UDC. Numeros complejos

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  • Tecnicatura en

    Matemtica I Unidad I

  • Orden de Presentacin

    IntroducionEcuaciones irresolubles en RNumeros complejosOperaciones VectorialesAdicion y SustraccionMultiplicacionDivisionPotenciasReconstruccionNumeros complejos y vectoresFormaPolarTrigonometricaOperaciones PolaresAdicion y SustraccionMultiplicacionDivisionPotenciasAplicaciones

    Numeros Complejos

  • Numeros Complejos

    Los nmeros complejos se introducen para dar sentido a la raz cuadrada de nmeros negativos. As se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles.

    Presentaremos este mundo: expresin de los nmeros complejos, su representacin grfica, operaciones y su forma polar. El enfoque es muy geomtrico para facilitar la comprensin.

    La importancia de los nmeros complejos est marcada por sus mltiples aplicaciones en diversas reas (Matemticas, Fsica, Ingeniera o Tecnologa)1. Ecuaciones irresolubles en R

  • Durante todo ese tiempo se manejaron esas soluciones sin definirlas claramente, aunque sAlbert Girarden 1629 afirmaba ya que una ecuacin polinmica de gradon, tienensoluciones.DesdeAl'Khwarizmi(800 DC), precursor del lgebra, que slo obtena las soluciones positivas de las ecuaciones, pasaron ms de ocho siglos, hasta que finalmenteDescartes en 1637 puso nombre a las races cuadradas de nmeros negativos, imaginarios, y dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones son nmeros de la formaa+bi, conaybreales. HistoriaNumeros Complejos

  • 1. Ecuaciones irresolubles en RCon los conocimientos que poseemos seriamos capaces de resolver bastantes ecuaciones algebraicas, como por ejemplo:

    x2 2 x - 3 = 0Que tiene por solucionesx = -1 y x = 3Sin embargo existen ecuaciones irresolubles en R (nmeros reales), pues por ejemplo la ecuacinx2 2 x + 3 = 0.Tiene por soluciones x = 1 (-2)que no son soluciones reales.Para resolver este tipo de ecuaciones las matemticas han tenido la necesidad de ampliar los conjuntos numricos, de tal manera que dichos conjuntos incluyan soluciones como las expuestas en el ejemplo anterior.

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  • Esquema de los numeros

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  • 2. Numeros complejosUn nmero complejo es un nmero de la forma z = a + b. , donde a y b son nmero reales y = (-1).

    Al nmero a se le denomina parte real, al nmero b se le denomina parte imaginaria y a unidad imaginaria.Si b = 0, z = a es un nmero rel.Si a = 0, z = b. es un nmero imaginario puroCon esta notacin, podemos representar cualquier nmero que contenga una raz negativa, por ejemplo: 3 + (-10) = 3 + 10..

    El conjunto de los nmeros complejos se representa por , es decir: = { a + b. : a, b } Ejemplo: Hallar las soluciones complejas de la ecuacin x2 2 x + 5.

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  • 3.1 Adiccin y sustraccin.Para sumar o restar nmeros complejos, basta con sumar o restar sus partes reales y sus partes imaginarias respectivamente, es decir:

    (a+b.) (c+d.) = (ac) + (bd). Ejemplo.- Si z1 = 2 , z2 = 1 + 3.. Calcular z1 + z2 y z1 z2.

    z1 + z2 = (2+1) + (-1+3). = 3 + 2. z1 - z2 = (2-1) + (-1-3). = 1 - 4. Numeros Complejos

  • 3.2 Multiplicacin

    Para multiplicar nmeros complejos, se multiplican como si fueran polinomios de variable , despus se agrupan los trminos y se sustituye 2 por (-1), ya que 2 = (-1)2 = -1 :

    (a+b.) (c+d.) = (ac) + (bd). Ejemplo.- Si z1 = 2 , z2 = 1 + 3.. Calcular z1 . z2.

    z1 . z2 = ( 2 ) . (1+3.) = 2.1 + 2.3. - .1 .3. = 5 5. Numeros Complejos

  • 3.3 Divisin. Nmeros complejos conjugados.El nmero complejo conjugado de a + b. es a b.Ejemplo.- El conjugado de 2 + 3. es 2 3. Para dividir dos nmeros complejos, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador

    Ejemplo.- Si z1 = 2 , z2 = 1 + 3.. Calcular z1 / z2.

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  • 3.4 Potencias de . Potenciacin.Teniendo en cuenta que se cumple:

    1 = 2 = -1 3 = - 4 = 1 5 = 6 = -1 7 = - 8 = 1Y en general para cualquier nmero entero k se cumple4k = 4k+1 = -1 4k+2 = - 4k+3 = 1La potencia -nsima de un nmero complejo a + b. es decir ( a + b.) n, consiste en multiplicar n veces a + b..

    Ejemplo.- Calcular (2 )3

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  • 3.5 Reconstruccin de una ecuacin con soluciones complejas. Si una ecuacin con coeficientes reales tiene por solucin el nmero complejo a + b., tambin tiene por solucin el complejo conjugado a b.. Ejemplo.- Construir una ecuacin de tercer grado con coeficientes reales, sabiendo que dos de sus soluciones son r1 = 2 y r2 = 1 + 2.

