PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIN

INSTRUMENTACIN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I UNIDADES ACREDITABLES I

TEMA II: NMEROS COMPLEJOS UNIDADES ACREDITABLES I

ANTECEDENTES HISTRICOS

Los nmeros complejos son una extensin de los nmeros reales y forman el

mnimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los nmeros

complejos se designa como ,C siendo R el conjunto de los reales en donde se cumple que

.CR Los nmeros complejos incluyen todas las races de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo nmero complejo puede representarse como la suma de un nmero

real y un nmero imaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica

con la letra i ), o en forma polar.

Los nmeros complejos son la herramienta de trabajo del lgebra, anlisis, as como

de ramas de las matemticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones

diferenciales, aerodinmica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Adems

los nmeros complejos se utilizan por doquier en matemticas, en muchos campos de

la fsica (notoriamente en la mecnica cuntica) y en ingeniera, especialmente en

la electrnica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas

electromagnticas y la corriente elctrica.

En matemticas, estos nmeros constituyen un cuerpo y, en general, se consideran

como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los nmeros reales y los

imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los nmeros complejos es

el teorema fundamental del lgebra pero que se demuestra an en un curso de variable

compleja , que afirma que cualquier ecuacin algebraica de grado n tiene exactamente n

soluciones complejas. Los anlogos del clculo diferencial e integral con nmeros

complejos reciben el nombre de variable compleja o anlisis complejo.

TEMA IV: NMEROS COMPLEJOS

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 LGEBRA

UNIDAD IMAGINARIA

El nmero imaginario ms conocido es .1 Euler lo represent por el smbolo i

que an se usa en la literatura. As, la unidad imaginaria es el nmero 1 y se designa

por la letra .i Esto es: .1 i O sea que i ser aquella cantidad que elevada al

cuadrado resulta .1 Claramente: .11 22 iii Las leyes formales de operacin para i son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de los Signos, se tiene:

.==ii=iiii

i; i =i =i = iii

; = i = ii

= i;--i

= -i;-i

= i;+i

111

1

1

1

1

1

22

2

2

Con lo anterior se puede construir una tabla de las potencias de la unidad imaginaria:

1i i 3i i 5i i

7i i

2i 1 4i 1 6i 1 8i 1

Esta tabla indica que las potencias impares de i son iguales a i o i y que las

potencias pares de son iguales a 1 o .1 Se cumple adems que: .10 i

NOTA: Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cunto vale

una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de

la potencia equivalente a la dada. Debemos destacar que el sobrante o resto que

oscilar entre 0 y 3 (lo cual es lo que nos importa para realizar los clculos como vemos

en el ejemplo de abajo).

Ejemplos: Hallar .22i

Solucin: Como haciendo la divisin, tenemos que: ,52

422 entonces:

TEMA IV: NMEROS COMPLEJOS

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 LGEBRA

11111 525422 iii

Ejercicio: Demostrar que: ii 27

RAZ CUADRADA DE CUALQUIER NMERO NEGATIVO

Podemos hallar la raz cuadrada de cualquier nmero negativo como el siguiente:

.214144 i Ejercicio: Demostrar que:

a) i 39

b) i2

10

2

5

Podemos definir a los nmeros imaginarios de forma general:

NMEROS IMAGINARIOS

Un nmero imaginario se denota por ,bi donde:

b es un nmero real

i es la unidad imaginaria

Con los nmeros imaginarios podemos calcular races con ndice par y radicando

negativo.

Ejemplo: Hallar las races de la ecuacin 092 = + x

Solucin: Tenemos que: 990922 x =x =+x

Es decir: ixxx 319199 111

Y

ixxx 319199 222

TEMA IV: NMEROS COMPLEJOS

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 LGEBRA

NMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINMICA

Al nmero a+bi z le llamamos nmero complejo en forma binmica. En donde:

El nmero a es la parte real del nmero complejo, y se denotar como .Re az

El nmero b es la parte imaginaria del nmero complejo, denotado como .Im bz

Adems:

Si 0 =b el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que ,0 aia+ con

.0Im z

Si 0 =a el nmero complejo se reduce a bi+bi ,0 y se dice que es un nmero

imaginario puro, es decir, .0Re z

El conjunto de todos nmeros complejos se designa por .C Se expresa:

RbabiaC ,/ Y tenemos que:

Los nmeros complejos a+bi y bi a se llaman opuestos.

