Tema III Funciones Polinomicas Radicales y Racionales y Limites Uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIN

INSTRUMENTACIN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO INICIAL MATEMTICA

TEMA III

FUNCIONES POLINMICAS, RADICALES Y RACIONALES. LMITES POR

TEOREMAS. FORMA 0/0.

HISTORIA DE LAS FUNCIONES Y LMITES

El concepto de funcin vino a conocerse en el siglo XVII. En la historia de las matemticas

se le dan crditos al matemtico suizo Leonhard Euler, por precisar el concepto de funcin,

as como por realizar un estudio sistemtico de todas las funciones elementales, incluyendo

sus derivadas e integrales.

Antes de Euler, el matemtico y filsofo francs Ren Descartes, mostr en sus trabajos de

geometra que tena una idea muy clara de los conceptos de variable y funcin, realizando

una clasificacin de las curvas algebraicas segn sus grados, reconociendo que los puntos

de interseccin de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultnea, las ecuaciones

que las representan. Afirm:

Una funcin de cantidad variable es una expresin analtica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por nmeros o

cantidades constantes.

Tambin fue el responsable de la utilizacin de las ltimas letras del alfabeto para designar

las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. Invent el mtodo de

los exponentes (como en 2x ) para indicar las potencias de los nmeros. Formul la regla

(conocida como la ley cartesiana de los signos) para descifrar el nmero de races negativas

y positivas de cualquier ecuacin algebraica, trmino usado para indicar la relacin o

correspondencia entre dos o ms cantidades.

El termino funcin fue usado por primera vez en 1673 por el matemtico francs Ren

Descartes para designar una potencia 2x de la variable .x

En otro orden de ideas, aunque implcita en el desarrollo del Clculo de los siglos

XVII y XVIII, la notacin moderna del lmite de una funcin se remonta a Bolzano quien,

en 1817, introdujo las bases de la tcnica psilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fue

conocido mientras l estuvo vivo. Cauchy expuso lmites en su Cours d'analyse (1821) y

parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemtica.

La primera presentacin rigurosa de la tcnica hecha pblica fue dada por Weierstrass en

los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el mtodo estndar para trabajar con

lmites. La notacin de escritura usando la abreviatura lim con la flecha debajo es debida

a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.

TEMA III: FUNCIONES POLINMICAS, RADICALES Y RACIONALES Y LMITES

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMTICA

CONCEPTO DE FUNCIN (REAL DE VARIABLE REAL)

Una funcin es una relacin entre dos variables, x e .y A cada valor de la x (variable independiente) le corresponde un nico valor de y (variable dependiente). La funcin se represente grficamente sobre los ejes cartesianos. Segn alas graficas de la figura:

Representaciones graficas de relaciones.

La primera grfica corresponde a una funcin: a cada valor de x le corresponde un nico valor de .y La segunda grfica no es de una funcin: Hay valores de x que les corresponde ms de un .y

Las funciones describen fenmenos mediante las relaciones entre las variables que

intervienen. Observando la grfica de una funcin podemos comprender cmo evoluciona

el fenmeno que en ella se describe.

As, tenemos ms formalmente que:

Una funcin es el conjunto de pares ordenados de nmero reales yx, en los cuales dos pares ordenados distintos no tienen el mismo primer nmero. El conjunto de

todos los valores permisibles de x es llamado dominio de la funcin ( fD ), y el conjunto

de todos los valores resultantes de y se conoce como rango o recorrido ( fR ) de la

funcin.

Por ejemplo, podemos notar existe una relacin: Es un conjunto de pares ordenados que

estn formadas por un elemento del primer conjunto (salida), y un elemento del segundo



conjunto (llegada). Destacando que este concepto de relacin implica la idea de

correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.

Cuando se formula una expresin que liga dos o ms objetos entre s, postulamos una

relacin, la cual no necesariamente es una funcin como veremos en los ejemplos:

a) La ecuacin de la recta:

La ecuacin punto-pendiente de la recta

est definida por la relacin:

13 xy

Y notamos que para cada valor de x

existe uno y solo un valor de ,y por

tanto es una funcin que por su

caracterstica la definimos ms adelante.

b) La ecuacin de una circunferencia:

La ecuacin de la circunferencia centrada en

0,0C y radio 3r est definida por la relacin:

922 yx

Y notamos que para cada valor de x distinto de

3,-3, existen dos valores de ,y por ejemplo para

,2x tenemos que ,92 22 y es decir

54994 222 yyy o bien

5y y por tanto no es una funcin, pero de

ella podemos obtener dos funciones despejando la

variable dependiente, por ejemplo:



De la relacin 922 yx despejamos la

variable y y obtenemos en este caso la

parte positiva: .92

1 xy

De la relacin 922 yx despejamos la

variable y y obtenemos en este caso la

parte negativa: .92

2 xy

DOMINIO DE UNA FUNCIN

El dominio de una funcin est formado por todos los elementos que tienen imagen.

