Tema i las derivadas matematica i uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA I: DERIVADAS DE FUNCIONES

HISTORIA DE LAS DERIVADAS

Newton

(1642-1727)

Los grandes creadores del Cálculo Diferencial fueron

el inglés Isaac Newton y el alemán Gottfried Wilhelm

Leibniz. De manera diferente e independientemente

estos grandes intelectuales de los siglos XVII y XVIII

sistematizaron y generalizaron ideas y procedimientos

que habían sido abordados de diferentes maneras y con

éxito parcial desde la Antigüedad.

Leibniz

(1646-1716) Antes de Newton y Leibniz fueron realizados diversos aportes de importancia

asociados al nombre de grandes personalidades, como por ejemplo: Gilles de Roberval

(1602-1675), Johannes Kepler (1571-1630), René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat

(1601-1665), Galileo Galilei (1564-1642), Christian Huygens (1629--1695, amigo de

Leibniz), John Wallis (1616-1703, amigo de Newton), Bon aventura Cavalieri (1598-1647,

discípulo de Galileo), Evangelista Torricelli (1608-1647, discípulo de Galileo), Isaac

Barrow (1630-1677, maestro de Newton).

Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe decirse que una de las

contribuciones previas decisivas para el trabajo de Newton y Leibniz fue la Geometría

Analítica (la expresión de puntos geométricos en coordenadas y el uso de métodos

algebraicos), creado independientemente por Descartes y Fermat. Debemos destacar que

cada uno trabajo en otros campos diferentes a las Matemáticas. Newton es un

conocido científico que hizo grandes descubrimientos en los campos de Física y

Matemáticas. Por otra parte Leibniz destaco en las Matemáticas y la Filosofía.

Los dos son personajes destacados en la historia de las Matemáticas, ahora

nos centraremos en explicar los antecedentes que condujeron al conflicto que mantuvieron

por defender la autoría de la invención y desarrollo del Cálculo. Newton empezó a

desarrollar su Cálculo Diferencial hacia el 1665, dio un enfoque geométrico y analítico a

las derivadas. Su principal aplicación era para calcular tangentes, curvaturas y áreas.

Para Newton un fluente x era la cantidad de movimiento continuo de un punto que

traza una curva y una fluxión x su velocidad. El problema se basa en hallar la relación

entre las fluxiones (valores) dadas una relación de fluentes. Se trataba de un conjunto de

reglas para poder calcular máximos, mínimos y tangentes. El mismo Newton reconoció

que su interpretación era algo dificultosa y la perfecciono en trabajos posteriores.

Newton no solía publicar sus trabajos inmediatamente. De hecho su investigación

sobre las derivadas las escribió en un tratado informal, De Analysi en 1669, que compartió

con sus compañeros del Trinity College. Este manuscrito contenía una introducción al

Cálculo Diferencial e Integral que desarrollo más tarde. No se llegó a publicar, en una

obra propia hasta después de su muerte en De Methodis Serierumet Fluxionum escrito en

1671 y publicado en 1673. El propio Newton escribió dos cartas enunciando sus

descubrimientos para que fueran remitidas a Leibniz. Newton desarrollo y perfecciono la

serie del binomio hacia el año 1664. En particular se podía usar para exponentes que sean

fracciones o números negativos, por lo que una aplicación práctica era el cálculo

de raíces cuadradas. Las cartas, que detallaban este método y citaban algunos ejemplos, las

mando a la Royal Society of London para que se encargaran de hacerlas llegar a Leibniz.

TEMA I: DERIVADA DE FUNCIONES


Mientras tanto Leibniz también había estado trabajando en esta materia pero de forma

independiente a Newton. Leibniz trabajaba con sumas de sucesiones para aproximar la

cuadratura de una curva, de forma que cuanto más pequeña fuera la distancia entre

dos números de la sucesión mejor apreciación seria a la curva. De esta manera también se

aproxima la tangente como la diferencia entre dos puntos. Por tanto Leibniz observa que la

integración y la derivación son operaciones inversas. Leibniz fue desarrollando

su notación hasta encontrar una que le permitiera trabajar más intuitivamente. Leibniz

consideraba una curva como infinitas porciones de recta donde dx es la

diferencia infinitesimal de dos puntos consecutivos del eje de abscisas. Por tanto R y dx

es la suma de rectángulos infinitesimales y ,dx el símbolo R es la alargación de una S que

significa suma. Esta notación es la que aun usamos en la actualidad como son dx

dy y

además .

