Tema i despejes algebra uai uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I ÁLGEBRA

TEMA I: DESPEJES UNIDADES ACREDITABLES I

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS Y LITERALES

Hasta el siglo XVI, los avances de la Matemática no fueron suficientes, siendo una de las

causas de esta situación, el no contar con símbolos que permitieron a los matemáticos expresar

sus trabajos en forma simple y que facilitaran su lectura. Desde los babilonios (1700 a. de C.)

hasta Diofanto (250 d. de C.) las operaciones se expresaban con el lenguaje ordinario (Período

retórico o verbal). Por ejemplo, en el papiro de Rhind (1650 a. de C.) se puede leer: "Un montón

y un séptimo del mismo es igual a 24". Con la palabra "un montón" designaban la incógnita; Un

par de piernas andando en la dirección de la escritura era el signo (+) y en contra el signo (-).

¿Cómo se escribiría hoy esta ecuación?

Luego, desde Diofanto y hasta comienzos del siglo XVI se comenzaron a utilizar algunas

abreviaturas (Período abreviado o sincopado). Por ejemplo, para expresar la ecuación

,0653 2 xx tenemos que Regiomontano (1464) escribía: 3 CENSUS ET 6 DEMPTIS 5

REBUS AEQUATUR ZERO mientras que Luca Pacioli (1494) escribía: 3 CENSUS P 6 DE 5

REBUS AE 0 A partir del siglo XVI, con Vieta y Descartes sobre todo, se empezó a utilizar un

lenguaje simbólico muy parecido al actual (Período simbólico).

Por ejemplo, la ecuación anterior era expresada así:

Actualmente, el lenguaje de las Matemáticas es internacional. Se puede desconocer el

idioma en que está escrito un problema, pero la expresión algebraica será la misma que en

cualquier libro español.

En este texto sólo son legibles las letras x e ,y así como la fórmula ,2xy (salvo que se

sepa leer japonés). La palabra Álgebra viene del título del libro "Al-jabr w'al_muqabalah", escrito

en Bagdad alrededor del año 825 por el matemático y astrónomo Mohamed ibn-Musa al-

Khwarizmi (hijo de Musa y nativo de Khwarizmi). «Al-jabr» significa transposición y con ello se

hacía referencia al paso de términos de un miembro a otro de la ecuación y «w'al-muqabalah»

significa eliminación y se hacía referencia a la eliminación de términos iguales en los dos

miembros.

TEMA I: DESPEJES

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA

Así, en la ecuación: xxxx 314532 22 «Al-jabr» será: xxx 3393 2 «W'al-

muqabalah» será: .093 2 x A la incógnita la llamaba «sahy» (cosa), nombre que perduró

durante bastante tiempo. El Álgebra se caracteriza por el uso de letras y expresiones literales

sobre las que se hacen operaciones. La posibilidad de representar con una sola letra una infinidad

de valores y el hecho de poder operar con ellas de forma natural y sencilla es lo que la hace ser de

gran utilidad. Al ser el algebraico un lenguaje, tiene unas reglas particulares que hay que

aprender. Así, por ejemplo, es probable que te hayas encontrado con la expresión "8m" y la hayas

traducido por "ocho metros"; en las expresiones algebraicas su significado será "ocho por m" o lo

que es lo mismo "ocho veces m".

Cuando manejamos solamente números (Aritmética), los signos de operaciones indican una

acción cuyo resultado es siempre un número (7 + 6 = 13), sin embargo, cuando tratamos además

con letras(Álgebra) estas operaciones no tienen siempre por qué realizarse sino que se dejan

indicadas (3 + x). Por otra parte, mientras que en el primero de los casos se llega a un resultado

único, en el segundo se expresan todos los resultados posibles, según el valor que demos a x. Otra

"regla" algebraica que has de tener en cuenta es que cuando escribes 35 significa 5 + 3 · 10, sin

embargo cuando escribes "3a" significa "tres por a" o, lo que es lo mismo, "a + a + a" (salvo que

se especifique que "a" es la cifra de las unidades de un número y 3 es la cifra de las centenas). El

signo igual también tiene en muchas ocasiones un significado distinto cuando trabajamos en

Aritmética o en Álgebra. Así, 2 · 6 = 6 + 6 = 2 · (4 + 2) = 6 · (1 + 1) =... aquí el signo igual se

utiliza para expresar de distintas formas varias operaciones que dan todas el mismo resultado, en

cambio, en x + 6 = 10 es cierto sólo para x = 4.

