Tema iv numeros complejos uai uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I UNIDADES ACREDITABLES I

TEMA II: NÚMEROS COMPLEJOS UNIDADES ACREDITABLES I

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el

mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números

complejos se designa como ,C siendo R el conjunto de los reales en donde se cumple que

.CR Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia

de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número

real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica

con la letra i ), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como

de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones

diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además

los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de

la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en

la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas

electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran

como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los

imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es

el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable

compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n

soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números

complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

TEMA IV: NÚMEROS COMPLEJOS

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA

UNIDAD IMAGINARIA

El número imaginario más conocido es .1 Euler lo representó por el símbolo i

que aún se usa en la literatura. Así, la unidad imaginaria es el número 1 y se designa

por la letra .i Esto es: .1 i O sea que i será aquella cantidad que elevada al

cuadrado resulta .1 Claramente: .112

2 iii Las leyes formales de

operación para i son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de los Signos, se tiene:

.==ii=iiii

i;× i =i =i = iii

; = i = ii

= i;--i

= -i;-i

= i;+i

111

1

1

1

1

1

22

2

2

Con lo anterior se puede construir una tabla de las potencias de la unidad imaginaria:

1i i

3i i

5i i

7i i

2i 1

4i 1

6i 1

8i 1

Esta tabla indica que las potencias impares de i son iguales a i o i y que las

potencias pares de 𝑖 son iguales a 1 o .1 Se cumple además que: .10 i

NOTA: Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale

una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de

la potencia equivalente a la dada. Debemos destacar que el “sobrante” o “resto” que

oscilará entre 0 y 3 (lo cual es lo que nos importa para realizar los cálculos como vemos

en el ejemplo de abajo).

Ejemplos: Hallar .22i

Solución: Como haciendo la división, tenemos que: ,52

422 entonces:



11111525422 iii

Ejercicio: Demostrar que: ii 27

RAÍZ CUADRADA DE CUALQUIER NÚMERO NEGATIVO

Podemos hallar la raíz cuadrada de cualquier número negativo como el siguiente:

.214144 i

Ejercicio: Demostrar que:

a) i 39

b) i2

10

2

5

Podemos definir a los números imaginarios de forma general:

NÚMEROS IMAGINARIOS

Un número imaginario se denota por ,bi donde:

b es un número real

i es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando

negativo.

Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación 092 = + x

Solución: Tenemos que: 9909 22 x =x =+x

Es decir: ixxx 319199 111

Y

ixxx 319199 222



NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

Al número a+bi z le llamamos número complejo en forma binómica. En donde:

El número a es la parte real del número complejo, y se denotará como .Re az

El número b es la parte imaginaria del número complejo, denotado como .Im bz

Además:

Si 0 =b el número complejo se reduce a un número real ya que ,0 aia+ con

.0Im z

Si 0 =a el número complejo se reduce a bi+bi ,0 y se dice que es un número

imaginario puro, es decir, .0Re z

El conjunto de todos números complejos se designa por .C Se expresa:

RbabiaC ,/

Y tenemos que:

Los números complejos a+bi y bi a se llaman opuestos.

Los números complejos a+bi z y bi az se llaman conjugados.

De lo anterior se concluye que el conjunto de los Números Reales es un subconjunto

de los Números Complejos. Demos así la siguiente definición:

Definición: (Igualdad de Complejos): Dos números complejos 1z y 2z son

iguales siempre que:

21 ReRe zz y .ImIm 21 zz

Ejemplo: Verificar para cuales valores de x e y los números complejos

ixz 621 y yiz 3102 sean iguales.

Solución:

Debe cumplirse que las partes reales y complejas de los números deben ser iguales,

es decir:

52

10102

xxx y yyy 2

3

636



PLANO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS O DIAGRAMA DE ARGAND

El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números

complejos. Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de

los polos y los ceros de una función en el plano complejo.

Definición (El Plano Complejo):El plano complejo es un sistema de coordenadas

rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se

representará la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadas se

representará la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO).

NOTAS: En el plano complejo los números imaginarios pueden ser representados

como puntos o como vectores. Además, la suma de números complejos se puede relacionar

con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse

simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto

de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la

suma de los ángulos de los términos.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real y el eje Y se llama eje imaginario.

El número complejo a+bi z se representa:

1. Por el punto ba, que se llama

su afijo.