Si comparamos: Newton consideraba las variables en función del tiempo, en cambio

Leibniz tenía un enfoque diferente. Él pensaba que las variables tomaban secuencias de

valores infinitamente cercanos, de aquí las notaciones dx y dy (donde yx, son variables)

que representan las diferencias entre valores consecutivos de las secuencias. También

dedujo que el cociente dx

dy da la tangente. Sobre la integración, para Newton se basaba en

encontrar la relación entre lo que denomina fluxiones, es decir, las derivadas. De esta forma

implica que la integración es la operación inversa a la derivación.

Por otra parte, Leibniz usa la integral como una suma de infinitesimales, en cambio

Newton usaba velocidades finitas. Aunque ninguno de los dos usaba las funciones tal como

se usan actualmente, más bien pensaban en términos de gráficas. Sin embargo, a pesar de

que el conflicto se tenía como finalidad dar la autoría de la invención del Cálculo a uno de

los dos, y el reconocimiento que eso conlleva, la verdad es que ambos acabaron mal

parados. Ambos habían cometido errores: Newton, al no publicar formalmente sus

descubrimientos, y Leibniz, al no mencionar que había tenido contacto con el trabajo de

Newton y no compartir la autoría del descubrimiento. ¿Este conflicto se pudo haber

evitado? Según algunas hipótesis la guerra anglo-alemana que hubo nunca debería haber

comenzado, y mucho debería haberse desarrollado como se desarrolló. Aunque ambos

pusieron las bases del Cálculo de manera independiente, ni mucho menos fueron los

primeros en dar las nociones iniciales de esta rama matemática.

El precursor de estas ideas fue Pierre de Fermat. Leibniz reconocía en una carta a

Wallis, un matemático inglés, que le debía mucho a Fermat; y Newton escribió que

desarrollo su cálculo diferencial en base al método de trazar tangentes de Fermat, que

trataba exactamente los máximos y mínimos de curvas polinómicas. Actualmente, toda la

comunidad científica reconoce a ambos como los descubridores del cálculo, y se sigue

utilizando la notación de ambos, con diferencias entre matemáticas y física. En física, se

utiliza la notación de Newton para la diferenciación, la cual consiste en un punto sobre el

nombre de la función, y que Newton denomino fluxión. Es muy utilizada para la derivada

respecto del tiempo. En la notación de Leibniz se representa la operación de

diferenciar mediante el operador dx

d.



Esta notación permite recordar intuitivamente varios conceptos del cálculo como la

regla de la cadena, o el de separación de variables en la resolución de ecuaciones

diferenciales. La notación de Leibniz resulta muy útil cuando se trabaja con

derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados, ya que indica

que variable de la función es independiente en cada momento.

INCREMENTOS

Sea la función ,: RRf dada por xfy según se muestra en la gráfica:

De donde:

Incremento de la variable independiente: a = h a + h x Δ

Incremento de la variable dependiente: af a+hfy Δ

Cociente incremental (o tasa, razón o media de variación), en el intervalo h a a , es:

h

afhaf

x

y

Δ

Δ

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de

agosto de 1601; Castres, Francia, 12 de enero de 1665) fue

un jurista y matemático francés apodado por el historiador

de matemáticas escocés, Eric Temple Bell, con el remoquete

de «príncipe de los aficionados».

Propuso que si una cantidad varia en xΔ obligatoriamente

cambiaría la misma cantidad en .Δy :Δ Letra griega delta.



EJEMPLOS: Hallar el incremento y el cociente incremental de las siguientes

funciones:

1) 52 x =xf

El incremento de la variable dependiente en :ax

5252Δ ahaaf a+hfy

Operando:

hahay 252522Δ

El cociente incremental es: 22

Δ

Δ

h

h

x

y

La cual es la pendiente de la recta y es una interpretación que daremos más adelante,

además al ser positivo el cociente incremental la función es creciente.

EJERCICIO: Hallar el incremento y el cociente incremental de 65 x =xf y

hacer conclusiones.

2) 432 x =xxf


4343Δ 22 aahahaaf a+hfy

Operando:

hhahhahaahahahay 3232434332Δ 2222



El cociente incremental es:

hah

hha

x

y

32

32

Δ

Δ

3) x =ex f 3


1 = 3333333333 haahaahaaha eeeeeeeeeaf a+hfy

Usando propiedades de potencia y sacando factor común.

