintes expressoes numericas:
a)
5
83
4
b)
3
52
c)34
5Resolucao
a)
5
83
4
=5
8 3
4=
5
8 43=
5
6
b)
3
52=
3
5 2 = 3
5 12=
3
10
c)34
5
= 3 45=
3 54
=15
4
5
Exemplo 1.13. Determinar o valor da expressao numerica
1
2+
2
3
1 18
.
Resolucao1
2+
2
3
1 18
=
3
6+
4
68
8 1
8
=
7
67
8
=7
6 7
8=
7
6 8
7=
8
6=
4
3.
1.4 Tabela de Sinal
O quociente de dois numeros inteiros, com o segundo diferente de zero, e obtido dividindo-se o
modulo do dividendo pelo modulo do divisor e:
se o dividendo e o divisor tem o mesmo sinal, o quociente e positivo,
Dividendo Divisor Quociente
+ + +
+se o dividendo e o divisor tem sinais diferentes, o quociente e negativo.
Dividendo Divisor Quociente
+ +
1)O m.m.c dos numeros 12,24 e 144 e:
a)12 b)288 c)144 d)24
2)Dados tres numeros mpares, distintos, pode-
se afirmar que:
a)o m.m.c. entre eles e sempre par;
b)o m.m.c. entre eles pode ser par;
c)o m.m.c. entre eles e sempre o produto dos
tres;
d)o m.m.c. entre eles e sempre mpar.
3)Sejam os numeros A = 23 32 5 e B =2 33 52; entao, m.m.c.(A,B) e igual a:a)2 32 5 c)23 33 52b)23 33 5 d)23 32 524)Calcule (resolver de preferencia sem usar cal-
culadora):
6
a)1
4 1 f)3
4 1
b)2
3+
4
5+
1
5g)1
2+
3
4
c)3
2 1
3+
4
3h) 2
9+
2
7 3
4
d)1 +3
4i)3 2
5
e)7
8 1 j) 1
2 1
5)Determine os seguintes produtos:
a)1
7 1
3c)2
5 3
b)3
10 113
d)2 38
6)Calcule o valor de :
a)3
2 9
5=
3
29
5
b)1
2 2
5=
1
22
5
c)3
2 2 =
3
82
d)4 25=
42
5
7)Determine o valor das expressoes numericas:
a)
2
3+
1
4
1 +3
8
c)
2
3 34
2 32
b)
2
3 3
54
6+
5
7
d)2
5+
5
7 10
7
8) Determine soma (resolver de preferencia sem
usar calculadora):
a)(5 2) + 3 f)6 7 + 9b) 1 3 g) (5 1) + 2c) (7 + 1) 1 h) 2 + 3 + 7d) (2) 3 i) 7 (4)e) 3 + (9) j)(4) + 2
7
Captulo 2
Classificacao dos numeros reais
Neste captulo pretendemos deixar clara a diferenca entre tipos de conjuntos numericos e a
relacao de inclusao que existe entre eles.
2.1 Numeros Naturais
Indica-se por N o conjunto dos numeros naturais e por N o conjunto dos numeros naturais
nao nulos:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...},N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...}.
2.2 Numeros Inteiros
Indica-se por Z o conjunto dos numeros inteiros e por Z o conjunto dos numeros inteiros nao
nulos:
Z = {...,4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, ...},Z = {...,4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, , ...}.
2.3 Numeros Racionais
Indica-se por Q o conjunto dos numeros racionais e por Q o conjunto dos numeros racionais
nao nulos:
Q ={ab
| a Z e b Z},
8
Q ={ab
| a Z e b Z}.
NZ
Q
Exemplo 2.1. a) O numero decimal 3,7 e racional, pois pode ser representado como a razao entre
dois inteiros:37
10.
b) No numero decimal 2,5555... o algarismo 5 se repete indefinidamente. Esse
numero e chamado de dzima periodica de parte inteira 2 e perodo 5. Para representa-lo sob a
forma de razao entre dois inteiros:
indica-se por g a dzima periodica; g = 2, 5555...
multiplicam-se por 10 ambos os membros dessa igualdade: 10g = 25, 5555...
efetua-se 10g g = 25, 5555... 2, 5555..., obtendo 9g = 23, portanto, g = 239.
A fracao23
9e chamada de geratriz da dzima periodica.
Nota
O conjunto dos numeros racionais e formado por todos os numeros decimais finitos e todas as
dzimas periodicas.
2.4 Numeros Irracionais
Dentre os numeros decimais existem as dzimas nao-periodicas, que sao numeros com infi-
nitas casas decimais e nao-periodicos. Esses numeros sao chamados de irracionais, e o conjunto
formado por eles e indicado por I, isto e,
I = {x| x e dzima nao-periodica}
9
Exemplo 2.2. Exemplos de numeros irracionais
pi = 3, 1415926535 5, 12122122212222...,2,
3
2.5 Numeros Reais
Qualquer numero racional ou irracional e chamado de numero real. As relacoes entre os
conjuntos numericos ate agora apresentados podem ser resumidos pelo diagrama:
NZ Q
R
II
1) Achar as geratrizes das seguintes dzimas:
a)0, 444...
b)0, 313131...
c)0, 324324...
d)4, 242424...
e)9, 513513...
2) Dados os numeros a seguir, determine:
2; 10; 0, 9; 82; 21;
4;1
4; 30; e; 3
8; 0; 3;
72; 1 +
3; 0, 333...; i; 42; 2
a) Os numeros naturais;
b) Os numeros inteiros;
c) Os numeros racionais;
d) Os numeros irracionais;
e) Os numeros que nao sao reais.
3) Os numeros 23,4,8 e 5, 33 sao res-
pectivamente:
a) racional, complexo, inteiro e racional;
b) racional, complexo, natural e real;
c) real, irracional, natural e racional;
d) real, irracional, natural e irracional;
e) racional, imaginario, inteiro e irracional.
4) Classifique em verdadeiro ou falso:
( ) A soma de numeros irracionais pode ser um
numero racional;
( ) O produto de numeros irracionais pode ser
numero racional;
( ) A soma de um numero racional com um
irracional e um numero racional;
( ) O produto de um numero racional com um
numero irracional e sempre irracional.
10
Captulo 3
Notacoes
Pretendemos neste captulo famializar os leitores com alguns smbolos que sao muitos usados
na linguagem matematica, como conjunto vazio, pertence, 6 nao pertence, representacao de umconjunto e a relacao de inclusao de conjuntos.
3.1 Formas de representar um conjunto
Um conjunto pode ser representado de tres maneiras como vemos nos exemplos abaixo.
1. Por enumeracao de seus elementos.
A = {a, e, i, o, u}B = {2, 4, 6, 8, ...}
2. Por descricao de uma propriedade caracterstica do conjunto.
A = {x / x e vogal do nosso alfabeto}B = {x / x e par e positivo}
3. Atraves de uma representacao grafica.
a ou
e i
A
11
3.2 Conjunto unitario, vazio e igualdade de conjuntos
Um conjunto e unitario se possui um so elemento.
Notacao : {a}
Um conjunto e vazio se nao possui elementos.
Notacao : { } ou
Dois conjuntos sao iguais quando tem os mesmos elementos.
Exemplo: A={a,b,c,d,e} e B={e,c,d,a,b}. Logo A=B.
3.3 Subconjunto e Inclusao
O conjunto A e um subconjunto do conjunto B, se todo elemento de A for elemento de B.
para indica uma relacao de inclusao entre dois conjuntos.
Simbolicamente:A B (x)(x A x B)
Graficamente:
A B
Indicamos que A e um subconjunto de B de duas maneiras:
A B (le-se: A e um subconjunto de B)B A (le-se: B contem A)
Observacao
A A, para qualquer que seja A.
A, para qualquer que seja A.
12
A 6 B,(le-se: A nao esta contido em B).
1) Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5}. As-sinale V ou F (verdadeiro ou falso) para as sen-
tencas.
a)( )A A d)( )A Bb)( )B 6 A e)( )3 Bc)( )B A f)( )B A
2) Dado o conjunto A = {0, 1, 3, {3}}. AssinaleV ou F (verdadeiro ou falso) para as sentencas.
a)( )0 A e)( ) Ab)( ){0, 1} A f)( )1 Ac)( ){3} A g)( ) Ad)( ){3} A h)( ){3} / A
3) Se A = {, 3, {3}, {2, 3}}. Classifique emverdadeiro ou falso:
a)( ){2, 3} A c)( ) A e)( ){3} Ab)( ) A d)( )3 A f)( ){3} A
4)Dados os conjuntos A = {a, b} e B ={{a}, {b}}, classifique em verdadeiro ou falso:a)( )a A e)( ){a} Bb)( )a B f)( ){b} 6 Bc)( )b 6 B g)( )A = Bd)( )b 6 A h)( ){b} 6 A
5) Classifique em verdadeiro ou falso:
a)( ){a, b} {a, b, {a}, {b}}b)( ){a} {a, b, {a}, {b}}c)( ){1, 2} = {2, 1}d)( )a {a, b, {a}, {b}}e)( ){a, b} {a, b, {a}, {b}}f)( )0 g)( ){a} {a, b, {a}, {b}}h)( ){a, {b}} {a, b, {a}, {b}}6) Obtenha todos os subconjuntos do conjunto
A = {p, u,m, a}.
