Tema iv numeros complejos uai uney

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  • PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIN

    INSTRUMENTACIN Y CONTROL

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I UNIDADES ACREDITABLES I

    TEMA II: NMEROS COMPLEJOS UNIDADES ACREDITABLES I

    ANTECEDENTES HISTRICOS

    Los nmeros complejos son una extensin de los nmeros reales y forman el

    mnimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los nmeros

    complejos se designa como ,C siendo R el conjunto de los reales en donde se cumple que

    .CR Los nmeros complejos incluyen todas las races de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo nmero complejo puede representarse como la suma de un nmero

    real y un nmero imaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica

    con la letra i ), o en forma polar.

    Los nmeros complejos son la herramienta de trabajo del lgebra, anlisis, as como

    de ramas de las matemticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones

    diferenciales, aerodinmica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Adems

    los nmeros complejos se utilizan por doquier en matemticas, en muchos campos de

    la fsica (notoriamente en la mecnica cuntica) y en ingeniera, especialmente en

    la electrnica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas

    electromagnticas y la corriente elctrica.

    En matemticas, estos nmeros constituyen un cuerpo y, en general, se consideran

    como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los nmeros reales y los

    imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los nmeros complejos es

    el teorema fundamental del lgebra pero que se demuestra an en un curso de variable

    compleja , que afirma que cualquier ecuacin algebraica de grado n tiene exactamente n

    soluciones complejas. Los anlogos del clculo diferencial e integral con nmeros

    complejos reciben el nombre de variable compleja o anlisis complejo.

  • TEMA IV: NMEROS COMPLEJOS

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 LGEBRA

    UNIDAD IMAGINARIA

    El nmero imaginario ms conocido es .1 Euler lo represent por el smbolo i

    que an se usa en la literatura. As, la unidad imaginaria es el nmero 1 y se designa

    por la letra .i Esto es: .1 i O sea que i ser aquella cantidad que elevada al

    cuadrado resulta .1 Claramente: .11 22 iii Las leyes formales de operacin para i son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de los Signos, se tiene:

    .==ii=iiii

    i; i =i =i = iii

    ; = i = ii

    = i;--i

    = -i;-i

    = i;+i

    111

    1

    1

    1

    1

    1

    22

    2

    2

    Con lo anterior se puede construir una tabla de las potencias de la unidad imaginaria:

    1i i 3i i 5i i

    7i i

    2i 1 4i 1 6i 1 8i 1

    Esta tabla indica que las potencias impares de i son iguales a i o i y que las

    potencias pares de son iguales a 1 o .1 Se cumple adems que: .10 i

    NOTA: Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cunto vale

    una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de

    la potencia equivalente a la dada. Debemos destacar que el sobrante o resto que

    oscilar entre 0 y 3 (lo cual es lo que nos importa para realizar los clculos como vemos

    en el ejemplo de abajo).

    Ejemplos: Hallar .22i

    Solucin: Como haciendo la divisin, tenemos que: ,52

    422 entonces:

  • TEMA IV: NMEROS COMPLEJOS

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 LGEBRA

    11111 525422 iii

    Ejercicio: Demostrar que: ii 27

    RAZ CUADRADA DE CUALQUIER NMERO NEGATIVO

    Podemos hallar la raz cuadrada de cualquier nmero negativo como el siguiente:

    .214144 i Ejercicio: Demostrar que:

    a) i 39

    b) i2

    10

    2

    5

    Podemos definir a los nmeros imaginarios de forma general:

    NMEROS IMAGINARIOS

    Un nmero imaginario se denota por ,bi donde:

    b es un nmero real

    i es la unidad imaginaria

    Con los nmeros imaginarios podemos calcular races con ndice par y radicando

    negativo.

    Ejemplo: Hallar las races de la ecuacin 092 = + x

    Solucin: Tenemos que: 990922 x =x =+x

    Es decir: ixxx 319199 111

    Y

    ixxx 319199 222

  • TEMA IV: NMEROS COMPLEJOS

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 LGEBRA

    NMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINMICA

    Al nmero a+bi z le llamamos nmero complejo en forma binmica. En donde:

    El nmero a es la parte real del nmero complejo, y se denotar como .Re az

    El nmero b es la parte imaginaria del nmero complejo, denotado como .Im bz

    Adems:

    Si 0 =b el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que ,0 aia+ con

    .0Im z

    Si 0 =a el nmero complejo se reduce a bi+bi ,0 y se dice que es un nmero

    imaginario puro, es decir, .0Re z

    El conjunto de todos nmeros complejos se designa por .C Se expresa:

    RbabiaC ,/ Y tenemos que:

    Los nmeros complejos a+bi y bi a se llaman opuestos.

