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CURSO PROGRESSÃO

Profº César Loyola

Matemática – Prof. César Loyola 1/35 www.cursoprogressao.com.br

Assunto: Matemática Básica 1 - REGRA DOS SINAIS a) Não envolvendo multiplicação ou divisão Sinais iguais – Somam-se e dá-se o mesmo sinal. Ex.: + 5 + 7 = + 12 e - 5 – 7 = - 12 Sinais diferentes – Subtraem-se e dá-se o sinal do maior módulo. Ex.: - 5 + 7 = + 2 e + 5 – 7 = - 2 b) Envolvendo multiplicação ou divisão Sinais iguais – Após a operação o resultado será positivo (+). Ex.: (+5).(+7) = + 35 e (- 5).(- 7) = - 35 Resumo: (+).(+) = (+) ( - ).( - ) = ( + ) (+):(+) = (+) ( - ):( - ) = ( + ) Sinais diferentes – Após a operação o resultado será negativo ( - ). Ex.: (+ 5).(- 7) = - 35 e (- 5).(+ 7) = - 35 Resumo: (+).( - ) = ( - ) ( - ).(+) = ( - ) (+):( - ) = ( - ) ( - ):(+) = ( - )

2 - DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores .

Decomposição do número 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural , maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

• Regra prática para a fatoração

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente

até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7 .

3 - FRAÇÕES

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos:

de fração;

a de numerador;

b de denominador.

Adição e subtração de números fracionários

Temos que analisar dois casos:

1º) denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

Observe os exemplos:

2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as

frações .

Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25


Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Multiplicação e divisão de números fracionários

Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

4 - NUMERAÇÃO DECIMAL

Introdução

A figura nos mostra um paralelepípedo com suas principais dimensões em centímetros.

Essas dimensões são apresentadas sob a forma de notação decimal , que corresponde a uma outra forma de representação dos números racionais fracionários.

A representação dos números fracionária já era conhecida há quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no século XVI com o matemático francês François Viète.

O uso dos números decimais é bem superior ao dos números fracionários. Observe que nos computadores e nas máquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal.

Frações Decimais

Observe as frações:

Os denominadores são potências de 10.

Assim:

Denominam-se frações decimais , todas as frações que apresentam potências de 10 no denominador.

Numeração decimal

Números Decimais

O francês Viète (1540 - 1603) desenvolveu um método para escrever as frações decimais; no lugar de frações, Viète escreveria números com vírgula. Esse método, modernizado, é utilizado até hoje.

Observe no quando a representação de frações decimais através de números decimais:

Fração Decimal =

Números Decimais

= 0,1

= 0,01

= 0,001

= 0,0001

Fração Decimal =

Números Decimais

= 0,5

= 0,05

= 0,005

= 0,0005

Fração Decimal =

Números Decimais

= 11,7

= 1,17

= 0,117

= 0,0117


Os números 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, são números decimais. Nessa representação, verificamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

Leitura dos números decimais

No sistema de numeração decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posição ou ordem com as seguintes denominações:

Centenas Dezenas Unidades Décimos Centésimos Milésimos Décimos milésimos

Centésimos milésimos

Milionésimos

Partes inteiras Partes decimais

Leitura

Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras:

décimos ........................................... : quando houver uma casa decimal; centésimos....................................... : quando houver duas casas decimais; milésimos......................................... : quando houver três casas decimais; décimos milésimos ........................ : quando houver quatro casas decimais; centésimos milésimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.

Exemplos:

1,2: um inteiro e dois décimos; 2,34: dois inteiros e trinta e quatro centésimos

Quando a parte inteira do número decimal é zero, lemos apenas a parte decimal.

Exemplos:

0,1 : um décimo; 0,79 : setenta e nove centésimos

Observação:

1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um número decimal. Observe a leitura do número 5,53:

Leitura convencional: cinco inteiros e cinquenta e três centésimos; Outras formas: quinhentos e cinquenta e três centésimos; cinco inteiros, cinco décimos e três centésimos.

2. Todo números natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos:

4 = 4,0 = 4,00 75 = 75,0 = 75,00

Transformação de números decimais em frações decima is

Observe os seguintes números decimais:

• 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, .

• 0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja,

.

• 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou

seja, .

• 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja,

Verifique então que:

Assim:

Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

Transformação de fração decimal em número decimal

Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:


Podemos concluir, então, que:

Para se transformar uma fração decimal em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.

Decimais equivalentes

As figuras foram divididas em 10 e 100 pares, respectivamente. A seguir foram coloridas de verde escuro 4 e 40 destas parte, respectivamente. Observe:

Verificamos que 0,4 representa o mesmo que 0,40, ou seja, são decimais equivalentes. Logo, decimais equivalentes são aqueles que representam a mesma quantidade.

Exemplos:

0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000 8 = 8,0 = 8,00 = 8,000

2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000

95,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000

Dos exemplos acima, podemos concluir que:

Um número não se altera quando se acrescenta ou se suprime um ou mais zeros à direita de sua parte decimal.