    Solucin: Como la ecuacin buscada tiene tambin por raz r3 = 1 2., ser(x r1).(x - r2).(x r3) = 0 (x - 2).(x (1 + 2.)).(x (1 - 2.)) = 0 (x - 2).(x 1 - 2.).(x 1 + 2.) = 0 (x - 2).[(x 1)2 (2.)2] = 0 (x - 2).[x2 2.x + 1 + 4] = 0 (x - 2).[x2 2.x + 5] = 0 x3 - 4.x2 + 9.x -10 = 0Numeros Complejos

  • 4.a Nmeros complejos y vectores. Dado que podemos representar cada nmero complejo z = a + b., en el plano real, representando a en el eje real (eje de abscisas OX) y representado b en el eje imaginario (eje de ordenadas OY), cada nmero complejo z = a + b., viene representado en el plano por el afijo z(a,b) o por el vector OzEjemplo.- Los nmero complejos z1 = 4 + 3. y z2 = 3 2. tiene por afijos z1(4,3) y z2(3,-2) y el complejo z2 z1 = (3 2.) (4 + 3.) tiene por vector asociado a (-1,-5)

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  • 4.b Adicin y sustraccin grfica de nmeros complejos Teniendo en cuenta que lo nmeros complejos z = a + b., lo podemos representar por el vector vz = (a,b). Grficamente, la suma de dos complejos z1 y z2 ser el vector diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2 y la resta de dos complejos z1 y z2 ser el vector diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2Ejemplo.- Representar grficamente grficamente z1+z2 y z1z2, siendo z1=1+ y z2=12.

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  • 4.c Producto grfico de un nmeros complejos por . Teniendo en cuenta z=a+b., lo podemos representar por el vector vz=(a,b). El producto de z.=(a+b.).=-b+a., que tiene de afijo (-b,a) representa grficamente el giro respecto del origen de z de 90 Ejemplo: Representar grficamente z.2, siendo z=1+

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  • 5.1 Forma polar de un nmero complejo.Dado un nmero complejo z = a+b. de afijo z(a,b) y vector asociadoz(a,b), se define:

    MDULO de z = r = |z(a,b) | = (a2+b2).ARGUMENTO de z = = ngulo de z con el semieje positivo = arc tg (b/a)De este modo en nmero complejo, se puede representar en forma polar z(r,) o de forma abreviada z = r.

    Un nmero complejo en forma polar z = r, tendr de forma binmicaz = r.cos + .r.sen Ejemplos.-

    * Dado el nmero z = -2+2., como r = (a2+b2) = 2, y arc tg (b/a) = { 135, 315} y se encuentra en el segundo cuadrante, su forma polar abreviada ser z = 2315.* Dado el complejo z = 4150, su forma binmicaz = r.cos + .r.sen = r.cos 150 + r.sen 150 . = -2.3+2.. Numeros Complejos

  • 5.2 Forma trigonomtrica de un nmero complejo.Dado un nmero complejo z = a+b. de afijo z(a,b) de modulo r y argumento , su forma trigonomtrica ser

    z = r.(cos + .sen ) Ejemplo.- Dado el nmero complejo z = 3+, como su modulo es r = 2 y como est en el primer cuadrante su argumento es = arc tg (1/3) = arc tg (3/3) = 30 y su forma trigonomtrica ser

    z = 2.(cos 30 + en 30). . Numeros Complejos

  • 5.3 Nmeros complejos iguales.Dos nmeros complejos expresados en forma binmica z1 = a+b. y z2 = c+d. son iguales si y solo si a = c y b = d.Dos nmeros complejos en forma polar z1 = r y z2 = s son iguales si y solo si r = s y - = 360.k, siendo k un nmero entero cualquiera

    Ejemplo.- Para comprobar si son iguales z1 = 2315 y z2 = - 2 + 2., utilizando por ejemplo la forma polar, como |z2 | = 2 y arc tg (2/-2 ) = -1 = {135,315}, pero como z2 est en el segundo cuadrante, ser z2 = 2135 , luego z1 z2

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  • 6.1 Multiplicacin de nmeros complejos en forma polar. Dados dos complejos z1 = r = r.(cos +.sen ) y z2 = s = s.(cos +.sen ), ser: z1. z2 = r.s = r.s. (cos +.sen ).(cos +.sen ) = = r.s. [ cos .cos - sen .sen + . (sen .cos + cos .sen ) ] = = r.s. [ cos (+) + . sen (+) ] = r.s+ Ejemplo.- Si z1 = 360 y z2 = 230, ser

    z1.z2 = 3.2(60+30) = 690Numeros Complejos

  • 6.2 Divisin de nmeros complejos en forma polar. Dados dos complejos z1 = r = r.(cos +.sen ) y z2 = s = s.(cos +.sen ), ser:Ejemplo.- Si z1 = 360 y z2 = 230, ser

    z1/z2 = (3/2)(60-30) = (3/2)30Numeros Complejos

  • 6.3 Potenciacin de nmeros complejos en forma polar.Si z = a + b. tiene su forma polar z = r, teniendo en cuenta el producto de nmeros complejos en forma polar y tambin que la potencia n-sima de z (zn) es el producto n veces de z, se obtiene.

    Ejemplo.-

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  • 6.4a Radicacin de nmeros complejos en forma polar. Sea el nmero complejo z = r. Si w = s es una raz en ensima de z, se tiene que cumplir wn =z, es decirEjemplo.- Para hallar las races cuartas de z=1, como z=1= 1.(cos 0 + .sen 0) = 10.

    ComoNumeros Complejos

  • 6.4b Radicacin de nmeros complejos en forma polar. Si el nmero complejo z = r. La representacin en el plano de las races ensimas de z, son los vrtices de un polgono regular de n lados cuyo centro es el origen y radio es r1/n. Ejemplo.- Representar en el plano las races cuartas de z=1.

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  • Aplicaciones En matemticaSoluciones de ecuaciones polinmicasUnarazdelpolinomiopes un complejoztal quep(z)=0. Un resultado importante de esta definicin es que todos los polinomios de gradontienen exactamentensoluciones en elcampo complejo, esto es, tiene exactamentencomplejoszque cumplen la igualdadp(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. Tambin se cump