RxfRxfDom /

RANGO DE UNA FUNCIN

Sea xfyxRRDf

: una funcin, se denomina rango o recorrido de una funcin

al conjunto de los valores reales que toma la variable y o .xf En forma de conjunto:

xfyDomfxRyfRg :/



GRFICA DE UNA FUNCIN

La grfica de una funcin est formada por el conjunto de puntos yx, cuando x vara en el dominio .D

D / x xx, f =fGrfica

FUNCIN POLINMICA

En matemticas, se tiene que una funcin polinmica es una funcin asociada a

un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Formalmente, es una funcin:

xPxf :

Donde xP es un polinomio definido para todo nmero real ;x es decir, una suma finita de potencias de x multiplicados por coeficientes reales, de la forma:

NnxaxaxaxaxaxP nnn

n

n

i

i

i

,1111000

Debemos tomar en cuenta que los exponentes deben ser naturales puesto que la expresin

,322

123 2345 xxxx no es un polinomio pues el exponente -3 es entero.

Otra definicin: Si xP es un polinomio en la variable x entonces decimos que esta es una funcin polinomial RRP : que asigna a cada punto Rx el valor .RxP

FUNCIONES POLINMICAS BSICAS

Algunas funciones polinmicas reciben un nombre especial segn el grado del polinomio:



GRADO NOMBRE EXPRESIN

0 Funcin constante ay

1 Funcin lineal baxy es un binomio del primer grado

2 Funcin cuadrtica cbxaxy 2

es un trinomio del segundo grado

3 Funcin cbica dcxbxaxy 23 es un cuatrinomio de

tercer grado

Dominios de diversas funciones:

Funcin Constante: ,kxf con Rk una constante.

,: RfDom

Funcin Identidad: .xxf

,: RfDom

Funcin lineal: ,kxxf con Rk una constante.

,: RfDom

Funcin lineal en general: ,bmxxf con m la pendiente de la recta y b el punto de corte de la recta en el eje .Y

,: RfDom



Funcin Cuadrtica: .2 cbxaxxf

,: RfDom

Funcin Polinmica: Nnxaxaxaxaxf nnn

n

,1

1

1

1

0

0

,: RfDom

FUNCIN RACIONAL

Una funcin racional se forma con el cociente de dos funciones polinmicas:

xQxP

xf

El dominio de una funcin racional est formado por todos los elementos que tienen

imagen o cuya imagen es real.

0/ 0/

/

/

xQRxRfDom

xQRxfDom

RxQ

xPRxfDom

RxfRxfDom

Esto es, para hallar el dominio de una funcin racional hallamos los valores para los cuales

el divisor es diferente de cero.

Por ejemplo: Hallar el dominio de la funcin .1

32

x

xxf



Llamemos 32 xxP y ,1 xxQ luego notemos que:

.1010 xxxQ

Por tanto: 1 RfDom

Otro ejemplo: Hallar el dominio de la funcin .65

12

2

xx

xxf

Llamemos 12 xxP y ,652 xxxQ luego notemos que:

.0320650 2 xxxxxQ

Factorizando, tomando en cuenta que: 532 y .632

Luego:

32

0302032

xx

xxxx

Por tanto:

3,2 RfDom

NOTA: Para factorizar la ecuacin de segundo grado se puede usar el resolvente cuadrtico

o Ruffini.

EJERCICIOS: Hallar los dominios de las funciones:

.53

672

x

xxxf



.1

672

2

x

xxxf

.652

6723

2

xxx

xxxg

.1

673

2

x

xxxf

FUNCIN RADICAL

Una funcin radical se forma cuando la cantidad subradical de la funcin es un polinomio e

inclusive un cociente de dos funciones polinmicas:

n xPxf

n

xQ

xPxf

El dominio de una funcin racional est formado por todos los elementos que tienen

imagen o cuya imagen es real.

DOMINIO DE LA FUNCIN RADICAL DE NDICE PAR

El dominio est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o

igual que cero.

Por ejemplo, sea 652 xxxf

Notemos que:

.0320652 xxxx

Factorizando, tomando en cuenta que:

532 y .632

Luego:



32 32

0302 0302032

2 Caso 1 Caso

xxxx

xxxxxx

Geomtricamente:

Por tanto:

,32, fDom

DOMINIO DE LA FUNCIN RADICAL DE NDICE IMPAR

El dominio es R o un subconjunto de este de acuerdo con la funcin que este en la cantidad

subradical.

