Radicales Definición del concepto Vocabulario Propiedades de los radicales Simplificar expresiones...

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Radicales Definición del concepto Vocabulario Propiedades de los radicales Simplificar expresiones con radicales Operaciones con radicales Resolver ecuaciones con radicales 1 Preparado por Profa.Carmen Batiz UGHS Estándar: Numeración y Operación Expectativa 2

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1

RadicalesDefinición del concepto

VocabularioPropiedades de los radicales

Simplificar expresiones con radicalesOperaciones con radicales

Resolver ecuaciones con radicales

Preparado por Profa.Carmen Batiz UGHS

Estándar: Numeración y Operación

Expectativa 2

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¿A qué conjunto pertenece los radicales no exactos?

Los radicales pertenecen a los números irracionales. Éstos son números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas.

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Números Reales

Números Racionales Números Irracionales

Enteros fracciones y decimales finitos

Números Naturales

ceroNúmerosNegativos

Números Positivos

Fracciones y decimales infinitos Radicales no exactos

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5

Indica cúal de éstos números son irracionales

infinito númeroun es ,si

2/125 d.

8 .

3 .

4 .

c

b

a entero númeroun , esno

infinito númeroun es ,si

5 25 o, n

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RadicalesSurgen de los exponentes fraccionarios

Ejemplos:

= 3u

=

5

132

3

2

= 2

1

v

m

xx

m23

35 32vu

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Generalización

El símbolo se denomina radical,n es índiceb es radicando

bm

n = bmn

m es el exponente

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Ejemplos:

9 10436 yx

5 3327 yx

A. Expresa cada exponente racional en forma radical.

1. u1/5

2. (6x2y5)2/9

3. (3xy)3/5

B. Expresa a la forma de exponentes racional.

(9u)1/4

-(2x)4/7

(x3 + y3)1/3

5 u9 252 )6( yx

( )3 35 xy

1 9

2 2

3

4

47

3

.

. ( )

.

x33

u

x

y

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9

Intenta:

A. Expresa cada exponente racional en forma radical.

1. u2/3

2. (xy)1/5

3. 3x2/3y

B. Expresa a la forma de exponentes racional.

3 2

7 4

2

)( .3

2 .2

2 .1

mn

x

u

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10

Intenta:

A. Expresa cada exponente racional en forma radical.

1. u2/3

2. (xy)1/5

3. 3x2/3y

B. Expresa a la forma de exponentes racional.

(2u)1/2

-21/7 x4/7

(mn)2/3

3 2u5 xy

3 2 3 xy

3 2

7 4

2

)( .3

2 .2

2 .1

mn

x

u

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Propiedades de los radicales

Sea k, n y m números mayores o iguales a 2; y x y números reales positivos:

mn/1/11/n

n mk/k

n

n

nn

m/m

x x = .5

x x= .4

y

x = .3

x xy.2

x= .1

mnmm n

kn km

n

n

m m

xx

x

y

x

y

xx

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Ejemplos:

3

3 x

Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.

(3x2y)5/5

x4/6

x2/3= x0 = 1

ó 3

1 3 xx

27

3

3

1/12 x 3/14/1x= .4

x

x 3.

27

.2

= )3( .1

3 4

3 2

6 4

3

5 52

x

x

yx

= (3x2y) Propiedad 1

Propiedad 3

Propiedad 1/P. Exponentes

Propiedad 5

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Intenta:

Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.

= .4

x 3.

8

.2

= xy .1

3

6 4

3

3 3

x

x

x

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Intenta:

6 x

2

x3

Simplifica utilizando las propiedades de los radicales.

x1/3 y3/3

x4/6 = x1/2

x4/6-1/2 =

ó 2

1 3 x

3

3

8

x

6 x= .4

x 3.

8

.2

= xy .1

3

6 4

3

3 3

x

x

x

= (x1/3y)

x4/6-3/6 = x 1/6

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Simplificando Números Irracionales

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Ejemplos:

3 54 .1

Simplifica.

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Ejemplos:

3 2 3

2 3 3 33

3 332

3 54 .1

Simplifica.

Descomponer en factores primos

Propiedad 1 de los radicales

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Ejemplos:

25312x .2 zy

Simplifica.

Descomponer en factores primos

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Ejemplos:

xyzyx 32 2/22/42/22/2

242322 zyyxx 25312x .2 zy

32 3 z2 xyxy

Simplifica.

Descomponer en factores primos

Propiedad 1 de los radicales

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Ejemplos:

3 2416 .3 yx

Simplifica.

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Ejemplos:

3 222x xy

3 233 22 xyx3 2416 .3 yx

3 23/33/3 22 xyx

Simplifica.

Propiedad 1 de los radicales

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Ejemplos:

3 27 .4

Simplifica.

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Ejemplos:

3 27 .43 33

33 2/1

3/12/33

Simplifica.

Propiedad 5 de los radicales/Propiedad de los exponentes

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Intenta:

3

3 63

232

3

10 .4

32 .3

75x .2

16 .1

yx

zy

Simplifica utilizando las propiedades de los radicales y de los exponentes.

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Intenta:

3 2 2 6 10

32 2 2xy x

33/3 2 23 322

35 2222 yzyx

3

3 63

232

3

10 .4

32 .3

75x .2

16 .1

yx

zy

3 63322 yx

yxy 3 z5

3/12/110 6/110

Simplifica utilizando las propiedades de los radicales y de los exponentes.

