Tema iii aplicaciones de la integral matematica i uney pnfic

PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I MATEMÁTICA I

TEMA III: APLICACIONES DE LA INTEGRAL

El Centro de Masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que

dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas

al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda

la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se

abrevia como c.m.

En un tratamiento de sistemas de masas puntuales el centro de masas es el punto donde, a

efectos inerciales, se supone concentrada toda la masa del sistema. El concepto se utiliza para

análisis físicos en los que no es indispensable considerar la distribución de masa. Por ejemplo, en

las órbitas de los planetas.

Ahora bien, el Centro de Gravedad es el punto de aplicación de la resultante de todas las

fuerzas de gravedad que actúan sobre las distintas porciones materiales de un cuerpo, de tal forma

que el momento respecto a cualquier punto de esta resultante aplicada en el centro de gravedad es

el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen dicho

cuerpo. En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las

fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo

producen un momento resultante nulo.

El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del

cuerpo. Así, el centro de gravedad de una esfera hueca está situado en el centro de la esfera, la

cual no pertenece al cuerpo. El centro de gravedad de un cuerpo depende de la forma del cuerpo y

de cómo está distribuida su masa.

En física, además del centro de gravedad y de centro de masa, aparece un el concepto de

Centro Geométrico o Centroide que, aunque pueden coincidir, es conceptualmente diferente,

siendo el centroide un concepto puramente geométrico que depende de la forma del sistema.

Sin embargo, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas

circunstancias, coincidir entre sí. En estos casos se suele utilizar los términos de manera

intercambiable, aunque designan conceptos diferentes.

Así tendremos que:


PROFESOR: JULIO C BARRETO G - 2 - MATERIA: MATEMÁTICA I

El centro de masas coincide con el centroide cuando la densidad es uniforme o cuando la

distribución de materia en el sistema tiene ciertas propiedades, tales como simetría.

El centro de masa coincide con el centro de gravedad cuando el cuerpo está en un campo

gravitatorio uniforme. Es decir, cuando el campo gravitatorio es de magnitud y dirección

constante en toda la extensión del cuerpo. A los efectos prácticos esta coincidencia se cumple

con precisión aceptable para casi todos los cuerpos que están sobre la superficie terrestre,

incluso para una locomotora o un gran edificio, puesto que la disminución de la intensidad

gravitatoria es muy pequeña en toda la extensión de estos cuerpos.

El Momento de Inercia (símbolo I) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo.

Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional

puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia.

Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por

medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de

inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, por ejemplo

en movimientos giroscópicos.

El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de

partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia solo depende de la

geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que

intervienen en el movimiento.

Un ejemplo de momento de inercia aparece en un trompo que un niño

impulsa a gran velocidad para que gire sobre el suelo y también en

los bailarines que realizan giros horizontales de 360º apoyándose en un solo

pie y ayudándose con los brazos para no perder el equilibrio y la verticalidad.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del

movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un

sólido rígido.

Ahora bien, el Trabajo (física) es el producto de una fuerza aplicada sobre un cuerpo y del

desplazamiento del cuerpo en la dirección de esta fuerza. Mientras se realiza trabajo sobre el

cuerpo, se produce una transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el

trabajo es energía en movimiento.

http://ejemplosde.com.mx/ejemplos-de-velocidad


PROFESOR: JULIO BARRETO - 3 - MATERIA: MATEMÁTICA I

CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA DE ÁREAS PLANAS

Considere una placa delgada de masa distribuida en forma continua en dos dimensiones y

con densidad de área constante. A tal región se le llama lámina.

DISTRIBUCIONES DE MASAS EN EL PLANO

a) DISTRIBUCIÓN DISCRETA DE MATERIA

Considere un sistema de n partículas ubicadas en los puntos nn yxyxyx ,,,,,, 2211 en

el plano ,, yx y sean las medidas de sus masas ,,,, 21 nmmm despreciables.