    Los nmeros complejos a+bi z y bi az se llaman conjugados.

    De lo anterior se concluye que el conjunto de los Nmeros Reales es un subconjunto

    de los Nmeros Complejos. Demos as la siguiente definicin:

    Definicin: (Igualdad de Complejos): Dos nmeros complejos 1z y 2z son

    iguales siempre que:

    21 ReRe zz y .ImIm 21 zz

    Ejemplo: Verificar para cuales valores de x e y los nmeros complejos

    ixz 621 y yiz 3102 sean iguales.

    Solucin:

    Debe cumplirse que las partes reales y complejas de los nmeros deben ser iguales,

    es decir:

    52

    10102

    xxx y yyy 2

    3

    636

  • TEMA IV: NMEROS COMPLEJOS

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 LGEBRA

    PLANO DE LOS NMEROS COMPLEJOS O DIAGRAMA DE ARGAND

    El concepto de plano complejo permite interpretar geomtricamente los nmeros

    complejos. Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de

    los polos y los ceros de una funcin en el plano complejo.

    Definicin (El Plano Complejo):El plano complejo es un sistema de coordenadas

    rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se

    representar la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadas se representar la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO).

    NOTAS: En el plano complejo los nmeros imaginarios pueden ser representados

    como puntos o como vectores. Adems, la suma de nmeros complejos se puede relacionar

    con la suma con vectores, y la multiplicacin de nmeros complejos puede expresarse

    simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto

    de las magnitudes de los trminos, y el ngulo contado desde el eje real del producto es la

    suma de los ngulos de los trminos.

    REPRESENTACIN DE NMEROS COMPLEJOS

    Los nmeros complejos se representan en unos ejes cartesianos.

    El eje X se llama eje real y el eje Y se llama eje imaginario.

    El nmero complejo a+bi z se representa:

    1. Por el punto ba, que se llama su afijo.

    2. Mediante un vector de origen

    0,0 y extremo .,ba

    Los afijos de los nmeros reales se sitan sobre el eje real, .X

    Los afijos de los nmeros imaginarios se sitan sobre el eje imaginario, .Y

  • TEMA IV: NMEROS COMPLEJOS

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 LGEBRA

    En este sentido, los Nmeros Complejos se pueden expresar de varias formas:

    1. FORMA BINMICA: Es la manera como se han presentado hasta ahora:

    Ejemplos: 321 i; +=z 3

    12 i; =z 9

    2

    13 ; i=z 24 ; =z .105 i=z

    2. FORMA CANONICA O DE PAR ORDENADO: Se colocan, entre parntesis y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del

    complejo en cuestin.

    Ejemplos: ;=z 3,21 1,3

    12 ;=z

    2

    1,93 ;=z

    ;=z 0,24 .10,05=z

    Nota: En los ejemplos anteriores que 4z es real y que 5z es imaginario puro.

    3. FORMA TRIGONOMTRICA O POLAR (Ser explicada ms adelante).

    Ejercicio: Representar los nmeros complejos anteriores, tanto en forma binmica

    como en forma cannica o como par ordenado.

    OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS

    Sean a+biz 1 y c+diz 2 dos numero complejos, entonces se pueden realizar

    las siguientes operaciones:

    1. SUMA Y DIFERENCIA DE NMEROS COMPLEJOS:

    La suma y diferencia de nmeros complejos se realiza sumando y restando las partes

    reales y las partes imaginarias entre s, respectivamente.

    ib+d+a+c=dic+a+bi

    ib -d+a -c=c+di-bia

    Ejemplo: Sean ,251 i+z i+-z 382 y ,243 i-z hallemos .321 zzzz

    i+i = -++ - -= i--i +-i+z 77232485243825

  • TEMA IV: NMEROS COMPLEJOS

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 LGEBRA

    Ejercicio: Dados ;531 i+z ;42 iz ;23 iz 0,34 z y .3,04 z Halla el resultado de: .54321 zzzzzz

    2. MULTIPLICACIN DE NMEROS COMPLEJOS:

    El producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva

    del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que .12 i

    iad+bc+dbac=dica+bizz 21

    Ejemplo: Sean i+z 251 y ,322 iz hallemos .21 zzz

    1116