2. Mediante un vector de origen

0,0 y extremo .,ba

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, .X

Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, .Y



En este sentido, los Números Complejos se pueden expresar de varias formas:

1. FORMA BINÓMICA: Es la manera como se han presentado hasta ahora:

Ejemplos: 321 i; +=z 3

12 i; =z 9

2

13 ; i=z 24 ; =z .105 i=z

2. FORMA CANONICA O DE PAR ORDENADO: Se colocan, entre paréntesis

y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del

complejo en cuestión.

Ejemplos: ;=z 3,21 1,3

12 ;=z

2

1,93 ;=z

;=z 0,24 .10,05=z

Nota: En los ejemplos anteriores que 4z es real y que 5z es imaginario puro.

3. FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR (Será explicada más adelante).

Ejercicio: Representar los números complejos anteriores, tanto en forma binómica

como en forma canónica o como par ordenado.

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Sean a+biz 1 y c+diz 2 dos numero complejos, entonces se pueden realizar

las siguientes operaciones:

1. SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS:

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes

reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

ib+d+a+c=dic+a+bi

ib -d+a -c=c+di-bia

Ejemplo: Sean ,251 i+z i+-z 382 y ,243 i-z hallemos .321 zzzz

i+i = -++ - -= i--i +-i+z 77232485243825



Ejercicio: Dados ;531 i+z ;42 iz ;23 iz 0,34 z y .3,04 z

Halla el resultado de: .54321 zzzzzz

2. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva

del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que .12 i

iad+bc+dbac=dica+bizz 21

Ejemplo: Sean i+z 251 y ,322 iz hallemos .21 zzz

1116

415610

223532253225

i - =

i +=

i -+--= i-i+z

Ejercicio: Dados 2,31 z y ,5,22 z halla el valor de .21 zzz

CONJUGADO DE UN COMPLEJO: Llamaremos conjugados a dos complejos

denotados como z y z que tengan sus partes reales idénticas pero sus partes

imaginarias opuestas. Esto será: a+bi z y .biaz

Ejemplos:

En forma binómica: En forma canoníca:

PROPIEDAD DE LOS COMPLEJOS CONJUGADOS:

Al multiplicar dos complejos conjugados, el resultado es un número real positivo.

Ejemplo: Si ,2 iz halla el producto de .zz

z z

1,3 1,3

5, 5,

3,0 3,0

0,e 0,e

0,0 0,0

z z

i 53 i 53

i 2 i 2

i3 i3

8 8



Resolución:

522)1(422. iiizz

Por lo tanto: 5. zz

Vamos a probar ahora la propiedad para cualquier par de complejos conjugados

(Fórmula): Si tenemos que a+bi z y ,biaz entonces:

iabbababiabiazz .).()(. 22

ibababazz ... 22

ibazz 0. 22 22. bazz (Fórmula)

3. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador

por el conjugado de este.

idc

adbc+

dc

bdac=

dic

a+bi

2222

Ejemplo: Sean i+z 231 y ,212 iz calcule .2

1

z

zz

i+

i+

i+

i+=

i

i+z

5

8

5

1

5

8

5

43

41

62

41

43

21

2312

21

2213

21

23

2222

NOTA: Para dividir números complejos multiplicamos el numerador y el

denominador por el conjugado del denominador. Realice la demostración de esta fórmula.



Ejercicios: Halla el valor de:

ii

z

2

23

i

iz

65

827

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA

MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el

origen de coordenadas y su afijo. Se designa por .z Es dado por: .22 bazr

Ejemplo: Halla el módulo de .43 iz

Solución: De la fórmula tenemos que:

251694)3( 22 z

Por lo tanto: 5z

ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.

Se designa por .zArg El argumento de un complejo puede tomar infinitos valores que

se diferencian entre sí por un número enteros de vueltas:

.con ,2 ZkkzArg



Llamaremos argumento principal al que está comprendido entre 2,0 , o sea una

vuelta; y se calcula usando cualquier función trigonométrica como por ejemplo:

,r

barcSen

r

bSen ,

r

aarcCos

r

aCos .

a

barcTg

a

bTg

Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de a

b prescindiendo de los

signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:

IV cuadrante elen ,360

0y 0 si,270

III cuadrante elen ,180

0y 0 si,180

II cuadrante elen ,180

0y 0 si,90

I cuadrante elen ,

0y 0 si,0

0

0

0

0

0

0

0

ba

ba

ba

ab

a

barctg

Ejemplos: Halla el argumento de los siguientes complejos: iz .221 y

iz .572

Solución:

Argumento de z1: 12

2

arcTgTg

Por lo tanto: )º360(2º135:24

3kbienok

Argumento de z2: 714286,07

5arcTgTg

Por lo tanto: )º360(2º5376,215:28809,1 kbienokrad

FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO

En la figura:



Se tiene que:

Senbdondedeb

Sen . ;

Y también:

Cosadondedea

Cos . .