El centro de masa es el punto donde la lámina está en equilibrio, como se muestra en la

siguiente figura:

La figura muestra ocho partículas colocadas sobre la placa. La identificación de la i ésima

partícula es ,im que es la medida de su masa. La placa está en equilibrio sobre un punto de apoyo

ubicado en el centro de masa denotado por ., yx

Para determinar el centro de masa de dicho sistema, primero se debe definir la masa total

del sistema y el momento de masa del sistema con respecto a los ejes coordenados

Suponga que la i ésima partícula ubicada en el punto ii yx , tiene masa im kilogramos.

Entonces la masa total del sistema es M kilogramos, donde:

n

i

imM1

El momento de masa de la i ésima partícula con respecto al eje y es ii xm kilogramos

metros, y su momento de masa con respecto al eje x es ii ym kilogramos metros. Si M

kilogramos metros es el momento del sistema de n partículas con respecto al eje ,x entonces:

n

i

iiy xmM1

y

n

i

iix ymM1



El centro de masa del sistema es el punto yx, donde

y M

Mx y

M

My x

El punto yx, puede representarse como el punto tal que si la masa total del sistema de

M kilogramos se concentrase ahí, entonces el momento de masa del sistema con respecto al eje

y sería xM kilogramos metros y su momento con respecto al eje x sería yM kilogramos metro.

Ejemplo: Determine el centro de masa del 4 partículas cuyas masas tienen medidas 2, 4, 6

y 1 las cuales se ubican en los puntos 1,4,3,0,1,2,2,5 respectivamente. Calcular

,yM xM y .,yx

Solución:

Cálculo de :yM

2401210410426524

1

i

i

iy xmM

Cálculo de :xM

1311264113416224

1

i

i

ix ymM

Y además, la masa es:

1314624

1

i

imM

Por lo tanto

113

13y

13

2

M

Mx y

M

My x

El centro de masa está en .1,13

2

Ejercicio propuesto: Represente el centro de masa del sistema discreto anterior.



Ejercicio: Determine el centro de masa de 4 partículas cuyas masas tienen medidas 8, 1, 4

y 1 las cuales se ubican en los puntos 1,4,3,0,1,2,2,3 respectivamente. Calcular

,yM xM y .,yx Represente el centro de masa del sistema discreto anterior.

b) DISTRIBUCIÓN CUASIDISCRETA DE MATERIA

En el caso de un sistema de cuerpos cuasipuntuales, o cuerpos que distan entre sí mucho

más que las dimensiones de cada uno de los cuerpos, el cálculo anterior resulta bastante

aproximado.

c) DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MATERIA

Ahora, sea L la lámina homogénea cuya densidad1 de área constante es kilogramos por

metro cuadrado, la cual está limitada por la curva xfy , el eje x y las rectas ax y .bx

1 En física y química, la densidad (del latín densĭtas, -ātis) es una magnitud escalar referida a la

cantidad de masa en un determinado volumen de una sustancia. Usualmente se simboliza

mediante la letra rho del alfabeto griego. La densidad media es la relación entre la masa de un

cuerpo y el volumen que ocupa (Densidad Volumétrica = masa / volumen), ,V

m en unidades

de masa sobre unidades de volumen, ejemplos: kg/metro cúbico, gramos /centímetro cúbico,

libras / pulgada cúbica. Por ejemplo si un bloque de concreto de 2 m de ancho x 2 m de largo por

medio metro de alto (2 metros cúbicos) pesa 500 kilogramos, tiene una densidad volumétrica de

250 kg/metro cúbico.

Sin embargo, tres conceptos se refieren a densidad de masa. Para el caso de

electromagnetismo, los conceptos son similares, pero se cambia lo de masa por carga, en

unidades de columbios.

Densidad Lineal: Es la que se usa para medir la densidad de hilos, cables, varillas,

alambres, etc. Resulta de la división de la masa entre la longitud del cuerpo.

Densidad lineal=masa/longitud, en unidades de masa sobre longitud, ejemplos: kg/m,

gr/cm, lb/pulg. Por ejemplo si un cable de 10 metros pesa 5 kilogramos, tiene una

densidad lineal de 0.5 kg/m.