El cociente incremental es

h

ee

x

y ha 1

Δ

Δ 33

4) x = senxf


22cos2

222

2cos2

22

2cos2 =

22cos2 =

hsen

ha

hsen

hahsen

hay

ahasen

ahaasenhasenaf a+hfy

Usando Identidades Trigonométricas.

El cociente incremental es: h

hsen

ha

x

y

22

cos2

Δ

Δ



DERIVADA

Dada una función R, D f : y un punto de abscisa , DInta se considera el

límite del cociente incremental cuando el incremento , h 0 si ese límite existe y es

finito, diremos que las función es derivable en a y al resultado de ese límite le llamaremos

derivada de xy = f en ese punto.

DEFINICIÓN 1: RD f : es derivable en DInta sí y sólo sí:

R

h

afhaf

h

0lim

DEFINICIÓN 2: Si RD f : es derivable en ,DInta se define derivada de f

en a al límite:

h

afhafaf

h

0lim

EJEMPLOS: Consideremos las mismas funciones de los ejemplos de incrementos;

ahora calculemos sus derivadas:

1) 52 x =xf

Habíamos llegado a que el cociente incremental es:

22

Δ

Δ

h

h

x

y

Si ahora calculamos el límite cuando 0h tenemos lo siguiente:

22limlim00

hh h

afhafaf (El límite de una constante es la constante)



Entonces podemos afirmar que f es derivable en cualquier ,Ra y que la derivada

es .2 af

2) 432 x =xxf

Habíamos llegado a que el cociente incremental es:

ha

h

hha

x

y

32

32

Δ

Δ


hah

afhafaf

hh

32limlim

00

Aplicando las propiedades de que el límite de las sumas que es la suma de límites y

además de que el límite de una constante es la constante, se tiene que:

32032lim3lim2lim000

aahaafhhh

Entonces podemos afirmar que f es derivable en cualquier ,Ra y que la derivada

es .32 aaf

3) x = exf 3

Teníamos que el cociente incremental es:

h

ee

x

y ha 1

Δ

Δ 33




h

ee

h

afhafaf

ha

hh

1limlim

33

00

Como ae3 es constante, este sale del límite, por propiedades de límite, entonces:

h

ee

h

h

a 1lim

3

0

3

Ahora, haciendo el cambio de variable ,3hu tenemos que:

3

1lim

0

3

u

ee

u

u

a

Pues: 3

uh y además .0 0030 uuh Luego:

aau

u

au

u

a eeu

ee

u

ee 33

0

3

0

3 3131

lim31

lim3

Ya que x

e x

x

1lim

0

y se concluye que f es derivable y su derivada es .3 3aeaf

4) x = senxf

El cociente incremental es:

h

hsen

ha

x

y

22

cos2

Δ

Δ

Entonces, aplicando el correspondiente límite:

h

hsen

ah

h·sena

h

hsen

ha

hhh

2limcos2

2cos2

lim22

cos2

lim000



Ahora, haciendo el cambio de variable ,2

hu tenemos que:

u

usena

u 2limcos2

0

Pues: uh 2 y además .0 02

00 uuh Luego:

.cos1coslim2

1cos2

0aa

u

usena

u

Ya que

1lim0

x

xsen

x y podemos afirmar que f es derivable y .cos aaf

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

El conjunto de funciones reales de variable real es tan amplio que es prácticamente

imposible encontrar propiedades generales para todas. En las funciones continuas todavía

se plantean muchos problemas como puede ser la determinación de la recta tangente en un

punto de la gráfica. Con la definición intuitiva de que la tangente es la recta que toca a la

curva sólo en ese punto la recta de la primera figura no sería tangente, mientras que en las

otras figuras habría varias tangentes (alguna bastante extraña) en un mismo punto.

Lo cierto es que esa definición intuitiva sólo es válida para la circunferencia y curvas

similares: cerradas y convexas (“sin baches”). Para el caso general hace falta una nueva

definición que sea válida siempre y que corresponda a la idea intuitiva en los casos en que

ésta pueda aplicarse. Y esa definición es la siguiente:



“La recta tangente a una curva en un punto afaP , es la posición límite hacia la

que tienden las rectas secantes que pasan por ese punto P y por otro punto Q de la curva,

cuando el segundo punto Q se acerca a P ”.

