Tema i derivada y aplicaciones matematica i uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA I: DERIVADAS DE FUNCIONES

HISTORIA DE LAS DERIVADAS

Newton

(1642-1727)

Los grandes creadores del Cálculo Diferencial fueron

el inglés Isaac Newton y el alemán Gottfried Wilhelm

Leibniz. De manera diferente e independientemente

estos grandes intelectuales de los siglos XVII y XVIII

sistematizaron y generalizaron ideas y procedimientos

que habían sido abordados de diferentes maneras y con

éxito parcial desde la Antigüedad.

Leibniz

(1646-1716)

Antes de Newton y Leibniz fueron realizados diversos aportes de importancia

asociados al nombre de grandes personalidades, como por ejemplo: Gilles de Roberval

(1602-1675), Johannes Kepler (1571-1630), René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat

(1601-1665), Galileo Galilei (1564-1642), Christian Huygens (1629--1695, amigo de

Leibniz), John Wallis (1616-1703, amigo de Newton), Bon aventura Cavalieri (1598-1647,

discípulo de Galileo), Evangelista Torricelli (1608-1647, discípulo de Galileo), Isaac

Barrow (1630-1677, maestro de Newton).

Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe decirse que una de las

contribuciones previas decisivas para el trabajo de Newton y Leibniz fue la Geometría

Analítica (la expresión de puntos geométricos en coordenadas y el uso de métodos

algebraicos), creado independientemente por Descartes y Fermat. Debemos destacar que

cada uno trabajo en otros campos diferentes a las Matemáticas. Newton es un

conocido científico que hizo grandes descubrimientos en los campos de Física y

Matemáticas. Por otra parte Leibniz destaco en las Matemáticas y la Filosofía.

Los dos son personajes destacados en la historia de las Matemáticas, ahora

nos centraremos en explicar los antecedentes que condujeron al conflicto que mantuvieron

por defender la autoría de la invención y desarrollo del Cálculo. Newton empezó a

desarrollar su Cálculo Diferencial hacia el 1665, dio un enfoque geométrico y analítico a

las derivadas. Su principal aplicación era para calcular tangentes, curvaturas y áreas.

Para Newton un fluente x era la cantidad de movimiento continuo de un punto que

traza una curva y una fluxión x su velocidad. El problema se basa en hallar la relación

entre las fluxiones (valores) dadas una relación de fluentes. Se trataba de un conjunto de

reglas para poder calcular máximos, mínimos y tangentes. El mismo Newton reconoció

que su interpretación era algo dificultosa y la perfecciono en trabajos posteriores.

Newton no solía publicar sus trabajos inmediatamente. De hecho su investigación

sobre las derivadas las escribió en un tratado informal, De Analysi en 1669, que compartió

con sus compañeros del Trinity College. Este manuscrito contenía una introducción al

Cálculo Diferencial e Integral que desarrollo más tarde. No se llegó a publicar, en una

obra propia hasta después de su muerte en De Methodis Serierumet Fluxionum escrito en

1671 y publicado en 1673. El propio Newton escribió dos cartas enunciando sus

descubrimientos para que fueran remitidas a Leibniz. Newton desarrollo y perfecciono la

serie del binomio hacia el año 1664. En particular se podía usar para exponentes que sean

fracciones o números negativos, por lo que una aplicación práctica era el cálculo

de raíces cuadradas.

TEMA I: DERIVADA DE FUNCIONES


Las cartas, que detallaban este método y citaban algunos ejemplos, las mando a la

Royal Society of London para que se encargaran de hacerlas llegar a Leibniz. Mientras

tanto Leibniz también había estado trabajando en esta materia pero de forma independiente

a Newton. Leibniz trabajaba con sumas de sucesiones para aproximar la cuadratura de una

curva, de forma que cuanto más pequeña fuera la distancia entre dos números de

la sucesión mejor apreciación seria a la curva. De esta manera también se aproxima la

tangente como la diferencia entre dos puntos. Por tanto Leibniz observa que la integración

y la derivación son operaciones inversas. Leibniz fue desarrollando su notación hasta

encontrar una que le permitiera trabajar más intuitivamente. Leibniz consideraba una

curva como infinitas porciones de recta donde dx es la diferencia infinitesimal de dos

puntos consecutivos del eje de abscisas. Por tanto R y dx es la suma de rectángulos

infinitesimales y ,dx el símbolo R es la alargación de una S que significa suma.

Esta notación es la que aun usamos en la actualidad como son dx

dy y además .

Si comparamos: Newton consideraba las variables en función del tiempo, en cambio

Leibniz tenía un enfoque diferente. Él pensaba que las variables tomaban secuencias de

valores infinitamente cercanos, de aquí las notaciones dx y dy (donde yx, son variables)

que representan las diferencias entre valores consecutivos de las secuencias. También

dedujo que el cociente dx

dy da la tangente. Sobre la integración, para Newton se basaba en

encontrar la relación entre lo que denomina fluxiones, es decir, las derivadas. De esta forma

implica que la integración es la operación inversa a la derivación.

Por otra parte, Leibniz usa la integral como una suma de infinitesimales, en cambio

Newton usaba velocidades finitas. Aunque ninguno de los dos usaba las funciones tal como

se usan actualmente, más bien pensaban en términos de gráficas. Sin embargo, a pesar de

que el conflicto se tenía como finalidad dar la autoría de la invención del Cálculo a uno de

los dos, y el reconocimiento que eso conlleva, la verdad es que ambos acabaron mal

parados. Ambos habían cometido errores: Newton, al no publicar formalmente sus

descubrimientos, y Leibniz, al no mencionar que había tenido contacto con el trabajo de

Newton y no compartir la autoría del descubrimiento. ¿Este conflicto se pudo haber

evitado? Según algunas hipótesis la guerra anglo-alemana que hubo nunca debería haber

comenzado, y mucho debería haberse desarrollado como se desarrolló. Aunque ambos

pusieron las bases del Cálculo de manera independiente, ni mucho menos fueron los

primeros en dar las nociones iniciales de esta rama matemática.

El precursor de estas ideas fue Pierre de Fermat. Leibniz reconocía en una carta a

Wallis, un matemático inglés, que le debía mucho a Fermat; y Newton escribió que

desarrollo su cálculo diferencial en base al método de trazar tangentes de Fermat, que

trataba exactamente los máximos y mínimos de curvas polinómicas. Actualmente, toda la

comunidad científica reconoce a ambos como los descubridores del cálculo, y se sigue

utilizando la notación de ambos, con diferencias entre matemáticas y física. En física, se

utiliza la notación de Newton para la diferenciación, la cual consiste en un punto sobre el

nombre de la función, y que Newton denomino fluxión. Es muy utilizada para la derivada

respecto del tiempo. En la notación de Leibniz se representa la operación de

diferenciar mediante el operador dx

d.