Densidad Superficial: Es la que se usa para medir la densidad de placas, láminas,

cartones, pisos, etc. Se obtiene dividiendo la masa entre el área del cuerpo.

Densidad lineal = masa / área, en unidades de masa entre unidades de superficie,

ejemplos: kg/metro cuadrado, gramos /centímetro cuadrado, libras / pulgada cuadrada.

Por ejemplo si un techo de un cuarto de 4 m x 4 m (16 metros cuadrados) pesa 1000

kilogramos, tiene una densidad superficial de 62.5 kg/metro cuadrado.

Densidad Volumétrica: Es la que se usa para medir la densidad de cuerpos de 3

dimensiones (largo, ancho y alto), como bloques, cubos, etc. Se obtiene dividiendo la

masa entre el volumen del cuerpo.



Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado ba, y que 0xf para

toda x en .,ba Como lo muestra la figura siguiente:

Observación: El centro de masa de una región homogénea no depende de su densidad o de

su masa, sino solo de la forma de la región correspondiente en el plano. Por tanto, nuestro

problema resulta geométrico en lugar de ser físico. De acuerdo con ello, a menudo hablaremos de

CENTROIDE de una región plana en lugar de Centro de Masa de una lámina homogénea.

DEFINICIÓN DE MASA, MOMENTO DE MASA Y CENTRO DE MASA DE UNA

LÁMINA.

Sea L una lámina homogénea cuya densidad de área constante es kilogramos por metro

cuadrado. La cual está limitada por la curva. xfy , el eje x y las rectas ax y .bx

La función es continua en ba, y 0xf para toda x en .,ba

Si M kilogramos de masa total de la lámina L, entonces

dxxfkMb

a

Si xM kilogramos metro es el momento de masa de la lámina L con respecto al eje x ,

entonces

dxxfMb

ax

2

2

1

Si yM kilogramos metro es el momento de masa de la lámina L con respecto al eje y ,

entonces

dxxxfkMb

ay



Si yx, es el centro de masa de la lámina L , entonces

M

Mx y

M

My x y

Podemos hallar el centro de una región plana en lugar del centro de masa de una región

homogénea, por lo tanto se considerará el centro de masa como centroide de la región. En lugar

de momento de masa se considerarán momentos de la región.

Sea R la región limitada por la curva xfy , el eje x y las rectas ax y .bx La

función f es continua en ba, y 0xf para toda x en .,ba Si xM denota el momento de

R con respecto al eje x y yM denota el momento de R respecto al eje y , entonces

dxxfMb

ax

2

2

1

dxxxfkMb

ay

Si yx, es el centroide de la región plana de R cuya área es A unidades cuadradas y xM

y yM se define como

y M

Mx y

M

My x

Ejemplo 1: Determinar el centroide de la región del primer cuadrante limitada por la curva

,42 xy el eje x y las rectas 1x y .4x

Solución:

Si ,422 xxfy entonces .24 xxxf Cuya gráfica es:



El área de la región está dada por:

dxxfA 4

1

dxxA 4

12

dxxA 4

1

2

1

2

4

1

12

1

12

12

xA

4

1

2

3

2

32

xA

4

1

2

3

3

22 xA

4

1

2

3

3

4xA

2

3

2

3

143

4A

33 123

4A

183

4A

73

4A



3

28A

Ahora se calcula yM y xM

dxxxfM y 4

1

dxxxM y 4

12

dxxxM y

4

1

2

1

2

dxxM y

4

1

2

11

2

dxxM y 4

1

2

3

2

4

1

12

3

12

32

xM y

4

1

2

5

2

52

xM y

4

1

2

5

5

22 xM y

2

5

2

5

145

4yM

55 125

4yM



1325

4yM

315

4yM

5

124yM

Y

dxxfM x 4

1

2

2

1

dxxM x 4

1

2

22

1

dxxM x 4

1

222

2

1

dxxM x 4

14

2

1

dxxM x 4

14

2

1

dxxM x 4

12

4

1

2

22

xM x

4

1

2xM x

22 14 xM

116xM

15xM



Calculamos ahora x y y

28

45

3

28

15y

35

93

3

285

124

M

Mx y

M

My x

El centroide está en .28

45,

35

93

Ejercicios:

1. Determinar el centroide de una placa semicircular de radio .r Respuesta: .3

4,0

r

2. La densidad x (Densidad lineal) de un cable en el punto a x centímetros de uno de

los extremos está dada por 23xx gramos por centímetros. encuentre el centro de

masa del pedazo comprendido entre 0x y .10x Respuesta: 7,5cm

3. Determinar el centroide de la región bajo la curva ,xseny .0 x

Respuesta: .8

,2

4. Determinar el centroide de la región R encerrada por los ejes coordenados y la curva

ayx Respuesta: .5

,5

aa

PRINCIPIO DE SIMETRÍA

En el ejercicio 1, el centroide estará en el eje Y el cual es el eje de simetría, en el ejercicio

3 el centroide estará en el eje ,2

x y en el ejercicio 4 el centroide estará en la diagonal xy

que es el eje de simetría.

Podemos concluir un principio que es intuitivamente obvio: “SI UNA REGIÓN TIENE

UN EJE DE SIMETRÍA, ENTONCES EL CENTROIDE DE LA REGIÓN ESTA

SITUADO EN ESTE EJE”.

En el ejemplo siguiente la región está limitada por dos curvas en lugar de una y el eje x . El

método para determinar el centroide es el mismo que el anterior, pero las ecuaciones para yM y

xM ahora dependen de las ecuaciones que definen las curvas.



Ejemplo 2: Determinar el centroide limitado por las curvas 2xy y .32 xy

Solución:

Los puntos de intersección de las curvas son cuando ,32 2xx es decir, factorizando

usando algún método, obtenemos:

0130322 xxxx

Obteniéndose que

303 xx y tenemos que 932 y

101 xx y tenemos que 112y

Y así, los puntos de intersección son 1,1 y 9,3 . Veamos en la figura:

De acá, sea 2xxf y .32 xxg

El centroide del i ésimos elemento rectangular está en el punto

2, ii

i

mgmfm

donde im es el punto medio del i ésimo subintervalo .,1 ii xx

La medida del área de la región está dada por:

dxxfxgA 3

1

dxxxA 3

1

232



dxxdxdxxA

3

1

23

1

3

132

3

1

33

1

3

1

2

33

22

xx

xA

3322 133

113313 A

1273

113319 A

283

1438 A

3

28128 A

3

28128 A

3

2820 A

3

32A

Calculamos yM y :xM

dxxfxgxM y 3

1

dxxxxM y 3

1

232

dxxxxM y 3

1

32 32

dxxdxxdxxM y

3

1

33

1

3

1

2 32

dxxdxxdxxM y

3

1

33

1

3

1

2 32



3

1

43

1

23

1

3

423

32

xxxM y

3

1

43

1

23

1

3

4

1

2

3

3

2xxxM y

442233 134

113

2

313

3

2yM

1814

119

2

3127

3

2yM

804

18

2

3127

3

2yM

804

18

2

328

3

2yM

4

80

2

24

3

56yM

4

80

2

24

3

56yM

3

32yM

dxxfxgM x 3

1

22

2

1

dxxxM x 3

1

22232

2

1

dxxxxM x 3

1

42233222

2

1

dxxxxM x 3

1

42 91242

1

dxxxxM x 3

1

42 91242

1



3

1

43

1

3

1

3

1

2 91242

1dxxdxdxxdxxM x

3

1

53

1

3

1

23

1

3

59

212

34

2

1 xx

xxM x

552233 135

113913613

3

4

2

1xM

1243

5

1139196127

3

4

2

1xM

1243

5

14986127

3

4

2

1xM

244

5

1364828

3

4

2

1xM

5

24484

3

112

2

1xM

15

1088

2

1xM

15

544xM

Así,

3

3215

544

y

3

323

32

M

Mx y

M

My x

y x__

5

171

Ejercicios:

1. Determinar el centroide de la región limitada por las curvas 3xy y .xy



Respuesta: .7

3,

25

12

2. Determinar el centroide de la región encerrada por 24 xy y 2 xy

Respuesta: .5

12,

2

1

MOMENTOS DE INERCIA

El Momento de Inercia es una magnitud que establece la resistencia que presenta un cuerpo

a cambiar su velocidad angular, con relación un eje específico: el torque externo aplicado a un

cuerpo rígido se relaciona con la aceleración angular adquirida según la relación:

I

En donde I es el momento de inercia, aceleración angular, el momento o torque

externo aplicado.

