Tema iii matrices algebra uai uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO I UNIDADES ACREDITABLES I

TEMA II: MATRICES UNIDADES ACREDITABLES I

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester

El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858,

A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema

de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de

ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de

su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de

forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los

lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores

como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,...

Definición: Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en

general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden

n" "m a un conjunto rectangular de elementos ija dispuestos en m filas y en n

columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y

n números naturales.

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, y los elementos de las

mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, Un

elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe . aij Si el elemento

genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: ) (aA ji

nmmnmm

ij

n

n

nm

aaa

a

aaa

aaa

A

21

22221

11211

Ejemplo: Sea la matriz ,4

5

2

3

76

1

32

A donde sus filas son:

53

6

1 y

427 . Y sus columnas son: ,

76

1

2

3 y .

4

5

TEMA III: MATRICES

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 ÁLGEBRA

Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas.

El número total de elementos de una matriz A nm es .m·n En matemáticas, tanto las Listas

como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices. Una lista numérica es un

conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro.

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES

La suma de dos matrices n mj ) (aiA y

qpij ) (bB de la misma dimensión

(equidimensionales): pm y q n es otra matriz

.nmjijinmji b a cB AC

Por ejemplo, sean las matrices:

,

21

22221

11211

nmmnmm

ij

n

n

nm

aaa

a

aaa

aaa

AA

.

21

22221

11211

nmmnmm

ij

n

n

nm

bbb

b

bbb

bbb

BB

Definimos la suma mediante:

,

2211

2222222121

1112121111

nmmnmnmmmm

ijij

nn

nn

bababa

ba

bababa

bababa

BA

Es una ley de composición interna con las siguientes propiedades:

· Asociativa: CB) (AC) (BA

· Conmutativa: A BB A

· Elemento neutro: (Matriz cero nm0 ), A AA 00

· Elemento simétrico: (Matriz opuesta -A ), 0 A (-A) (-A) A

Al conjunto de las matrices de dimensión n m cuyos elementos son números reales lo

vamos a representar por M nm y como hemos visto, por cumplir las propiedades

anteriores, ) ( M, es un grupo abeliano.

NOTA: La suma de dos matrices y la diferencia de dos matrices (Suma de una matriz

con la opuesta de otra matriz) NO están definidas si sus dimensiones son distintas.

TEMA III: MATRICES


PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los

elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.

mnmm

ij

n

n

nmmnmm

ij

n

n

ijnm

aaa

a

aaa

aaa

A

aaa

a

aaa

aaa

aAA

21

22221

11211

21

22221

11211

;

Es una ley de composición externa con las siguientes propiedades:

· Asociativa: AA )()(

· Distributiva I: BABA )(

· Distributiva II: AAA )(

· Elemento Neutro de escalares: AA 1

Para todo ;1,, R para toda matriz .nmMA Por lo tanto la terna ],,[ RM nm

constituye un espacio vectorial.

MATRICES IGUALES

Dos matrices a A n mij

y qpijb B

son iguales, sí y solo si, tienen en los

mismos lugares elementos iguales, es decir: j ibaqnpm ijij , ;,

Ejercicio: Dadas las siguientes matrices

;810

321

A ;

853

201

B 1 y 2

Calcular: ,BA ,A ,BA ,B .BA

Solución:

Calculemos :BA

1663

522

885130

230211

853

201

810

321

BA

BA

BA

TEMA III: MATRICES


1663

522

885130

230211

853

201

810

321

BA

BA

BA

Calculemos :A

810

321

8111 01

312111

810

3211

A

A

A

Calculemos :BA

043

120

885130

230211

853

201

810

321

815131

2101 11

810

321

853

2011

810

321

BA

BA

BA

BA

BA

043

120

885130

230211

853

201

810

321

815131

2101 11

810

321

853

2011

810

321

BA

BA

BA

BA

BA

NOTA: ¿Qué nos define la operación ,BA de acuerdo a lo estudiado en la

diferencia de vectores? Se puede decir que define la resta de vectores cuando .1

TEMA III: MATRICES


Calculemos :B

16106

40 2

825232

2202 12

853

2012

B

B

B

Calculemos :BA

896

12 1

168101-60

430221

1610 6

40 2

81-0

321

825232

2202 12

8111 01

312111

853

20 12

810

3211

BA

BA

BA

BA

BA

Recordar que las matrices al ser elementos de un espacio vectorial, son denominadas

