5 - Matematica Basica

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  • CURSO PROGRESSO

    Prof Csar Loyola

    Matemtica Prof. Csar Loyola 1/35 www.cursoprogressao.com.br

    Assunto: Matemtica Bsica

    1 - REGRA DOS SINAIS

    a) No envolvendo multiplicao ou diviso

    Sinais iguais Somam-se e d-se o mesmo sinal. Ex.: + 5 + 7 = + 12 e - 5 7 = - 12 Sinais diferentes Subtraem-se e d-se o sinal do maior mdulo. Ex.: - 5 + 7 = + 2 e + 5 7 = - 2

    b) Envolvendo multiplicao ou diviso

    Sinais iguais Aps a operao o resultado ser positivo (+). Ex.: (+5).(+7) = + 35 e (- 5).(- 7) = - 35 Resumo: (+).(+) = (+) ( - ).( - ) = ( + ) (+):(+) = (+) ( - ):( - ) = ( + )

    Sinais diferentes Aps a operao o resultado ser negativo ( - ). Ex.: (+ 5).(- 7) = - 35 e (- 5).(+ 7) = - 35 Resumo: (+).( - ) = ( - ) ( - ).(+) = ( - ) (+):( - ) = ( - ) ( - ):(+) = ( - )

    2 - DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS Todo nmero natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

    Decomposio do nmero 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

    No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores so primos. Chamamos de fatorao de 24 a decomposio de 24 num produto de fatores primos. Ento a fatorao de 24 23 x 3.

    De um modo geral, chamamos de fatorao de um nmero natural, maior que 1, a sua decomposio num produto de fatores primos.

    Regra prtica para a fatorao

    Existe um dispositivo prtico para fatorar um nmero. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

    1) Dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo;

    2) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente

    at obter o quociente 1.

    A figura ao lado mostra a fatorao do nmero 630.

    Ento 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7.

    3 - FRAES

    O smbolo significa a:b, sendo a e b nmeros naturais e b diferente de zero.

    Chamamos:

    de frao;

    a de numerador;

    b de denominador.

    Adio e subtrao de nmeros fracionrios

    Temos que analisar dois casos:

    1) denominadores iguais Para somar fraes com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

    Para subtrair fraes com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

    Observe os exemplos:

    2) denominadores diferentes Para somar fraes com denominadores diferentes, uma soluo obter fraes equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das fraes. Exemplo: somar as

    fraes .

    Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.

    (10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25

  • Matemtica Prof. Csar Loyola 2/35 www.cursoprogressao.com.br

    Resumindo: utilizamos o mmc para obter as fraes equivalentes e depois somamos normalmente as fraes, que j tero o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

    Multiplicao e diviso de nmeros fracionrios

    Na multiplicao de nmeros fracionrios, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como mostrado nos exemplos abaixo:

    Na diviso de nmeros fracionrios, devemos multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda, como mostrado no exemplo abaixo:

    4 - NUMERAO DECIMAL Introduo

    A figura nos mostra um paraleleppedo com suas principais dimenses em centmetros.

    Essas dimenses so apresentadas sob a forma de notao decimal, que corresponde a uma outra forma de representao dos nmeros racionais fracionrios.

    A representao dos nmeros fracionria j era conhecida h quase 3.000 anos, enquanto a forma decimal surgiu no sculo XVI com o matemtico francs Franois Vite.

    O uso dos nmeros decimais bem superior ao dos nmeros fracionrios. Observe que nos computadores e nas mquinas calculadoras utilizamos unicamente a forma decimal.

    Fraes Decimais

    Observe as fraes:

    Os denominadores so potncias de 10.

    Assim:

    Denominam-se fraes decimais, todas as fraes que apresentam potncias de 10 no denominador.

    Numerao decimal

    Nmeros Decimais

    O francs Vite (1540 - 1603) desenvolveu um mtodo para escrever as fraes decimais; no lugar de fraes, Vite escreveria nmeros com vrgula. Esse mtodo, modernizado, utilizado at hoje. Observe no quando a representao de fraes decimais atravs de nmeros decimais:

    Frao Decimal =

    Nmeros Decimais

    = 0,1

    = 0,01

    = 0,001

    = 0,0001

    Frao Decimal =

    Nmeros Decimais

    = 0,5

    = 0,05

    = 0,005

    = 0,0005

    Frao Decimal =

    Nmeros Decimais

    = 11,7

    = 1,17

    = 0,117

    = 0,0117

  • Matemtica Prof. Csar Loyola 3/35 www.cursoprogressao.com.br

    Os nmeros 0,1, 0,01, 0,001; 11,7, por exemplo, so nmeros decimais. Nessa representao, verificamos que a vrgula separa a parte inteira da parte decimal.