Esta notación permite recordar intuitivamente varios conceptos del cálculo como la

regla de la cadena, o el de separación de variables en la resolución de ecuaciones

diferenciales. La notación de Leibniz resulta muy útil cuando se trabaja con

derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados, ya que indica

que variable de la función es independiente en cada momento.

INCREMENTOS

Sea la función:

De donde:

Incremento de la variable independiente: - a = h a + h x Δ

Incremento de la variable dependiente: a -fa+hfy Δ

Cociente incremental (o tasa, razón o media de variación), en el intervalo h a a , es:

h

afhaf

x

y

Δ

Δ

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de

agosto de 1601; Castres, Francia, 12 de enero de 1665) fue

un jurista y matemático francés apodado por el historiador

de matemáticas escocés, Eric Temple Bell, con el remoquete

de «príncipe de los aficionados».

Propuso que si una cantidad varia en xΔ obligatoriamente

cambiaría la misma cantidad en .Δy :Δ Letra griega delta.



EJEMPLOS: Hallar el incremento y el cociente incremental de las siguientes

funciones:

1) 52 x =xf

El incremento de la variable dependiente en :ax

5252Δ ahaa -fa+hfy

Operando:

hahay 252522Δ

El cociente incremental es: 22

Δ

Δ

h

h

x

y

La cual es la pendiente de la recta y es una interpretación que daremos más adelante,

además al ser positivo el cociente incremental la función es creciente.

EJERCICIO: Hallar el incremento y el cociente incremental de 65 x =xf y

hacer conclusiones.

2) 432 x =xxf


4343Δ 22 aahahaa -fa+hfy

Operando:

hhahhahaahahahay 3232434332Δ 2222



El cociente incremental es:

hah

hha

x

y

32

32

Δ

Δ

3) x =ex f 3


1 = 3333333333 haahaahaaha eeeeeeeeea -fa+hfy

Usando propiedades de potencia.

El cociente incremental es

h

ee

x

y ha 1

Δ

Δ 33

4) x = senxf


22cos2

222

2cos2

22

2cos2 =

22cos2 =

hsen

ha

hsen

hahsen

hay

ahasen

ahaasenhasena -fa+hfy

Usando Identidades Trigonométricas.

El cociente incremental es: h

hsen

ha

x

y

22

cos2

Δ

Δ



DERIVADA

Dada una función R, D f : y un punto de abscisa , DInta se considera el

límite del cociente incremental cuando el incremento , h 0 si ese límite existe y es finito

diremos que las función es derivable en a y al resultado de ese límite le llamaremos

derivada de xy = f en ese punto.

DEFINICIÓN 1: RD f : es derivable en DInta

Rh

afhaf

h

0lim

DEFINICIÓN 2: Si RD f : es derivable en ,DInta se define derivada de f en a

al límite:

h

afhaf(a)f

h

0lim

EJEMPLOS: Consideremos las mismas funciones de los ejemplos de incrementos; ahora

calculemos sus derivadas:

1) 52 x =xf

Habíamos llegado a que el cociente incremental es:

22

Δ

Δ

h

h

x

y

Si ahora calculamos el límite cuando 0h tenemos lo siguiente:

22limlim00

hh h

afhafaf (El límite de una constante es la constante)

Entonces podemos afirmar que f es derivable en cualquier ,Ra y que la derivada

es .2 af



2) 432 x =xxf

Habíamos llegado a que el cociente incremental es:

ha

h

hha

x

y

32

32

Δ

Δ


hah

afhafaf

hh

32limlim

00

Aplicando el límite de las sumas que es la suma de límites y el límite de una

constante es la constante:

32032lim3lim2lim000

aahaafhhh

Entonces podemos afirmar que f es derivable en cualquier ,Ra y que la derivada

es .32 aaf

3) x = exf 3

Teníamos que el cociente incremental es:

h

ee

x

y ha 1

Δ

Δ 33


h

ee

h

afhafaf

ha

hh

1limlim

33

00



Como ae3 es constante entonces:

h

ee

h

h

a 1lim

3

0

3

Ahora, haciendo el cambio de variable ,3hu tenemos que:

3

1lim

0

3

u

ee

u

u

a

Pues: 3

uh y además .0 0030 uuh Luego:

aax

u

au

u

a eeu

ee

u

ee 33

0

3

0

3 3131

lim31

lim3

Ya que x

ex

x

1lim

0

y se concluye que f es derivable y su derivada es .3 3aeaf

4) x = senxf

El cociente incremental es:

h

hsen

ha

x

y

22

cos2

Δ

Δ

Entonces:

h

hsen

ah

h·sena

h

hsen

ha

hhh

2limcos2

2cos2

lim22

cos2

lim000



Ahora, haciendo el cambio de variable ,2

hu tenemos que:

u

usena

u 2limcos2

0

Pues: uh 2 y además .0 02

00 uuh Luego:

.cos1coslim2

1cos2

0aa

u

usena

u

Entonces podemos afirmar que f es derivable y .3 3aeaf .cos aaf

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

El conjunto de funciones reales de variable real es tan amplio que es prácticamente

imposible encontrar propiedades generales para todas. En las funciones continuas todavía

se plantean muchos problemas como puede ser la determinación de la recta tangente en un

punto de la gráfica. Con la definición intuitiva de que la tangente es la recta que toca a la

curva sólo en ese punto la recta de la primera figura no sería tangente, mientras que en las

otras figuras habría varias tangentes (alguna bastante extraña) en un mismo punto.

Lo cierto es que esa definición intuitiva sólo es válida para la circunferencia y curvas

similares: cerradas y convexas (“sin baches”). Para el caso general hace falta una nueva

definición que sea válida siempre y que corresponda a la idea intuitiva en los casos en que

ésta pueda aplicarse. Y esa definición es la siguiente:

“La recta tangente a una curva en un punto afaP , es la posición límite hacia la

que tienden las rectas secantes que pasan por ese punto P y por otro punto Q de la curva,

cuando el segundo punto Q se acerca a P ”.



Para poder hallar la ecuación de esa recta tangente en el punto de coordenadas

,, afaP si la escribimos en forma punto-pendiente:

axmafy

Necesitamos saber el valor de la pendiente m . Para ello, si tenemos en cuenta que la

recta tangente es la posición límite de las secantes, entonces su pendiente será el límite de

las pendientes de las secantes, con lo que:

Cuando esa situación la llevemos al límite, es decir, cuando acerquemos Q hacia Q

tendremos:

af

h

afhafαtgm

h

0lim

Por tanto, la derivada de una función xf en un punto “ a ” puede interpretarse

geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el

punto ., afa



CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN DERIVABLE

TEOREMA: Toda función derivable en un punto es continua en ese punto.