vectores, lo cual no concuerda con la idea de vectores de los físicos, es decir, con la idea de

un ente con dirección y sentido a parte de una magnitud o módulo. Al igual que las matrices

de acuerdo a que ),,()( KXAKM nm donde ,nm EEX tenemos que las funciones son

vectores también.

En esta parte, veremos cómo puede asociarse una matriz a una transformación lineal.

Esta asociación, resulta ser de gran interés, con sorprendentes y excelentes resultados.

Usando dicha correspondencia, seremos capaces de describir como son todos los espacios

vectoriales de dimensión n. Este resultado será realmente interesante. En toda esta parte,

supondremos que todos los espacios vectoriales son de dimensión finita. Comencemos con

algunas definiciones básicas.

TEMA III: MATRICES


PRODUCTO DE MATRICES

El producto de dos matrices )( ijaA de dimensión nm y otra matriz

)( jkbB de dimensión pn es la matriz BA. dada por: ).(. ikcBA

Con ,. jkijik bac es decir, cada elemento ikc se obtiene multiplicando la fila i -

ésima de la primera matriz por la columna k -ésima de la segunda matriz.

Si

mnm

n

aa

aa

A

1

111

y

npn

p

bb

bb

B

1

111

entonces tenemos que:

npmnpmnmnm

npnpnn

babababa

babababa

AB

111111

1111111111

Por ejemplos:

1. Sean las matices:

,0

7

5

4

1

2

A

17

43

01

B

Podemos realizar el producto de las matrices 32)( ijaA y otra matriz 23)( jkbB

dándonos una matriz BA . dada por: .)(. 22 ikcBAC

.algebraica suma la Realizando 2016

.2359A

productos. los Realizando 02000151

716049122

matrices. de

producto de Definición 104501703511

174402773412

17

43

01

0

7

5

4

1

2

B

BA

BA

BA

TEMA III: MATRICES



.2359A


716049122

matrices. de

producto de Definición 104501703511

174402773412

17

43

01

0

7

5

4

1

2

B

BA

BA

BA

2. Se puede realizar el producto AB en las matrices anteriores:

,0

7

5

4

1

2

A

17

43

01

B

En efecto, podemos realizar el producto de las matrices 23)( jkbB y otra

matriz 32)( kiaA dándonos una matriz AB dada por: .)( 33 jicABD

.algebraica suma la Realizando

492315

21810

742

productos. los Realizando

049528114

021201246

070402

matrices. de producto de Definición

017751471127

047354431423

007150411021

0

7

5

4

1

2

17

43

01

AB

AB

AB

AB

¿Siempre se podrá hacer el producto de BA y de AB ?

TEMA III: MATRICES


3. De acuerdo con la pregunta anterior que sucede con las matrices: ,01

32

A

3

5B . En las cuales podemos realizar el producto de las matrices

22)( ijaA

y otra matriz 12)( jkbB dándonos una matriz BA . dada por:

.)(. 12 ikcBAC


19


910

matrices. de producto de Definición 3051

3352

3

5

01

32

BA

BA

BA

BA


19


910


3352

3

5

01

32

BA

BA

BA

BA

Pero no podemos realizar el producto de las matrices 12)( jkbB y otra matriz

22)( ijaA .

Concluyendo que para realizar la multiplicación o producto de dos matrices, el

número de filas da la primera matriz deben ser igual al número de columnas de la segunda

matriz.