Por ejemplo, para la funcin 3 2 65 xxxf se tiene que el dominio es:

RfDom

Mientras que para la funcin 3 2 65

xx

xxg tenemos que el dominio es, de

acuerdo con la factorizacin del ejemplo anterior: 3,2 RfDom

EJERCICIOS: Hallar los dominios de las funciones:

57 xxf

56152 xxxg



5 2 5615 xxxh

.53

672

x

xxxi

.1

672

2

x

xxxj

.652 23 xxxxk

ALGEBRA DE FUNCIONES Y SUS DOMINIOS

Suma y Diferencia de Funciones: xgxfxgf

gDomfDomgfDom

Producto de Funciones: xgxfxgf

gDomfDomgfDom

Cociente de Funciones:

,xg

xfx

g

f

.0xg

0/

xggDomxgDomfDom

g

fDom

Composicin de Funciones: Dos funciones Y f:X y ,Zg:Y donde

la imagen de f est contenida en el dominio de ,g se define la funcin

composicin Zxfg : como ,xfgxfg para todos los elementos

de .X

El dominio de fg es:

Dom gxDom f y fR | xx = fgDom



LIMITE DE FUNCIONES

DEFINICIN FORMAL DEL LMITE: Sea f una funcin definida en un intervalo

abierto que contiene a c y L un nmero real: cx

Lxf

)(lim

Significa que para todo >0 existe uno >0 tal que si:

Lxfcx )(entonces ,0

Geomtricamente:

Si una funcin xf cumple esta definicin, decimos que es convergente en a .

NOTA: Para que una funcin tenga lmite en un punto de abscisa a , o sea convergente en

ese punto, no es necesario que la funcin est definida en ese punto.

Demostrar aplicando la definicin psilon delta que el lmite existe.

Ejemplo: Comprobar que .912lim4

= x + x

Solucin:

Puesto que 12x + xf est definido para cualquier nmero real, para cualquier intervalo abierto que contenga a 4 cumplir el primer requisito de la definicin psilon delta. Ahora se debe demostrar que:

Lxfax )( /00 > , 0 >



Tomando la segunda parte de la expresin Lxfax )( 0 y sustituyendo en

ella los valores dados en el lmite entonces .912 40 xx

Luego hagamos estos clculos previos:

912x 82x 42 x

42 x 42 x .2

4

x

Para que 912x es suficiente que 2

4

x < por lo que podemos formar

.2

Prueba formar (Comprobando que el hallado funciona):

Si dado , 0 > tomamos ,2

entonces

912422

44 xxxx

Vemos que con que 2

logramos lo que queramos, que es

.912 40 xx

Luego,

912lim4

= x + x

Vemoslo grficamente:



La parte de grfica encerrada entre las rectas verticales 85,3x y 15,4x tambin

queda encerrada entre las rectas horizontales 55,8y e 45,9y

El procedimiento realizado podra repetirse fijando otros valores para .9xf A esos valores (positivos) se los llama, en forma genrica, (psilon) y para cada uno de ellos se obtiene un valor (delta) tambin positivo, tal que: si 4x y

,44 x entonces .99 xf

Utilizando notacin de distancia. Si 4x y ,40 x entonces .9 xf

O en forma equivalente: Si 4x y ,4,4 x entonces .9,9 xf

EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL LMITE: Si f es una funcin y ,c L son nmeros

reales, el lmite de xf cuando x se aproxima a c es L si y slo s:

LxfyLxfcxcx

)(lim)(lim

EJEMPLO: Comparacin de los lmites laterales



Pruebe que x

x

x 0lim

no existe.

Solucin: Puesto que:

0 si ,

0 si ,

xx

xxx

Se tiene que

11limlimlim

11limlimlim

000

000

xxx

xxx

x

x

x

x

x

x

x

x

Como los lmites laterales derecho e izquierdo son diferentes, se deduce que el lmite no

existe. A continuacin se muestra la grfica de la funcin .x

xxf

Razone en trminos de psilon delta la no existencia del lmite.

LMITES BSICOS: Si b y c son nmeros reales y n un entero positivo. bbcx

lim

y .lim cxcx

PROPIEDADES DE LOS LMITES: Si b y c son nmeros reales y n un entero

positivo, f y g funciones con los lmites siguientes: Lxfcx

)(lim y .)(lim Kxgcx

Tenemos que se cumplen:



1. MLTIPLO ESCALAR: bLxfbcx

)(lim

2. PRODUCTO: LKxgxfcx

)()(lim

3. SUMA O DIFERENCIA: KLxgxfcx

)()(lim

4. COCIENTE: 0,)(

)(lim

Kquesiempre

K

L

xg

xf

cx

5. POTENCIAS: nncx

Lxf

)(lim

6. MITE DE UNA FUNCIN RADICAL: Si n es un entero positivo: nncx

cx

lim

Para toda c si n es impar. 0c si n es par.

