Tema v vectores nivelacion fisica uai uney

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  • PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIN

    INSTRUMENTACIN Y CONTROL

    NIVELACIN DE FSICA SOBRE VECTORES UNIDADES ACREDITABLES I

    NGULOS ENTRE PARALELAS

    Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los

    siguientes tipos de ngulo:

    NGULOS CORRESPONDIENTES: Son los que estn al mismo lado de las paralelas y

    al mismo lado de la transversal.

    NGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son los que estn entre las paralelas a distinto

    lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

    NGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son los que estn "fuera" de las paralelas a

    distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

    Las propiedades fundamentales de los ngulos entre paralelas son:

    1) Los ngulos correspondientes son iguales entre s. 2) Los ngulos alternos internos son iguales entre s. 3) Los ngulos alternos externos son iguales entre s.

    ngulos formados por rectas

    paralelas cortadas por una

    transversal.

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 TRAYECTO I

    TIPOS DE NGULOS FORMADOS

    ngulos correspondientes entre paralelas.

    1 = 5

    2 = 6

    3 = 7

    4 = 8

    ngulos alternos entre paralelas.

    Externos

    1 = 7

    2 = 8

    Internos

    3 = 5

    4 = 6

    Son

    suplementarios

    (suman 180)

    ngulos contrarios o

    conjugados.

    1 6

    2 5

    3 8

    4 7

    ngulos colaterales.

    1 8

    2 7

    3 6

    4 5

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 TRAYECTO I

    OPUESTOS POR EL VRTICE

    Dos ngulos se dicen opuestos por el vrtice cuando los lados de uno son semirrectas

    opuestas a los lados del otro. En la figura los ngulos a, c y b, d son opuestos por el vrtice.

    Dos ngulos opuestos por el vrtice son congruentes.

    Realice las siguientes demostraciones:

    1. Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales.

    2. Si dos ngulos alternos internos son congruentes entonces los otros dos ngulos

    alternos internos tambin lo son.

    3. Los ngulos internos a un mismo lado de la transversal de rectas paralelas, son

    suplementarios. Los ngulos externos a un mismo lado de la transversal de rectas

    paralelas, son suplementarios.

    4. Toda transversal forma con dos paralelas ngulos alternos externos congruentes.

    5. Toda transversal forma con dos paralelas ngulos alternos internos congruentes

    6. La suma de los ngulos interiores de un tringulo, es igual a dos rectos (180).

    7. La suma de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo, es igual a 90.

    8. En todo tringulo, la medida de un ngulo externo es la suma de las medidas de los

    ngulos internos no contiguos.

    9. En todo tringulo, la medida de un ngulo externo es mayor que cualquier ngulo

    interior no adyacente.

    10. La suma de los ngulos exteriores de cualquier tringulo vale cuatro ngulos rectos

    (360).

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 TRAYECTO I

    LEY DE LOS COSENOS

    En todo tringulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual

    a la suma de los cuadrados de los otros dos lados MENOS el doble producto de estos lados

    por el coseno del ngulo que forman, as:

    Cos Ac b - + c = ba 2222

    Cos Bc a - + c = ab 2222

    Cos Cb a - + b = ac 2222

    De las anteriores expresiones podemos despejar los ngulos y obtener:

    ba

    cbaCCos

    ca

    bcaBCos

    cb

    acbACos

    222

    222222222

    Esta ley se aplica cuando: Se conocen dos lados y el ngulo entre ellos (L-A-L).

    Se conocen los tres lados (L-L-L).

    LEY DE LOS SENOS

    En todo tringulo oblicungulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos

    de los ngulos opuestos as:

    tringulodelladoscbayngulossonCBADondec

    CSeno

    b

    BSeno

    a

    ASeno,,,,,

    Esta ley se aplica cuando se conocen: Dos ngulos y un lado (A - LA).

    Dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos (LLA).

    Ejemplos:

    1) Resuelve el siguiente tringulo: .60,3,20 ba Segn la figura:

    Solucin: Usando la ley del coseno

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 TRAYECTO I

    7

    7

    613

    2

    11294

    60cos32232cos2

    2

    2

    2

    222222

    c =

    = c

    - = c

    - + = c

    - + c) (ab - + b = ac

    Determinemos los ngulos y .

    236,2 35 40

    7

    2cos

    7

    2cos

    732

    479cos

    732

    273cos

    2coscos2 : Para

    0

    1

    222

    222222

    =

    =

    =

    +=

    +=

    bc

    - a + c b= bc+c=ba

    823,7 6 79

    72

    1cos

    72

    1cos

    74

    974cos

    722

    372cos

    2coscos2 : Para

    1

    222

    222222

    =

    =

    =

    +=

    +=

    ac

    - b + c a=ac+c=ab

    Ejercicio: Use la Ley del seno para hallar estos ngulos.