4. Si las matrices son cuadradas del mismo orden siempre se van a poder multiplicar

BA y AB , por ejemplo sean las matrices:

,01

32

A

72

10B

En las cuales podemos realizar el producto de las matrices 32)( ijaA y otra matriz

22)( jkbB dándonos una matriz BA . dada por: .)(. 22 ikcBAC

En efecto:

TEMA III: MATRICES



236


21260


73122302

72

10

01

32

BA

BA

BA

BA

Además, podemos realizar el producto de las matrices 22)( jkbB y otra

matriz 22)( kiaA dándonos una matriz AB dada por: .)( 22 jicABD

En efecto:


01


0010


01301120

01

32

72

10

AB

AB

AB

AB

Y ahora surge la siguiente pregunta: ¿ ABBA ?

Es decir: ¿El producto de matrices es conmutativo?

TEMA III: MATRICES


GUIA DE EJERCICIOS DE MATRICES

MATRIZ DE ORDEN .nm

Sea K un cuerpo, una matriz de orden nm es una aplicación f cuyo dominio es

nm II y su codominio es ,K siendo ,,,2,1 mIm .,,2,1 nI n La matriz f asocia

a cada par ordenado ,),( nm IIji un elemento .),( Kajif ij

Y la matriz .)( nmijaf El primer subíndice i toma valores desde 1 hasta m y el

subíndice j toma valores desde 1 hasta .n

Ejemplo: Sea la matriz en ,RK 32)( ijaf dada por la aplicación jijif ),(

donde ,21 i .31 j Es una matriz 32 (2 filas y 3 columnas), cuyos elementos son:

532)3,2(

422)2,2(

312)1,2(

431)3,1(

321)2,1(

211)1,1(

23

22

21

13

12

11

fa

fa

fa

fa

fa

fa

Luego, la matriz así definida se escribe en la forma:

32543

432

f

Ejercicio: Sea A la matriz en RK definida por la aplicación 22),( jijiA con

,31 i .51 j Escribir la matriz A como un arreglo rectangular.

SUMA DE MATRICES

1. Sea A una matriz tal que .

3,303

21

22

AA Hallar .A

2. Determine cuáles de las siguientes par de matrices se pueden sumar:

a. ,652A

3,2779

501B

b. ,

71189

7605

4321

A

71187

17602

241521

B

TEMA III: MATRICES


3. Hallar x e y sabiendo que

xy

y

54

11

1

3

63

21

4. Sean A y B matrices de orden mn tal que .BA Demuestre que si X es otra

matriz de orden ,mn entonces .XBXA

[Este resultado nos demuestra que si ,A B y C son matrices del mismo orden,

entonces si ,CBA tenemos que .BCBBA Luego,

,0 BCA y por tanto ,BCACBA es decir podemos despejar una

ecuación donde intervienen matrices].

5. Hallar una matriz X tal que ,BXA donde las matrices A y B están definidas

como sigue:

,

33

28

27

51

A ,

3

1

9

1

2

1

35

29

B

6. Verifique que la suma de matrices triangulares superiores, triangulares inferiores, y

diagonales es una matriz triangular inferior, triangular superior ó diagonal

respectivamente.

7. Demuestre que toda matriz cuadrada se escribe como suma de:

a) Una matriz triangular superior y una matriz triangular superior.

b) Una matriz triangular superior, una matriz triangular superior y una matriz

diagonal.

c) Una matriz simétrica y una matriz triangular inferior ó triangular superior.

8. Sean A y B matrices del mismo orden. Demuestre que: .TTTBABA

9. Verifique que la suma de matrices simétricas es también una matriz simétrica.

10. Compruebe que sí A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces

.BtrAtrBAtr Donde dada una matriz cuadrada ijaA de orden n se

llama traza de la matriz A al número que se obtiene sumando los elementos de la

diagonal principal. A este número lo denotamos .Atr Calcule además, nItr y

.0ntr

PRODUCTO DE MATRICES

1. Dadas las Matrices:

,

dc

baA

hg

feB

¿Será cierto que BAAB ? ¿Se cumple la propiedad conmutativa?