Los nmeros complejos a+bi z y bi az se llaman conjugados.

De lo anterior se concluye que el conjunto de los Nmeros Reales es un subconjunto

de los Nmeros Complejos. Demos as la siguiente definicin:

Definicin: (Igualdad de Complejos): Dos nmeros complejos 1z y 2z son

iguales siempre que:

21 ReRe zz y .ImIm 21 zz

Ejemplo: Verificar para cuales valores de x e y los nmeros complejos

ixz 621 y yiz 3102 sean iguales.

Solucin:

Debe cumplirse que las partes reales y complejas de los nmeros deben ser iguales,

es decir:

52

10102

xxx y yyy 2

3

636

TEMA IV: NMEROS COMPLEJOS

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 LGEBRA

PLANO DE LOS NMEROS COMPLEJOS O DIAGRAMA DE ARGAND

El concepto de plano complejo permite interpretar geomtricamente los nmeros

complejos. Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de

los polos y los ceros de una funcin en el plano complejo.

Definicin (El Plano Complejo):El plano complejo es un sistema de coordenadas

rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se

representar la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadas se representar la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO).

NOTAS: En el plano complejo los nmeros imaginarios pueden ser representados

como puntos o como vectores. Adems, la suma de nmeros complejos se puede relacionar

con la suma con vectores, y la multiplicacin de nmeros complejos puede expresarse

simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto

de las magnitudes de los trminos, y el ngulo contado desde el eje real del producto es la

suma de los ngulos de los trminos.

REPRESENTACIN DE NMEROS COMPLEJOS

Los nmeros complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real y el eje Y se llama eje imaginario.

El nmero complejo a+bi z se representa:

1. Por el punto ba, que se llama su afijo.

2. Mediante un vector de origen

0,0 y extremo .,ba

Los afijos de los nmeros reales se sitan sobre el eje real, .X

Los afijos de los nmeros imaginarios se sitan sobre el eje imaginario, .Y

TEMA IV: NMEROS COMPLEJOS

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 LGEBRA

En este sentido, los Nmeros Complejos se pueden expresar de varias formas:

1. FORMA BINMICA: Es la manera como se han presentado hasta ahora:

Ejemplos: 321 i; +=z 3

12 i; =z 9

2

13 ; i=z 24 ; =z .105 i=z

2. FORMA CANONICA O DE PAR ORDENADO: Se colocan, entre parntesis y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del

complejo en cuestin.

Ejemplos: ;=z 3,21 1,3

12 ;=z

2

1,93 ;=z

;=z 0,24 .10,05=z

Nota: En los ejemplos anteriores que 4z es real y que 5z es imaginario puro.

3. FORMA TRIGONOMTRICA O POLAR (Ser explicada ms adelante).

Ejercicio: Representar los nmeros complejos anteriores, tanto en forma binmica

como en forma cannica o como par ordenado.

OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS

Sean a+biz 1 y c+diz 2 dos numero complejos, entonces se pueden realizar

las siguientes operaciones:

1. SUMA Y DIFERENCIA DE NMEROS COMPLEJOS:

La suma y diferencia de nmeros complejos se realiza sumando y restando las partes

reales y las partes imaginarias entre s, respectivamente.

ib+d+a+c=dic+a+bi

ib -d+a -c=c+di-bia

Ejemplo: Sean ,251 i+z i+-z 382 y ,243 i-z hallemos .321 zzzz

i+i = -++ - -= i--i +-i+z 77232485243825

TEMA IV: NMEROS COMPLEJOS

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 LGEBRA

Ejercicio: Dados ;531 i+z ;42 iz ;23 iz 0,34 z y .3,04 z Halla el resultado de: .54321 zzzzzz

2. MULTIPLICACIN DE NMEROS COMPLEJOS:

El producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva

del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que .12 i

iad+bc+dbac=dica+bizz 21

Ejemplo: Sean i+z 251 y ,322 iz hallemos .21 zzz

1116