Para poder hallar la ecuación de esa recta tangente en el punto de coordenadas

,, afaP si la escribimos en forma punto-pendiente:

axmafy

Necesitamos saber el valor de la pendiente m . Para ello, si tenemos en cuenta que la

recta tangente es la posición límite de las secantes, entonces su pendiente será el límite de

las pendientes de las secantes, con lo que:

Cuando esa situación la llevemos al límite, es decir, cuando acerquemos Q hacia Q

tendremos:

af

h

afhafαtgm

h

0lim



Por tanto, la derivada de una función xf en un punto “ a ” puede interpretarse

geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el

punto ., afa

CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVABLE

TEOREMA: Toda función derivable en un punto es continua en ese punto.

DEMOSTRACIÓN:

Hipótesis: RD f : es derivable en .a

Tesis: RD f : es continua en .a

Luego:

afaf·hh

afhafafafhafhaf

hhh

1

000limlimlim

En el paso (1) se utilizó que f es derivable en :a El límite del cociente incremental

es finito, y está multiplicado por h que tiende a 0, entonces el producto tiene límite 0. a es

interior de D porque f es derivable en a y afxfax

lim y entonces f es continua en

.a #

EJEMPLO: Dada la función:

1si

1si1.2

1

1

xba·xx

x·exxfx

Determinar a y b para que f sea derivable en .1x

SOLUCIÓN: Por el teorema previo, ser derivable implica ser continua:



01

01lim

11lim

1

1

1

1

= a + b +

·ex

f + a + b xf

x

x

x

Y por definición, tenemos:

aah

h

hah

h

hah

h

ahhh

h

babahahh

h

babhah

h

fhf

hhh

hh

hh

22lim2

lim2

lim

2lim

121lim

111lim

11lim

00

2

0

2

0

2

0

2

00

Y demás:

0lim

0lim

11lim

1

0

1

00

h

h

h

hhe

h

h·e

h

fhf

Para que exista la derivada:

202 a =+a=

Y de

.11212101 b= b = b = a b = =a +b+

DERIVADAS LATERALES

I. RD f : es derivable a la izquierda de Daaa ,/0 y

Rafh

afhaf

h

0lim

A ese límite le llamaremos derivada lateral a la izquierda de .a



II. RD f : es derivable a la derecha de Daaa ,/0 y

Rafh

afhaf

h

0lim

A ese límite le llamaremos derivada lateral a la derecha de .a

EJEMPLO: La función

00

01

1

xsi

xsie

x

xf x es continua en 0 ya que:

.001

lim1

0f

e

x

xx

Pero no es derivable en 0, ya que no existen las derivadas laterales

en 0 , la derivada por la derecha es:

0

1

1lim1lim

0lim0

10

1

00

hh

h

hheh

e

h

h

fhff

Análogamente la derivada por la izquierda es 11

1lim0

10

hh ef

Geométricamente esto significa que por la derecha de 0 la tangente al gráfico de f es

el eje OX y por la izquierda de 0 la tangente es la recta y=x.

EJEMPLOS:

1) Sea RR f : definida por .x xf Cuya gráfica es:



A simple vista se observa que presenta un punto anguloso es , x = 0 lo que se

confirma formalmente calculando las derivadas laterales:

1lim

0lim0

1lim0

lim0

00

00

h

|h|

h

fhff

h

|h|

h

fhff

hh

hh

2) Más general que el ejemplo precedente, si xf es una función derivable, en los

puntos donde cambie de signo, la función xf = xg presentará puntos angulosos. Por

ejemplo: Se considera la parábola 42 xxf con valor absoluto :42 xxg

xfy es una función derivable en R y cambia de signo en 2,x además:

xxf 2 42 f de donde se deduce que .4242 gg

3) Hallar los puntos angulosos de la función RR f : tal que:

2si,4

20si,1

0si,

2

xx

x

xe

xf

x



Gráficamente tenemos que:

Luego:

En x = 0: 0011

lim0

lim000

f

h

e

h

fhff

h

hh

En x = 2:

1101lim4

1lim1

4

1lim

14

1

lim2

4

1

4

1

lim

114

1

lim

1444

1

lim2

124

1

lim22

lim2

12

0000

22

0

2

0

2

0

2

00

hhhh

hhh

hh

hhh

hh

f

h

hh

h

hh

h

hh

h

hh

f

h

h

h

fhff

f

FUNCIÓN DERIVADA

Desde otro enfoque, ahora veremos la derivada como una función.