    Note que la suma de los tres ngulos es 180.

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 TRAYECTO I

    .18060823,7 6 79236,2 35 400 = + + + + =

    2) Resuelva el tringulo presentado en la figura. Dado: = 35, =15 y c = 5. Segn la

    figura:

    Solucin: De ac tenemos que:

    = + + + + =

    130

    50180

    18050

    1801535180

    Luego, usando la ley del seno:

    5

    sinsinsin

    ba

    De aqu, tenemos que:

    .74,3130sin

    35sin5

    sin

    sin5

    5

    sinsin0

    0

    aaaa

    .69,1130sin

    15sin5

    sin

    sin5

    5

    sinsin0

    0

    bbbb

    Nota: La frmula para la ley de senos es: cba

    sinsinsin y debemos tener

    en cuenta que no hay diferencia si la tomas as: sinsinsin

    cba pero no las puedes

    mezclar.

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 TRAYECTO I

    Ejercicio:

    I. A partir de la figura dada determine los elementos restantes del tringulo

    teniendo en cuenta las condiciones de cada caso y una de las leyes conocidas:

    a) 65 , 50 , 12b b) 60 , 7a , 7c

    c) a=7, b=9, c=12

    d) '3056 , 10b , 5c e) 120 , 4a , 8c f) 5c , 3b , 6a

    TEOREMA DE PITGORAS

    En un tringulo rectngulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la

    suma de los cuadrados las longitudes de los catetos.

    .222 cba

    Inversamente: Si en un tringulo cuyos lados miden ba, y c se verifica

    que: .222 cba Entonces el tringulo es rectngulo.

    APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITGORAS

    1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa:

    22222 cbacba

    Los catetos de un tringulo rectngulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. Cunto

    mide la hipotenusa?

    ab

    cA B

    C

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 8 TRAYECTO I

    ma

    mmamma

    5

    434322222

    2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto:

    22

    22222

    cab

    baccba

    La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. Cunto

    mide otro cateto?

    mc

    mmccmm

    4

    353522222

    RAZONES TRIGONOMTRICAS EN EL TRINGULO RECTNGULO

    Sea el tringulo rectngulo ,ABC en donde A y B son ngulos agudos y

    el ngulo C es rectngulo, y adems los lados a y b Se llaman catetos y el lado c se llama hipotenusa. En funcin del ngulo ,A el lado a se llama cateto opuesto y

    el lado b cateto adyacente. Veamos la figura:

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 9 TRAYECTO I

    Luego:

    El Seno del ngulo x (sen x) en un tringulo rectngulo, es la razn que existe entre

    el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

    c

    a x sen x

    hipotenusa

    a opuesto Cateto

    El Coseno del ngulo x (cos x) en un tringulo rectngulo, es la razn entre el cateto

    adyacente al ngulo x (b) y la hipotenusa (c) de dicho tringulo.

    c

    b x x

    hipotenusa

    a adyacente Catetocos

    La Tangente del ngulo x en un tringulo rectngulo, es la razn existente entre el

    cateto adyacente (b) y el opuesto (a) al ngulo.

    b

    a

    x

    x tag x

    aadyacente Cateto

    a opuesto Cateto

    La Cotangente del ngulo x en un tringulo rectngulo es la razn existente entre el

    cateto adyacente (b) y el apuesto (a) al ngulo x.

    a

    b

    x

    x ctg x

    a opuesto Cateto

    a adyacente Cateto

    La Secante del ngulo x (Sec x) es la razn que existe entre la hipotenusa (c) y el

    cateto adyacente (b) a x en un tringulo rectngulo.

    b

    c

    x

    x

    a adyacente Cateto

    hipotenusasec

    La Cosecante del ngulo x (Csc x) en un tringulo rectngulo es la razn entre la

    hipotenusa (c) y el cateto opuesto a x.

    a

    c

    x

    x

    a opuesto Cateto

    hipotenusacsc

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 10 TRAYECTO I

    COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL PLANO.

    Todo vector se puede expresar como la suma de otros dos vectores a los cuales se

    les denomina componentes.

    .

    Cuando las componentes forman un ngulo recto, se les llama componentes

    rectangulares. En la figura 2 se ilustran las componentes rectangulares del vector rojo.

    Las componentes rectangulares cumplen las siguientes relaciones

    asena

    aa

    y

    x

    cos

    Teniendo en cuenta que:

    x

    y

    yx

    a

    a

    aaa

    tan

    22

    Las 2 primeras ecuaciones son para hallar las componentes rectangulares del vector

    a. y las 2 ltimas son para hallar el modulo del vector a (por Teorema de Pitgoras) a partir de sus componentes rectangulares. La ltima ecuacin es para hallar la direccin del vector

    (ngulo) con la funcin trigonomtrica tangente, a partir de lo cual se halla el sentido.