Comparação de números decimais

Comparar dois números decimais significa estabelecer uma relação de igualdade ou de desigualdade entre eles. Consideremos dois casos:

1º Caso: As partes inteiras

O maior é aquele que tem a maior parte inteira.

Exemplos:

3,4 > 2,943, pois 3 >2. 10,6 > 9,2342, pois 10 > 9.

2º Caso: As partes inteiras são iguais

O maior é aquele que tem a maior parte decimal. É necessário igualar inicialmente o número de casas decimais acrescentando zeros.

Exemplos:

• 0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas decimais), pois 75 > 70.

8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3. 5 - NÚMEROS RACIONAIS

Racionais Positivos e Racionais Negativos

O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois números inteiros, com divisor diferente de zero.

Por exemplo:

(+17) : (-4) =

é um número racional negativo

Números Racionais Positivos

Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.

� (+8) : (+5)

� (-3) : (-5)

Números Racionais Negativos

São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.

� (-8) : (+5)

� (-3) : (-5)

Números Racionais: Escrita Fracionária

têm valor igual a e representam o

número racional .


Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária:

Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros.

Conjunto dos números racionais

O conjunto dos números racionais é uma ampliação do conjunto dos números inteiros.

O conjunto formado pelos números racionais positivos, os números racionais negativos e o zero são um novo conjunto que chamamos de conjunto dos números racionais e é representado por Q.

Exemplos:

Observe o desenho abaixo:

O conjunto de Q é uma ampliação do conjunto Z.

Outros subconjuntos de Q :

• Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero;

• Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero;

• Q- é o conjunto dos números racionais, negativos e o zero;

• Q+* é o conjunto dos números racionais e positivos;

• Q-* é o conjunto dos números racionais negativos.

Operações com números racionais

Adição e Subtração

Para simplificar a escrita, transformamos a adição e subtração em somas algébricas. Eliminamos os parenteses e escrevemos os números um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os números inteiros.

Exemplo 1: Qual é a soma:

Exemplo 2: Calcule o valor da expressão

Multiplicação e divisão

Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

Potenciação e radiciação

Na potenciação , quando elevamos um número racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:

Na radiciação , quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

6 - OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS DECIMAIS

Adição

Considere a seguinte adição:


1,28 + 2,6 + 0,038

Transformando em frações decimais, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais.

Exemplos:

1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007

Subtração

Considere a seguinte subtração:

3,97 - 2,013

Transformando em fração decimal, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as demais.

Exemplos:

3,97 - 2,013 17,2 - 5,146 9 - 0,987

Multiplicação

Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5

Transformando em fração decimais, temos:

Método prático

Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos números de casas decimais do fatores.

Exemplos:

3,49 · 2,5

1,842 · 0,013

Observação:

1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal , utilizamos o método prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual ao número de casas decimais do fator decimal. Exemplo:

5 · 0,423 = 2,115

2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:

3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos

0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = =

580%

Divisão

1º: Divisão exata

Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05

Transformando em frações decimais, temos:

Método prático

1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Suprimimos as vírgulas; 3º) Efetuamos a divisão.

Exemplos:

• 1,4 : 0,05

Igualamos as casa decimais: 1,40 : 0,05

Suprimindo as vírgulas: 140 : 5

Logo, o quociente de 1,4 por

Efetuado a divisão


0,05 é 28.

• 6 : 0,015

Igualamos as casas decimais 6,000 : 0,015

Suprimindo as vírgulas

6.000 : 15

Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400.

Efetuando a divisão

• 4,096 : 1,6


Suprimindo as vírgulas 4.096 : 1.600


Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades. Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para a determinação dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960 décimos.

Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto, uma vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos.

O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo.

Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56.

• 0,73 : 5


Suprimindo as vírgulas 73 : 500


Podemos prosseguir a divisão, colocando uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero à direita do três. Assim:

Continuamos a divisão, obtemos:

Logo, o quociente de 0,73 por 5 é 0,146.

Em algumas divisões, o acréscimo de um zero ao resto ainda não torna possível a divisão. Nesse caso, devemos colocar um zero no quociente e acrescentar mais um zero ao resto. Exemplos:

• 2,346 : 2,3

Verifique 460 (décimos) é inferior ao divisor (2.300). Colocamos, então, um zero no quociente e acrescentamos mais um zero ao resto.

Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 é 1,02.

Observação:

Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:

2º : Divisão não-exata

No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente aproximado por falta ou por excesso.

Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21:

Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos cometendo um erro que uma unidade, pois o quociente real encontra-se entre 3 e 4. Logo:


Assim, na divisão de 66 por 21, temos: afirmar que:

3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma unidade. 4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de uma unidade.

Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos:

Podemos afirmar que:

3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um décimo. 3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um décimo.

Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos:


3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um centésimo. 3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um centésimo.

Observação:

1. As expressões têm o mesmo significado:

- Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou aproximação de décimos. - Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou aproximação de centésimos e, assim, sucessivamente.