Para una distribución de masa discreta el Momento de Inercia puede calcularse con la

ecuación:

n

i

iirmI1

2

Donde m son las masas puntuales y r la distancia la distancia al eje de rotación.

Si la distribución de masas es continua el cálculo se hará con un integral.

dmrI 2

Ejemplo: Se unen cuatro partículas de masa m mediante varillas sin masa, formando un

rectángulo de lados a2 y b2 . El sistema gira alrededor de un eje en el plano de la figura que pasa

por su centro.

Hallar el momento de inercia respecto de este eje.



Solución:

Si aplicamos la definición de momento de inercia:

n

i

iirmI1

2tenemos que:

24mbI x y 24maI y

Ejemplo: Calcular los momentos de inercia respecto a su eje de simetría de una esfera

homogénea.

Solución:

Coloquemos nuestro origen de coordenadas en el centro de la esfera, según la figura:

Si dividimos nuestra esfera en diferenciales de masa dm con forma de coraza esférica de

radio r y espesor ,dr todos los puntos de dicho dm se encuentran a la misma distancia del

centro, por lo tanto si calculamos el momento de inercia polar de la esfera respecto de dicho

centro nos dará:

25

3

5

0

4

0

222

05

3

54

3

45444 MR

R

R

MRdrrdrrrdmrI

RR

Por simetría el momento de inercia respecto de los tres ejes coordenados YX , y Z tiene el

mismo valor ,zyx III y además se verifica que:

02IIII zyx

Por tanto

2

5

2MRIII zyx



Ejercicio: Calcular los momentos de inercia respecto a su eje de simetría de los siguientes

cuerpos: a) cilindro hueco de paredes delgadas, b) cilindro homogéneo hueco de radio interior a

y exterior b , c) sistema formado por una barra cilíndrica de radio R y longitud L unida a dos

esferas de radio R2 .

PRESIÓN Y TRABAJO

En la física se utiliza el término trabajo para caracterizar la energía de movimiento de un

cuerpo cuando éste es movido cierta distancia debido a una fuerza que actúa sobre él, de modo

que

FdW

Donde F es la fuerza y d es la distancia.

Sea F una función continua en el intervalo cerrado ba, y xf unidades la fuerza que

actúa sobre un objeto en el punto x del eje .X Si W unidades es el trabajo realizado por la

fuerza conforme el objeto se desplaza de a a ,b entonces

b

adxxfW

Ejemplo: Una particular se mueve a lo largo del eje X debido a la acción de una fuerza de

xf libras cuando la partícula está a x pies del origen. Si ,42 xxf calcule el trabajo

realizado conforme la partícula se mueve del punto donde 2x hasta el punto donde .4x

Se toma una partición del intervalo cerrado .4,2 Si W libras-pie es el trabajo realizado

cuando la partícula se mueve del punto donde 2x hasta el punto donde ,4x entonces

4

2 dxxfW

dxxW 4

2

2 4

4

2

4

2

2 4 dx dxxW

42

4

2

3

43

xx

W



4

2

4

2

3 43

1xxW

244243

1 33 W

248643

1W

8563

1W

3

2456 W

3

80W

de es realizado trabajoEl .pie-lb 3

2 26

En el siguiente ejemplo aplicamos una ley física:

xl

La Ley de Hooke que expresa que la fuerza

requerida para mantener un resorte estirado x

unidades más allá de su longitud natural es

proporcional a :x

kxxf

Donde k es una constante positiva (llamada

constante del resorte). La ley de Hooke se cumple

siempre que x no sea demasiado grande.