En cuanto a las expresiones literales, cuenta la historia que a mediados del siglo XVI los

estados españoles estaban muy distanciados y para comunicarse sin que sus mensajes pudiesen

ser conocidos por sus enemigos, empleaban una serie de caracteres desconocidos. Durante los

desórdenes de la unión, su código secreto estaba compuesto por unos 500 caracteres diferentes y

aunque sus mensajes eran frecuentemente interceptados, no podían ser descifrados. Mandadas

estas cartas a Vieta las descifró sin mayores problemas. Esto desconcertó a los españoles durante

dos años que pensaron que el rey lo había descubierto a través de un mago. Este mago, que era

solo un matemático, había aplicado sus inventos de escrituras y notaciones matemáticas. Estos

trabajos están publicados en el libro "El Álgebra nueva" donde Vieta muestra el enorme interés

que tiene para las matemáticas (y otras ciencias) el efectuar cálculos con letras en lugar de con

números.

El álgebra nos permite ir del número al símbolo, de una situación particular a una general.

El lenguaje algebraico permite de manera simple, hallar relaciones, propiedades y en

consecuencia, resolver problemas. Las expresiones algebraicas deben operarse convenientemente

con el fin de convertirlas en expresiones equivalentes más sencillas.

Una expresión algebraica es cualquier combinación de números representados por letras o

por letras y cifras vinculadas entre sí por operaciones de suma, resta, multiplicación, división,

potenciación, radicación.

Ejemplos de expresiones algebraicas son:

TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 ÁLGRBRA

Únicamente consideraremos expresiones algebraicas en las que estén presentes números

reales. Una de las aplicaciones de expresiones algebraicas es el simbolizar frases:

a) El padre de Carlos tiene triple edad que él: .3yx

b) La suma de dos números consecutivos es 253: .253 yx

Además, permite expresar fórmulas:

a) El área de un rectángulo de base a y altura b es .abA

b) Volumen de un cubo de arista a es .3aV

c) La velocidad es igual a la velocidad inicial más la aceleración por el tiempo:

.0 atvv

El signo igual, también tiene significado distinto cuando se trabaja en Aritmética o en

Álgebra:

En Aritmética: ,81141324442 el signo igual se emplea

para expresar de distintas formas varias operaciones que dan el mismo resultado.

En Álgebra: 117 x es verdadero sólo para .4x

Las expresiones algebraicas se utilizan en diversas disciplinas como Matemática, Física,

Química.

Se pueden definir diversas operaciones directas como suma, resta, multiplicación,

potenciación con exponentes naturales, e inversas de éstas como resta, división, radicación. Estas

operaciones se denominan algebraicas para diferenciales de las de no algebraicas o trascendentes,

en éstas últimas intervienen funciones como la exponencial, la logarítmica y las trigonométricas.

En las expresiones algebraicas se observa una parte literal que puede significar:

Variables: cantidades que pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto numérico en

que se opera y a las cuales se denotan con las últimas letras del abecedario: r, s, t, u, v, x, y, z. –

Constantes: cantidades fijas pero no especificadas ya sea porque no se conoce su valor o

porque no conviene darlo y se indican con las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, etc.

Al considerar las operaciones algebraicas a las que se encuentra sometida la/s variables, es

posible clasificarlas del siguiente modo:

TEMA I: DESPEJES


POLINOMIOS

Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608),

escribió que una ecuación polinómica de grado n (con coeficientes reales) puede tener n

soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629),

aseveró que una ecuación de grado n tiene n soluciones, pero no menciona que dichas

soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que

la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del

polinomio sea igual a cero.

Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el

autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la

ecuación: .344 xx A pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz

1 tiene multiplicidad 2): 21,1,1 i y .21 i Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus

Bernoulli, conjeturaron lo contrario.

Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra

que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un

producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De todas formas, en

1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo44 ax (con a real y distinto de 0) se puede

escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al

polinomio ,4424 234 xxxx , pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía

que su polinomio pasaba a ser igual a:

712712 22 xxxx

Con igual a raíz cuadrada de .724 Igualmente mencionó que:

222244 22 axaxaxaxax

El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su

demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema

(actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más

tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795)

intentaron demostrar este teorema. A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas,

una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente,

en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental

del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de

demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original.



El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito

por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba es la

debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito. Ninguna de las pruebas

mencionadas más arriba son constructivas.

Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de

encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una

demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que

luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.

Ahora bien, en matemáticas, un polinomio (del griego, «poli»-muchos y «νόμος»- división,

y el latín «binomius») es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no

determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando

únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como exponentes

enteros positivos. En otras palabras, un polinomio es una combinación lineal de productos de

potencias enteras de una o de varias indeterminadas. Es frecuente el término polinomial, como

adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro,

como por ejemplo en tiempo polinomial.

POLINOMIOS DE UNA VARIABLE

Para , a,a n0 constantes en algún conjunto de los números racionales (en cuyo caso

los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y ,Nn entonces un

polinomio ,P de grado n en la variable x es un objeto o expresión de la forma:

0

0

1

1

1

1 xaxaxaxaxP n

n

n

n

Las constantes , a,a n0 se llaman los coeficientes del polinomio. A 0a se le llama el

coeficiente constante (o término independiente) y a , an el coeficiente principal.

Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado.

POLINOMIOS DE VARIAS VARIABLES

Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más

de una variable.

Por ejemplo los monomios: .2,,,3,,5, 232 zxyzyxRzxxzQxyyxP

En detalle el último de ellos 232,, zxyzyxR es un monomio de tres variables (ya

que en él aparecen las tres letras ,x ,y z ), el coeficiente es 2, y los exponentes son 1, 3 y 2 de

,x ,y z respectivamente.

TEMA I: DESPEJES


GRADO DE UN POLINOMIO

Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un

polinomio es el del monomio de mayor grado.

Ejemplos:

, = xP 2 es un polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término

independiente).

, x + = xP 23 es un polinomio de grado uno.

, x + x = xP 22 23 es un polinomio de grado dos.

, x + + x = xP 232 2 es un polinomio de grado dos.

CLASIFICACIÓN DE POLINOMIOS SEGÚN EL GRADO

a) DE GRADO CERO: Es el de la forma: =k, xP donde k es un número real. La

variable en este caso se dice que esta elevada a la potencia cero. Ejemplos:

, =xP 4 , =yP3

1 , =zP

6

1 =wP .2

b) DE PRIMER GRADO O LINEAL: Es el polinomio de la forma: b, =mxxP donde

m y b son números reales, x es la variable con exponente uno. Ejemplos:

, x =xP 63 x =xP .4

En dos variables: yx =yxP .32,

En tres variables: abc=cbaP .2,,

.

c) DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICO: Es el polinomio de la forma:

cbx =axxP ,2 donde ba, y c son números reales, la x es la variable con

exponente máximo 2. Ejemplos:

, xx =xP 632 2 , x =xP 43 2 x, x =xP 65 2 .2 2x =xP

En dos variables:



yxy =xyxP .2, 22

También hay polinomios de tercer grado, cuarto, quinto, etc. Y es determinado por el

mayor exponente de la variable.

CLASIFICACIÓN DE POLINOMIOS POR EL NÚMERO DE TÉRMINOS

a) MONOMIO: Es un pol inomio que consta de un sólo monomio o termino .

x= xP 22

b) BINOMIO: Es un pol inomio que consta de dos monomios .

x + x = xP 32 2

c) TRINOMIO: Es un pol inomio que consta de t res monomios .

132 2 x + x = xP

d) Si la expresión consta de cuatro términos o más, se le llama comúnmente POLINOMIO.

Por ejemplo:

xx + - x - = xP 23 3254

En dos variables:

432234 2532 + yxy - yxy - x + x= x,y P

TÉRMINOS SEMEJANTES

Llamaremos términos semejantes a todos aquellos que difieren solo en sus coeficientes pero

que tiene exactamente el mismo factor literal. Así por ejemplo:

b a,b y b,- a a 222 536

Son términos semejantes.

Ahora bien, si en un polinomio aparecen varios términos semejantes, se deben reducir

para trabajar en forma más simplificada y ordenada.

TEMA I: DESPEJES


Reducir los términos semejantes en el siguiente polinomio:

yyxxyyx+xy+x+xyx= x, y P 32234223 22232642

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

El valor numérico de un polinomio es el nombre que resulta de sustituir la indeterminada

x por el número y efectuar las operaciones indicadas a la expresión del polinomio. Ejemplo,

consideremos el polinomio: .x + + x + xxP 2323 23 Y calculando el valor numérico

para ;x = -2 tenemos:

.202

.268242

.2232223223

= --P

+ - + = --P

+ - + - + -= -P

IDENTIDAD DE POLINOMIOS

Dos polinomios de la misma indeterminada son idénticos si tienen iguales los coeficientes

del mismo grado.

CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS

DESPEJE DIRECTO: Esto se basa en la transposición de términos en una ecuación.

Comúnmente es denominado despeje de manera física. Y se cambian al cambiar de los lados del

miembro de una ecuación las operaciones básicas ( , ) por sus respectivas opuesta e inversa

multiplicativa ( , ), además la potenciación y su inversa la radicación y viceversa. En general

existen más operaciones o funciones inversas para cada una de las funciones definidas, lo cual va

a depender del dominio de definición. Vea los ejemplos:

16445995

48224242

2222

2222

44

1616431941934

22

xxxxx

xxxxx

xxxxx



399

125553223

22

333333

xxx

xxxxx

FACTOR COMÚN DE UN MONOMIO: Veamos geométricamente la Figura:

Figura: Acepción geométrica de la Factorización sacando Factor Común, la cual tiene relación

con la propiedad distributiva del producto respecto a la adición asociada algebraicamente.

De lo geométrico obtenemos que:

.baccbca

Ejemplos de Sacar Factor común:

1. Buscamos el factor común de a2 y .4 Como el factor común de a2 y 4 es ,2

procedemos a factorizarlo:

2242

22242

aa

aa

Notemos que en cierto sentido aquí existe una descomposición de los factores de cada

sumando:

aa

a 2

1

2

2

2

1

2

4

Luego, el factor común es el 2 y los términos que van en el paréntesis y que llevan el

signo de la suma son una a y un 2 en ese mismo orden.

TEMA I: DESPEJES


2. Buscamos el factor común de 32 543 a + aa + . Como el factor común de ,3a 24a y

35a es ,a procedemos a factorizarlo.

.543 543

543543

232

232

a a + aa aa +

aa a aa + a aa +

Notemos que en cierto sentido aquí existe una descomposición de los factores de cada

sumando:

aa

a 3

1

3

a

a

a

a

a

a

2

2

1

2

4

2

2

2

a

a

a

a

a

a

a 5

1

5

2

3

3

Luego, el factor común es la a y los términos que van en el paréntesis y que llevan el

signo de la suma o de la resta son el producto de los restantes que son un ,3 a4 y 25a en ese

mismo orden.

RESOLVENTE CUADRÁTICO

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función

polinómica definida como: .2 cbxaxy Una función cuadrática es aquella que puede

escribirse de la forma: .2 cbxaxxf Donde ba, y c c son números reales cualquiera y

a distinto de cero ya que si es cero nunca será una parábola.

Este tipo de funciones tiene como característica que cuando 0a el vértice de

la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma y cuando 0a el vértice se encuentra

en la parte superior. La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es

una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas.

La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso

contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy

diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.



Por ejemplo, sea la función ,822 xxy verificar que los puntos de cortes con el eje

son: 21 x y ,42 x y con el eje y es el punto ,8y de acuerdo con la grafica de abajo:

Gráficas de la función cuadrática.

RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de ,x

para los cuales .0xf

ECUACIONES INCOMPLETAS

a) 02 ax 0000 22 xxa

x

b) 02 cax a

cx

a

cxcax

22

c) 02 bxax

a

bxx

baxx

baxx

o 0

0 o 0

común)factor (Sacando 0

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica_03.svg

TEMA I: DESPEJES


ECUACIONES COMPLETAS

Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente

como: 1x y 2x dependiendo del valor del discriminante definido como .42 acb

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

a

bx

21

y

a

bx

22

Una solución real doble si el discriminante es cero:

a

bxx

221

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:

ai

a

bx

221

y

ai

a

bx

222

REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera

dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación

o construcción geométrica de la parábola, etc.

FORMA DESARROLLADA

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del

polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

cbxaxxf 2con .0a



FORMA FACTORIZADA

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces

como: .21 xxxxaxf Siendo a el coeficiente principal de la función, y 1x , 2x las

raíces de .xf

En el caso de que el discriminante sea igual a 0 entonces 21 xx por lo que la

factorización adquiere la forma:

.2

1xxaxf

En este caso a 1x se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el

discriminante es negativo, las soluciones son complejas.

Ejemplos:

1. Para resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas no es necesario

aplicar la fórmula dada.