DEMOSTRACIÓN:

Hipótesis: RD f : es derivable en .a

Tesis: RD f : es continua en .a

Luego:

afaf·hh

afhafafafhafhaf

hhh

1

000limlimlim

En el paso (1) se utilizó que f es derivable en :a El límite del cociente incremental

es finito, y está multiplicado por h que tiende a 0, entonces el producto tiene límite 0. a es

interior de D porque f es derivable en a y afxfax

lim y entonces f es continua en

.a #

EJEMPLO: Dada la función:

1si

1si1.2

1

1

xba·xx

x·exxfx

Determinar a y b para que f sea derivable en .1x

SOLUCIÓN: Por el teorema previo, ser derivable implica ser continua:

01

01lim

11lim

1

1

1

1

= a + b +

·ex

f + a + b xf

x

x

x

Y por definición, tenemos:



aah

h

hah

h

hah

h

ahhh

h

babahahh

h

babhah

h

fhf

hhh

hh

hh

22lim2

lim2

lim

2lim

121lim

111lim

11lim

00

2

0

2

0

2

0

2

00

Y demás:

0lim

0lim

11lim

1

0

1

00

h

h

h

hhe

h

h·e

h

fhf

Para que exista la derivada:

202 a =+a=

Y de

.11212101 b= b = b = a b = =a +b+

DERIVADAS LATERALES

I. RD f : es derivable a la izquierda de Daaa ,/0 y

Rafh

afhaf

h

0lim

A ese límite le llamaremos derivada lateral a la izquierda de .a

II. RD f : es derivable a la derecha de Daaa ,/0 y

Rafh

afhaf

h

0lim

A ese límite le llamaremos derivada lateral a la derecha de .a



EJEMPLO: La función

00

01

1

xsi

xsie

x

xf x es continua en 0 ya que:

.001

lim10

fe

x

xx

Pero no es derivable en 0, ya que no existen las derivadas laterales

en 0 , la derivada por la derecha es:

0

1

1lim1lim

0lim0

10

1

00

hh

h

hh eh

e

h

h

fhff

Análogamente la derivada por la izquierda es 11

1lim0

10

hh ef

Geométricamente esto significa que por la derecha de 0 la tangente al gráfico de f es

el eje OX y por la izquierda de 0 la tangente es la recta y=x.

EJEMPLOS:

1) Sea RR f : definida por .x xf Cuya gráfica es:

A simple vista se observa que presenta un punto anguloso es , x = 0 lo que se

confirma formalmente calculando las derivadas laterales:



1lim

0lim0

1lim0

lim0

00

00

h

|h|

h

fhff

h

|h|

h

fhff

hh

hh

2) Más general que el ejemplo precedente, si xf es una función derivable, en los

puntos donde cambie de signo, la función xf = xg presentará puntos angulosos. Por

ejemplo: Se considera la parábola 42 xxf con valor absoluto :42 xxg

xfy es una función derivable en R y cambia de signo en 2,x además:

xxf 2 42 f de donde se deduce que .4242 gg

3) Hallar los puntos angulosos de la función RR f : tal que:

2si,4

20si,1

0si,

2

xx

x

xe

xf

x

Gráficamente tenemos que:



Luego:

En x = 0: 0011

lim0

lim000

f

h

e

h

fhff

h

hh

En x = 2:

1101lim4

1lim1

4

1lim

14

1

lim2

4

1

4

1

lim11

4

1

lim144

4

1

lim2

124

1

lim22

lim2

12

0000

22

0

2

0

2

0

2

00

hhhh

hhh

hh

hhh

hh

f

h

hh

h

hh

h

hh

h

hhf

h

h

h

fhff

f

FUNCIÓN DERIVADA

Desde otro enfoque, ahora veremos la derivada como una función.

Si RD f : es una función derivable en un conjunto de puntos ,DD

definimos la función:

R D f : /

h

xfhxfxf

h

0lim

Que llamaremos función derivada de .xfy Además, se puede definir así:

R D f : /

12

12

12

limxx

xfxfxf

xx

EJERCICIO: Realice el cambio para llegar a esta nueva definición equivalente.



DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

1) Kxf (FUNCIÓN CONSTANTE)

0limlim00

h

KK

h

xfhxfxf

hh

2) xxf (FUNCIÓN IDENTIDAD)

11limlimlimlim0000

hhhh h

h

h

xhx

h

xfhxfxf

2°) 2xxf (FUNCIÓN CUADRÁTICA)

xxhxhxh

hhxxf

h

hxh

h

xhxhx

h

xhx

h

xfhxfxf

hhhh

hhhh

202lim2lim2lim2

lim

2lim

2limlimlim

0000

2

0

222

0

22

00

TABLA DE DERIVADAS

1. 0dx

dK 2. 1

dx

dx

3. dx

dvnvv

dx

d nn 1 en particular: 1 nn nxxdx

d

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Se llaman funciones exponenciales a las funciones de la forma: xaxf )( donde la

base de la potencia "a" es constante (un número) y el exponente la variable x .

Por ser la función exponencial una función definida por: * : RRf tal que

a a axf x 0,1 la cual siendo Biyectiva, tiene inversa; la cual se define

como: RRf : *1 - dada por x logx a

1 - f tal que: x y a log y recibe el nombre de

función logarítmica.



Si la base es el número 71828,2e la exponencial se llama natural y la inversa se

llama logaritmo natural o neperiano y se denota .ln

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

EXPONENCIAL DE BASE e Y

LOGARITMO NEPERIANO

EXPONENCIAL DE BASE a=2 Y

LOGARITMO DE BASE 2

TABLA DE DERIVADAS

4. dx

dvaaa

dx

de

vv log en particular: dx

dvee

dx

d vv

5. dx

dv

v

ev

dx

d aa

loglog en particular:

dx

dv

vv

dx

de

1log

6. dx

dvuu

dx

duvuu

dx

d v

e

vv log1 EJERCICIO

La propiedad 4. en el caso particular tenemos que de la definición de derivada:

.1

1lim

1limlimlim

0000

xxh

h

xhx

h

xhx

h

xhx

h

x eeh

ee

h

ee

h

eee

h

eee

dx

d

Del cambio de base: ahh ea ln y haciendo un cambio de variable ahz ln y

además con a

zh

ln tenemos que:



aaaaz

eaa

z

eaa

a

z

eaa

dx

d

h

ea

h

aa

h

aaa

h

aaa

dx

d

xxz

h

xz

h

xz

h

xx

ah

h

xhx

h

xhx

h

xhx

h

x

ln1ln1

limln1

lnlim

ln

1lim

1lim

1limlimlim

000

ln

0000

Ahora, de cambio de base:

,ln

lnlog

a

xxa tenemos que si ea y ,ax entonces

a

a

e

aae ln

1

ln

ln

lnlog por tanto también tenemos que .log aaa

dx

de

xx

ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS

a) PROPIEDAD HOMOGÉNEA: xuaxf xuaxf

DEMOSTRACIÓN:

xuah

xuhxua

h

xuhxua

h

xuahxuaxf

hhh

000limlimlim

b) PROPIEDAD ADITIVA (O TEOREMA DE LA DERIVADA DE LA SUMA):

xvxuxf xvxuxf

DEMOSTRACIÓN:

h

xvhxvxuhxu

h

xvxuhxvhxu(x)f

hh 00limlim

xvxu

h

xvhxv

h

xuhxu

h

0lim #

c) PROPIEDAD LINEAL: xvbxuaxf xvbxuaxf

DEMOSTRACIÓN:

xvbxuaxvbxuaxvbxuaxf)()(

21

En el paso (1) se utilizó la propiedad aditiva y en el (2) la propiedad homogénea.



d) DERIVADA DEL PRODUCTO: )()()( xvxuxf xvxuxvxuxf

DEMOSTRACIÓN:

h

xvxuhxvxuhxvxuhxvhxuxf

h

xvxuhxvhxuxf

h

h

0

0

lim

lim

h

xvhxvxuhxv

h

xuhxuxf

h

xvhxvxuhxvxuhxuxf

hh

h

00

0

limlim

lim

xvxuxvxuxf #

e) DERIVADA DEL COCIENTE: xv

xuxf

2xv

xvxuxvxuxf

DEMOSTRACIÓN: EJERCICIO.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Es posible definir la razón trigonométrica de un número real, por ejemplo, el seno del

real x es ,xsen en esta última expresión el ángulo está medido en radianes:

5,06

sen

De esa forma se define la función seno (Sen):

xsenyyxsen :,

Análogamente se definen función coseno (Cos) y función tangente (Tg).

A continuación se da una tabla de funciones trigonométricas y sus inversas. Las

restricciones al dominio que se imponen, tienen como propósito lograr que las funciones

sean biyectivas. De esa forma sus inversas también son funciones.

Veamos la siguiente tabla:



FUNCION DOMINIO CODOMINIO IMAGEN DE x

SENO

2;

2– 1;1– xsenxf

COSENO ;0 1;1– xxf cos

TANGENTE

2;

2– R xtgxf

INVERSA DEL

SENO 1;1–

2;

2–

xsenxf 1

INVERSA DEL

COSENO 1;1– ;0 xxf 1cos

INVERSA DE LA

TANGENTE R

2;

2– xtgxf 1

GRÁFICAS DE LA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIÓN SENO: xsenxf FUNCIÓN INVERSA: xsenxf 1

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Función coseno: xxf cos FUNCIÓN INVERSA: xxf 1cos

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5



FUNCIÓN TANGENTE: xtgxf FUNCIÓN INVERSA: xtgxf 1

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

Ahora bien, de la definición de derivadas tenemos que:

xxxxsenxSendx

d

h

hsenx

h

hxsenxSen

dx

d

h

hsenx

h

hxsenxSen

dx

d

h

hsenx

h

xsenhxsenxSen

dx

d

h

xsenhsenxhxsen

h

xsenhxsenxSen

dx

d

hh

hh

hh

hh

coscos01cos0

cos1cos

cos1cos

coscos

coscos

limlim

limlim

limlim

limlim

00

00

00

00

Demuestra las siguientes:

TABLA DE DERIVADAS

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

7. dx

dvSenvCosv

dx

d

8. dx

dvvSecTanv

dx

d 2 9.

dx

dvvCscCotgv

dx

d 2

10. dx

dvTanvSecvSecv

dx

d 11.

dx

dvCotvCscvCscv

dx

d



DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

12. dx

dv

varcSenv

dx

d

21

1 13.

dx

dv

varcCosv

dx

d

21

1

14. dx

dv

varcTanv

dx

d

21

1 15.

dx

dv

varcCotv

dx

d

21

1

16. dx

dv

vvarcSecv

dx

d

1

12

17. dx

dv

vvarcCscv

dx

d

1

12

Ten en cuenta las funciones inversas trigonométricas (numéricas) son:

,cos1

xsen

x

xtgxCotgxf ya que

x

xsenxtg

cos

xCos

xSecxf1

xSen

xCoxf1

sec

Usando la derivada de un cociente se pueden demostrar estas derivadas.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS HIPERBÓLICAS

Un círculo unitario con centro en el origen sigue la fórmula 1yx 22 ; un punto

dado por el par ordenado y,x se puede representar como función de un ángulo t de la

siguiente manera sent,tcosy,x . De igual manera, una hipérbola unitaria con centro

en el origen sigue la fórmula 1yx 22 ; un punto dado por el par ordenado y,x se

puede representar como función del ángulo t de la siguiente manera senht,tcoshy,x .

Estas funciones se denominan funciones trigonométricas hiperbólicas, en particular,

coseno hiperbólico y seno hiperbólico. Las funciones trigonométricas hiperbólicas

presentan propiedades análogas a las de las funciones trigonométricas o circulares.

La función xsenhxf se define como 2

eexsenh

xx , mientras que la

función xcoshxf es 2

eexcosh

xx .



Al igual que las funciones trigonométricas circulares, en las funciones

trigonométricas hiperbólicas se cumplen las siguientes identidades fundamentales.

xxxx

xx

xx

xx

xx

eexsenhxh

eexxh

ee

ee

xsenh

xx

ee

ee

x

xsenhx

21csc

2

cosh

1sec

coshcoth

coshtanh

Debido a esto, es lógico pensar que habrá una relación equivalente al Teorema de

Pitágoras. Así, para las funciones hiperbólicas se sabe que 1cosh 22 xsenhx .