13
Captulo 4
Intervalos reais
Abordaremos neste captulo varias formas de denotar um intervalo do eixo real e como repre-
sentar um ponto no plano cartesiano.
4.1 Eixo real
Comecaremos representando o conjunto dos numeros reais no eixo real.
0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5
o
2,7
5
1,8
1,5
225
-1,5
-1,8
-2,7
Notas
O smbolo deve ser lido infinito.
A palavra incomensuravelsignifica que nao se pode medir.
Convencoes
A bolinha cheia em um extremo do intervalo indica que o numero associado a esse extremopertence ao intervalo.
14
A bolinha vazia em um extremo do intervalo indica que o numero associado a esse extremonao pertence ao intervalo.
Subconjuntos de R Smbolo Nome Representacao no eixo real
{x R|a x b} [a, b] Intervalo fechado deextremos a e b.
a b
{x R|a < x < b} ]a, b[ Intervalo aberto deextremos a e b.
{x R|a x < b} [a, b[ Intervalo fechado a` esquerda e abertoa` direita de extremos a e b.
a b
{x R|a < x b} ]a, b] Intervalo aberto a` esquerda e fechadoa` direita de extremos a e b.
a b
{x R|x a} [a,+] Intervalo incomensuravelfechado a` esquerda em a.
a
{x R|x > a} ]a,+] Intervalo incomensuravelaberto a` esquerda em a.
{x R|x a} ], a] Intervalo incomensuravelfechado a` direita em a.
{x R|x < a} ], a[ Intervalo incomensuravelaberto a` direita em a.
a
R ],+[ Intervalo incomensuravel a .
4.2 Sistema cartesiano ortogonal de coordenadas
Para determinar um ponto de um plano, podemos fixar nesse plano dois eixos reais Ox e Oy,
perpendiculares entre si no ponto O.
O plano determinado por esses eixos e chamado de plano cartesiano.
O ponto O e a origem do sistema.
Os eixos Ox e Oy, denominados eixos coordenados, sao respectivamente, o eixo das abs-cissas e o eixo das ordenadas.
Os eixos coordenadas separam o plano cartesiano em quatro regioes denominadas quadran-tes, que devem ser enumeradas conforme a figura:
15
xy
P(5,-4)
I
Qua
dran
te
II
Qua
dran
te
Qua
dran
te
II
III
Qua
dran
teIV
SistemaCartesianoOrtogonal
eixo daordenada
eixo daAbscissa
origem
1 2 3 4
1
2
3
4
5
5-1-2-3-4-5-1
-2
-3
-4
-5
Exemplo 4.1. As coordenadas do ponto P sao 5 e -4. A abscissa e 5; e a ordenada e -4. Indicamos
esse fato por P (5,4) na ilustracao abaixo.
1)Represente no eixo real cada um dos interva-
los:
a)[5, 9] c)[1, 8[ e)[4,+[b)] 3, 5[ d)]0, 5] f)], 2[2)Represente no eixo real cada um dos conjun-
tos:
a)B = {x R| 1 x < 8 x 6= 3}b)C = {x R|2 x 6}
c)D = {x R|x 5 x 6= 8}d)E = {x R|x 5 x 6= 1}e)F = {x R|x > 3}f)G = {x R|x < 3}3)Represente no plano cartesiano os seguintes
pontos:
a)A(3, 4) c)C(4,5) e)E(0, 0)b)B(3, 5) d)D(4,4) f)F (0, 3)
16
Captulo 5
Potenciacao
Este captulo foi desenvolvido com o pensamento de formatar a ideia de produto entre mesmos
numeros, pois sabemos que 2 2 2 = 8, agora como poderiamos definir este conceito de forma adar base para todas as propriedades que envolve o conceito de potencia.
5.1 Definicao de Potenciacao
Definicao 5.1. Seja a um numero real diferente de zero (R) e n um numero natural e maior que
zero. Definimos an como sendo o produto de a por ele mesmo n vezes, ou seja:
na = a a a ... a. . .
n fatores
.
Denominamos a de base e n de expoente.
Exemplo 5.2.
a)23 = 2 2 2 = 8b)(2)3 = (2) (2) (2) = 8
c)
(2
5
)3=
2
5 25 25=
8
125
Considerando a R temos a seguinte propriedade fundamental:
am an = am+n.
17
Se quisermos definir a0 de modo a manter valida a propriedade fundamental para expoentes
negativos, devemos definir
a0 = 1.
Pois assim,
an an = an+(n) = a0 = 1.
Assim, a unica maneira de definirmos an a fim da propriedade fundamental continuar valida
e convencionar
an =1
an.
Observacao 5.3.
a0 = 1
an =1
an(se a 6= 0)
a)50 = 1
b)52 =1
52=
1
25
c)
(3
4
)2=
1(3
4
)2 = 1916
=16
9=
(4
3
)2
Inverte-se a base da potencias e troca-se o sinal do expoente:
(3
4
)2=
(4
3
)2.
Nao ha unanimidade entre os matematicos quanto a adocao do valor 1 para potencia 00.
Proposicao 5.4. Dados os numeros reais a e b,
diferentes de zero (R) e os numeros inteiros m e
n, obedecidas as condicoes de existencia, temos:
1) am an = am+n2) am : an = am+n
3) (am)n = amn
4) (a b)m = am bm
5)(ab
)m=
am
bm
Exemplos
1)53 54 = 53+4 = 572)36 : 34 = 364 = 32
3)(63)4 = 634 = 612
4)(5a)2 = 52a2 = 25a2
5)
(5
3
)2=
52
32=
25
9
18
5.2 Raiz n-esima de a
Dando continuidade, estenderemos a nocao de potencia de um numero real a > 0 de modo
a incluir expoentes racionais, ou seja, aqueles escritos na forma n =p
q, onde p e q Z e q 6= 0
(ou seja, q N). Alem disso, queremos dar essa definicao de modo a manter as propriedadesanteriores validas. Comecemos com a seguinte definicao: temos que para a R, a > 0, e n Nquaisquer, existe un unico numero real b, tambem positivo, tal que
bn = a.
Definicao 5.5. O numero b chama-se a raiz n-esima de a e e representado pelo smbolo
b = na.
Observacao 5.6. Notemos que da definicao acima fica evidente que qualquer raiz e sempre posi-
tiva. Desta forma,4 = 2 e nao
4 = 2.
Observacao 5.7. A definicao acima considera a > 0 pois estamos trabalhando com valores de n
que podem ser pares ou mpares e, no conjunto dos numeros reais, sabemos que nao existe a raiz
n-esima de a, quando a < 0 e n e um numero par. No entanto, se a = 0 e n N temos quena = 0. Tambem, se a < 0 e n N, tal que n e mpar temos que na esta bem definida e seu
resultado e um numero negativo. Por exemplo:
a) 327 = 3
b) 564 = 2
Definicao 5.8. Sendo a um numero real positivo e os numeros inteiros k e n, n 1, define-se:
akn =
nak.
Exemplo 5.9.
a)73
4 =473
b)90,5 = 91
2 =9
c)160,25 = 161
4 =4161 = 4
1
16=
1
2
Observacao 5.10. Seja a R tal que a > 0 e sejam n = pqe m =
u
v, onde p, q, u e v Z e q e
v > 0. Entao, ainda vale a propriedade
an am = an+m,
desta observacao segue as seguintes propriedades.