TEMA III: MATRICES


2. Determinar si es posible hacer el producto ,AB donde A y B son las siguientes

matrices:

a) ,351 A

43

21B

b)

312

531A ,

21

12

31

B

3. Consideremos las matrices:

0132

1102

6417

A ,

512

302B

¿Cuál de los productos es posible AB ó BA ?

4. Sea

312

231A , .

21

12

31

B Calcular AB y BA ¿Qué concluyes?

5. Demuestre que si A es una matriz cuadrada de orden ,n entonces .AAIAI nn

para la matriz identidad de orden “ n ” ,nI la cual es el elemento neutro para la

multiplicación de matrices de orden “ n ”.

6. Sean

522

51

A y ,42

105

B las cuales no son matrices nulas. Calcular

.AB [En este ejercicio se puede observar que el producto de matrices no nulas da como

resultado la matriz nula, situación que no ocurre con los números reales, pues:

00. aba ó .0b ]

7. Sean ,

012

52

31

z

y

x

A ,

59

20

01

z

y

x

B .

2225

5109215

3266

z

yyC Hallar

los valores de ,x ,y z de tal forma que .CAB

8. Sean A una matriz cuadrada y las siguientes matrices:

,

0000

0000

0000

0001

1

A ,

0000

0000

0010

0000

2

A ,

0000

0100

0000

0000

3

A .

1000

0000

0000

0000

4

A

Verificar que .4321 AAAAAAAAA

TEMA III: MATRICES


9. Sean R , y consideremos la matriz ,cos

cos

sen

senA

.cos

cos

sen

senB Verifique que

.cos

cos

sen

senAB

10. Sean A y B matrices tales que se puedan realizar los productos AB y .BA

¿Qué se pueden decir de los órdenes de A y B ?

11. Sean A y B matrices tales que .BAAB Verifique que

.2 222BABABA ¿Cuándo se espera que 222

2 BABABA ? Da un

ejemplo de matrices A y B tales que 2222 BABABA y

.2 222BABABA

[Potencias de Matrices: Sea A una matriz cuadrada. Las potencias de A se definen

de la siguiente manera: ,0

nIA ,1 AA ,2 AAA ,23 AAAAAA Y en general si 1n es

un entero entonces 1 nn AAA ]

DETERMINANTES

Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que

las matrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a

entender que era “la madre de los determinantes”. Algunos de los más grandes matemáticos

de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedades de los

determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los

determinantes se originó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

quien fue con Newton, el co inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los

determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. No

obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10

años antes.

Las contribuciones más prolíficas a la teoría de los determinantes fueron las del

matemático francés Agustin-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy escribió, en 1812 una

memoria de 84 páginas que contenía la primera demostración del teorema detAB=detA

detB. En 1840 Cauchy hizo muchas otras contribuciones a las matemáticas. En su texto de

cálculo de 1829 Leçons sur le calcul différential, dio la primera definición razonablemente

clara de límite. Cauchy escribió ampliamente tanto en las matemáticas puras como en las

aplicadas. Solo Euler escribió más. Cauchy hizo contribuciones en varias áreas, incluyendo

la teoría de las funciones reales y complejas, la teoría de la probabilidad, geometría, teoría

de propagación de las ondas y las series infinitas. A Cauchy se le reconoce el haber

establecido nuevos niveles de rigor en las publicaciones matemáticas. Después de Cauchy,

fue mucho más difícil publicar escritos basándose en la intuición; se exigió una estricta

adhesión a las demostraciones rigurosas.

El volumen de las publicaciones de Cauchy fue abrumador. Cuando la Academis

Francesa de Ciencias comenzó a publicar su revista Comptes Rendus en 1835, Cauchy

envió su obra para que se publicara, en poco tiempo los gastos de impresión se hicieron tan

grandes, solo por la obra de Cauchy, que la academia impuso un límite de cuatro cuartillas

por cada documento a ser publicado. Hay algunos otros matemáticos que merecen ser

TEMA III: MATRICES


mencionados aquí. El desarrollo de un determinante por cofactores fue empleado por

primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827). Laplace es mejor

conocido por la transformación que lleva su nombre que se estudia en los cursos de

matemáticas aplicadas. Un contribuyente principal de la teoría de los determinantes

(estando solo Cauchy antes que él) fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804-

1851), con quien gano la palabra “determinante” ganó la aceptación definitiva. Lo primero

en lo que Jacobi empleó los determinantes fue en las funciones, al establecer la teoría de las

funciones de varias variables. Sylvester llamó más tarde jacobiano a éste determinante.