7. LMITE DE UNA FUNCIN COMPUESTA: Si f y g son funciones tales que:

Lxgcx

)(lim y ).()(lim LfxfLx

Entonces: )())(lim())((lim Lfxgfxgfcxcx

LMITES ESPECIALES:

1lim0

x

senx

x 0

cos1lim

0

x

x

x

11

lim0

x

ex

x

ax

ax

xln

1lim

0

k

x

xe

x

k

1lim

EJERCICIOS DE LMITES

1. Calcular los siguientes lmites:

a) 65lim 21

xxx

Solucin:

Como se trata de un lmite directo, y como cada lmite sumando existe hallamos su valor del as:



)cantidades estas todassumamos (Y 2651

.constante) la es constantefuncin una de lmite (El 6151

funcin). dicha de limite elpor escalar

del producto el es unafuncinpor

escalar un de producto del lmite ely

funcin la de limite del potencia la es

funcin una de potencia la de lmite (El 6limlim5lim

funcin). cada de lmites los de suma la es

funciones de suma una de lmite (El 6lim5limlim65lim

2

11

2

1

11

2

1

2

1

xxx

xxxx

xx

xxxx

b) 103

1262lim

2

23

2

xx

xxx

x

Solucin:

Como se trata de una funcin racional, calculemos el lmite directo de la funcin del

numerador y de la funcin del denominador (Justifica cada paso de acuerdo con el ejercicio

anterior):

1)

01212881226222

12limlim6lim2lim

12lim6lim2limlim1262lim

23

22

2

2

3

2

22

2

2

3

2

23

2

xxxx

xxxxx

xxx

xxxxxx

2)

0106410232

10limlim3lim

10lim3limlim103lim

2

22

2

2

22

2

2

2

2

xxx

xxxx

xx

xxxx

De ac tenemos que el lmite presenta una indeterminacin de la forma .0

0

Ahora descomponemos tanto la funcin polinmica del numerador como de la funcin

polinmica del denominador: Para el primero usamos la regla de Ruffini:



De aqu tenemos que un factor es 660 22 xx xxP y ,2 xxQ es decir, tenemos que:

.621262 223 xxxxx

Para el segundo notamos que .252525103 22 xxxxxx

Si aun no tienes claro esta factorizacin puedes usar la ecuacin de segundo grado.

Luego levantemos la indeterminacin:

7

2

7

64

52

62

5limlim

6limlim

limites). los de cociente el es cociente

un de limite elaplicar podemos cero de

diferentesson y existen limites los (Como 5lim

6lim

r).simplifica podemosy 02 sea o

2 que tenemos2(Como 5

6lim

52

62lim

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xx

xx

x

x

xx

x

x

x

x

x-

x xx

x

xx

xx

Cocientes del dividendo

1 -2 -6 12

2 2 0 - 12

1 0 -6 0

Resto

Coeficiente del cociente



As,

7

2

103

1262lim

2

23

2

xx

xxx

x

c) 2

4lim

4

x

x

x

Solucin:

Como se trata de una funcin racional, calculemos el lmite directo de la funcin del

numerador y de la funcin del denominador (Justifica cada paso de acuerdo con el ejercicio

anterior):

a) 04444 limlimlim444

xxx

xx

b) 0222422 limlimlim444

xxx

xx

De ac tenemos que el lmite presenta una indeterminacin de la forma .0

0

Ahora debemos racionalizar:

24

24

4

424

222

842

2

2.

2

4

22

x

x

xx

x

xxx

xxx

xxxx

x

x

x

x

Luego levantemos la indeterminacin:

42224222

4limlimlimlim

4444

xxxx

xxx

x

As,

42

4lim

4

x

x

x



EJERCICIOS PROPUESTOS

a) .2

242 346

2lim

x

xxx

x

b) .3

182 234

3lim

x

xxx

x

c) 25

1522

2

5lim

x

xx

x

d) 103

442

23

2lim

xx

xxx

x

e) .8

823

24

2lim

x

xxx

x

f) .63

3091263 354

2lim

x

xxxx

x

g) 652

9923

23

3lim

xxx

xxx

x

h) 21

1lim

1

x

x

x

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

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https://www.createspace.com/5137020

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lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.

Editorial Revert.

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