19
Proposicao 5.11. Dados os numeros reais a e b,
diferentes de zero (R) e os numeros inteiros m e
n, obedecidas as condicoes de existencia, temos:
1) na nb = na b
2)na
nb= na
b
3)npakp =
nak
4)( na)k =
nak
5) n
ka = nk
a
Exemplos
1) 35 32 = 35 2 = 310
2)58
52= 5
8
2= 54
3)654 =
352
4)385 = ( 3
8)5 = 25 = 32
5)3
7 = 32
7 = 6
7
1) Calcule os valores das potencias:
a)(6)2 f)50 k)028
b) 62 g)(3
2
)4l)132
c)(3)2 h)(32
)3m)(1)17
d)42 i)(2
3
)3n)
(5
3
)2e)(8)0 j)(5)3 o)
(53
)22)Obedecidas as condicoes de existencia, efetue:
a)a6 a4b)a8 a3
c)
(2ab2
c3
)2(a2c
b
)3d)
(3x2y
a3b3
)2(3xy2
2a2b2
)3
3)Efetue:
a)65 + 3
5 25 c)3 32 5 33
b)418 + 3
18 d)4
6 23
4)Calcule (resolver de preferencia sem usar cal-
culadora):
a)1 c)
0 e)
36 g)
225
b)196 d)
144 f)
121 h)
81
5)Simplifique os radicais
a) 340 d) 5
128 g)
20
9
b)80 e)
40 h) 3
27
8
c)24 f)
12 i)
18
256)Calcule o valor da expressao:
A = 81
3 +
(1
9
) 12
+ 161
4 .
7) Simplifique as expressoes abaixo:
a) na
b nab
b)
na ma n
ba
mab
8)Simplificar os radicais:
a)50 b) 3
16 c)
160
20
Captulo 6
Equacao e Inequacao do 1o Grau
As equacoes do primeiro grau sao aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+ b = 0,
em que a e b sao constantes reais, com a 6= 0, e x e a variavel.
Observacao 6.1. Adicionando um mesmo numero a ambos os membros de uma equacao, ou
subtraindo um mesmo numero de ambos os membros, a igualdade se mantem.
Observacao 6.2. Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma equacao por um mesmo
numero nao-nulo, a igualdade se mantem.
6.1 Resolucao de equacao do 1o Grau
Exemplo 6.3. Determine o numero x tal que 8x 7 = 6x+ 10.Resolucao
Subtraindo 6x de cada membro da equacao e adicionando 7 a cada membro, obtemos:
8x 6x = 10 + 72x = 17.
Dividindo ambos os membros dessa igualdade por 2, obtemos x =17
2.
Exemplo 6.4. Considerando o conjunto universo dos numeros racionais, de o conjunto solucao
da equacao.
3x
4+ 2 =
5
3+x
4.
21
Resolucao
Para facilitar a resolucao, podemos eliminar os denominadores, multiplicando ambos os membros
da equacao pelo mmc(4,3,6)=12:3x
4+ 2
12=
5
3+x
612
9x+ 24 = 20 + 2x.
Subtraindo 24 de 2x de cada membro da equacao, obtemos:
9x 2x = 20 247x = 4x = 4
7.
Assim, o conjunto solucao S da equacao e S =
{47
}.
6.2 Inequacao do 1o Grau
Inequacoes do primeiro grau sao aquelas que podem ser representadas sob a forma ax+ b > 0
(ou com as relacoes , ,, < ou , a desigualdade inverte o sentido.
Exemplo 6.8. Considerando como universo o conjunto dos numeros naturais, determine o con-
junto solucao da inequacao 5x 8 < 3x+ 12.Resolucao
Adicionando 8 a cada membro da inequacao e subtraindo 3x de cada membro, obtemos:
5x 3x < 12 + 82x < 20.
Dividindo ambos os membros da inequacao por 2, obtemos:
22
x 7
2 2t.
Resolucao
Para facilitar a resolucao, podemos eliminar os denominadores, multiplicando ambos os membros
da inequacao pelo mmc(2,6)=6:
6
(1 11t
2
)> 6
(7
6 2t
)6 33t > 7 2t.
Subtraindo 6 de cada membro da inequacao e adicionando 12t a cada membro, obtemos:
33t+ 12t > 7 621t > 1.
Dividindo ambos os membros da inequacao por -21, obtemos t < 121. O maior numero inteiro
que satisfaz essa desigualdade e o 1.
1)Determine o valor da incognita nas equacoes:
a)10x 8 = 3x+ 6b)5 + 2(3y 1) = 7y + 6c)x
8 2 = 3x
6+ x 4
2)Considerando o universo dos numeros inteiros,
determine o conjunto solucao das inequacoes:
a)9x 5(3 2x) > 7x+ 9
b)6t (5t+ 8) 1 2(5 t)3)Resolver as inequacoes no universo R.
a)2x
5 1 x
10+
3x
8
b)y 1 3y10
y2 4 + y
5
23
Captulo 7
Produto Notaveis
Neste captulo contempla alguns tipos de produtos de equacoes do 1o grau, assim como fatoracao
de polinomios.
7.1 Produto da soma pela diferenca de dois numeros
O produto da soma pela diferenca de dois numeros a e b, isto e, (a+b) (ab), e obtido atravesda propriedade distributiva:
(a+ b)(a b) = a2 ab+ ba b2
(a+ b)(a b) = a2 b2Exemplo 7.1.
a)(x+ 5)(x 5) = x2 25b)(7 + 2)(
7 2) = (7)2 4 = 3
7.2 Quadrado da soma e quadrado da diferenca de dois numeros
O quadrado da soma e o quadrado da diferenca de dois numeros a e b, isto e, (a+b)2 e (ab)2,sao desenvolvidos atraves da propriedade distributiva:
(a + b)2 = (a+ b) (a + b) = a2 + ab+ ba + b2
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
24
(a b)2 = (a b) (a b) = a2 ab ba + b2
(a+ b)2 = a2 2ab+ b2
Exemplo 7.2.
a)(x+ 3)2 = x2 + 2 x 3 + 32 = x2 + 6x+ 9b)(3t 5)2 = (3t)2 2 3t 5 + 52 = 9t2 30t+ t2
7.3 Racionalizacao de denominadores
Por exemplo, para racionalizar o denominador de2
4 +3, multiplicamos o numerador e o
denominador por 43. Observe:2
4 +3=
2 (43)(4 +
3)(43) =
2 (43)(42 ( 23)2) =
=2 (43)
16 3 =8 23
13.
7.4 Fatoracao de Polinomios
Fatorar um numero ou um polinomio significa representa-lo sob a forma de um produto. Por
exemplo:
uma fatoracao do numero 18 e 6 3;
a fatoracao completa do numero 18 e 2 3 3;
uma fatoracao do polinomio 3xy + 3xz e 3(xy + xz);
a fatoracao completa do polinomio 3xy + 3xz = 3x(y + z).
Atraves dos exerccios resolvidos a seguir, faremos uma breve revisao sobre os principais casos
de fatoracao.
1. Fator Comum - Fatorar o polinomio 4x2 + 6x3y 8x4y5.Resolucao
4x2 + 6x3y 8x4y5 = 2x2(2 + 3xy 4x2y5)
25
2. Agrupamento - Fatorar o polinomio 60x3 + 24x2 + 50x+ 20.
Resolucao
60x3 + 24x2 + 50x+ 20 =
= (60x3 + 24x2) + (50x+ 20)
= 12x2(5x+ 2) + 10(5x+ 2)
= (5x+ 2)(12x2 + 10)
3. Diferenca de dois quadrados - Fatorar o polinomio 9k2 25.Resolucao
9k2 25 = (3k)2 52 = (3k + 5)(3k 5)
4. Trinomio quadrado prefeito - Fatorar os polinomios:
a) x2 + 6xy + 9y2 b) 4t2 12t+ 9.Resolucao
a)x2 + 6xy + 9y2 = x2 + 2 x 3y + (3y)2 = (x+ 3y)2b)4t2 12t+ 9 = 2t2 2 2t 3 + 32 = (2t 3)2
1)Desenvolva cada um dos produtos da soma
pela diferenca de dois numeros:
a)(x+ 4)(x 4) c)(25 + 2)(25 2)b)(3t+ 5)(3t 5) d)(x3 2)(x3 + 2)2)Desenvolva cada um dos quadrados da soma
(ou da diferenca) de dois numeros:
a)(x+ 6)2 c)(2x+ 3y)2
b)(5t 4)2 d)(k3 7)23)Racionalize o denominador de :
a)2
3 +5
b)5
32 c)22
23 + 1
4)Colocando em evidencia o fator comum, fatore
as expressoes:
a)8ab2 + 10a2b c)2x+1 + 2x+2 + 2x
b)3t3 6t2 d)6a3b+ 12ab3 3a3b35)Agrupando os termos com fator comum, fato-
res os polinomios:
a)ac+ ad+ bc+ bd c)8y3 2y2 + 12y 3b)12x3 + 18x2 + 4x+ 6 d)ax+ ay bx by6)Fatore cada uma das diferencas de dois qua-
drados:
a)a2 b2 c)x6 y2b)x2 9 d)25p2 16q27)Fatore os trinomios quadrados prefeitos:
a)a2 + 2ab+ b2 c)x4 + 6x2y + 9y2
b)4x2 12xy + 9y2 d)9a2 + 30a+ 25
26
Captulo 8
Equacao do 2o Grau
Toda equacao da forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b e c sao numeros reais com a 6= 0, echamada de equacao do 2o grau. Quando b = 0 ou c = 0, tem-se uma equacao do 2o grau
incompleta.