    Ejemplo: Una fuerza tiene magnitud igual a 10.0 N y direccin igual a 240.

    Encuentre las componentes rectangulares y represntelas en un plano cartesiano.

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 11 TRAYECTO I

    NsenF

    NF

    y

    x

    6.82400.10

    0.5240cos0.100

    0

    El resultado nos lleva a concluir que la componente de la fuerza en X tiene mdulo

    igual a 5.00 N y apunta en direccin negativa del eje X. La componente en Y tiene mdulo

    igual a 8.66 y apunta en el sentido negativo del eje Y.

    Esto se ilustra en la figura:

    Y la direccin es 00001 8.2391808.591800.5

    6.8tan

    en sentido Oeste-

    Sur (Soroeste).

    EJERCICIOS RESUELTOS DE LEY DE COULOMB Y CAMPO ELCTRICO

    1. Suponga que se tiene tres cargas puntuales localizadas en los vrtices de un tringulo recto, como se muestra en la figura:

    Solucin:

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 12 TRAYECTO I

    Datos e incgnitas

    C = q

    C = q

    C = -q

    70

    50

    80

    3

    2

    1

    2

    29109

    c

    mNewk

    cm = AB

    cm = AC

    40

    30

    ?qF 3

    Transformaciones

    CC

    CC = q

    CC

    CC = q

    CC

    CC = q

    66

    3

    66

    2

    66

    1

    10701

    1070

    10501

    1050

    10801

    1080

    m,cm

    mcm = AB

    m,cm

    mcm = AC

    40100

    140

    30100

    130

    Hallemos la separacin entre 3q y 1q se obtiene usando el Teorema de Pitgoras:

    m,= CB

    m,= CB

    m,= CB

    m, m,= CB

    m),+ ( m),= (CB AB + AC= CB

    50

    250

    250

    160090

    4030

    2

    22

    222

    222222

    Las direcciones de las fuerzas sabemos coinciden con las lneas que unen a cada par

    de cargas puntuales.

    La fuerza que 1q ejerce sobre ,3q ,13F es de atraccin.

    La fuerza que 2q ejerce sobre ,3q ,23F es de repulsin.

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 13 TRAYECTO I

    Anlisis Vectorial

    Las fuerzas 13F y 23F tienen las direcciones que se indican en la figura de abajo:

    Calcular la fuerza sobre la carga 3q debida a las cargas 1q y .2q

    Las magnitudes de tales fuerzas son:

    New , = F

    m.

    Cx Cx

    C

    mNew x = F

    --

    6201

    50

    10701080109

    13

    2

    66

    2

    29

    13

    New = F

    m.

    Cx Cx

    C

    mNew x = F

    --

    350

    30

    10701050109

    23

    2

    66

    2

    29

    23

    Conviene disponer ejes coordenados xy tal como se indica en la figura, con el origen

    en la carga donde deseamos calcular la fuerza resultante, en este caso en .3q

    Llamando 3qF a la fuerza resultante sobre ,3q entonces:

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 14 TRAYECTO I

    . + F= FqF 23133

    Luego, en trminos de componentes x e :y

    x xx + F = FqF 23133

    yyy F = FqF 23133

    De acuerdo con la figura:

    Luego:

    New; = F

    ,

    , New =F = FF

    x

    xx

    3,161

    50

    406,201cos

    13

    131313

    New; = F

    ,

    ,New. = Fsen = FF

    y

    yy

    121

    50

    306201

    13

    131313

    New; = F x 023

    .3502323 New = FF y

    De ac tenemos:

    New; New = New + = qFx

    3,16103,1613

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 15 TRAYECTO I

    New; New = New = qFy

    2291213503

    La magnitud de la fuerza neta 3qF se obtiene de aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo resultante:

    New = qF

    New = qF

    New = qF

    New + New = qF

    New + New = qF

    q + Fq = FqFyx

    280

    69,78458

    69,78458

    5244169,26017

    2293,161

    3

    2

    3

    22

    3

    222

    3

    222

    3

    2

    3

    2

    3

    2

    3

    El ngulo de esta fuerza se obtiene de

    0

    3

    3

    54,8

    1.42 arctg=

    421

    3161

    229

    .tg

    New.

    Newtg

    F

    Ftg

    x

    y

    Con sentido Este-Norte (Noreste).

    CAMPO ELCTRICO

    q

    FE

    2r

    kQE

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 16 TRAYECTO I

    Donde:

    :E Campo elctrico, intensidad del Campo elctrico.

    :F Fuerza elctrica.

    :q Carga, magnitud de la carga colocada en el Campo elctrico.