2. Determinar um quociente com aproximação de décimos, centésimos ou milésimos significa interromper a divisão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal do quociente, respectivamente. Exemplos:

13 : 7 = 1,8 (aproximação de décimos) 13 : 7 = 1,85 (aproximação de centésimos) 13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo)

Cuidado!

No caso de ser pedido um quociente com aproximação de uma divisão exata, devemos completar com zero(s), se preciso, a(s) casa(s) do quociente necessária(s) para atingir tal aproximação. Exemplo: O quociente com aproximação de milésimos de 8 de 3,2 é

2º : Divisão não-exata

No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente aproximado por falta ou por excesso.

Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21:

Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos cometendo um erro que uma unidade, pois o quociente real encontra-se entre 3 e 4. Logo:

Assim, na divisão de 66 por 21, temos: afirmar que:

3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma

unidade. 4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de uma unidade.

Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos:


3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um décimo. 3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um décimo.

Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos:


3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um centésimo. 3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um centésimo.

Observação:

1. As expressões têm o mesmo significado:

- Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou aproximação de décimos. - Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou aproximação de centésimos e, assim, sucessivamente.

2. Determinar um quociente com aproximação de décimos, centésimos ou milésimos significa interromper a divisão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal do quociente, respectivamente. Exemplos:

13 : 7 = 1,8 (aproximação de décimos) 13 : 7 = 1,85 (aproximação de centésimos) 13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo)

Cuidado!

No caso de ser pedido um quociente com aproximação de uma divisão exata, devemos completar com zero(s), se preciso, a(s) casa(s) do quociente necessária(s) para atingir tal aproximação. Exemplo: O quociente com aproximação de milésimos de 8 de 3,2 é

Representação Decimal de uma Fração Ordinária

Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal, devendo para isso dividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos:

• Converta em número decimal.

Logo, é igual a 0,75 que é um decimal exato.



Logo, é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples.


Logo, é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta.

Dízima Periódicas

Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo:

= 0,333... = 0,8333...

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízima periódica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas . Exemplos:

= 0,555... (Período: 5)

= 2,333... (Período: 3)

= 0,1212... (Período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

= 0,0222... Período: 2 Parte não periódica: 0



São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações

1. Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

2. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

0,555... ou ou 0,0222... ou ou

2,333... ou ou 1,15444... ou ou

0,121212... ou 0,1232323... ou

Geratriz de uma Dízima Periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

Dízima composto

A geratriz de uma dízima composta é uma fração

da forma , onde: n parte não-periódica seguida do período, menos a parte não-periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não-periódica.

Exemplo:

12,53262626... = 12 + 0,53262626... =

Potenciação

As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural seguem as mesmas regras desta operação, já definidas. Assim:

(3,5)2 = 3,5 · 3,5 = 12,25 (0,64)1 = 0,64

(0,4)3 = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064

(0,18)0 = 1

Raiz Quadrada

A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o mesmo numa fração decimal. Assim:


Expressões Numéricas

No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas regras aplicadas às expressões com números fracionários. Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando todos os termos em um só tipo de número racional. Exemplo:

= 0,05 + 0,2 · 0,16 : 0,4 + 0,25 = 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25 = 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38

Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes. Exemplos:

7 - RAZÕES - INTRODUÇÃO

Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida. A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão .

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)

o quociente ou a:b.

A palavra razão , vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:

• Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).

• Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações:

1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é .

A razão entre é .

- TERMOS DE UMA RAZÃO

Observe a razão:

(lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente . Veja o exemplo:


3:5 =

Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.

Razões inversas

Considere as razões .

Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou

seja, .

Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas .

Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.

Exemplo:

são razões inversas, pois .

Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa.

Observações:

1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.

Exemplo: O inverso de .

Razões equivalentes

Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira:

Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional

(diferente de zero), obtemos uma razão equivalente .

Exemplos:

são razões equivalentes .

são razões equivalentes .

Razões entre grandezas da mesma espécie

O conceito é o seguinte:

Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que

expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.

Exemplos:

1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:

2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2.

Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete:

.

Razões entre grandezas de espécies diferentes

O conceito é o seguinte:

Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser

acompanhada da notação que relaciona as grandezas envolvidas.

Exemplos:

1) Consumo médio:

• Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro").

Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.

2) Velocidade média:

• Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").

Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.

3) Densidade demográfica:

• O estado do Ceará no último censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua


área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado").

Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.

4) Densidade absoluta ou massa específica:

• Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão? Solução:

Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3

Razão =

Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").

Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

8 - PROPORÇÕES - INTRODUÇÃO

Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:

Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso,

podemos afirmar que a igualdade é uma proporção . Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.

Elementos de uma proporção

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

• b e c os meios da proporção. • a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção , temos: Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

Propriedade fundamental das proporções

Observe as seguintes proporções:

Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120



De modo geral, temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Aplicações da propriedade fundamental

Determinação do termo desconhecido de uma proporção

Exemplos:

• Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 120

x = 24


Logo, o valor de x é 24.

• Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19

x =

Logo, o valor de x é .

• Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.