Qualquer equacao do 2o grau pode ser resolvida atraves da formula:
x =b
2aem que = b2 4ac
A expressao (delta), chamada de discriminante da equacao, nos informa se a equacao tem
razes reais e, no caso de existirem, se sao iguais ou diferentes.
Observacao 8.1. Quando < 0, a equacao nao possui razes reais.
Quando 0, a equacao possui duas razes reais, sendo iguais quando = 0ou distintas quando > 0.
8.1 Resolucao de equacao do 2o grau
Exemplo 8.2. Considerando o universo dos numeros reais, resolva as equacoes do segundo grau
incompletas e completas:
a)4t2 25 = 0b)y2 + 9 = 0
c)x2 3x = 0d)5x2 3x 2 = 0Resolucao
a)Isolando o monomio em t no primeiro membro da igualdade, temos:
27
4t2 = 25
t2 =25
4
t =
25
4= 5
2
Logo, o conjunto solucao S da equacao e S =
{5
2,5
2
}b)Isolando o monomio em y no primeiro membro da igualdade, temos:
y2 = 9
Como nao existe numero real cujo quadrado e negativo, conclumos que o conjunto solucao S da
equacao e S = .
c) Fatorando o primeiro membro da equacao, obtemos:
x(x 3) = 0.
A propriedade do produto nulo garante que o produto de numeros reais e igual a zero se, e
somente se, pelo menos um dos fatores e iguais a zero. Assim, temos que: x(x 3) = 0 x =0 ou x 3 = 0, ou seja:x = 0 ou x = 3. Logo, o conjunto solucao S da equacao e S = {0, 3}.d)Identificam-se os coeficientes a, b e c, ou seja, a = 5; b = 3 e c = 2. Calcula-se o discriminante = b2 4ac = (3)2 4 5 (2) = 49.Aplica-se a formula resolutiva
x =b
2a=(3)49
2 5 =3 710
Logo, x = 1 ou x =710
.
Conclui-se, entao, que o conjunto solucao S da equacao e S =
{1, 7
10
}.
Exemplo 8.3. Fatorar o trinomio do 2o grau 5x2 3x 2 = 0.Resolucao
Inicialmente determinamos as razes do trinomio. As razes sao os numeros que atribudos a` variavel
x anulam o trinomio, isto e, 5x2 3x 2 = 0. Temos
x =(3)(3)2 4 5 (2)
2 5
x = 1 ou x = 25.
28
Podemos, entao, apresentar o trinomio na forma fatorada:
5x2 3x 2 = 5(x 1)(x
(25
))= 5(x 1)
(x+
2
5
).
Exemplo 8.4. Resolver em R a equacao2x+ 1 + 1 = x.
Resolucao
Inicialmente isola-se o radical em um dos membros da igualdade
2x+ 1 = x 1
A seguir, elevam-se ambos os membros a um expoente igual ao ndice do radical:
(2x+ 1)2 = (x 1)2
2x+ 1 = x2 2x+ 1x2 4x = 0x(x 4) = 0x = 0 ou x = 4
Quando elevamos a um expoente par ambos os membros de uma equacao, podemos estar trans-
formando em verdadeira uma sentenca que anteriormente era falsa, por exemplo, 3 = 3 e umasentenca falsa, mas, elevando os dois membros ao quadrado, obtem-se uma sentenca verdadeira,
32 = (3)2.Isto significa que os candidatos a razes, 0 e 4, podem nao ser razes da equacao original. Por isso,
devemos testar cada um deles para verificar se sao relativamente razes da equacao proposta.
Verificacao
Substituindo x = 0 na equacao, temos: 2 0 + 1 = 0 1 (Falsa!)
Substituindo x = 4 na equacao, temos: 2 4 + 1 = 4 1 (Verdadeira!)
Conclumos, entao, que apenas o numero 4 e raiz da equacao. Logo, o conjunto solucao S e
S = {4}.
8.2 Completar Quadrado
Considere o seguinte polinomio
x2 + 5x+ 4
29
Como escrever esse polinomio de modo a ficar na forma:
(x+ a)2 + b
Inicialmente, comparamos os dois polinomios
x2 + 5x+ 4 e x2 + 2ax+ a2 + b
Para que eles sejam iguais devemos ter:
2a = 5 = a = 52
a2 + b = 4 = b = 4 254
= 94
Entao,
x2 + 5x+ 4 = (x+5
2)2 9
4
8.3 Fatoracao de Polinomios do Terceiro Grau
Determine quais sao as razes do polinomios:
x3 6x2 + 3x+ 10
Para utilizar o teorema do resto temos que encontrar uma raiz do polinomio e dividir o po-
linomio por x a, onde a e uma das razes do polinomio. E pra encontrar uma raiz do polinomio,temos que dar um chute (0,1,-1,2,-2,3,-3,a
b), por que muita das vezes um polinomio do terceiro grau
nao tem razes exata. Veja que -1 e raiz do polinomio dado, pois
(2)3 6 (2)2 + 3 (2) + 10 = 0.
Dessa forma podemos dividir o polinomio por x (1), ou seja, x+ 1.Fazendo a divisao:
x - 6x +3x +10 x+1-x - x x -7x+100 -7x +3x+7x +7x
0 +10x +10-10x - 10
0 - 0
3
3 2
2
2
2
2
30
obtemos um polinomio de grau dois x2 7x + 10. Que podemos resolver usando a formula deBlaskara. Obtendo assim as outras razes do polinomio. Sendo assim, o polinomio x3 6x2+3x+10 = (x 2)(x 5)(x+ 1).
1)Considerando o universo dos numeros reais, re-
solva as equacoes do 2o grau incompletas:
a)x2 25 = 0 d)x2 7x = 0b)9y2 1 = 0 e)3y2 2y = 0c)2x2 1 = 0 f)5t2 + 2t = 02)Resolva em R as equacoes:
a)3x2 + 5x 2 = 0b)t2 6t+ 9 = 0c)2y2 3y + 2 = 0d)3
2 2
4x 4 =3
x2 13)Fatore os trinomios do 2o grau:
a)3x2 5x+ 2b)4y2 + 6y 4c)x2 x 24)Resolva em R as equacoes:
a)x2 + 27 x = x
b)x 4 + x = 6
c)x+ 8 +
x = 4
5)Complete o quadrado:
a)x2 + 6x+ 10
b)x2 + 7x+ 6
c)x2 + 10x+ 5
6)Encontre as razes do polinomio:
a)x3 + 2x2 48xb)x3 + 2x2 11x 12c)x3 5x2 x+ 57)Fatore as seguintes expressoes:
a)x3 + 6x2 + 11x+ 6
x2 + 5x+ 1
b)x3 + 2x2 11x 12
x2 2x 3
31
Captulo 9
Modulo
Num dia de inverno o termometro marcou a temperatura mnima 5oC e a maxima +6oC.Dizemos que a variacao da temperatura nesse dia foi de 11oC. Para chegarmos a esse resultado,
calculamos a diferenca entre a temperatura maxima +6oC e a mnima 5oC :
+6oC (5oC) = +11oC
O calculo abscissa maxima menos abscissa mnima da origem a` definicao de distancia
entre dois pontos do eixo real.
9.1 Definicao de Modulo
Definicao 9.1. Sejam A e B dois pontos do eixo real com abs-
cissas xa e xb, respectivamente, tal que xB xA. Chama-sedistancia entre os pontos A e B, e indica-se por dAB ou dBA,
a diferenca xB xA.
Definicao 9.2. Considere no eixo real de origem O um ponto
A de abscissa x. Chama-se modulo de x, e indica-se por |x|, adistancia entre os pontos O e A : |x| = dAO.
Note que, como |x| e a distancia entre dois pontos, tem-se que |x| e um numero real positivoou nulo. Temos entao que:
32
I o modulo de um numero positivo x e igual ao proprio x, isto e, se x > 0, entao |x| = x;
II o modulo de um numero negativo x e igual ao oposto de x (que e positivo), isto e, se x < 0,
entao |x| = x;
III o modulo de zero e igual ao proprio zero: |0| = 0.
Sintetizando as conclusoes (I), (II) e (III), podemos dar uma definicao algebrica para |x| daseguinte maneira:
|x| = x x 0 e |x| = x x 0, x, x R.
Exemplo 9.3.
a)
83 = 83
b)| 4| = (4) = +4c)|0| = 0Observacao 9.4.
1)Dois numeros negativos, o maior e o que tem menor modulo.