Definición: Sea .nnijaA

Si ,1n definimos .det 11aA Si ,2n definimos

.det1det1

11

1

n

j

jj

jAaA Por ejemplos:

1. Para ,1n la matriz cuadrada será 11aA y por tanto su determinante será:

.det 11aA

2. Para ,2n la matriz cuadrada será

2221

1211

aa

aaA y por tanto su determinante

será:

12121111

12121111

1212

3

1111

2

1212

21

1111

11

2

1

11

1

detdetdet

det1detdet

det1det1det

det1det1det

det1det

AaAaA

AaAaA

AaAaA

AaAaA

AaAj

jj

j

Y como los menores son: 2211 aA y ,2112 aA entonces: 21122211det aaaaA

3. Para ,3n la matriz cuadrada será

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A y su determinante será:

131312121111

131312121111

1313

4

1212

3

1111

2

1313

31

1212

21

1111

11

3

1

11

1

detdetdetdet

detdet1detdet

det1det1det1det

det1det1det1det

det1det

AaAaAaA

AaAaAaA

AaAaAaA

AaAaAaA

AaAj

jj

j

TEMA III: MATRICES


131312121111

131312121111

1313

4

1212

3

1111

2

1313

31

1212

21

1111

11

3

1

11

1

detdetdetdet

detdet1detdet

det1det1det1det

det1det1det1det

det1det

AaAaAaA

AaAaAaA

AaAaAaA

AaAaAaA

AaAj

jj

j

Y como los menores son: ,3332

2322

11

aa

aaA

3331

2321

12aa

aaA y ,

3231

2221

13

aa

aaA

entonces:

2. ejemplo elcon acuerdo De

det

detdetdetdet

312232211331233321123223332211

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11

aaaaaaaaaaaaaaaA

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaA

Si aplicamos la propiedad distributiva entonces nos queda:

312213332112322311322113312312332211

312213332112322311322113312312332211

312213322113312312332112322311332211

det

det

det

aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

Que es la misma regla de Sarrus.

NOTA: Se puede usar también la notación AD e inclusive colocar la matriz entre barra

.A

DEFINICIÓN DEL MENOR DE UN DETERMINANTE

El menor ijM del elemento ija en el determinante A se obtiene de la matriz A

suprimiendo el i ésimo renglón o fila y la j ésima columna de la matriz .A Por

ejemplo, para la matriz

TEMA III: MATRICES


333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Tenemos que:

,,;,,3331

1311

22

3332

1312

21

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11 aa

aaM

aa

aaM

aa

aaM

aa

aaM

aa

aaM

Y así sucesivamente.

4. Hallar el determinante de

523

411

012

A

Como

53

41,

52

411211 AA y ,

23

1113

A entonces d acuerdo con la definición

de determinante se tiene que:

23det

176det

17132det

01251852det

312103451124512det

23

110

53

411

52

412det

A

A

A

A

A

A

NOTA: De manera general se define el determinante de la siguiente forma:

.det1det1

n

j

ijij

jiAaA Para lo cual se puede realizar tomando cualquier columna o

fila.

Y para una matriz cuadrada ,3A se toma en cuenta los siguientes signos:

TEMA III: MATRICES


PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.

dc

ba

dc

ba

ddc

bbadetdetdet

2.

dc

bat

tdc

tbadetdet

3.

dc

ba

ctdc

btbadetdet

4.

cd

ab

dc

badetdet

5. BAAB detdetdet

6. AAT detdet

7. 11 detdet AA

EJERCICIO: Demostrar las propiedades.