Solução:

(aplicando a propriedade fundamental)

5 . x = 8 . 35 5x = 280

x = 56

Logo, o valor de x é 56.

Resolução de problemas envolvendo proporções

Exemplo:

• Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução:

A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.


1 . 2 = 0,04 . x 0,04x = 2

x = 50 m3

Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

Quarta proporcional

Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo:

• Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental) 8 . x = 12 . 6 8 . x = 72

x = 9

Logo, a quarta proporcional é 9.

Proporção contínua

Considere a seguinte proporção:

Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua . Assim:

Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.

De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

Terceira proporcional

Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:

Exemplo:

Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10. Solução

Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a


proporção:


20 . x = 10 . 10 20x = 100

x = 5

Logo, a terceira proporcional é 5.

Média geométrica ou média proporcional

Dada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c. Exemplo:

• Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20. Solução:

5 . 20 = b . b 100 = b2 b2 = 100

b = b = 10

Logo, a média geométrica positiva é 10.

Propriedades das proporções

1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,

assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração Considere as proporções:

Adicionando 1 a cada membro obtemos:

Exemplo:

• Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84. Solução:

Assim:

x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36.

Logo, x=36 e y=48.

2ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,

assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração Considere as proporções:

Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

(Mult. os 2 membros por -1)

Exemplo:

• Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção

. Solução:

Pela 2ª propriedade temos que:

x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30. Logo, x=30 e y=12.

3ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está


para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu

consequente.

Demonstração Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes,

assim como cada antecedente está para o seu consequente.


Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

Exemplo:

• Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção

. Solução:

Pela 4ª propriedade, temos que:

5ª propriedade:

Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes,

assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.


Multiplicando os dois membros por , temos:

Assim:

Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:

Proporção múltipla

Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:

é uma proporção múltipla .

Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:

9 - GRANDEZAS – INTRODUÇÃO

Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.

É comum ao nosso dia-a-dia situações em que


relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:

Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.

Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.

Grandezas diretamente proporcionais

Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (minutos)

Produção (Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes . Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica . 5 min ----> 100Kg 10 min ----> 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica . 5 min ----> 100Kg 15 min ----> 300Kg

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os

valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes

da outra grandeza.

Grandezas inversamente proporcionais

Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo

Velocidade (m/s) Tempo (s)

5 200

8 125

10 100

16 62,5

20 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes . Observe que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade .

5 m/s ----> 200s 10 m/s ----> 100s

Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à

quarta parte . 5 m/s ----> 200s 20 m/s ----> 50s

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando

a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os

valores correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

10 - REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m 2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta . Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais . Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora .


2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade (Km/h) Tempo (h)

400 3 480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui . Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais . Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


Camisetas Preço (R$) 3 120 5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta . Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais . Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por dia

Prazo para término (dias)

8 20 5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta . Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais . Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

11 - REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna ).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna ). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões .

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?



Homens Carrinhos Dias 8 20 5 4 x 16

Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta . Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta . Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.


Logo, serão montados 32 carrinhos .

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais , como mostra a figura abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias .

Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20

dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

12 - DÍZIMAS PERIÓDICAS

Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas . Exemplos:

(período: 5)

(período: 3) (período: 12)

São dízimas periódicas simples , uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

Período: 2

Parte não periódica: 0

Período: 4

Período não periódica: 15

Período: 23

Parte não periódica: 1

São dízimas periódicas compostas , uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

Geratriz de uma dízima periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica .

Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.


Exemplos:

Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma

, onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.

D tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

13 - RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação . Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

• Sendo , resolva a equação .

MMC (4, 6) = 12

-9x = 10 => Multiplicador por (-1)

9x = -10

Como , então .

• Sendo , resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x)

= 2 . (x - 4).

Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da

multiplicação:

2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8

2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3

3x = -1

Como , então

14 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Considere o seguinte problema:

Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:

x + y = 25 (total de arremessos certo)

2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)

Essas equações contém um sistema de equações.

Costuma-se indicar o sistema usando chave .

O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema . Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução .

- RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DO 1º GRAU

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:

Método de substituição

Solução

• determinamos o valor de x na 1ª equação.

x = 4 - y


• Substituímos esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y) -3y = 3

• Resolvemos a equação formada.

8 - 2y -3y = 3

8 - 2y -3y = 3

-5y = -5 => Multiplicamos por -1

5y = 5

y = 1

• Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.

x + 1 = 4

x = 4 - 1

x = 3

• A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

V = {(3, 1)}

Método da adição

Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.

Resolva o sistema abaixo:

Solução

• Adicionamos membros a membros as equações:

2x = 16

x = 8

Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

8 + y = 10

y = 10 - 8

y = 2

A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)

V = {(8, 2)}

15 - RADICIAÇÃO

Potenciação de Radicais

Observando as potencias, temos que:

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:

Divisão de Radicais

Segundo as propriedades dos radicais, temos que:

De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:

: =

Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos:

16 - MEDIDAS DE COMPRIMENTO

Sistema Métrico Decimal

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.

Metro

A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.

Múltiplos e Submúltiplos do Metro

Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:


Múltiplos Unidade Fundamental

Submúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias.