2)Qualquer numero positivo e maior que qualquer numero negativo.
9.2 Propriedades dos Modulos
M.1 |x| 0, x, x R.
M.2 |x| = 0 x = 0.
M.3 |x| = d x d.
M.4 |x| |y| = |xy|, {x, y}, {x, y} R.
M.5 |x|n = xn n e par, x, x R, e n N.
M.6|x||y| =
xy , {x, y}, {x, y} R e y 6= 0.
M.7 |x| = |a| x = a, {x, a}, {x, a} R.
Exemplo 9.5. Resolver em R a equacao |x 3| = 4.Resolucao
Pela propriedade M.3, sabemos que existem dois e somente dois numeros cujo modulo e igual a 4.
Sao eles: 4 e -4. Logo, temos:
33
|x 3| = 4 x 3 = 4 ou x 3 = 4x = 7 ou x = 1
Logo, S={7,-1}.
Exemplo 9.6. Resolver em R a equacao |x| |x 5| = 6.Resolucao
Pela propriedade M.4, temos x2 5x = 6 ou x2 5x = 6, entaox2 5x 6 = 0 x = 1 ou x = 6x2 5x+ 6 = 0 x = 2 ou x = 3
Logo, S = {1, 6, 2, 3}.
Exemplo 9.7. Resolver em R a equacao x2 3|x| 4 = 0.Resolucao
Pela propriedade M.5, temos que x2 = |x|2. Logo, a equacao pode ser escrita na forma:
|x|2 3|x| 4 = 0
Fazendo |x| = t, temos:t2 3t 4 = 0 t = 4 ou t = 1
Assim, |x| = 4 x = 4 ou |x| = 16 x. Logo, S = {4,4}.
Exemplo 9.8. Resolver em R a equacao |3x 1| = |2x+ 6|.Resolucao
Pela propriedade M.7, temos que:
|3x 1| = |2x+ 6| 3x 1 = 2x+ 6 ou3x 1 = 2x 6 x = 7 ou x = 1
Logo, o conjunto solucao S da equacao proposta e S = {7,1}.
9.3 Desigualdades e Modulos
Considere o eixo real de origem O:
a)Quais as abscissas x dos pontos desse eixo cujas distancias a` origem O sao menores ou iguais
a 3?
b)Quais as abscissas x dos pontos desse eixo cujas distancias a` origem O sao maiores ou iguais
a 3?
34
Para responder a essas questoes, note que os pontos de abscissa
3 e -3 distam tres unidades da origem:
Assim, temos:
a) qualquer ponto de abscissa x, tal que 3 x 3 localiza-se a uma distancia menor ou iguala 3 da origem.
b) qualquer ponto de abscissa x, x 3 ou x 3, localiza-se a uma distancia maior ou iguala 3 da origem.
Racionando dessa maneira, podemos concluir as seguintes propriedades:
M.8 |x| a a x a, a, a R+
M.9 |x| < a a < x < a, a, a R+
M.10 |x| a x a ou x a, a, a R+
M.11 |x| > a x > a ou x > a, a, a R+
Exemplo 9.9. Fixando as propriedades M.9, M.10, M.11 e M.12 com os exemplos.
a) |x| 5 5 x 5b) |x| < 4 4 < x < 4c) |x| 6 x 6 ou x 6d) |x| > 2 x > 2 ou x > 2Exemplo 9.10. Resolver em R a inequacao |3x 1| 8.Resolucao
Pela propriedade M.8, temos que:
|3x 1| 8 8 3x 1 8
Essa dupla desigualdade e equivalente a: 3x 1 83x 1 8 x 3x 7
3O conjunto solucao S do sistema e (I) (II), ou seja:
Assim, S =
{x R| 7
3 x 3
}.
35
1)Classifique cada uma das sentencas abaixo
como V ou F:
a)|8| = 8b)|0| = 0c)| 8| = 8d)|2 2| = 2 2e)|5 2| = 5 2f)| 310 2, 3| = 2, 3 310g)| 493| = 0h)|pi 3| = pi 3i)|pi 3, 14| = 0j)|pi 3, 15| = 3, 15 pik)|x| = x, x, x Rl)|x2| = x2, x, x Rm)|x3| = x3, x, x Rn) 5 |x| = | 5x|, x, x R2)Calcule os valores dos modulos:
a)||3 1, 6|+ 1, 6|b)||5 2, 4|+5|c)||12|+ |22||3)Resolva em R as equacoes:
a)|x 8| = 3b)|2x 1| = 7c)|x2 2x| = 1d)|4x2 3x| = 0
4)Resolva em R as equacoes:
a)x2 2|x| 8 = 0b)2x2 |9x|+ 7 = 05)Resolva em R as equacoes:
a)|3x 1| = |1 2x|b)|x2 3x| = |x|c)|x2 5x| = |x 5|6)Resolva em R as inequacoes:
a)|3x+ 5| 11b)
2x+ 32 > 6
c)|1 x| < 5d)
x2 13 > 4
7)Se = 2 esboce no eixo real x o conjunto de
pontos que satisfaz a inequacao |x + 5| < . SeL = 3 e f(x) = 3x + 5 esboce no eixo real y
o conjunto de pontos que satisfaz a inequacao
|f(x) L| < .8)Um metalurgico deve fabricar um eixo de ferro
cujo diametro deve ter 5cm. O torno pode pro-
vocar um pequeno erro x nessa medida, com
|x| 0, 008cm. Qual a maior e a menor me-dida que pode ter o diametro dessa peca depois
de pronta?
36
Captulo 10
Equacao Exponencial
E toda equacao cuja incognita se apresenta no expoente de uma ou mais potencias de bases
positivas e diferentes de 1.
Exemplo 10.1. a)3x = 9 b)52x + 5x = 30 c)6x = 2
A resolucao de uma equacao exponencial baseia-se na igualdade abaixo, isto e, sendo a > 0 e
a 6= 1, tem-se que:(1) ax = ay x = y
Apresentamos, como exerccios resolvidos, alguns tipos de equacoes exponenciais.
10.1 Resolucao de equacao exponencial
Exemplo 10.2. Resolver em R a equacao 125x = 625.
Resolucao
Resolveremos essa equacao transformando-a numa igualdade de duas potencias de mesma base.
Para isso, fatoramos os numeros 125 e 625.
125 5 625 5
25 5 125 5
5 5 125 = 53 25 5 625 = 541 5 5
1
37
Assim, temos:
125x = 625 (53)x = 5453x = 54 3x = 4
x =4
3
Logo, S =
{4
3
}.
Exemplo 10.3. Resolver em R equacao 2x = 1.
Resolucao
O numero 1 pode ser escrito como 20. Logo, 2x = 1 2x = 20 pela igualdade (1), temos x = 0.Logo, S = {0}.
Exemplo 10.4. Resolver em R a equacao 125x = 625.
Resolucao
Dividindo ambos os membros da equacao por 2x, temos:
3x = 2x 3x
2x=
2x
2x(3
2
)x= 1(
3
2
)x=
(3
2
)0 x = 0
Logo, S={0}.
Exemplo 10.5. Resolver em R a equacao 9x 10 3x + 9 = 0.Resolucao
A equacao pode ser escrita sob a forma:
(32)x 10 3x + 9 = 0 (3x)2 10 3x + 9 = 0Fazendo a mudanca de variavel 3x = t, temos:
t2 10t+ 9 = 0 = (10)2 4 1 9 = 64t =
10642
=10 8
2t = 9 ou t = 1
Voltando a` variavel x, temos:
3x = 9 3x = 32 x = 2 ou3x = 1 3x = 30 x = 0
Logo, S = {0, 2}.
38
Exemplo 10.6. Resolver em R a equacao 2x+3 + 2x1 = 17.
Resolucao
2x+3 + 2x1 = 17 2x 23 + 2x 21 = 17 8 2x + 2x
2= 17
Fazendo a mudanca de variavel 2x = t, temos:
8t +t
2= 17 16t+ t
2=
34
2 17t = 34 t = 2
Voltando a` variavel x, temos 2x = 2 x = 1. Logo, S = {1}.
10.2 Inequacao Exponencial
Inequacao exponencial e toda inequacao cuja incognita se apresenta no expoente de uma ou
mais potencias de bases positivas e diferentes de 1.
Exemplo 10.7.
a)5x > 25 b)3x + 3x+1 12 c)3x 2x
Exemplo 10.8. Resolver em R a inequacao 253x1 > 125x+2.
Resolucao
253x1 > 125x+2 (52)3x1 > (53)x+2 56x2 > 53x+6
Como a base (5) das potencias e maior que 1, temos, pela igualdade (1), que o sentidoda
desigualdade se mantem para os expoentes. Assim, temos:
56x2 > 53x+6 6x 2 > 3x+ 6 6x 3x > 6 + 2 3x > 8 x > 83
Logo, S =
{x R|x > 8
3
}.