EJERCICIOS SOBRE DETERMINANTES

1. Sea ,

01

11

221

aa

aA encuentre .det A

2. Sean ,

723

413

102

A .

241

512

513

B Encuentre:

a) .det BA

b) .detdet BA

TEMA III: MATRICES


c) .7det A

d) .det B

e) .det AB

f) .det BA

3. Sea ,coscos

sensenA si ,

3

4 encuentre .det A

4. Encuentre los valores de x para los cuales

x

xx

xx

102

0

01

det es cero.

5. Sea .nnijaA

Si TA es la matriz transpuesta de la matriz ,A entonces

.detdet AAT

6. Sean ., KMBA n Demuestre que .detdetdet BAAB

7. Sean Rc y ,3 KMA demuestre que .detdet 3 AccA En general, sean

Rc y ,KMA n demuestre que .detdet AccA n

8. Sean Rxxx 321 ,, demuestre que .1

1

1

det 231312

2

33

2

22

2

11

xxxxxx

xx

xx

xx

Demuestre que en general se cumple que:

.

1

1

1

det

1

1

22

1

11

ji

ij

n

nn

n

n

xx

xx

xx

xx

Este determinante se conoce con el nombre de determinante de Vandermonde.

9. Calcule .

410

141

014

det

10. Demuestre que si .A y B son matrices semejantes de orden ,n entonces

.detdet BA

11. ¿Será cierto que BABA detdetdet ?

TEMA III: MATRICES


12. ¿Será cierto que si ,cos

cos

sen

senA entonces 1det A ?

REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema

lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel

Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes

courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en

su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para

la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres

ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa:

computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en

aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones.

Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que

la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas

operaciones SIMD.

Ahora, definamos un determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:

O tomemos en cuenta que sea una matriz .nnijaA

Si ,1n definimos .det 11aA

Si ,2n definimos .det1det1

11

1

n

j

jj

jAaA

Y de manera general de la forma .det1det1

n

j

ijij

jiAaA

Es decir, también podemos resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres

incógnitas usando generalizando la RESOLUCIÓN POR DETERMINANTE.

La regla para resolver un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

TEMA III: MATRICES


lizhygx

kfzeydx

jczbyax

Luego, zyx ,, pueden ser encontradas como sigue:

,

ihg

fed

cba

ihl

fek

cbj

x

ihg

fed

cba

ilg

fkd

cja

y e

ihg

fed

cba

lhg

ked

jba

z

EJEMPLO: Dado el sistema de ecuaciones lineales:

42

22

123

zyx

zx

zyx

Los valores de yx, e z serían los que nos den al resolver:

,

211

102

123

214

102

121

x

211

102

123

241

122

113

y

e

211

102

123

411

202

123

z

EJERCICIO: Realizar los cálculos anteriores.

TEMA III: MATRICES


EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Resuelve los siguientes usando los métodos de Gauss Simple y la regla de Cramer :

a)

9432

164

135

zyx

zyx

zyx

b)

1334

423

622

zyx

zyx

zyx

c) Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg

de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo,

sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón

cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

d) Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste

americano y terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de

las del oeste representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles

más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del

total de las películas. Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.

e) Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice se

dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de

los radios de las circunferencias.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Anton, H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Tercera Edición. Editorial

Limusa, S. A de C. V. Noriega Editores. México.

Barreto J. (2016). Álgebra Lineal (Aplicaciones a las Ciencias y a la Ingeniería).

Autores Editores.

Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos

eléctricos, al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones

y la programación lineal. Colección de Universitaria. Volume 1. Spanish

Edition. ISBN-10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Año 2015.

https://www.createspace.com/5230822

Luís, González. (1981). Álgebra II. Universidad Nacional Abierta. Décima primera

reimpresión 2007. Caracas, Venezuela.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra

lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades.

Editorial Reverté.

Serge Lang. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. México D. F

“El primer paso hacia la sabiduría es el reconocimiento de la propia ignorancia”

Siddhartha

https://www.createspace.com/5230822

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