GRÁFICA DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

SENO HIPERBÓLICO COSENO HIPERBÓLICO

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

Usando la definición de derivada:

h

eee

h

eee

h

eeeeeexsenh

dx

d

h

eeeeee

h

eeee

xsenhdx

d

xhxxhx

h

xxhxhx

h

xxhxhx

h

xxhxhx

h

limlim

limlim

00

00

2

1

2

222



xee

eeeexsenhdx

d

eee

h

e

ee

h

eexsenh

dx

d

he

ee

h

ee

he

ee

h

eexsenh

dx

d

h

ee

e

h

ee

h

e

ee

h

eexsenh

dx

d

h

ee

h

ee

h

ee

h

eexsenh

dx

d

xxxxxx

xxh

hh

h

xh

h

x

h

h

h

xh

h

x

h

hx

h

hx

h

h

h

x

hx

h

h

hx

hx

h

h

x

hx

h

xhxhx

h

cosh22

1

1

1

2

1

11

12

1111

2

1

11

2

111

2

1

11

2

1

1

1

2

1

11

1

2

111

2

1

0000

0000

00

00

limlimlim

limlimlimlim

limlim

limlim

Ahora bien usando la tabla de derivadas:

xee

eeeexsenhdx

d

xdx

deee

dx

de

dx

dee

dx

dxsenh

dx

d

xxxxxx

xxxxxx

cosh22

11

2

1

2

1

2

1

2

Demuestra las siguientes:

TABLA DE DERIVADAS

18.

dx

dvSenhvCoshv

dx

d

19. dx

dvvSechTanhv

dx

d 2

20.

dx

dvvCschCothv

dx

d 2

21. dx

dvTanhvSechvSechv

dx

d

22.

dx

dvCothvCschvCschv

dx

d



DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

23. dx

dv

varcSenhv

dx

d

1

12

24. dx

dv

varcCoshv

dx

d

1

12

25. dx

dv

varcTanhv

dx

d

21

1 26.

dx

dv

varcCothv

dx

d

21

1

27. dx

dv

vvarcSechv

dx

d

21

1 28.

dx

dv

vvarcCschv

dx

d

21

1

EJERCICIOS:

1. Hallar las derivadas de las funciones:

a) xsenxxxf 3cos23

b) 4232 23 xxxxf

c) 0 ,62263 32 xxexsenxxf x

d) xsenxxf 3

e) xxsenxf cos2

f) xsenxxxxf 23 cos

g) xxx

xxf cos1

ln 2

h)

Znn

xxtgxf

,2

12 ,

i) 365

1323

2

xx

xxxf

j) xx

xsenxxf

cos

k) Znnxxctgxf , ,

l) xxf 2cos

m) 3x4tanhxf 2

n) 2x3cosh2x3tanhlnxf 22

2. Hallar la derivada por definición de:

a) 3xxf b) xxf c) xxxf 23

3. Consideremos la función

1)(

8,8:

xxfx

Rf

calculemos los limites laterales

en .1x ¿Es derivable la función?



DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA

TEOREMA (REGLA DE LA CADENA): Si g es derivable en a y f es derivable

en ,ag entonces gf es derivable en a y se verifica: .agagfagf

DEMOSTRACIÓN:

h

agfhagf

h

agfhagfagf

hh 00limlim

h

aghag·

k

agfkagf

h

aghag·

aghag

agfhagf

hkh

00

1

0limlimlim

agagf

En el paso (1) se definió + k a = ga+h g a- ga+h k = g además como g

es derivable en ,a también es continua en a .0k También es necesario suponer

que g es inyectiva en un entorno de a y así se cumple que .0 0 ha- ga+h k = g

EJEMPLO: Hallar la derivada de la función xxf cosln .

SOLUCIÓN: Notemos que es una composición de dos funciones xhgxf con

la función interna xxh cos y la función g dada por .ln xxg

Como la función h es derivable (Con xsenxh ), entonces podemos aplicar la

regla de la cadena y se cumple que: .xhxhgxf Así,

xtgx

xsenxsen

xxxxf

coscos

1coscosln



EJERCICIO: Hallar la derivada de la función 2xsenexf .

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Sea f una función diferenciable, entonces se dice que f es la primera derivada de

;f puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada

de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva .f

Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de

,f y así sucesivamente hasta la enésima derivada. En general, si ,Nn entonces nf

denota la enésima derivada de la función .f nf se calcula derivando a ,f

sucesivamente n veces.

NOTACIONES:

niv

n

n

xn

xxxx

niv

yyyyy

dx

yd

dx

yd

dx

yd

dx

yd

dx

dy

yDyDyDyDyD

xfxfxfxfxf

,,,,,

,,,,,

,,,,,

,,,,,

4

4

3

3

2

2

432

EJEMPLOS: Obtenga la primera y la segunda derivada de la

función .2 35 xxxxf

SOLUCIÓN: Justifica lo siguiente:

165132522 24243535

xxxxxxxxxxxf

xxxxxxxxxf 1222002645165165 3132424



EJERCICIOS: Obtenga la primera y la segunda derivadas de las funciones.

1. xxxxf 52

2. 2cos4 xxf

3. xxf 2cos4

4. xtgxxf 22sec

5. Obtenga

12

34

4

xdx

d

DERIVADA IMPLICITA

Sea una función 243 3 xxy donde y es función de x . Esta ecuación se puede

escribir como yxx 432 3 e incluso como 4286 3 yxx . En este caso se puede

decir que y es una función implícita de x ya que está definida mediante una ecuación en

donde ,y la variable dependiente, no es dada de manera directa.

EJEMPLO 1: La función 043 2 xxf está escrita de manera implícita para x ,

variable independiente, y ,xf variable dependiente. Escribir la ecuación de manera no

implícita.

3

4 2xxf

Muchas veces, al tener una ecuación escrita de manera implícita, ésta puede

representar una o más funciones.

EJEMPLO 2: Sea 63

y

xy, escribir la ecuación de manera no implícita y

determinar la o las funciones que describe.

0318

183

63

3

2

2

2

xyy

yxy

y

xy

Para poder despejar y como función de x , habría que resolver la fórmula general.



2

12324182

1232418

2

1232418

12

31418182

x

xx

y

xy

Este resultado implica que tenemos dos funciones de x descritas por la misma

ecuación. En muchos casos, no es sencillo o práctico el despejar y para encontrar la o las

funciones dadas, por lo tanto, y dado que las funciones existan y sean derivables, se puede

resolver la derivada sin necesidad de tener la función expresada en su forma clásica.

EJEMPLO 3: Sea la función 13723 xxyy , hallar la derivada dx

dy.

En éste ejemplo, se utilizará la notación dx

dyy ´ para simplificar el manejo de la

ecuación, así como acostumbrar al lector a diferentes formas de escritura.

Se busca la derivada de la expresión 13723 xxyy .

De la regla de la cadena, se sabe que dx

du

dx

dfxuf

dx

d , lo cual puede expresarse

para potencias como dx

duuxu

dx

d nn 1 . Por lo tanto, ´.3´ 233 yyyydx

d En cuanto al

segundo término, éste cuenta con un producto de dos funciones, por tanto:

´22´2´2´2 xyyxyxyxy .