Exemplo 10.9. Resolver em R a inequacao
(1
8
)2x5(1
4
)x+1.
Resolucao
(1
8
)2x5(1
4
)x+1[(
1
2
)3]2x5[(
1
2
)2]x+1(1
2
)6x15(1
2
)2x+2Como a base
(1
2
)das potencias e um numero entre 0 e 1, temos, pela propriedade ?, que o
39
sentidoda desigualdade e invertidopara os expoentes. Assim, temos:(1
2
)6x15(1
2
)2x+2 6x 15 2x+ 2 6x 2x 2 + 15 4x 17 x 17
4
Logo, S =
{x R|x 17
4
}.
1)Resolva em R as equacoes:
a)64x = 256
b)25x+2 = 125x+5
c)92x1 = 275x+1
d)13x = 1
e)52x1 = 1
f)7x = 8x
2) Determine, em R, o conjunto solucao de cada
uma das equacoes:
a)
(3
2
)x=
27
8
b)
(8
27
)3x+1=
(4
9
)xc)(
632x+1)5 = 3
2
d)
(3
4
9
)x+1=
2
3
e)
(3
5
)x=
(25
9
)x+1f)
(1
32
)x= 642x1
g) 78x = (
4x1)3
3) Determine o conjunto dos valores x, x R,que satisfazem cada uma das equacoes:
a)2x+1 + 2x1 = 20
b)3x+1 3x+2 = 54c)2 3x1 + 4 3x2 = 30d)5x2 + 5x+1 = 126
e)9x 4 3x+1 + 27 = 0
4)Em pesquisa realizada, constatou-se que a po-
pulacao (P) de determinada bacteria cresce se-
gundo a expressao P (t) = 25 2t, onde t re-presenta o tempo em horas. Para atingir uma
populacao de 400 bacterias, sera necessario um
tempo de quantas horas.
5)Resolva em R as inequacoes:
a)163x1 > 82x+5
b)
(1
9
)3x1(1
3
)2xc)(0, 3)4x5 > (0, 3)2x1
d)(2)3x1 48
e)(0, 6)3x2 0, 6
f)
(1
3
)2x1> 3x+2
g)1252x+1 > 253x
h)
(3
2
)x+1(9
4
)xi)
(2
5
)3x2>
(125
8
)2x1j)2x < 4
4
k)( 53)x+2 > 4
27
l)
(12
)2x+1(
12
)x+36)Resolva em R as inequacoes:
a)2x1 < 22x+1 43x+1
b)
(1
2
)x2< 4x+1 < 162x+3
40
Captulo 11
Logaritmo
Para compreender o que e um logaritmo, considere uma potencia de base positiva e diferente
de 1. Por exemplo:
23 = 8.
Ao expoente dessa potencia damos o nome de logaritmo. Dizemos que 3 e o logaritmo de 8
na base 2. Em smbolos:
23 = 8 log2 8 = 3.
11.1 Definicao de Logaritmo
Definicao 11.1. Sejam a e b numeros reais positivos e b 6= 1. Chama-se logaritmo de a nabase b o expoente x tal que bx = a.
Em smbolos:
logb a = x bx = a.
Nomenclatura
Na sentenca logb a = x :
a e chamado de logaritmando;
b e chamado de base do logaritmo;
x e chamado de logaritmo de a na base b.
41
Exemplo 11.2. Vamos resolver alguns exerccios basicos.
a) O valor de log2 16 e igual o valor do expoente x tal que 2x = 16.
Temos 2x = 16 2x = 24 x = 4. Assim, log 162 = 4.
b)O valor de log
1
255 e igual o valor do expoente x tal que 5
x =1
25.
Temos 5x =1
25 5x = 52 x = 2. Assim, log
1
255 = 2.
c)O valor de log7 1 e igual o valor do expoente x tal que 7x = 1.
Temos 7x = 1 7x = 70 x = 0. Assim, log 17 = 0.d)O valor de log
35
5 e igual o valor do expoente x tal que 5x = 3
5.
Temos 5x = 35 5x = 5 13 x = 1
3. Assim, log
35
5 =13.
e)O valor de log1
243
27 e igual o valor do expoente x tal que 27x = 1
243.
Temos 27x = 1243
(33)x = (13)5 33x = 35 x = 5
3. Assim, log
1
243
27 = 53 .f)O valor de log
729
64
8
27
e igual o valor do expoente x tal que ( 827)x = 729
64.
Temos ( 827)x = 729
64 ([2
3]3)x = (3
2)6 (2
3)3x = (2
3)6 3x = 6 x = 2. Assim, log
729
64
8
27
= 2.
11.2 Propriedades dos Logaritmos
Decorre imediatamente da definicao que para numeros reais positivos a e b, com b 6= 1 temos:
1) log bb = 1;
2) log 1b = 0;
3) log ay
b = y loga
b ;
4) bloga
b = a.
5) logbac = log
ba+ log
bc;
6) log
a
cb
= logb a logb c;
7) logba =
logk a
logk b, k, k R+, k 6= 1.
Exemplo 11.3. Calcular os logaritmos:
a) log4 4 c) log516
2
b) log5 1 d)2 log 2
2
42
Resolucao
a)Tomando b = 4 e usando a propriedade 1 temos: log 44 = 1.
b)Tomando b = 5 e usando a propriedade 2 temos: log 15 = 0.
c)log516
2 = x 2x = 161
5 2x = (24) 15 2x = 2 45 x = 45. Assim, log
516
2 =4
5.
Mas poderamos, fazer usando e propriedade 3, usando o fato que log162 = 4 sendo assim
log516
2 = log2 161
5 =1
5log2 16 =
1
5 4 = 4
5.
d)2 log2
2 = 2log21
2 e pela propriedade 4 temos que 2 log2
2 = 21 =1
2.
Exemplo 11.4. Sabendo que log6 5 = 0, 898 e log6 2 = 0, 386, calcular:
a) log6 10 = log6 5 2 = log6 5 + log6 2 = 0, 898 + 0, 386 = 1, 284;b) log 2,56 = log
5
2
6 = log6 5 log6 2 = 0, 898 0, 386 = 0, 512;
c) log2 5 =logk 5
logk 2=
log6 5
log6 2=
0, 898
0, 386= 2, 326;
d) log6 20 = log6 22 5 = log6 22 + log6 5 = 2 log6 2 + log6 5 = 2 0, 386 + 0, 898 = 1, 67;
e) log5
12
6 = log6 5 log6 12 = log6 5 log (62)6 = log 56 (log6 6 + log6 2) = 0, 898 (1 + 0, 386) =
0, 898 1, 386 = 0, 488;f) log
5
6 = log512
6 =1
2 log 56 =
1
2 0, 898 = 0, 449.
11.3 Equacao Logartmica
Exemplo 11.5. Resolver a equacao log2(4x+ 24) = 5.
Resolucao
Condicao de existencia (C.E.)
4x+ 24 > 0 x > 6
C.E. x > 6
Preparacao da equacao
5 = 5 log2 2 = log2 25
Assim, temos:
log2(4x+ 24) = 5 log2(4x+ 24) = log2 25
43
log2(4x+ 24) = log2 32
Resolucao da equacao
log2(4x+ 24) = log2 32
logb x = logb y x = y 4x+ 24 = 32
4x = 8 x = 2
Note que x = 2 satisfaz a C.E. x > 6.Portanto S = {2}.
Exemplo 11.6. Resolver a equacao log3(x+ 1) + log3(x 7) = 2.Resolucao
Condicao de existencia (C.E.) x+ 1 > 0x 7 > 0 x > 1x > 7
C.E. x > 7
Preparacao da equacao
log3(x+ 1) + log3(x 7) = 2
log3(x+ 1)(x 7) = log3 32
log3(x2 6x 7) = log3 9
Resolucao da equacao
log3(x2 6x 7) = log3 9
logb x = logb y x = y x2 6x 7 = 9
x2 6x 16 = 0 x = 8 ou x = 2
Note que apenas x = 8 satifaz a C.E. x > 7. Portanto S = {8}.
Exemplo 11.7. Resolver a equacao log2(x+ 4) log4 x = 2.Resolucao
Condicao de existencia (C.E.) x+ 4 > 0x > 0 x > 4x > 0
C.E. x > 0
44
Preparacao da equacao
log4 x =log2 x
log2 4/ 2 = log2 2
2
log2(x+ 4)log2 x
2= log2 4
Resolucao da equacao
log2(x+ 4)log2 x
2= log2 4
2 log2(x+ 4)log2 x
22
=2 log2 4
2
log2(x+ 4)2 log2 x = log2 42
log2(x+ 4)2
x= log2 16
logb x = logb y x = y (x+ 4)2
x= 16
x2 + 8x+ 16 = 16x x2 8x+ 16 = 0
Resolvendo a equacao do 2o grau, obtemos que x = 4.