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Práctica -Ejercicios sugeridos

• Algebra -Barnett p. 23-24 (1-40) p. 32-33 (1-70)• Algebra -Larson p.685 • Algebra Glencoe p. 724 (20-27)

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Operaciones con Radicales

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Multiplicación de Radicales

Para multiplicar radicales : Se multiplica los coeficientes y los radicales siguiendo las reglas de éstos. Luego se simplifica el radical si es posible.

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Multiplicación de RadicalesEJEMPLOS:

21

4

7

12.3

15873.2

10352.1

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Multiplicación de RadicalesEJEMPLOS:

15873.2

10352.1

2256 256

230

532473 532723

2106

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Multiplicación de Radicales

37

342

2

EJEMPLOS:

21

4

7

12.3

377

434

7

4

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Otros Ejemplos:

)32)(32(52 .4

)23)(23( .3

)23)(23( .2

)53(32 .1

.

Multiplica

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Otros Ejemplos:

)23)(23( .2

)53(32 .1

.

Multiplica

31092

31032

3106

P. distributiva

P. 1 Radicales

432329

432323

347

Multiplicación cada término del primer paréntesis con cada término del segundo paréntesis.

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Otros Ejemplos:

)32)(32(52 .4

)23)(23( .3

.

Multiplica

432329 432323 1

)94(52

)32(52

)1(52

52

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Racionalizando denominadores

Racionalizar es eliminar cualquier raíz en un denominador.

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Racionalizando denominadores

1

2

32

42 4

.

.

.

.

3

5

6

2x

10x

3y

3

3

2

3

x

x

Ejemplos.

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Racionalizando denominadores

25

53

x

x

2

26

2x

6 .2

5

3 .1

5

5 3 5

5

x

x

2

2 2)2(

26

x

x 3 2x

x

3

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Racionalizando denominadores

3 3

3 23

)2(

)2( 10

x

xx

34

2

3

3

2

3y .4

2

10x .3

x

x

3 2

3 2

)2(

)2(

x

xx

x

2

4 10x 3 23

3 22

3 22

2

2

x

x

3 33

3 22

2

12

xx

yx

3

2

23

3

y

x x2

3 22

2

12

x

yx

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Intenta

12

2

23

2 3

37

63

42

3 5

.

.

.

.

Racionaliza y simplifica.

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Intenta

32

3.2

2

2.1

2

22 2

2 2

3

33 3

6

3

2

Racionaliza y simplifica.

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Intenta

53

2.4

63

7.3

7

7 9

7

3 7

7

7

7 7

21

7

3

3 5

3 5

2 3 10

9 25

2 3 10

22

Racionaliza y simplifica.

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Sumando y Restando Radicales

Para sumar los radicales, éstos deben tener el mismo índice y el mismo radicando. Si es así, entonces se suma los coeficientes y se escribe el término semejante.

(3 x 5 2 4y x y) ( )

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Sumando y Restando Radicales

(3 x 5 2 4y x y) ( )

4 x 6 y 2

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Intenta:

1 2 40 60

2 45 80 2 180

312

7

4

21

28

3

.

.

.

Suma y simplifica.

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Intenta:

2 2 2 5 2 5 3

4 10 2 15

2 2 5 4 4 5 3

60402.1

Suma y simplifica.

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Intenta:

523252253

9 5 4 4 5 2 9 4 5

57

5125453

18028045.2 Suma y simplifica.

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Intenta:

3

3

3

72

21

21

37

12

7

7

7

32

3

212

21

212

7

212

21

2172

21

212

21

2132

21

2114

21

212

21

216 21

216

3

72

37

12

7

32

3

47

37

4

7

43

3

28

21

4

7

12.3

Suma y simplifica.

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Práctica- Ejercicios sugeridos

• Algebra Barnett p. 39-40 (1-54)• Algebra Larson p. 692 (1-30)• Algebra Glencoe p. 724 (28-49) impares p. 729-730 (1-42) impares

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Resolviendo Ecuaciones con Radicales

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Regla General:

La operación inversa de una raíz cuadrada es el cuadrado de un número.

Repasemos operaciones inversas:Suma Resta

Multiplicación División

¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?

x = 5( )2 ( )2

x = 25

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Regla General:

Es por eso que para eliminar una raiz cuadrada,

sólo tienes que cuadrar esta. Ejemplo:

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Regla General:Repasemos operaciones inversas:

Suma Resta

Multiplicación División

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Entonces...¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?

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Entonces...

La operación inversa de una raíz cuadrada es el cuadrado de un número.

¿Cuál es la operación inversa de una raíz cuadrada?

x = 5

( )2 ( )2 x = 25

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EJEMPLO:

x = 5

x = 5

( )2 ( )2

x = 25

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Otros ejemplos:

1 3 8. x

2 3 1 5. x

3 3 1 5. x

Encuentra el valor de la variable.

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Otros ejemplos:

3

3

64

3

x

1 3 8. x

2283 x

2283 x

643 xx 21

1

3

Encuentra el valor de la variable.

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Otros ejemplos:

2 3 1 5. x 22

513 x

3 1 25x

3 24x x 8

Encuentra el valor de la variable.

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Otros ejemplos:

3 3 1 5. x 153 x

2263 x

3 36x x 12

Encuentra el valor de la variable.

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Intenta:4 9. 2x = x2

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Intenta:

22 92 xx

22

2 92 xx

92 x

92 x

3 3 xóx

x= 92x 2

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Práctica- Ejercicios sugeridos

• Algebra Larson p. 698 (1-30)• Algebra Glencoe p. 734-735 (1-39)