Si RD f : es una función derivable en un conjunto de puntos ,DD

definimos la función:



R D f : /

h

xfhxfxf

h

0lim

Que llamaremos función derivada de .xfy Además, se puede definir así:

R D f : /

12

12

12

limxx

xfxfxf

xx

EJERCICIO: Realice el cambio para llegar a esta nueva definición equivalente.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

1) Kxf (FUNCIÓN CONSTANTE)

0limlim00

h

KK

h

xfhxfxf

hh

2) xxf (FUNCIÓN IDENTIDAD)

11limlimlimlim0000

hhhh h

h

h

xhx

h

xfhxfxf

2°) 2xxf (FUNCIÓN CUADRÁTICA)

xxhxhxh

hhxxf

h

hxh

h

xhxhx

h

xhx

h

xfhxfxf

hhhh

hhhh

202lim2lim2lim2

lim

2lim

2limlimlim

0000

2

0

222

0

22

00

TABLA DE DERIVADAS

1. 0dx

dK 2. 1

dx

dx



3. dx

dvnvv

dx

d nn 1 en particular: 1 nn nxxdx

d

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma: xaxf )( donde la

base de la potencia "a" es constante (un número) y el exponente la variable x .

Por ser la función exponencial una función definida por: * : RRf tal que

a a axf x 0,1 la cual siendo Biyectiva, tiene inversa; la cual se define

como: RRf : *1 - dada por x xf a

- log1 tal que: x y a log y recibe el nombre

de función logarítmica.

Si la base es el número 71828,2e la exponencial se llama natural y la inversa se

llama logaritmo natural o neperiano y se denota .ln También la exponencial de base es 10

y su inversa se llama logaritmo decimal o de Briggs (Desarrollado por Henry Briggs).

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

EXPONENCIAL DE BASE e Y

LOGARITMO NEPERIANO

EXPONENCIAL DE BASE a=2 Y

LOGARITMO DE BASE 2

TABLA DE DERIVADAS

4. dx

dvaaa

dx

de

vv log en particular: dx

dvee

dx

d vv



5. dx

dv

v

ev

dx

d aa

loglog en particular:

dx

dv

vv

dx

de

1log

6. dx

dvuu

dx

duvuu

dx

d v

e

vv log1 EJERCICIO

La propiedad 4. en el caso particular tenemos que de la definición de derivada:

.1

1lim

1limlimlim

0000

xxh

h

xhx

h

xhx

h

xhx

h

x eeh

ee

h

ee

h

eee

h

eee

dx

d

Del cambio de base: ahh ea ln y haciendo un cambio de variable ahz ln y

además con a

zh

ln tenemos que:

aaaaz

eaa

z

eaa

a

z

eaa

dx

d

h

ea

h

aa

h

aaa

h

aaa

dx

d

xxz

h

xz

h

xz

h

xx

ah

h

xhx

h

xhx

h

xhx

h

x

ln1ln1

limln1

lnlim

ln

1lim

1lim

1limlimlim

000

ln

0000

Ahora, de cambio de base:

,ln

lnlog

a

xxa tenemos que si ea y ,ax entonces

a

a

e

aae ln

1

ln

ln

lnlog por tanto también tenemos que .log aaa

dx

de

xx

ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS

a) PROPIEDAD HOMOGÉNEA: xuaxf xuaxf

DEMOSTRACIÓN:

xuah

xuhxua

h

xuhxua

h

xuahxuaxf

hhh

000limlimlim

b) PROPIEDAD ADITIVA (O TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA SUMA):

xvxuxf xvxuxf



DEMOSTRACIÓN:

h

xvhxvxuhxu

h

xvxuhxvhxu(x)f

hh 00limlim

xvxu

h

xvhxv

h

xuhxu

h

0lim #

c) PROPIEDAD LINEAL: xvbxuaxf xvbxuaxf

DEMOSTRACIÓN:

xvbxuaxvbxuaxvbxuaxf)()(

21

En el paso (1) se utilizó la propiedad aditiva y en el (2) la propiedad homogénea.