Así, nos queda que:

xy

yyyxyyyxyyyxyyyy

23

23´2323´23´2´33´22´3

2

222

EJEMPLO 4: Encontrar la derivada de y suponiendo que la ecuación

xxy 3532 332 describe una función derivable y que .xfy

22

2

222222332

3212

315´

31532´12315´43233532

yy

xy

xyyyxyyyxxy



OBSERVACIÓN:

Una función xy se llama implícita cuando está definida de la forma 0. yxF en

lugar de la habitual.

Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la

variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable

dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable

independiente: Dada una función ,.yxF implícita, si queremos calcular la derivada de

y respecto de x : .xfdx

dy

EJERCICIOS:

1. Obtener la derivada de: .12356 22232 yxxyyx

2. Dada ,122 yx demuestre que .1

32

2

ydx

yd

RECTA TANGENTE Y NORMAL

EJEMPLO: Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función xxf )( en

el punto .2,4

En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites:

)(

)(lim

)(

))((limlim

000 xhxh

xhx

xhxh

xhxxhx

h

xhxm

hhh



4

1

42

1

2

1

)(

1lim

)(lim

00

xxhxxhxh

hm

hh

Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión: 00 )( yxxmy

14

121

4

12)4(

4

1 xxxy

La normal a una curva en un punto P es la perpendicular a la recta tangente en

dicho punto. Si la pendiente de la tangente es ),(' afmt la pendiente de la normal será

)('

1

afmN y la ecuación de la normal nos viene dada por:

)()('

1)( ax

afafy

Así, en el ejercicio anterior la pendiente de la normal será .4

4

1

1Nm Y la

ecuación de la normal nos viene dada por:

104284)2(42 xyxyxy

Grafique esta recta como ejercicio.

EJERCICIO:

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por 3)( xxf en

el punto de abscisa x = 2.

Ecuación de la recta tangente: 162 x y

Ecuación de la recta normal: 6

49

12

1 x y



INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA PRIMERA DERIVADA

PUNTO CRÍTICO

DEFINICIÓN: Un número c para el cual una función f está definida y para el cual

0cf o cf no existe, se llama un NÚMERO CRÍTICO para f .

EJEMPLO: La función f está definida por la ecuación .22x-xexf ¿Cuáles son

los puntos críticos de f ?

Para empezar, debemos determinar el dominio de .22x-xexf

.RDomf

Tenemos que encontrar la derivada de 22x-xexf para determinar los puntos

críticos. Por la regla del producto y la regla de la cadena,

222222 2222222 441 x-x-x-x-x-x- exexexeexexxf

Igualamos esta expresión a 0 y resolvemos la ecuación resultante.

04104 22222 222

xeexe x-x-x-

Como 022 x-e para toda x , se sigue que

2

102121041 2 x=x+xx

Así, 2

1x son los ceros de f ′. Esto significa que los puntos críticos

son 2

1 y

2

1 .



Ahora bien, observa la gráfica siguiente y ten en cuenta la relación entre derivada en

un punto y la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

RELACIÓN ENTRE CRECIMIENTO Y DERIVADA

f derivable y creciente en 0x 0)( 0 xf .

f derivable y decreciente en 0x 0)( 0 xf .

EJEMPLO: 3xxf es derivable en todo R y su derivada es 23xxf . La

gráfica es:

Se observa que la función es creciente en todo su dominio que es R , veamos que la

derivada es positiva en todo punto del dominio..

Efectivamente 03)( 2 xxf Rx todopara .



CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CRECIENTES O

DECRECIENTES

fxf 0)( es creciente.

fxf 0)( es decreciente.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS

La función f presenta un máximo relativo en ,0x cuando existe un entorno 0xE

tal que: 0xfxf ., 00 xxxEx

La función f presenta un mínimo relativo en ,0x cuando existe un entorno 0xE

tal que: 0xfxf ., 00 xxxEx

CONDICIÓN NECESARIA DE MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO

Si f es derivable en 0x , entonces f tiene un máximo o un mínimo en

0x 0)( 0 xf .

Sin embargo no es una condición suficiente, porque puede ocurrir que la derivada en

un punto valga 0 y que no haya máximo ni mínimo, como en 00 x en el ejemplo 3xy .

REGLA PARA SABER SI UN PUNTO SINGULAR ES MÁXIMO O MÍNIMO

RELATIVO

Para saber si un punto singular (puntos que anulan la derivada) es máximo o mínimo

relativo de una función estudiaremos el signo de la derivada primera de la función.



EJEMPLO: Sea xxxf 273 cuya grafica es:

SOLUCIÓN:

Si calculamos su derivada y estudiamos el signo se tiene,

.33393273 22 xxxxxf Luego podríamos decir que la función de

acuerdo con este estudio:

Crece en ,33,

Decrece en 3,3

Así como crece en 3, y decrece en 3,3 entonces hay un máximo relativo en

)3(,3 f que en este caso será un MÁXIMO ABSOLUTO y como decrece en 3,3 y

crece en ,3 entonces hay un mínimo relativo en )3(,3 f que en este caso será un

MÍNIMO ABSOLUTO cómo se observaba en la gráfica.

( , -3) (-3,3) (3, )

3 + + +

3x - + +

3x - - +

Signo f + - +



INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA SEGUNDA DERIVADA

Una función es cóncava en un intervalo si las rectas tangentes a la función en ese

intervalo están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si las

rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se

adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba"

o "desde abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones

cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman PUNTOS DE

INFLEXIÓN.

RELACIÓN DE LA CURVATURA CON LA SEGUNDA DERIVADA

Si observamos la gráfica siguiente veremos que cuando la función es cóncava las

pendientes de las rectas tangentes (las derivadas) tienen un valor cada vez más grande, y

cuando es convexa cada vez menor.

CRITERIOS DE CONCAVIDAD O CONVEXIDAD

Por la derivada primera:

a. Si una función es cóncava las pendientes de las tangentes aumentan ( f es

creciente).



b. Si una función es convexa las pendientes de las tangentes disminuyen ( f es

decreciente).

Por la derivada segunda:

Si f es cóncava hacia arriba entonces f creciente, por lo tanto .0f

Si f es cóncava hacia abajo entonces f decreciente, por lo tanto .0f

Si f es derivable en 0x y tiene un PUNTO DE INFLEXIÓN en 0x 00 xf

CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS

Si una función es derivable dos veces, se tiene

fxf 0)( es cóncava.

fxf 0)( es convexa.

EJEMPLO: Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de

la función indicada:

xx= xxf 156 23

SOLUCIÓN: Tenemos que que su dominio es: .Domf=R Además:

015123 2 x x= xf PUNTOS CRÍTICOS: 5y 1 21 . = x = x

0126 x= xf 0181= f En 11 = -x se tiene un MÁXIMO de f .

0185 = f En 52 = x se tiene in MÍNIMO de f .