Ahora, como ,bz=a+i sustituyendo obtenemos:

iSenCosz ... ,

Lo cual organizándolo nos queda: SeniCosz .. , y ahora sacando el factor

común resulta: SeniCosz . , y por último llamando a la expresión

SeniCos . = Cis se tiene la “Forma Trigonométrica o Polar de Z”:

Cisz .

Ejemplo 1: Convierta de la forma polar a la forma binómica: 120º2z

Solución: Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer

lugar a la forma trigonométrica. Tomando en cuenta que: .isenααrrz α cos Así,

00

00

1202120cos2z

120120cos2

isen

isenz

De aquí que la parte real es dada por: .12

12120cos2 0

a

Y la parte imaginaria es: .32

321202 0

senb

Por tanto, el número complejo en forma binómica es dado por: i31z

NOTA: Reales e imaginarios puros de módulo unidad:



z =10º = 1 z =1180º = −1 z =190º = i z =1270º = −i

Ejemplo 2: Pasar a la forma polar: i31z

Solución: Notemos que su modulo y argumento viene dados por:

.2z4z31z31z22

.601

3arcTg 0

Y por tanto nos queda que:

60º2z

NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES, CONJUGADOS, OPUESTOS E INVERSOS

NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES: Dos números complejos son iguales si

tienen el mismo módulo y el mismo argumento.

k

rrrr

2

NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS: Dos números complejos

son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos.

k

rrrr

2 conjugado

NÚMEROS COMPLEJOS OPUESTOS: Dos números complejos son opuestos si

tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.

k

rrrr

2 opuesto

Representaciones de los opuestos y conjugados:



NÚMEROS COMPLEJOS INVERSOS: El inverso de un número complejo no

nulo tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto.

-αα r

r

11

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y

TRIGONOMÉTRICA

MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR

La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos.

Su argumento es la suma de los argumentos.

Es decir:

rrrrα

Ejemplo:

00000 6015451545183636



PRODUCTO POR UN COMPLEJO DE MÓDULO 1

Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del

origen.

rrα 1

Representaciones:

DIVISIÓN DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR

La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el cociente de los módulos.

Su argumento es la diferencia de los argumentos.

Es decir:

r

r

r

rα

Ejemplo:

0

000

0

30304515

45 23

6

3

6

POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la potencia n−ésima del módulo.

Su argumento es n veces el argumento dado.



nnn

α rr

Ejemplo:

00

0 120304

44

301622

FÓRMULA DE MOIVRE

nisennisenn

coscos

Ejemplo:

44coscos4

isenisen

RAÍZ DE NÚMEROS COMPLEJOS

Raíz enésima de complejos en forma polar: n r

Tenemos que la raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la n raíz enésima del módulo.

n rr

Su argumento es:

.1,3,2,1,0con ,2

nkn

k

Así:

n

k

nn rr

2

Ejemplo: Hallar 6 1 i

Solución:

Sea ,1 iz tenemos que su módulo es:



211 22 z

Además, su argumento es:

0451

1

arctag

Por tanto, tenemos que:

0452z

Luego:

6 2k

De donde:

126 22 z

Y obtenemos:

03307

126

0

6

03247

12

5

0

5

03187

12

4

0

4

03127

123

0

3

0367

122

0

2

037

12

1

0

1

00

0

0

0

0

0

0

2033075

2032474

2031873

2031272

203671

20370

6

36045

zk

zk

zk

zk

zk

zk

k

Es decir:



EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

1. Hallar .37i

2. Halla el valor de “z”, donde iiiiiiz .5.2.3.5.3.2 59222582120031942

3. Hallar las raíces de la ecuación .=x x 012

4. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos ixz 842

1 y

iyxxz 42 sean iguales.

5. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos xiyxz 1 y

iyz 262 sean iguales.

6. Sean los números complejos: ;=z 3,21 1,3

12 ;=z

2

1,93 ;=z

;=z 0,24

.10,05 =z Representarlos en el plano complejo. Expresarlos en forma binómica.