d) DERIVADA DEL PRODUCTO: )()()( xvxuxf xvxuxvxuxf

DEMOSTRACIÓN:

h

xvxuhxvxuhxvxuhxvhxuxf

h

xvxuhxvhxuxf

h

h

0

0

lim

lim

h

xvhxvxuhxv

h

xuhxuxf

h

xvhxvxuhxvxuhxuxf

hh

h

00

0

limlim

lim

xvxuxvxuxf #

e) DERIVADA DEL COCIENTE: xv

xuxf

2xv

xvxuxvxuxf

DEMOSTRACIÓN: EJERCICIO.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS



Es posible definir la razón trigonométrica de un número real, por ejemplo, el seno del

real x es ,xsen en esta última expresión el ángulo está medido en radianes:

5,06

sen

De esa forma se define la función seno (Sen):

xsenyyxsen :,

Análogamente se definen función coseno (Cos) y función tangente (Tg).

A continuación se da una tabla de funciones trigonométricas y sus inversas. Las

restricciones al dominio que se imponen, tienen como propósito lograr que las funciones

sean biyectivas. De esa forma sus inversas también son funciones.

Veamos la siguiente tabla:

FUNCION DOMINIO CODOMINIO IMAGEN DE x

SENO

2;

2– 1;1– xsenxf

COSENO ;0 1;1– xxf cos

TANGENTE

2;

2– R xtgxf

INVERSA DEL

SENO 1;1–

2;

2–

xsenxf 1

INVERSA DEL

COSENO 1;1– ;0 xxf 1cos

INVERSA DE LA

TANGENTE R

2;

2– xtgxf 1

GRÁFICAS DE LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIÓN SENO: xsenxf FUNCIÓN INVERSA: xsenxf 1



x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

FUNCIÓN COSENO: xxf cos FUNCIÓN INVERSA: xxf 1cos

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

FUNCIÓN TANGENTE: xtgxf FUNCIÓN INVERSA: xtgxf 1

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

Ahora bien, de la definición de derivadas tenemos que:



xxxxsenxSendx

d

h

hsenx

h

hxsenxSen

dx

d

h

hsenx

h

hxsenxSen

dx

d

h

hsenx

h

xsenhxsenxSen

dx

d

h

xsenhsenxhxsen

h

xsenhxsenxSen

dx

d

hh

hh

hh

hh

coscos01cos0

cos1cos

cos1cos

coscos

coscos

limlim

limlim

limlim

limlim

00

00

00

00

Demuestra las siguientes:

TABLA DE DERIVADAS

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

7. dx

dvSenvCosv

dx

d

8. dx

dvvSecTanv

dx

d 2 9.

dx

dvvCscCotgv

dx

d 2

10. dx

dvTanvSecvSecv

dx

d 11.

dx

dvCotvCscvCscv

dx

d

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

12. dx

dv

varcSenv

dx

d

21

1 13.

dx

dv

varcCosv

dx

d

21

1

14. dx

dv

varcTanv

dx

d

21

1 15.

dx

dv

varcCotv

dx

d

21

1

16. dx

dv

vvarcSecv

dx

d

1

1

2 17.

dx

dv

vvarcCscv

dx

d

1

1

2

Ten en cuenta las funciones inversas trigonométricas (numéricas) son:



,cos1

xsen

x

xtgxCotgxf ya que

x

xsenxtg

cos

xCos

xSecxf1

xSen

xCoxf1

sec

Usando la derivada de un cociente se pueden demostrar estas derivadas.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS

Un círculo unitario con centro en el origen sigue la fórmula 122 yx ; un punto

dado por el par ordenado y,x se puede representar como función de un ángulo t de la

siguiente manera sent,tcosy,x . De igual manera, una hipérbola unitaria con centro

en el origen sigue la fórmula 122 yx ; un punto dado por el par ordenado y,x se

puede representar como función del ángulo t de la siguiente manera senht,tcoshy,x .

Estas funciones se denominan funciones trigonométricas hiperbólicas, en particular,

coseno hiperbólico y seno hiperbólico. Las funciones trigonométricas hiperbólicas

presentan propiedades análogas a las de las funciones trigonométricas o circulares.

La función xsenhxf se define como 2

eexsenh

xx , mientras que la

función xcoshxf es 2

eexcosh

xx .

Al igual que las funciones trigonométricas circulares, en las funciones

trigonométricas hiperbólicas se cumplen las siguientes identidades fundamentales.

xxxx

xx

xx

xx

xx

eexsenhxh

eexxh

ee

ee

xsenh

xx

ee

ee

x

xsenhx

21csc

2

cosh

1sec

coshcoth

coshtanh

Debido a esto, es lógico pensar que habrá una relación equivalente al Teorema de

Pitágoras. Así, para las funciones hiperbólicas se sabe que 1cosh 22 xsenhx .