EJEMPLO: Sea la función .x=xexf Hallar el punto de inflexión y donde la

función es cóncava y convexa.

SOLUCIÓN: Notemos que su dominio es: .Domf=R

Ahora bien hallando la primera derivada:

.11 xxxxxxx exxeeexeexex=xf

Y la segunda derivada es:

xxxxxxxxxxx exxeexeeeexexexee=xf

22

El punto de inflexión es:

020 xex=xf

Y como 0xe para todo ,x entonces .202 xx Y el PUNTO DE

INFLEXIÓN es .2

,22

e

El signo de f es 0323 33 eef y .0121 11 eef

Así la función es convexa en 2, y cóncava en .,2 Veamos:



APLICACIONES A RAZONES DE CAMBIO

Según lo dicho anteriormente, el concepto de razón de cambio está presente en la vida

diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre específico o sin reflexionar sobre las

acciones realizadas. Ya que vivimos en un mundo físico, social, político, económico,

biológico, resulta importante poder describir y medir estos cambios a través de modelos

matemáticos. Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre, puede

detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a crecer, o permanecer

estacionaria. También la población de un país varía con el correr del tiempo y la variación

depende básicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes.

Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues estos nos

permitirán extraer conclusiones. Esto nos permite saber, por ejemplo, en el caso de

consumo de energía eléctrica como función del tiempo, cuándo se produce un aumento

repentino, lo que indica la necesidad de aumentar la capacidad eléctrica; si estamos

analizando la evolución de una enfermedad a través del tiempo podremos saber cuándo se

está propagando con mayor rapidez y así reforzar las medidas sanitarias necesarias.

Analizaremos a través de ejemplos, cómo medir los cambios.

EJEMPLO 1: Un pedazo de alambre de 20 cm de largo se corta en dos partes; una

parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma una circunferencia. ¿Dónde

se deberá hacer el corte para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea un

mínimo?

SOLUCIÓN:

Con el primer segmento se construye el cuadrado cuyo lado medirá que su dominio

es: ,4

x con el resto se construye la circunferencia en que el radio medirá: Que su dominio

es: .2

2

xLrxLr Las áreas, por lo tanto, medirán:

2

cuadrado16

1 =A x

y

4 = A

2

círculo

xL



El área total será:

416

1 = A

2

2

Total

xLx

La primera derivada del área total respecto de x , resulta: xLxdx

dA

2

1

8

1

Igualando a 0 y despejando el valor de x , queda:

822

16

Lx

La segunda derivada del área total respecto de x queda: 02

1

8

12

2

dx

Ad lo

que nos indica que es positiva ,x en consecuencia, el valor del área es un mínimo.

Reemplazando en x el valor de la longitud del alambre: 20 cm tenemos que x = 11,2 cm.

EJEMPLO 2: A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de

4 m de radio y 16 m de altura entra agua a una razón de 50 cm3/s. ¿A qué velocidad está

subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 m. de altura? ¿A qué velocidad está

cambiando el radio en ese mismo instante?

SOLUCIÓN

En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en

cualquier instante t .



Desígnese por:

:V volumen (en cm3) de agua en el tanque en el instante t (s).

:x Radio (en cm) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t .

:y Altura del agua (en cm) en el instante t .

Datos:

seg

cm

dt

dV 3

50

El volumen del agua en el instante t viene dado por:

1 3

1 2 yxV

De la semejanza de los triángulos ODE y OBC, se deduce que:

3 4

2 4

4

16y

x

xy

x

y

Puede formularse la pregunta así:

?dt

dy cuando y = 4 m = 400 cm.

Una manera simple de calcular dt

dy consiste en expresar V en 1 en términos

únicamente de la variable y (usando 3 ) y derivando en ambos lados con respecto a .t

Así,

3

2

2

4843

1

3

1yy

yyxV

dt

dyy

dt

dyy

dt

dV

163

48

22

De donde

2

16

y

dt

dV

dt

dy



De acuerdo a las condiciones del problema:

5

200

1

400

5016

2

3

s

cm

cm

s

cm

dt

dy

Indicando con esto que la altura crece a esa velocidad.

b. Puede formularse la pregunta así:

?dt

dxcuando y = 4 m. = 400 cm. x = 100 cm.

Una manera sencilla de encontrar la solución, consiste en derivar ambos miembros de

3 con respecto a .t .

Así,

6 800

1

200

1

4

1

4

1

s

cm

s

cm

dt

dy

dt

dx

Indicando con esto que el radio crece a esta velocidad.

Otra manera de obtener la solución, consiste en expresar V en 1 en términos

únicamente de la variable x (usando 2 ) y derivar en ambos lados con respecto a

t .(¡VERIFIQUE!)

EJEMPLO 3: Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una

caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe

ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea

máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?

SOLUCIÓN:

Sea

:x Longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas según la

figura de abajo en la parte (a)), donde .2

0a

x



(a) (b)

Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la

figura de arriba en la parte (b).

Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,

1 2

0 ;442 2232 axxaaxxxxaxV

Puesto que xV (FUNCIÓN A MAXIMIZAR) es una función continua en el

intervalo ,2

,0

a entonces xV alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho

intervalo.

Al derivar xV en 1 e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:

062812 22 x-ax-aaaxxxV

De acá:

606

202

axax

ó

axax

Son los puntos críticos

Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda

derivada. Así,

axxV 824



Luego:

042

8

2

16248

2

248

224

2

a

aaaa

aa

aaV

Lo cual indica que 2

ax corresponde a un mínimo relativo. (Interprete

geométricamente el resultado).

046

24

6

48248

6

248

624

6

a

aaaa

aa

aaV

Lo cual indica que6

ax corresponde a un máximo relativo.

En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la

cartulina cuadrados de lado 6

a y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene

dado por:

27

2

69

4

63

2

63

3

63662

6

322222aaaaaaaaaa

aaa

aa

V

EJERCICIOS:

1. Utilice el criterio de la segunda derivada para encontrar los extremos de las

funciones indicadas:

a) 732 2 x+ x=xf b) 31x=xf c) x

=xxf1

SOLUCIÓN: a) 8

47

4

3

f MÍNIMO. b) No existen extremos. c) 21 f

MÍNIMO; 21 f MÁXIMO.

2. ¿Cuáles son las dimensiones de un campo rectangular de área dada que requiere la

menor cantidad de cercado?

SOLUCIÓN: Un cuadrado



3. Encuentre el volumen de la mayor caja que se puede construir de un cuadrado de

cartón de 20 cm de lado cortando cuadros iguales en cada esquina y doblando los

lados hacia arriba.