Leitura das Medidas de Comprimento

A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.

Seqüência prática

1º) Escrever o quadro de unidades:


2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.


1 5, 0 4 8

3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.

15 metros e 48 milímetros

Outros exemplos:

6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"

82,107 dam

lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".

0,003 m lê-se "três milímetros".

Transformação de Unidades

Observe as seguintes transformações:

• Transforme 16,584hm em m.


Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

16,584 x 100 = 1.658,4

Ou seja:

16,584hm = 1.658,4m

• Transforme 1,463 dam em cm.


Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10).

1,463 x 1.000 = 1,463

Ou seja:

1,463dam = 1.463cm.

• Transforme 176,9m em dam.


Para transformar m em dam (uma posição à esquerda) devemos dividir por 10.

176,9 : 10 = 17,69

Ou seja:

176,9m = 17,69dam

• Transforme 978m em km.


Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.

978 : 1.000 = 0,978

Ou seja:

978m = 0,978km.

Observação:

Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.

Perímetro de um Polígono

Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.

Perímetro do retângulo

b - base ou comprimento

h - altura ou largura

Perímetro = 2b + 2h = 2(b + h)

Perímetro dos polígonos regulares


Triângulo equilátero Quadrado

P = l+ l + l P = 3 · l

P = l + l + l+ l P = 4 · l

Pentágono Hexágono

P = l + l + l + l + l P = 5 ·

P = l + l + l + l + l + l P = 6 · l

l - medida do lado do polígono regular P - perímetro do polígono regular

Para um polígono de n lados, temos:

P = n · l

Comprimento da Circunferência

Um pneu tem 40cm de diâmetro, conforme a figura. Pergunta-se: Cada volta completa deste pneu corresponde na horizontal a quantos centímetros?

Envolva a roda com um barbante. Marque o início e o fim desta volta no barbante. Estique o bastante e meça o comprimento da circunferência correspondente à roda.

Medindo essa dimensão você encontrará aproximadamente 125,6cm, que é um valor um pouco superior a 3 vezes o seu diâmetro. Vamos ver como determinar este comprimento por um processo não experimental.

Você provavelmente já ouviu falar de uma antiga descoberta matemática:

Dividindo o comprimento de uma circunferência (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos

sempre um valor aproximadamente igual a 3,14.

Assim:

O número 3,141592... corresponde em matemática à letra

grega (lê-se "pi"), que é a primeira lera da palavra grega

perímetro. Costuma-se considera = 3,14.

Logo: Utilizando essa fórmula, podemos determinar o comprimento de qualquer circunferência. Podemos agora conferir com auxílio da fórmula o comprimento da toda obtido experimentalmente.

C = 2 r C =

2 3,14 · 20 · C = 125,6 cm

3,141592...

17 - MEDIDAS DE ÁREA (SUPERFÍCIE)

Introdução

As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:

• Qual a área desta sala?

• Qual a área desse apartamento?

• Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina?

• Qual a área dessa quadra de futebol de salão?

• Qual a área pintada dessa parede?

Superfície e área

Superfície é uma grandeza com duas dimensòes, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.

Metro Quadrado

A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.

O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.

Múltiplos Unidade Fundamental

Submúltiplos

quilômetros quadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado

metro quadrado

decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

O dam2, o hm2 e km2 são utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.

Exemplos:


1) Leia a seguinte medida: 12,56m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 12, 56

Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.

2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1 78, 30

Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”

3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 0, 91 70

Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

Medidas Agrárias

As medidas agrárias são utilizadas parea medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).

Unidade agrária hectare (ha) are (a) centiare (ca)

Equivalência

de valor 100a 1a 0,01a

Lembre-se:

1 ha = 1hm 2 1a = 1 dam 2 1ca = 1m 2

Transformação de unidades

No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior :

Observe as seguintes transformações:

• transformar 2,36 m2 em mm2.


Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita ) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).

2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2

• transformar 580,2 dam2 em km2.


Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda ) devemos dividir por 10.000 (100x100).

580,2 : 10.000 = 0,05802 km2

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)

18 - MEDIDAS DE VOLUME

Introdução

Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico . O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos

quilômetro cúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico metro cúbico decímetro

cúbico centímetro

cúbico milímetro

cúbico


1.000.000.000m3 1.000.000 m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001

m3

Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, tres algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.

• Leia a seguinte medida: 75,84m3

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 75, 840

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

• Leia a medida: 0,0064dm3

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 0, 006 400

Lê-se "6400 centímetros cúbicos".


Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente infer ior .

Observe a seguinte transformação:

• transformar 2,45 m3 para dm3.



Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita ) devemos multiplicar por 1.000.

2,45 x 1.000 = 2.450 dm3


1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3) 2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3) 3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3) 4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3)

19 - MEDIDAS DE CAPACIDADE

A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.

A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.

Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

1l = 1dm 3

Múltiplos e submúltiplos do litro

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Relações

1l = 1dm3

1ml = 1cm3

1kl = 1m3

Leitura das medidas de capacidade

• Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal

kl hl dal l dl cl ml 2, 4 7 8

Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".


Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatam ente inferior .

Observe a seguinte transformação:

• transformar 3,19 l para ml.

kl hl dal l dl cl ml

Para transformar l para ml (três posições à direita ) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10).

3,19 x 1.000 = 3.190 ml


1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl) 2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l) 3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l) 4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl (R: 800 l)

20 - MEDIDAS DE MASSA

Introdução

Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:

Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.

Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:

A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua.

Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.

Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas" .

Quilograma

A unidade fundamental de massa chama-se quilograma .

O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de

4ºC.

Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa.

Múltiplos e Submúltiplos do grama

Múltiplos Unidade principal Submúltiplos

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

kg hg dag g dg cg mg

1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:

1 dag = 10 g e 1 g = 10 dg

Relações Importantes


Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade.

Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência:

1 kg <=> 1dm3 <=> 1L

São válidas também as relações:

1m3 <=> 1 Kl <=> 1t

1cm3 <=> 1ml <=> 1g

Observação:

Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais:

1 arroba = 15 kg

1 tonelada (t) = 1.000 kg

1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg

Leitura das Medidas de Massa

A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos:

• Leia a seguinte medida: 83,732 hg


8 3, 7 3 1

Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".

• Leia a medida: 0,043g


0, 0 4 3

Lê-se " 43 miligramas".

Transformação de Unidades

Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe as Seguintes transformações:

• Transforme 4,627 kg em dag.


Para transformar kg em dag (duas posições à direita ) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

4,627 x 100 = 462,7

Ou seja:

4,627 kg = 462,7 dag

Observação:

Peso bruto: peso do produto com a embalagem. Peso líquido: peso somente do produto.

21 - MEDIDAS DE TEMPO

Introdução

É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:

Qual a duração dessa partida de futebol?

Qual o tempo dessa viagem?

Qual a duração desse curso?

Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?

Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.

A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo .

Segundo

O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.

O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.

As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

Múltiplos e Submúltiplos do Segundo

Quadro de unidades

Múltiplos

minutos hora dia

min h d

60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo:

• décimo de segundo

• centésimo de segundo

• milésimo de segundo

Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.

Observe:


Outras importantes unidades de medida:

mês (comercial) = 30 dias

ano (comercial) = 360 dias

ano (normal) = 365 dias e 6 horas

ano (bissexto) = 366 dias

semana = 7 dias

quinzena = 15 dias

bimestre = 2 meses

trimestre = 3 meses

quadrimestre = 4 meses

semestre = 6 meses

biênio = 2 anos

lustro ou qüinqüênio = 5 anos

década = 10 anos

século = 100 anos

milênio = 1.000 anos

22 - EQUAÇÕES DO 2º GRAU

Definições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e

Exemplo:

• x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.

• 6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.

• 7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.

• x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes .

a é sempre o coeficiente de x²;

b é sempre o coeficiente de x,

c é o coeficiente ou termo independente.

Equações completas e Incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

• x² - 36 = 0 (b = 0)

• x² - 10x = 0 (c = 0)

• 4x² = 0 (b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes .

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução . Exemplos:

• Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação x² - x - 2 = 0 ?

Solução Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para x = -1 (-1)² - (-1) - 2 = 0

1 + 1 - 2 = 0 0 = 0

(V)

Para x = 0 0² - 0 - 2 = 0 0 - 0 -2 = 0

-2 = 0 (F)

Para x = 1 1² - 1 - 2 = 0 1 - 1 - 2 = 0

-2 = 0 (F)

Para x = 2 2² - 2 - 2 = 0 4 - 2 - 2 = 0

0 = 0 (V)

Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0. Solução Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.

• Logo, o valor de p é .

Resolução de equações incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade . Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

1ª Propriedade:


2ª Propriedade:

1º Caso: Equação do tipo .

Exemplo:

• Determine as raízes da equação , sendo .

Solução Inicialmente, colocamos x em evidência:

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

De modo geral, a equação do tipo tem para

soluções e .

2º Caso: Equação do tipo

Exemplos:

• Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

Solução

De modo geral, a equação do tipo possui duas

raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real

caso seja um número negativo.

Resolução de equações completas

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara .

A partir da equação , em que a, b, c IR

e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

3º passo: adicionar aos dois membros.

4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por .

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

Exemplos:

• resolução a equação:

Temos


Discriminante

Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é

representado pela letra grega (delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .

O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo:

• Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?

Solução

Para que a equação admita raízes reais e desiguais,

devemos ter

Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo

O valor de é nulo e a equação tem duas raízes

reais e iguais, assim representadas:

Exemplo:

• Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais. Solução Para que a equação admita raízes iguais é necessário

que .

Logo, o valor de p é 3.

3º Caso: O discriminante é negativo .

O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos .

Exemplo:

• Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real? Solução Para que a equação não tenha raiz real devemos ter

Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

Resumindo

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:

Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.

Para , a equação tem duas raízes reais iguais.

Para , a equação não tem raízes reais.