Ejemplo: Se requiere una fuerza de 40 N para sostener un resorte estirado desde su

longitud natural de 10 cm hasta una longitud de 15 cm. ¿Cuánto trabajo se realiza para estirarlo

desde 15 cm hasta 18 cm?

Solución:



Según la ley de Hooke, la fuerza requerida para sostener el resorte estirado x metros más

allá de su longitud natural es .kxxf . Cuando el resorte se estira desde 10 cm hasta 15 cm, la

cantidad es de 5 cm=0,05 m. esto significa que ,4005,0 f de modo que

80005,0

404005,0 kk

Por tanto, xxf 800 y el trabajo realizado al estirar el resorte desde 15 cm hasta 18 cm

es

JW

xxdxW

56,1039,04000025,00064,0400

05,008,04002

80080022

08,0

05,0

08,0

05,0

2

FUERZA EJERCIDA POR LA PRESIÓN DE UN FLUIDO

Otra aplicación de la integral definida en física consiste en determinar la fuerza ejercida por

la presión de un líquido sobre una placa sumergida en él o sobre un lado del recipiente que lo

contiene.

La presión de un líquido es la fuerza por unidad cuadrada de área ejercida por el peso del

líquido.

Así, si es la densidad del líquido, entonces la presión ejercida por el líquido en un punto

a h unidades debajo de la superficie del líquido es P unidades, donde .hP

El tamaño del recipiente no importa en lo que a la presión se refiere. Por ejemplo, a una

profundidad de 5 pies en una alberca llena de agua salada la presión es la misma que a 5 pies del

Océano Pacífico, considerando que la densidad del agua es la misma.

Suponga que se introduce horizontalmente una capa delgada en el líquido de un recipiente.

Si A unidades cuadradas es el área de la placa sumergida y F es la medida de la fuerza

ejercida por el líquido que actúa sobre la cara superior de la placa, entonces .APF

Si se sustituye el valor de la presión en ésta ecuación, tenemos .AhF

Ejemplo: Una lámina rectangular de hojalata de 8 pies por 12 pies se sumerge en un tanque

que contiene agua a una profundidad de 10 pies, como se muestra en la figura. Calcular la fuerza

ejercida por la presión del agua sobre la cara superior de la lámina



Si P son lb/pie

2 es la presión ejercida por el agua en un punto de la cara superior de la

lámina, entonces .10P

El área de la lámina es de 96 pie

2. De este modo, si F libras es la fuerza debida a la presión

del agua que actúa sobre la cara superior de la lámina, entonces .96PF Al sustituir 10 por ,P tenemos que .960F Y como 4,62 2

en el sistema inglés,

tenemos que:

4,62960 F

6000059904 F

Por lo tanto, la fuerza ocasionada por la presión del agua sobre la cara superior de la lámina

de hojalata es de 60 000 lb.

Ahora suponga que se sumerge una placa delgada verticalmente en el líquido de un

recipiente.

Entonces, en puntos de la placa a diferentes profundidades la presión, calculada mediante

,hP es diferente y será mayor en la parte inferior que en la parte superior de la placa.

Para definir la presión causada por la presión de un líquido sobre una placa vertical se

utiliza el principio de Pascal.

2 La densidad del agua expresado en diferentes unidades:

Densidad Agua = 1 gr/cm3

= 1000 Kg/m3 = 133.53 onza/galón = 62.43 Lb/ft

3 = 0.04 Lb/pulg

3

La densidad del agua es muy usada como patrón de densidades y volúmenes de otras

sustancias y/o compuestos.

Una propiedad importante de la densidad del agua es que es muy estable, ya que esta varía

muy poco a los cambios de presión y temperatura.



Principio de Pascal: En cualquier punto de un líquido, la presión es la misma en todas las

direcciones.