042 xx 04 xx Sacando Factor Común.

Sus soluciones son: 0x ó 04 x . O bien 0x ó .4x .

092 x 033 xx Por Diferencia de Cuadrado.

Sus soluciones son: 03 x ó 03 x . O bien 3x ó .3x

También es posible hallar la solución despejando directamente:

092 x 92 x 9x .3x

042 x no tiene soluciones reales (No existe la Suma de Cuadrados).

Es decir al despejar tenemos que: 042 x 42 x lo cual no es posible en .R

019203000

2

x 019203000 2 x

1920

30002 x 25,11920

3000x

TEMA I: DESPEJES


La ecuación 0642 2 xx tiene dos soluciones dadas por:

4

84

4

644

4

48164

6,4,2con ,22

624442

x

x

x

cbax

De aquí tenemos las dos siguientes raíces:

14

4

4

841

x y 3

4

12

4

842

x

Entonces,

)1)(3(2642 2 xxxx .

La ecuación 0442 xx sólo tiene una solución doble, 2x (Comprobarlo).

Luego, 22 )2(44 xxx .

La ecuación 0642 xx no tiene soluciones reales (Comprobarlo).

ECUACIONES BICUADRADAS

Son ecuaciones del tipo 4 2 0ax bx c .. Se puede transformar en una ecuación de

segundo grado cambiando 2x y y 4 2x y , de esta manera nos queda una ecuación de segundo

grado. Por ejemplo:

03613 24 xx



Cambiamos yxyx 224 , y nos queda una ecuación de segundo orden:

036132 yy

Que resolviendo nos queda:

2

513

2

2513

2

14416913

12

361413132

y

y

y

y

De aquí tenemos las dos siguientes raíces:

92

18

2

5131

y y 4

2

8

2

5132

y

Y sustituyéndolas en el cambio de variable:

2

1

2

2

9 9 3

4 4 2

y x x

y x x

Que son las cuatro soluciones de la ecuación. (Normalmente suelen salir soluciones reales

y enteras, pero puede ocurrir que no sean enteras o incluso no tenga solución real)

Ejercicios: Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas:

b) 0910 24 xx

c) 03613 24 xx

d) 0154 24 xx

TEMA I: DESPEJES


RUFFINI: DIVISIÓN POR x Y ESQUEMA DE RUFFINI

Es el caso en particular de que , xxD la división queda planteada en los

siguientes términos: x+ Rx Qx= xP

Demostración: Ejercicio.

Esta regla se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga o adopte las

siguientes formas: ;bx ;bax y .baxn

Cuando su forma general es: bx se opera así:

1. Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;

2. Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la

izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo;

3. Se divide teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al

primer coeficiente del dividendo.

4. Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.

Ejemplo: Obtener el cociente y el resto en la división: 1

232 45

x

xxx

Solución: Escribimos los coeficientes en el cuadro (completamos con ceros los términos

que faltan):

Entonces: x x x xxQ 2234 (cociente obtenido) y 0xR (residuo

obtenido). 6520 entonces ,0Si 23 xxxy

Por división sintética: Los factores de 6 son: .6,3,2,1 Usemos Ruffini:

Cocientes del dividendo

1 2 0 0 3 2

- 1 -1 -1 1 -1 - 2

1 1 -1 1 2 0

Coeficiente del cociente Resto

Termino

Independiente

del divisor con

signo

cambiado.

1 -2 -5 6

1 1

1

-1

-1

-6

-6

0



Por lo tanto, f tiene un factor de la forma x-1.

)6()1(652)( 223 xxxxxxxf

El factor 62 xx , puede descomponerse en:

)2()3(62 xxxx

Finalmente: .0)2()3()1(,decir es ,0652 entonces ,0Si 23 xxxxxxy Los

valores de x por despeje directo son:

202

303

101

xx

xx

xx

La curva corta al eje x en los puntos: (-2, 0), (1, 0) y (3, 0)

Ejemplo: 16246 234 x++xx+x

El posible valor de la raíz deber ser divisor del término independiente es este caso 16 tiene

por divisor 1, 2, 3, 4, 8,16. Cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión.

Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos para

los divisores de 16.