7. Sean ,251 i+z iz 382 y .243 i-z Hallar:

a) .321 zzzz

b) .32 zzz

c) .3

2

1 zz

zz

8. Pasar a la forma polar y trigonométrica: .31 iz

9. Escribir en forma binómica: 0602z

10. Calcular todas las raíces de la ecuación: .016 x

11. Determina las soluciones de 0.225 ix .

12. Determina 4 º4081Cis .

13. Realiza las siguientes operaciones:

a)

0

0

60

3

20

2

3

b) 101 i

c) 631 i

d) 3

3

1

i

i

14. Resuelve la siguiente raíz5 1010 i , expresando los resultados en forma polar.



15. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones i21 y su

conjugado.

16. Calcula la siguiente operación, dando el resultado en forma polar.

ii

ii

223

2332

17. Calcula el valor de cociente, y representa los afijos de sus raíces cúbicas.

i

ii

2

77

18. Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

22cos8

isen

19. Expresa en función de cos y :sen

a) a5cos

b) asen5

20. Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:

a) i44

b) i22

21. Calcular todas las raíces de la ecuación: 0325 x

22. Expresa en función de cos y :sen

a) a3cos

b) asen3

23. Sabiendo que: .1,1 21 iziz Calcular el valor de

5

1

2

9

2

1 23

z

z

z

zE

24. Hallar el valor de “ b ” para que el siguiente cociente : i

bi

34

23

; sea un número

real.



25. Calcular las raíces del siguiente número complejo .353 iW

26. Demostrar que:

22cos131 isenii e i

12

7

27. Graficar .0Re 2 z

PROBLEMAS DE NÚMEROS COMPLEJOS

1. Calcula k para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté

representado en la bisectriz del primer cuadrante.

ik

i

2

SOLUCIÓN: 3k

2. Halla el valor de k para que el cociente ik

ki

2 sea:

a) Un número imaginario puro.

b) Un número real.

SOLUCIÓN: 2,0 kk

3. Se considera el complejo ,322 i se gira 45° alrededor del origen de

coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj.

Hallar el complejo obtenido después del giro.

SOLUCIÓN: 51054z

4. Hallar las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen

de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 190°.

SOLUCIÓN:

2

1,

2

31,0,

2

1,

2

3,

2

1,

2

3,1,0,

2

1,

2

3454321 zzzzzz



5. Determina el valor de a y b para que el cociente bi

ia

3

2 sea igual a: 03152

SOLUCIÓN: 5,8 ba

6. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido

antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i?

SOLUCIÓN: 2,1

7. Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de

coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).

SOLUCIÓN: 2,0,0,2,2,0,0,2 4321 zzzz

8. La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y

la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y

polar.

UNA FÓRMULA MARAVILLOSA

Relaciona los números imaginarios (i = raíz cuadrada de (–1)), con las

potencias (número e y logaritmos neperianos) y con las funciones trigonométricas. Permite

recordar, sin esfuerzo, fórmulas trigonométricas como la del seno o coseno de una suma de

ángulos, del ángulo doble o mitad, y calcular, con facilidad, derivadas de funciones

trigonométricas.

Esta es la Fórmula de Euler: isene i cos

Y cuando , tenemos que:

1ie o bien 01ie

Para finalizar, se enunciará la opinión que emitió alrededor de la cuarta década del

siglo XX el eminente científico John von Neumann acerca de los números complejos:

“Hace 150 años, uno de los problemas más importantes de la ciencia aplicada -de la que

dependía el desarrollo de la industria, comercio y gobierno- era el problema de salvar vidas

en el mar. Las estadísticas sobre esas pérdidas eran terribles.

El dinero y los esfuerzos empleados en resolver el problema eran también terríficos,

los matemáticos desarrollaban una herramienta que salvaría más vidas que las que esperaba

salvar el grupo de excéntricos inventores. Esa herramienta se llegó a conocer como la teoría

de Funciones de Variable Compleja.

Entre las muchas aplicaciones de esta noción puramente matemática, una de las más

fructíferas es la Teoría de la Comunicación por Radio.”



REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A.

Barreto, J. (2014). La recta numérica y el plano cartesiano: Un estudio desde los

números naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. (6).

https://www.createspace.com/5137020

Churchill, R. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Quinta Edición. McGraw-

Hill, México.

Edminister, J. (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios Schaum, McGraw-

Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.

Mendiola, E. “Matemáticas 4to. Año”. Editorial Biosfera S.R.L. Capítulo VII

Jiménez, J y Salazar, J. “Matemáticas Primer Año, Ciclo Diversificado.”. Ediciones

CO-BO. Caracas.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra

lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.

Editorial Reverté.

INTERNET: http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html#

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