    Leitura dos nmeros decimais

    No sistema de numerao decimal, cada algarismo, da parte inteira ou decimal, ocupa uma posio ou ordem com as seguintes denominaes:

    Centenas Dezenas Unidades Dcimos Centsimos Milsimos Dcimos milsimos Centsimos milsimos Milionsimos

    Partes inteiras Partes decimais

    Leitura

    Lemos a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras:

    dcimos ........................................... : quando houver uma casa decimal; centsimos....................................... : quando houver duas casas decimais; milsimos......................................... : quando houver trs casas decimais; dcimos milsimos ........................ : quando houver quatro casas decimais; centsimos milsimos ................... : quando houver cinco casas decimais e, assim sucessivamente.

    Exemplos:

    1,2: um inteiro e dois dcimos; 2,34: dois inteiros e trinta e quatro centsimos

    Quando a parte inteira do nmero decimal zero, lemos apenas a parte decimal.

    Exemplos:

    0,1 : um dcimo; 0,79 : setenta e nove centsimos

    Observao:

    1. Existem outras formas de efetuar a leitura de um nmero decimal. Observe a leitura do nmero 5,53:

    Leitura convencional: cinco inteiros e cinquenta e trs centsimos;

    Outras formas: quinhentos e cinquenta e trs centsimos; cinco inteiros, cinco dcimos e trs centsimos.

    2. Todo nmeros natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vrgula aps o ltimo algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos: 4 = 4,0 = 4,00 75 = 75,0 = 75,00

    Transformao de nmeros decimais em fraes decimais

    Observe os seguintes nmeros decimais:

    0,8 (l-se "oito dcimos"), ou seja, . 0,65 (l-se "sessenta e cinco centsimos"), ou seja,

    .

    5,36 (l-se "quinhentos e trinta e seis centsimos"), ou

    seja, . 0,047 (l-se "quarenta e sete milsimos"), ou seja,

    Verifique ento que:

    Assim:

    Um nmero decimal igual frao que se obtm escrevendo para numerador o nmero sem vrgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

    Transformao de frao decimal em nmero decimal

    Observe as igualdades entre fraes decimais e nmeros decimais a seguir:

  • Matemtica Prof. Csar Loyola 4/35 www.cursoprogressao.com.br

    Podemos concluir, ento, que:

    Para se transformar uma frao decimal em nmero decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.

    Decimais equivalentes

    As figuras foram divididas em 10 e 100 pares, respectivamente. A seguir foram coloridas de verde escuro 4 e 40 destas parte, respectivamente. Observe:

    Verificamos que 0,4 representa o mesmo que 0,40, ou seja, so decimais equivalentes. Logo, decimais equivalentes so aqueles que representam a mesma quantidade.

    Exemplos:

    0,4 = 0,40 = 0,400 = 0,4000 8 = 8,0 = 8,00 = 8,000

    2,5 = 2,50 = 2,500 = 2,5000

    95,4 = 95,40 = 95,400 = 95,4000

    Dos exemplos acima, podemos concluir que:

    Um nmero no se altera quando se acrescenta ou se suprime um ou mais zeros direita de sua parte decimal.

    Comparao de nmeros decimais

    Comparar dois nmeros decimais significa estabelecer uma relao de igualdade ou de desigualdade entre eles. Consideremos dois casos:

    1 Caso: As partes inteiras

    O maior aquele que tem a maior parte inteira.

    Exemplos:

    3,4 > 2,943, pois 3 >2. 10,6 > 9,2342, pois 10 > 9.

    2 Caso: As partes inteiras so iguais

    O maior aquele que tem a maior parte decimal. necessrio igualar inicialmente o nmero de casas decimais acrescentando zeros.

    Exemplos:

    0,75 > 0,7 ou 0,75 > 0,70 (igualando as casas decimais), pois 75 > 70.

    8,3 > 8,03 ou 8,30 > 8,03 (igualando as casas decimais ), pois 30 > 3.

    5 - NMEROS RACIONAIS

    Racionais Positivos e Racionais Negativos

    O quociente de muitas divises entre nmeros naturais um nmero racional absoluto.

    Nmeros racionais positivos e nmeros racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois nmeros inteiros, com divisor diferente de zero.

    Por exemplo:

    (+17) : (-4) =

    um nmero racional negativo

    Nmeros Racionais Positivos

    Esses nmeros so quocientes de dois nmeros inteiros com sinais iguais.

    (