Probamos con 2: Si 16246 234 x++xx+x , Sus coeficientes en orden son:

1 6 1 -24 16 2

2 16 34 20

1 8 17 10 36 NO

1 6 1 -24 16 -4

-4 -8 28 -16

1 2 -7 4 0 SI

1. Bajas el primer cociente y

multiplicas por el divisor. Ubicas

bajo el 2do.cociente para sumar

o restar según sea el caso

2. Multiplicas por el divisor y

ubicas bajo el 3er.coeficiente y

así sucesivamente hasta terminar

todos los coeficientes

3. Compruebas que la operación

con el ultimo coeficiente te de

cero caso contrario busca otro

divisor y vuelve a intentar

TEMA I: DESPEJES


Coeficientes resultantes 4472 23 xx+-x+x

Volvemos a dividir:

1 2 -7 4 1

1 3 -4

1 3 -4 0 SI

41432 xxxx

4114 xxxx

2214 xx

Comprobación como nos dio cero cuando a =-4 reemplazamos en el polinomio original.

0169616384256

16424446416246234234

x+-+xx+x

Es lo que debe suceder

Ejemplo 2: 233 xx

1 0 -3 -2 1

1 1 -2

1 1 -2 -4 NO

1 0 -3 -2 -1

-1 +1 +2

1 -1 -1 0 SI

122 xxx y el trinomio es de la 2da. Forma 112 xxx

4. Si obtienes cero entonces ese

divisor es el valor de la variable

y para que sea cero el factor será

con el signo contrario

En nuestro caso nos salió para

-4 entonces el factor es (x+4)

5. El polinomio se factora

entonces disminuyendo un grado

al polinomio inicial tomando los

coeficientes resultantes.

Debes cuidar los espacios

correspondientes de los

exponentes en este caso no existe

x2 en su lugar ponemos cero



Comprobación: .023121312333 xx

Ejercicios: Factorizar aplicando la Regla De Ruffini.

1) 8126 23 x++x+x

2) 3613 24 +yy

3) 281323 aaa

4) Determinar cociente y resto de dividir:

93522 234 x + x+ xxxP entre .2 xxD

5323 234 x + x+ xxxP entre .1 xxD

Dado ,322 234 ax + x+ xxxP determinar “a” para que al dividirlo entre

2 xxD dé por resto 5

OBSERVACIONES:

a. Cuando su forma general es: .bax

1. Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor,

es decir :

a

bxabax

2. Se divide entre ,

a

bx como en el primer caso.

3. Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del divisor.

4. El resto obtenido no sufre alteración.

b. Cuando el divisor es de la forma: .baxn En este caso para que la división se pueda

efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del exponente de la

variable del divisor

VARIABLES EN EXPRESIONES NO POLINÓMICAS

ECUACIÓN TRASCENDENTE

Una ecuación trascendente es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que

aparecen una o más incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas, que no son

únicamente algebraicas, y cuya solución no puede obtenerse empleando solo las herramientas

propias del álgebra. Por ejemplo, las ecuaciones siguientes .1log,1,21 2 xxsene x

Así mismo, una ecuación que no se reduce a una ecuación algebraica mediante

transformaciones algebraicas se denomina ECUACIÓN TRASCENDENTE.

TEMA I: DESPEJES


ECUACIONES FÍSICAS

CINEMÁTICA Y DINÁMICA

M.R.U. t

dv

M.R.U.V. t

vva

if

; tavv if ;

2

···

2ta

tvd i

davv if 222

CAÍDA LIBRE: tgvv if ;

2

2tg

tvh i

; hgvv if 2

22

Si no existe velocidad inicial. vi= 0

tgv f 2

2tg

h

hgv f 22

TIRO VERTICAL: tgvv if ;

2

2tg

tvh i

; hgvv if 2

22

En altura máxima (hmax) g

vt ihmax

g

vh i

max2

2

DINÁMICA:

F m a P m g cosFr N · µ

FUERZA GRAVITATORIA: ;2

21ru

r

mmGF

2

211-

KgmNew 106.67= G

FUERZA ENTRE CARGAS LEY DE COULOMB: ;20 ru

r

qQKF

0

04

1

K

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A.

Barreto, J. (2014). La recta numérica y el plano cartesiano: Un estudio desde los números

naturales hasta los números complejos. Colección de Secundaria. (6).

https://www.createspace.com/5137020

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal,

con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial Reverté.

INTERNET: http://es.numberempire.com/equationsolver.php (Para calcular las raíces).

Px=P·sen

α α

N=P·cos

α P

https://www.createspace.com/5137020

http://es.numberempire.com/equationsolver.php

Tema i despejes algebra uai uney

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