GRÁFICA DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

SENO HIPERBÓLICO COSENO HIPERBÓLICO

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

Usando la definición de derivada:

h

eee

h

eee

h

eeeeeexsenh

dx

d

h

eeeeee

h

eeee

xsenhdx

d

xhxxhx

h

xxhxhx

h

xxhxhx

h

xxhxhx

h

limlim

limlim

00

00

2

1

2

222



xee

eeeexsenhdx

d

eee

h

e

ee

h

eexsenh

dx

d

he

ee

h

ee

he

ee

h

eexsenh

dx

d

h

ee

e

h

ee

h

e

ee

h

eexsenh

dx

d

h

ee

h

ee

h

ee

h

eexsenh

dx

d

xxxxxx

xxh

hh

h

xh

h

x

h

h

h

xh

h

x

h

hx

h

hx

h

h

h

x

hx

h

h

hx

hx

h

h

x

hx

h

xhxhx

h

cosh22

1

1

1

2

1

11

12

1111

2

1

11

2

111

2

1

11

2

1

1

1

2

1

11

1

2

111

2

1

0000

0000

00

00

limlimlim

limlimlimlim

limlim

limlim

Ahora bien usando la tabla de derivadas:

xee

eeeexsenhdx

d

xdx

deee

dx

de

dx

dee

dx

dxsenh

dx

d

xxxxxx

xxxxxx

cosh22

11

2

1

2

1

2

1

2

Demuestra las siguientes:

TABLA DE DERIVADAS

18.

dx

dvSenhvCoshv

dx

d

19. dx

dvvSechTanhv

dx

d 2

20.

dx

dvvCschCothv

dx

d 2

21. dx

dvTanhvSechvSechv

dx

d

22.

dx

dvCothvCschvCschv

dx

d



DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

23. dx

dv

varcSenhv

dx

d

1

1

2 24.

dx

dv

varcCoshv

dx

d

1

1

2

25. dx

dv

varcTanhv

dx

d

21

1 26.

dx

dv

varcCothv

dx

d

21

1

27. dx

dv

vvarcSechv

dx

d

21

1 28.

dx

dv

vvarcCschv

dx

d

21

1

EJERCICIOS:

1. Hallar las derivadas de las funciones:

a) xsenxxxf 3cos23

b) 4232 23 xxxxf

c) 0 ,62263 32 xxexsenxxf x

d) xsenxxf 3

e) xxsenxf cos2

f) xsenxxxxf 23 cos

g) xxx

xxf cos1

ln 2

h)

Znn

xxtgxf

,2

12 ,

i) 365

1323

2

xx

xxxf

j) xx

xsenxxf

cos

k) Znnxxctgxf , ,

l) xxf 2cos

m) 3x4tanhxf 2

n) 2x3cosh2x3tanhlnxf 22

2. Hallar la derivada por definición de:

a) 3xxf b) xxf c) xxxf 23

3. Consideremos la función

1)(

8,8:

xxfx

Rf

calculemos los limites laterales

en .1x ¿Es derivable la función?



DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA

TEOREMA (REGLA DE LA CADENA): Si g es derivable en a y f es derivable

en ,ag entonces gf es derivable en a y se verifica: .agagfagf

DEMOSTRACIÓN:

h

agfhagf

h

agfhagfagf

hh 00limlim

h

aghag·

k

agfkagf

h

aghag·

aghag

agfhagf

hkh

00

1

0limlimlim

agagf

En el paso (1) se definió + k a = ga+h g a- ga+h k = g además como g

es derivable en ,a también es continua en a .0k También es necesario suponer

que g es inyectiva en un entorno de a y así se cumple que .0 0 ha- ga+h k = g

EJEMPLO: Hallar la derivada de la función xxf cosln .

SOLUCIÓN: Notemos que es una composición de dos funciones xhgxf con

la función interna xxh cos y la función g dada por .ln xxg

Como la función h es derivable (Con xsenxh ), entonces podemos aplicar la

regla de la cadena y se cumple que: .xhxhgxf Así,

xtgx

xsenxsen

xxxxf

coscos

1coscosln



EJERCICIO: Hallar la derivada de la función 2xsenexf .