EQUAÇÕES LITERAIS

As equações do 2º grau na variável x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras são denominadas equações literais.

As letras que aparecem numa equação literal, excluindo a incógnita, são denominadas parâmetros.

Exemplos:

ax2+ bx + c = 0 incógnita: x


parâmetro: a, b, c

ax2 - (2a + 1) x + 5 = 0 incógnita: x

parâmetro: a

Equações literais incompletas

A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas.

Observe os exemplos:

• Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.

Solução

3x2 - 12m2 = 0

3x2 = 12m2

x2 = 4m2

x=

Logo, temos:

• Resolva a equação literal incompleta my2- 2aby=0,com

m 0, sendo y a variável.

Solução

my2 - 2aby = 0

y(my - 2ab)=0

Temos, portanto, duas soluções:

y=0

ou

my - 2ab = 0 my = 2ab y=

Assim:

Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido:

my2 - 2aby= 0

my2 = 2aby

my = 2ab

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .

O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.

Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.

Equações literais completas

As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:

Exemplo:

Resolva a equação: x2 - 2abx - 3a2b2, sendo x a variável.

Solução

Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2

Portanto:

Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

RELAÇÕES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

Logo:

Observe as seguintes relações:

• Soma das raízes ( S)

• Produto das raízes ( P)

Como ,temos:


Denominamos essas relações de relações de Girard . Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações.

• Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0.

Solução

Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.

A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é

igual a

Assim: Assim:

• Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.

Solução

Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.

S= x1 + x2 = 7

Logo, o valor de k é -2.

• Determine o valor de m na equação 4x2 - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes seja igual a -2.

Solução

Nesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m.

P= x1. x2= -2

Logo, o valor de m é .

• Determine o valor de k na equação 15x2 + kx + 1 = 0, para que a soma dos inversos de suas raízes seja igual a 8.

Solução

Considere x1 e x2 as raízes da equação.

A soma dos inversos das raízes corresponde a .

Assim:

Logo, o valor de k é -8.

• Determine os valores de m para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2 = 0 admita:

a) raízes simétricas;

b) raízes inversas.

Solução

Se as raízes são simétricas, então S=0.

Se as raízes são inversas, então P=1.

COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU, CONHECIDAS AS RAÍZES

Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.

Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P= 0

Exemplos:

• Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

Solução

A soma das raízes corresponde a:

S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5

O produto das raízes corresponde a:

P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14

A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.

Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.


• Formar a equação do 2º grau, de coeficientes

racionais, sabendo-se que uma das raízes é .

Solução

Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma

raiz , a outra raíz será .

Assim:

Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

FORMA FATORADA

Considere a equação ax2 + bx + c = 0.

Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:

Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:

a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos:

• Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.

Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0

• Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.

Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0

pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0

• Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.

Solução

Como o , a equação não possui raízes reais.

Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

23 - INEQUAÇÕES DE 1º GRAU

Introdução

Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:

, , , , como a e b

reais .

Exemplos:

Representação gráfica de uma inequação do 1º grau c om duas variáveis

Método prático

• Substituímos a desigualdade por uma igualdade. • Traçamos a reta no plano cartesiano. • Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto

(0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou não a desigualdade inicial.

Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semi-plano ao qual pertence o ponto auxiliar.

Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos:

• Representamos graficamente a inequação

Tabela

x y (x, y)

0 4 (0, 4)

2 0 (2, 0)


Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação

Verificamos:

(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação )

A solução da inequação corresponde ao semi-plano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).

24 - INEQUAÇÕES DO 2º GRAU Para encontrar o conjunto solução de uma inequação do 2º grau, aplicamos as propriedades especificas das desigualdades ou trabalhamos na análise da representação gráfica de uma função quadrática. Como proceder! Vamos mostrar os procedimentos aplicando num exemplo: Exemplo 1: Considere a inequação do 2º grau x²-3x+2>0. Encontre o conjunto solução. Resolvendo: Observe que, neste exemplo, devemos encontrar os valores reais para x, que tornam os valores de y positivos da função quadrática, (maior que zero). Para isso, devemos:

• Determinar as raízes das funções; • Representar graficamente a função a partir dos pontos

determinados com o cálculo das raízes e com a análise do coeficiente angular a.

• Aplicar os conceitos de estudo do sinal trabalhado nas funções quadráticas.

• Analisar os resultados e obter a resposta da inequação.

Mostrando em etapas: Etapa 1: Encontrar as raízes da função. As raízes da função são os valores reais de x que tornam y igual a zero. Fazemos isso, aplicando a Fórmula de Bhaskara,

Etapa 2: Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com o cálculo das raízes ou seja, os pontos (2,0) e (1,0). Esses pontos determinam onde a parábola corta o eixo x. Para o esboço do gráfico da mesma necessitamos de mais uma informação – a parábola tem a concavidade voltada para cima ou para baixo? Obtemos a resposta, observando o sinal do coeficiente angular a:

• Se o valor de a é um número positivo, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

• Se o valor de a é um número negativo, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

Note que, no nosso exemplo, o valor do coeficiente angular a é positivo, pois a = 1, portanto a parábola deve ser construída com a concavidade voltada para cima. Veja a representação da função, no gráfico abaixo:

A solução da inequação do 2º é obtida a partir da analise da parábola. Como devemos ter f(x) >0, ou seja,estamos buscando os valores de modo que f(x)=y seja positivo, na parábola, os valores são x<1 e x>2.