Note que x = 4 satisfaz a C.E. x > 0.
Portanto S = {4}.
Exemplo 11.8. Resolver a equacao logx 9 = 2.
Resolucao
Condicao de existencia (C.E.)x > 0 e x 6= 1.Preparacao da equacao
logx 9 = 2 logx 9 = 2 logx x
logx 9 = logx x2
Resolucao da equacao
logb x = logb y x = y
logx 9 = logx x2 9 = x2 x = 3 ou x = 3
45
Note que apenas x = 3 satisfaz a C.E. x > 0 e x 6= 1.
Portanto S = {3}.
11.4 Inequacao Logartmica
Exemplo 11.9. Resolver a inequacao log2(3x 1) > 3.Resolucao
Condicao de existencia (C.E.){3x 1 > 0
{x >
1
3
C.E. x >1
3
Preparacao da inequacao
3 = log2 23
Resolucao da inequacao
log2(3x 1) > 3 log2(3x 1) > log2 23
3x 1 > 8
3x > 9 x > 3
O conjunto solucao S da inequacao e a interseccao do conjunto Sdos reais x tais que x > 3, com
o conjunto Sdos reais x que satisfazem a C.E. x >
1
3.
Portanto S = {x R|x > 3}.
1)Calcule o valor da expressao:
a)E = 3log5
3 + log 66 log 18b)E = 52+log5 3
c)E = 81log8 4
2) Calcular os logaritmos:
a) log125 625 c) log1
243
81
b) log 41000 d) log
64
729
27
8
46
3)Sabendo que log5 2 = 0, 43 e log5 3 = 0, 68
calcule:
a) log5 6 d) log5 1, 5 g) log2 3
b) log523
e) log3 2 h) log5 8
c) log5 24 f) log598
i) log53
4)Sabendo que log 5 = 0, 69 e log 3 = 0, 47
calcule:
a) log 15 c) log 35
e) log 30
b) log 75 d) log 275
f) log 6
5)Ao aplicar um capital C durante n unidades de
tempo (dia, mes, ano etc.) a` taxa i por unidade
de tempo, obtem-se o montante M (capital ini-
cial mais o juro) acumulado ao final da aplicacao.
A formula para o calculo desse montante e
M = C(1 + i)n. Determine durante quanto
tempo o capital inicial de R10.000, 00 esteve
aplicado a` taxa de juro 5% ao mes, gerando o
montante de R13.400, 00. (Dados os logaritmos
decimais: log 1, 34 = 0, 12 e log 1, 05 = 0, 02.)
6)Resolva em R as equacoes:
a) log2(x+ 4) log4 x = 2
b) log2(2x+ 10) + log2(x+ 1) = 6
c) log5(3x+ 7) log5(x 1) = 1
d) log2 x+ log2(x 2) log2(x 3) = 3
e) log 12
(x2 + 2x) + log 12
(x) = 2
f) log3(x 2) log9(x 4) = 1
g) log3(x2 1) + log 1
6
(x 2) = log36 64
h) logx 32 = 57)Determine, em R, o conjunto solucao de cada
uma das inequacoes:
a) log3(4x 2) 1b) log 1
2
(5 x) > 3c) log5(2x 8) > 2d) log 1
3
(x 2) 1e) logx 9 > 1
f) log 12
(5x x) 2
47
Captulo 12
Trigonometria
Trabalharei com circunferencia unitaria, sem perda de generalidade. Pois podemos usar seme-
lhanca de triangulo quando o mesmo tiver inscrito em uma circunferencia com raio maior.
12.1 Trigonometria no Triangulo Retangulo
Definicao 12.1. Dado um triangulo retangulo, onde e um angulo agudo temos:
sin =Cateto oposto
Hipotenusa=
b
a
cos =Cateto Adjacente
Hipotenusa=
c
a
tan =Cateto oposto
Cateto Adjacente=
b
c
Observacao 12.2. tan =b
c=
baca
=sin
cos
Vamos determinar entao a medida do seno, co-seno e a tangente de alguns angulos notaveis.
450
Vamos comecar a determinando o sin 450, cos 450 e a tan 450. Para isto vamos usar um
quadrado de lado a. Usando Pitagoras temos que a diagonal do quadrado mede a2.
sin 450 =a
a2=
a2
2a=
2
2
cos 450 =a
a2=
a2
2a=
2
2
tan 450 =a
a= 1
2
48
300
Para determinar o sin 300, cos 300 e tan 300 vamos usar um triangulo equilatero e nova-
mente usando Pitagoras obtemos que a altura do triangulo equilatero ea3
2. Assim:
sin 300 =
a
2a=
1
2
cos 300 =
a3
2a
=
3
2
tan 300 =
a
2a3
2
=13=
3
3
Usando o fato que para um angulo agudo temos que
sin = cos(900 ) e cos = sin(900 )
entao
sin 600 = cos 300 =
3
2
cos 600 = sin 300 =1
2
tan 600 =sin 600
cos 600=
3212
=3
Com isto obtemos a tabela dos angulos
notaveis.
Tabela dos angulos notaveis.
12.2 O radiano, unidade de medida de arco e angulo
Definicao 12.3. I Um radiado (1 rad) e um arco cujo comprimento
e igual ao do raio da circunferencia que o contem.
II Um angulo AOB mede 1 rad se, e somente se,
determina numa circunferencia de centro O um arco de 1 rad.
Exemplo 12.4. Determinar a medida do arco AMB, da figura, em radianos.
49
Resolucao: Pela regra de tres:
rad cm
1 5
x 7
temos x =7
5rad = 1, 4 rad.
Logo, a medida do arco AMB e 1, 4 rad.
12.3 A medida da circunferencia em radianos
Sabemos que uma circunferencia mede 3600. Qual sera sua medida em radianos?
Pensemos...
O comprimento de uma circunferencia de raio r, numa certa unidade u, e 2pir. Como Sabemos
que 1 rad e igual a r, temos pela regra de tres que a medida x da circunferencia em radianos e
2pi rad. Pois,
rad r x =2pir
rrad
1 r x 2pir x = 2pirad
Sendo assim dizemos que a medida de um arco em radianos e equivalente a uma medida em
graus se sao medidas de um arco na mesma circunferencia, por exemplo, 2pi rad e equivalente a
3600, pois ambas sao medidas de um arco de uma volta completa.
Consequentemente, temos:
pi rad e equivalente a 1800.
50
Exemplo 12.5. Determinar, em radianos, a medida equivalente a 1200.
Resolucao:
Lembrando que pi rad equivalem a 1800, basta resolvermos a regra de tres:
rad graus 180x = 120pi
pi 180 x = 120180
rad
x 120 x =2pi
3rad
Exemplo 12.6. Determinar, em graus, a medida equivalente api
6rad.
Resolucao:
rad graus
pi 180 x =180 pi
6pi
graus
pi
6x x = 300
12.4 Extensoes dos conceitos de seno e co-seno
Consideremos na circunferencia trigonometrica um arco AM de medida , 00 < < 900. No
triangulo retangulo OMP, temos:
cos =OP
1= OP
sin =MP
1= MP
1
o PA
M( )a
a
Note que as medidas OP e MP sao, respectivamente, a abscissa e a ordenada do ponto M.
51
Definicao 12.7. Dado um arco trigonometrico AM de medida ,
chama-se co-seno e seno de a abscissa e a ordenada do ponto M ,
respectivamente:
M(x ,y )M M
cos
sen
A
Como o raio da circunferencia trigonometrica e unitario (medida igual a 1), temos que as
coordenadas dos pontos A, B, Ae B
sao:
Note que :
cos 00 = xA = 1 sin 00 = yA = 0
cos 900 = xB = 0 sin 900 = yB = 1
cos 1800 = xC = 1 sin 1800 = yC = 0cos 2700 = xD = 0 sin 270
0 = xD = 1cos 3600 = xA = 1 sin 360
0 = xA = 0
Variacao de sinal do seno e do co-seno.