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea f una función diferenciable, entonces se dice que f es la primera derivada de

;f puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada

de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva .f

Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de

,f y así sucesivamente hasta la enésima derivada. En general, si ,Nn entonces nf

denota la enésima derivada de la función .f nf se calcula derivando a ,f

sucesivamente n veces.

NOTACIONES:

niv

n

n

xn

xxxx

niv

yyyyy

dx

yd

dx

yd

dx

yd

dx

yd

dx

dy

yDyDyDyDyD

xfxfxfxfxf

,,,,,

,,,,,

,,,,,

,,,,,

4

4

3

3

2

2

432

EJEMPLOS: Obtenga la primera y la segunda derivada de la

función .2 35 xxxxf

SOLUCIÓN: Justifica lo siguiente:

165132522 24243535

xxxxxxxxxxxf

xxxxxxxxxf 1222002645165165 3132424



EJERCICIOS: Obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones.

1. xxxxf 52

2. 2cos4 xxf

3. xxf 2cos4

4. xtgxxf 22sec

5. Obtenga

12

34

4

xdx

d

DERIVADA IMPLICITA

Sea una función 243 3 xxy donde y es función de x . Esta ecuación se puede

escribir como yxx 432 3 e incluso como 4286 3 yxx . En este caso se puede

decir que y es una función implícita de x ya que está definida mediante una ecuación en

donde ,y la variable dependiente, no es dada de manera directa.

EJEMPLO 1: La función 043 2 xxf está escrita de manera implícita para x ,

variable independiente, y ,xf variable dependiente. Escribir la ecuación de manera no

implícita.

3

4 2xxf

Muchas veces, al tener una ecuación escrita de manera implícita, ésta puede

representar una o más funciones.

EJEMPLO 2: Sea 63

y

xy, escribir la ecuación de manera no implícita y

determinar la o las funciones que describe.

0318

183

63

3

2

2

2

xyy

yxy

y

xy

Para poder despejar y como función de x , habría que resolver la fórmula general.



2

12324182

1232418

2

1232418

12

31418182

x

xx

y

xy

Este resultado implica que tenemos dos funciones de x descritas por la misma

ecuación. En muchos casos, no es sencillo o práctico el despejar y para encontrar la o las

funciones dadas, por lo tanto, y dado que las funciones existan y sean derivables, se puede

resolver la derivada sin necesidad de tener la función expresada en su forma clásica.

EJEMPLO 3: Sea la función 13723 xxyy , hallar la derivada dx

dy.

En éste ejemplo, se utilizará la notación dx

dyy ´ para simplificar el manejo de la

ecuación, así como acostumbrar al lector a diferentes formas de escritura.

Se busca la derivada de la expresión 13723 xxyy .

De la regla de la cadena, se sabe que dx

du

dx

dfxuf

dx

d , lo cual puede expresarse

para potencias como dx

duuxu

dx

d nn 1 . Por lo tanto, ´.3´ 233 yyyydx

d En cuanto al

segundo término, éste cuenta con un producto de dos funciones, por tanto:

´22´2´2´2 xyyxyxyxy .

Así, nos queda que:

xy

yyyxyyyxyyyxyyyy

23

23´2323´23´2´33´22´3

2

222

EJEMPLO 4: Encontrar la derivada de y suponiendo que la ecuación

xxy 3532 332 describe una función derivable y que .xfy

22

2

222222332

3212

315´

31532´12315´43233532

yy

xy

xyyyxyyyxxy



OBSERVACIÓN:

Una función xy se llama implícita cuando está definida de la forma 0, yxF en

lugar de la habitual.

Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la

variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable

dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable

independiente: Dada una función ,, yxF implícita, si queremos calcular la derivada de

y respecto de x : .xfdx

dy

EJERCICIOS:

1. Obtener la derivada de: .12356 22232 yxxyyx

2. Dada ,122 yx demuestre que .1

32

2

ydx

yd

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Larson, Hostetler, Edwards: Cálculo. Volumen 1 y 2. Editorial McGraw-Hill. 6ta. Ed.

Leithold. L: El Cálculo. Oxford University Press. 7ma. Ed.

Purcell, E: Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice-Hall-Hispanoamericana.

8va. Ed.

Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.

Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal,

con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial

Reverté.

"Si he llegado a ver más lejos que otros, es porque me subí a hombros de gigantes"

Sir. Isaac Newton

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