En la siguiente figura:

Sea ABCD la región limitada por el eje ,X las rectas ax y bx y la curva ,xfy

donde la función f es continua y 0xf en el intervalo .,ba Elija los ejes coordenados de

modo que el eje Y quede sobre la superficie del líquido. Considere el eje X vertical con el

sentido positivo hacia abajo, de modo que xf unidades es la longitud de la placa a una

profundidad de x unidades.

Sea una partición del intervalo cerrado ba, que divide al intervalo en n intervalos.

Elija un punto en el i ésimo subintervalo, de modo que .1 iii xwx Dibuje los n rectángulos

horizontales. El i ésimo rectángulo tiene una longitud de iwf unidades y un ancho de xi

unidades.

Si se gira cada elemento rectangular 90, cada elemento se convertirá en un aplaca

sumergida horizontalmente en el líquido a una profundidad iw unidades debajo de la superficie

del líquido y perpendicular a la región ABCD . Entonces, la medida de la fuerza sobre el

i ésimo elemento rectangular es .xwfw iii Una aproximación de la medida de la fuerza

total ejercida por la presión del líquido sobre la placa es

n

i

iii xwfw1

Suponga que una placa se sumerge verticalmente en un líquido para el cual la medida de su

densidad es .

La longitud de la placa a una profundidad x unidades debajo de la superficie del líquido es

xf unidades, donde f es continua en el intervalo cerrado ba, y 0xf en ba, .

Si F es la medida de la fuerza ejercida por la presión del líquido sobre la placa, entonces:



b

adxxfxF

Ejemplo: Una artesa, cuya sección transversal es un trapecio, está llena de agua. Si el

trapecio mide 3 pies de ancho en su parte superior, 2 pies de ancho en su parte inferior, y 2 pies

de profundidad, calcule la fuerza total ejercida por la presión del agua en un lado de forma

trapezoidal de la artesa.

La figura muestra el lado de la artesa junto con un elemento rectangular de área.

Puesto que una ecuación de la recta AB es ,42

3 xy de aquí:

42

3 xxf

Si se gira el elemento rectangular un ángulo de 90, la fuerza sobre el elemento es

e xwfw iii 2 libras.

Si F libras es la fuerza total sobre el lado de la artesa, entonces

dxxfxF 2

02

dxx

xF

2

0 42

32

dxxx

F

2

0

2

42

32

dxxdxxF

2

0

22

0 4

1

2

32



2

0

32

0

2

34

1

22

32

xxF

3322 02

12

102

4

32F

08

12

104

4

32F

8

12

14

4

32F

12

832F

3

232F

3

292F

3

72F

3

14F

Con = 62.4:

3

4,6214F

2,291F

La fuerza total es de 291 libras.

Ejemplo: Los extremos de un tanque de gasolina son regiones semicirculares, cada una con

radio de 2 pies: Determine la fuerza ejercida por la presión en un extremo si el tanque está lleno

de gasolina, la cual tiene una densidad de 41 lb/pie2



La figura muestra el extremo de un tanque junto con un elemento rectangular de área:

Al resolver la ecuación de la semicircunferencia para y se tiene .4 2xy

La fuerza sobre el elemento rectangular es xww iii 2

42 libras.

Por tanto, si F libras es la fuerza total. Sobre el lado semicircular del tanque, entonces

3

16

42

3

42

4

0

232

2

0

2

F

x-F

dx -xxF

/

Con = 41, la fuerza total es de 219 lb.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Larson, Hostetler, Edwards. (1995). Cálculo. Volumen 1. Editorial McGraw-Hill. 6ta. Ed.

Leithold. L. (1998). El Cálculo. Oxford University Press. 7ma. Ed.

Purcell, E. (1992). Cálculo con Geometría Analítica. 6ta. Ed. Editorial Prentice-Hall-

Hispanoamericana.

Saenz, J. (2009). Cálculo Integral con funciones trascendentes tempranas. Para ciencias e

ingeniería. Segunda Edición. Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.

Stewar, J. (2006). Cálculo. Conceptos y contextos. 3ra Ed. División Iberoamericana.

Chalco, Estado de México.

Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con

aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté.

Tema iii aplicaciones de la integral matematica i uney pnfic

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