O seno de um arco e a ordenada da extremidade desse arco. Como os pontos de ordenadas
positivas sao os do 1o e os do 2o quadrante e os pontos de ordenadas negativas sao os do 3o e os
do 4o quadrante, temos os seguinte quadro de sinais para se seno:
++
- -
Seno
O co-seno de um arco e a abscissa da extremidade desse arco. Como os pontos de abscissas
52
positivas sao os do 1o e os do 4o quadrante e os pontos de abscissas negativas sao os do 2o e os do
3o quadrante, temos o seguinte quadro de sinais para o co-seno:
Cosseno
Observacao 12.8. sin2 + cos2 = 1
Reducao ao 1o quadrante
O objetivo desse estudo e relacionar o seno e co-seno de um arco do 2o, do 3o ou do 4o quadrante
com o seno e o co-seno do arco correspondente no 1o quadrante. Para exmeplificar, utilizaremos a
tabela dos arcos notaveis:
30o
60o
45o
sen
cos
12
22
32
32
22
12
Exemplo 12.9. Calcular sin 1500 e cos 1500.
Resolucao:
53
Primeiramente temos que observar que pela variacao do si-
nal o sin 1500 tem valor positivo. Temos que determinar este
valor. Para isto basta saber o valor de X que conseguente
e o mesmo valor do sin. Como 1800 = 300 isto im-plica que = 300 e usando a tabela dos angulos notaveis
sin = sin 300 =1
2. Portanto, sin 1500 =
1
2.
150o
x a
Primeiramente temos que observar que pela variacao do sinal
o cos 1500 tem valor negativo. Temos que determinar este
valor. Para isto basta saber o valor de X que conseguente e
o mesmo valor do cos. Como 1800 = 300 isto implicaque = 300 e usando a tabela dos angulos notaveis cos =
cos 300 =
3
2. Portanto, cos 1500 =
3
2.
150o
a
x
Exemplo 12.10. Calcular sin 2400 e cos 3150.
Resolucao:
Primeiramente temos que observar que pela variacao do sinal
o sin 2400 tem valor negativo. Temos que determinar este
valor. Para isto basta saber o valor de X que conseguente e
o mesmo valor do cos. Como 2700 = 2400 isto implicaque = 300 e usando a tabela dos angulos notaveis cos =
cos 300 =
3
2. Portanto, sin 2400 =
3
2.
240o
x
Primeiramente temos que observar que pela variacao do sinal
o cos 3150 tem valor positivo. Temos que determinar este
valor. Para isto basta saber o valor de X que conseguente e
o mesmo valor do cos. Como 3600 = 3150 isto implicaque = 450 e usando a tabela dos angulos notaveis cos =
cos 450 =
2
2. Portanto, cos 3150 =
2
2.
315o
x
Exemplo 12.11. Calcular sin 3150 e cos 2400.
54
Resolucao:
Primeiramente temos que observar que pela variacao do sinal
o sin 3150 tem valor negativo. Temos que determinar este
valor. Para isto basta saber o valor de X que conseguente e
o mesmo valor do sin. Como 3600 = 3150 isto implicaque = 450 e usando a tabela dos angulos notaveis sin =
sin 450 =
2
2. Portanto, sin 3150 =
2
2.
315o
x
Primeiramente temos que observar que pela variacao do sinal
o cos 2400 tem valor positivo. Temos que determinar este
valor. Para isto basta saber o valor de X que conseguente e
o mesmo valor do sin. Como 2700 = 300 isto implicaque = 300 e usando a tabela dos angulos notaveis cos =
sin 300 =
1
2. Portanto, cos 2400 =
1
2.
240o
x
12.5 Metodo grafico para a resolucao de uma equacao Trigonometrica
Exemplo 12.12. Resolva a equacao sin x =1
2, para 0 x < 2pi.
Resolucao:
Devemos determinar os pontos da circunferencia trigo-
nometrica que tem ordenada igual a1
2, conforme figura
ao lado. Assim, valores de x da primeira volta positiva
para os quais sin(x) =1
2sao: x =
pi
6ou x = pi pi
6=
5pi
6
Logo, S =
{pi
6,5pi
6
}.
Seno
p
6
p
6p
12
Exemplo 12.13. Resolver a equacao cosx = 12, para 0 x < 2pi.
Resolucao:
55
Devemos determinar os pontos da circunferencia trigo-
nometrica que tem abscissa igual a 12conforme figura
ao lado. Observe que os pontos que possuem o co-seno
igual a 12pertencem ao 2o e 3o quadrante e, portanto,
nao estao na tabela dos arcos notaveis.
Para podermos utilizar a tabela, vamos buscar no 1o
quadrante um arco auxiliar, isto e, o arco (da tabela)
cujo co-seno e igual a1
2.
(arco auxiliar)p3
12
12
Finalmente, pelas simetrias, transportamos o arco auxi-
liar para o 2o e o 3o quadrante. Assim: x = pi pi3=
2pi
3
ou x = pi +pi
3=
4pi
3Logo, S =
{2pi
3,4pi
3
}.
-
+
Exemplo 12.14. Resolver a equacao sin x = 1 para 0 x < 2pi.Resolucao:
Devemos determinar os pontos da circunferencia trigo-
nometrica que possuem ordenada igual a 1, conforme
figura ao lado. O unico ponto da circunferencia que
tem ordenada 1 e o ponto B. Portanto, x =pi
2. Logo,
S ={pi2
}.
p
2
1
B( )
56
Exemplo 12.15. Resolver a equacao 2 sin2 x+ sin x 1 = 0, para 0 x < 2pi.Resolucao:
Fazendo sin x = t, temos a equacao do 2o grau:
2t2 + t 1 = 0 = 12 4 2(1) = 9
t =19
4 t = 1
2ou t = 1
Como sin(x) = t temos sin(x) =1
2ou sin(x) = 1.
Resolvendo essas equacoes imediatas, na primeira volta
positiva temos: sin(x) =1
2 x = pi
6ou x =
5pi
6
ou sin(x) = 1 x = 3pi2. Logo, S =
{pi
6,5pi
6,3pi
2
}.
-1
B( )p2
12.6 Metodo grafico para a resolucao de inequacoes de seno e co-seno
Inequacoes do tipo sin x > K ou cosx > K (ou com as relacoes ,
Devemos determinar os pontos da circunferencia trigo-
nometrica que tem ordenada maior ou igual a1
2. Os pon-
tos que possuem ordenada1
2sao
pi
6e
5pi
6, e os que tem
ordenada maior do que1
2sao todos entre
pi
6e5pi
6. Logo,
S =
{x R|pi
6 x 5pi
6
}.
Exemplo 12.17. Resolver a inequacao cos x 0}.
Captulo 11
1)a)6; b)75; c)2. 2)a) 43
b) 54
c) 34
d)-2. 3)a)1,11; b)-0,25;
c)0,25; d)0,63; e)1,58; f)1,29; g)1,97; h)0,07; i)0,34. 4)a)1,16;
b)1,85; c)-0,22; d)0,72; e)1,47; f)0,78. 5) 6 meses. 6)a)S = {4};
b)S = {3}; c)S = {6}; d)S = {6, 4}; e)S = {2}; f)S = {8, 5};
g)S = {5, 3}; h)S = { 12}. 7)a)S = {x R| 1
2< x 5
4};
b)S = {x R| 398
< x < 5}; c)S = {x R|x > 332};
d)S = {x R|x 5}; e)S = {x R|1 < x < 9}.
Captulo 12
1)a)x = 3, 52cm; b)x = 2, 3cm; c)x = 5, 3cm. 2)x = 38, 3cm.
3)sin = 817. 4)1,75 rad. 5)a) 4pi
3rad; b) 7pi
4rad; c) 7pi
6rad; d)pi
4rad;
e)pi2rad; f) 3pi
2rad; g)pi
6rad; h) 5pi
3rad; i)pi
9rad. 6)E = 10
97)a)360;
b)1500; c)1350; d)1200; e)900; f)2400; g)570; h)1000; i)85, 90.
8)a)
3
2; b) 1
2; c) 1
2; d)
3
2; e)
3
2; f) 1
2; g)
2
2; h)
2
2;
i)2
2; j)
2
2; k)
2
2; l)
2
2. 9)a) 1
2; b)
3
2; c)
3
2; d) 1
2;
e) 12; f)
3
2. 10)cos = 4
5. 11)cos =
5
5; sin = 2
5
5.
12)a)S = {pi3, 2pi
3}; b)S = { 2pi
3, 4pi
3}; c)S = { 3pi
2}; d)S = {pi
4, 7pi
4};
e)S = { 5pi4, 7pi
4}; f)S = { 5pi
6, 7pi
6}; g)S = {pi
6, 11pi
6}; h)S = {0, pi};
i)S = {pi2, 3pi
2}. 13)S = {pi
2, 7pi
6, 11pi
6}. 14)S = {pi
2, pi6, 5pi
6}.
15)a)S = {x R|pi4< x < 3pi
4}; b)S = {x R| 7pi
6 x 11pi
6};
c)S = {x R|0 < x < pi}; d)S = {x R|0 x < pi6ou 11pi
6