Exemplo 2: Resolver a inequação –x2+1 ≤ 0. Resolução: Observe que, neste exemplo, devemos encontrar os valores reais para x, que tornam os valores de y negativos da função quadrática, (menor que zero). Para isso, devemos:



• Aplicar os conceitos de estudo do sinal trabalhado nas funções quadráticas.

• Analisar os resultados e obter a resposta da inequação.

Mostrando em etapas: Etapa 1: Encontrar as raízes da função. As raízes da função são os valores reais de x que tornam y igual a zero. Nesta equação podemos achar os valores, isolando o x.

Etapa 2: Representar graficamente a função a partir dos pontos determinados com o cálculo das raízes ou seja, os pontos (+1,0) e (-1,0). Esses pontos determinam onde a parábola corta o eixo x. Para o esboço do gráfico da mesma necessitamos de mais uma informação – a parábola tem a concavidade voltada para cima ou para baixo? Obtemos a resposta, observando o sinal do coeficiente angular a:

• Se o valor de a é um número positivo, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

• Se o valor de a é um número negativo, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

Note que, no nosso exemplo, o valor do coeficiente angular a negativo, pois a =- 1, portanto a parábola deve ser construída com a concavidade voltada para baixo. Veja a representação da função, no gráfico abaixo: Colocando os valores no gráfico.


Como f(x) ≤ 0, devemos obter os valores de x de modo que f(x)=y seja positiva e nula nesse caso os valores procurados

são x ≤ -1 e todos os x ≥ 1.

Exemplo 3: Determine o conjunto solução da inequação x²-

4x+4 ≥ 0. Resolução: Observe que, neste exemplo, devemos encontrar os valores reais para x, que tornam os valores de y positivos da função quadrática, (maior que zero). Para isso, devemos determinar as raízes da função. Como encontraremos as raízes da função? Aplicando a fórmula de bhaskara:

, portanto vamos primeiro achar o

Colocando na formula de bhaskara = neste exemplo encontramos uma única raiz que é x=2, que representa o par ordenado (2,0). Agora devemos representar graficamente a função a partir dos pontos determinado com o cálculo das raízes que neste caso os pontos são (2,0), e com a análise do coeficiente angular, sendo que neste exemplo o coeficiente a=1, portando positivo, isso quer nos dizer que a parábola terá a concavidade para cima.

Portando agora devemos aplicar o estudo do sinal, já trabalhado em função quadrática, e com isso analisar os resultados para obter a resposta da inequação. Como a nossa inequação é esta pedindo os valores maiores ou iguais a zero o conjunto solução serão todos os pontos positivos,ou seja :

Exemplo 4 : Considere a inequação do 2º grau x2-5x+8<0, vamos obter o seu conjunto solução seguindo esses passos:



• Aplicar os conceitos de estudo do sinal trabalhado nas funções quadráticas. Analisar os resultados e obter a resposta da inequação.

Observe que neste exemplo devemos encontrar valores reais para x de modo que tornam y negativo na função quadrática, (menor que zero). E para isso procederemos por etapas. Etapa 1: Encontrar as raízes da função. As raízes da função são os valores reais de x que tornam y igual a zero. Fazemos isso, aplicando a Fórmula de Bhaskara, com

Ao colocarmos na formula de bhaskara, vamos obter uma raiz quadrada negativa, logo ela não vai pertencer ao conjunto dos IR.

Etapa 2: Agora devemos representar graficamente a função a partir dos dados obtidos.Como os valores das raízes encontradas não iram pertencer ao conjunto dos reais, a parábola não ira cortar os eixos x e y. Analisando o nosso coeficiente angular a=1, portanto positivo, então a parábola terá a concavidade voltada para cima.

Como f(x)<0,devemos obter os valores de x de modo que f(x)=y seja negativa, mas nesse caso nós não encontramos valores para x, pois a parábola não corta o eixo x. 25 - PORCENTAGEM

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal . Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais .

Considere o seguinte problema:

João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa


percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

Exemplos:

• Calcular 10% de 300.

• Calcular 25% de 200kg.

Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

EXERCÍCIOS:

1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO .

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro

Fator de Multiplicação

10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicação

10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

26 - CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA

FINANCEIRA

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES : o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco , que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros .

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos . Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente


encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

27 - JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = P . i . n Onde:

J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante . Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )

M = P . ( 1 + i . n )

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P . ( 1 + i.n ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.

Exercícios sobre juros simples:

1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 6 = 0.02167 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 j = 1200 x 0.195 = 234 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, qu antos meses serão necessários para dobrar um capital apli cado através de capitalização simples?

Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento:

2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n

n = 2/3 ano = 8 meses

Estude sempre e muito.

O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é no dicionário.