    Se dice que existe un campo elctrico en una regin del espacio en la cual una carga

    elctrica experimentar una fuerza elctrica. La magnitud de la intensidad del campo

    elctrico ( E ) se da por la fuerza ( F ) por unidad de carga ( q ).

    Si q es (+): E y F tendrn

    la misma direccin.

    Si q es (-) la fuerza (F) estar

    dirigida opuestamente a E.

    Ejercicios:

    1) Cul es la intensidad del campo elctrico a una distancia de 2m de una carga de

    C12 ?

    Solucin:

    Datos e incgnitas

    ?E

    mr 2

    2

    29109

    C

    mNewk

    CQ 12

    Transformacin

    CC

    CCQ 6

    6

    10121

    1012

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 17 TRAYECTO I

    Anlisis vectorial

    Luego:

    .1027

    2

    1012109 3

    2

    6

    2

    29

    2 C

    New

    m

    C

    C

    mNewE

    r

    kQE

    2) Dos cargas puntuales C =Q 61 y C=Q ,62 estn separadas 12 cm, como se

    muestra en la figura:

    Determnese el campo elctrico en el punto A y en el punto B.

    Solucin:

    Datos e incgnitas

    ?AE

    ?BE

    cmd 12

    2

    29109

    C

    mNewk

    C =Q 61

    C=Q 62

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 18 TRAYECTO I

    Transformacin

    CC

    CCQ

    CC

    CCQ

    99

    2

    99

    1

    1061

    106

    1061

    106

    Nota: Realizar las transformaciones de las distancias.

    Anlisis Vectorial

    Esta dado en la figura del enunciado.

    Calculemos el Campo elctrico en punto A: El campo elctrico en A debido a :1Q

    .1038,3

    04,0

    106109 4

    2

    9

    2

    29

    2

    11

    C

    Newx

    m

    Cx

    C

    mNewx

    r

    kQE

    (Izquierda)

    Y en punto A: El campo en A debido a :2Q

    .1043,8

    08,0

    106109 34

    2

    9

    2

    29

    2

    22

    C

    Newx

    m

    Cx

    C

    mNewx

    r

    kQE

    (Izquierda)

    Puesto que los vectores tienen la misma direccin y sentido, la intensidad resultante

    en A es:

    .1022,41043,81038,3 434421C

    New

    C

    Newx

    C

    NewxEEEA (Izquierda)

    El campo B ejercido por 1Q y ,2Q se sigue del anlisis vectorial:

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 19 TRAYECTO I

    Luego:

    CNew

    xm

    Cx

    C

    mNewx

    r

    kQE

    C

    Newx

    m

    Cx

    C

    mNewx

    r

    kQE

    3

    2

    9

    2

    29

    2

    22

    3

    2

    9

    2

    29

    2

    11

    104,215,0

    106109

    .1066,609,0

    106109

    La vectorial del campo elctrico :E

    C

    NewEEE xx

    3030

    22 1092,137cos104,237cos

    C

    NewE

    C

    New,,EE

    E

    y

    y

    y3

    1

    3030

    22

    10666

    1044137sin104237sin

    De donde se puede comprobar que: C

    NewEy

    310220,5 y as:

    Mdulo:

    C

    NewE

    C

    New

    C

    NewEEE yx

    3

    2

    3

    2

    322

    1056,5

    10220,51092,1

    Direccin:

    .80,69

    1092,1

    10220,5

    0

    3

    3

    R

    R

    C

    NewC

    New

    arctg

    Con sentido Este-Norte (Noreste).

  • TEMA V: VECTORES

    PROFESOR: JULIO C BARRETO G 20 TRAYECTO I

    VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

    ngulos

    Funciones

    0

    90

    180

    270

    360

    Seno 0 1 0 -1 0

    Coseno 1 0 -1 0 1

    Tangente 0 No 0 No 0

    Cotangente No 0 No 0 No

    Secante 1 No -1 No 1

    Cosecante No 1 No -1 0

    VALORES NOTABLES

    ngulos

    Razones

    30 45 60

    Seno

    2

    1

    2

    2

    2

    3

    Coseno

    2

    3

    2

    2

    2

    1

    Tangente

    3

    3

    1 3

    Cotangente 3 1

    3

    3

    Secante

    3

    3 2

    2 2

    Cosecante 2 2

    3

    3 2

    Sistema Sexagesimal (DEG): Es el sistema cuyas unidades de medidas van de 60 en

    60. La unidad del sistema sexagesimal en la medida de ngulos, es el grado ( sexagesimal),

    el cual se define como la medida central del ngulo subtendido por un arco de crculo igual

    a 1/3600 ava parte de la circunferencia de un crculo.

    Un minuto ( ) es la 60

    1 ava parte de un grado;

    Un segundo () es la 60

    1 ava parte de un minuto, o sea

    3600

    1 ava parte de un grado.