SOLUCIÓN: V = 27

16592 cm

2

APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FÍSICA

VELOCIDAD Y ACELERACION:

dt

dsv(t) ,

2

2

dt

sd

dt

dv(t) a

EJEMPLO: Un punto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal de tal

manera que su posición en el instante t está especificado por: ,30366 23 t-tts s se mide

en pies y t en segundos.

a) ¿Cuándo la velocidad es cero?

b) ¿Cuándo la velocidad es positiva?

c) Cuándo el punto se está moviendo hacia la izquierda (es decir, en la dirección

negativa).

d) ¿Cuando la aceleración es positiva?

SOLUCIÓN:

a) .62336123 2 ttttdt

dsv Así 0v en 2t y .6t

b) ,0v cuando .062 tt La soluciones 2t o ,t 6 en notación de

intervalo .62 ,,

c) El punto está moviéndose hacia la izquierda cuando ,0v esto es cuando

.062 tt Esta desigualdad tiene como solución el intervalo .62,

d) .ttdt

dva 46246 Por tanto 0a cuando .t 4



EJERCICIOS DE APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FÍSICA

1. Un objeto que se lanza directamente hacia arriba está a una altura 2564816 2 tts

pies después de t segundos:

a. ¿Cuál es su velocidad inicial?

b. ¿Cuándo alcanza su altura máxima?

c. ¿Cuál es su altura máxima?

d. ¿Cuándo llega al suelo?

e. ¿Con qué rapidez llega al suelo?

2. Un objeto lanzado directamente hacia arriba desde el nivel del piso con una velocidad

de 48 pies por segundos, está aproximadamente a tts 4816 2 pies de altura al final

de t segundos.

a. ¿Cuál es la altura máxima?

b. Al final de un segundo, ¿Qué tan rápido se está moviendo el objeto, y en qué

dirección?

c. ¿Cuánto tarda en regresar a su posición original?

3. Un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad

inicial de v0 pies por segundos. Su altura a los t segundos está dada por 2

0 16ttvs

pies. ¿Cuál debe ser su velocidad inicial para que el proyectil alcance una altura

máxima de 1 milla?

4. Se lanza verticalmente una pelota hacia arriba con una velocidad inicial v0=30 metros

por segundo. si la ecuación del movimiento es 2

2

0

gttvts con ;10

2s

mg hallar.

a. La velocidad de la pelota en un tiempo t .

b. La velocidad en t = 1 s, t =3s.

c. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.

d. La altura máxima de la pelota.

e. La velocidad que lleva la pelota al llegar de nuevo al suelo.

ANEXO I. APLICACIÓN DE LA DERIVADA AL CÁLCULO DE LÍMITES

Los límites de formas indeterminadas que no pueden resolverse mediante la

factorización, generalmente se resuelven por la conocida en la matemática como Regla de

L´Hôpital, que contiene en su estructura el concepto de derivada.

TEOREMA DE L´HÔPITAL

Supongamos que las funciones f y g están definidas y son derivables en cierto

entorno de a . Si

)(lim xfax

0)(lim

xgax

, y 0)( xg en cierto entorno de a , entonces, si

existe )(

)(lim

xg

xf

ax

(finito o infinito), existe también

)(

)(lim

xg

xf

ax, y se cumple que:



)(

)(lim

xg

xf

ax=

)(

)(lim

xg

xf

ax

.

La Regla de L´Hôpital también es válida en el caso que las funciones f y g no están

definidas en a , pero

)(lim xfax

0 y 0)(lim

xgax

.

Si 0)()( agaf , y )(xf y )(xg satisfacen las condiciones puestas sobre las

funciones f y g , podemos aplicar la Regla de L´Hôpital a )(

)(

cg

cf

, y obtenemos:

)(

)(lim

xg

xf

ax

=

)(

)(lim

xg

xf

ax

; aplicar sucesivamente.

EJEMPLO 1: Calcular: ee

xxxx

ln1lim

2

1

SOLUCIÓN:

En este caso estamos ante la indeterminación 0

0, pues

0011)ln1(lim 22

1

xx

x, y 0)(lim 1

1

eeeex

x

Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:

ee

xxxx

ln1lim

2

1

)(

)ln1(lim

2

1 ee

xxxx ee

xx

xx

3

12

lim1

CÁLCULO DE LÍMITES DE LA FORMA

El teorema anterior es válido si se sustituye la exigencia de

)(lim xfax

)(lim xgax

= 0

por

)(lim xfax

)(lim xgax

= , y se llama, por extensión, Regla de L´Hôpital.



EJEMPLO 2: Hallar:

x

x

x 1

lnlim

0

SOLUCIÓN:

En este caso estamos ante la indeterminación

, pues,

x

xlnlim

0, y

xx

1lim

0.

Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:

x

x

x1

lnlim

0= 0lim

1

1

lim2

0

2

0

x

x

x

xxx

Existen otras formas indeterminadas, 0. e , que pueden transformarse en las

formas 0

0 ó

, y aplicar la Regla de L´Hôpital.

Si queremos calcular )().(lim xgxfax

y, 0)(lim

xfax

y

)(lim xgax

, entonces,

)().( xgxf =

)(

1

)(

xg

xf , y por tanto, )().(lim xgxf

ax=

)(

1

)(lim

xg

xf

ax, y ahora es de la forma

0

0.

Además, )().( xgxf =

)(

1

)(

xf

xg , y es un límite de la forma

.

En dependencia del límite que se esté calculando, se hará una u otra de las

transformaciones anteriores, siguiendo el criterio que la aplicación de la Regla de L´Hôpital

simplifique el proceso de determinación del límite.

EJEMPLO 3: Calcular: 22

0lnlim xx

x



SOLUCIÓN:

Observemos que 0lim 2

0

x

x, y

2

0lnlim x

xLuego, estamos ante una

indeterminación del tipo 0. . Transformando,

22

0lnlim xx

x=

2

2

0 1

lnlim

x

x

x

2

2

01

lnlim

x

x

x

4

2

0 2

2

lim

x

xx

x

x0lim 2

0

x

x

Observe que 22

0lnlim xx

x=

2

2

0

ln

1lim

x

x

x, pero esta transformación es menos

recomendable en este caso en particular, pues la derivada de 2ln

1

x es mucho más compleja

que, simplemente, la derivada de 2ln x .

EJERCICIOS:

CALCULAR SOLUCIÓN (JUSTIFICA LOS PASOS)

1. 30

limx

xsenx

x

20 3

cos1lim

x

x

x 6

1lim

6

1

6

)(lim

00

x

xsen

x

xsen

xx

2. 34

23lim

23

23

1

xx

xx

x

5

3

83

63

83

63lim

2

2

1

xx

xx

x

3.

x

xsen

x 1

4

lim

4 41.4)4

(coslim xx

4. xx e

x2

lim

xx e

x2lim 0

2lim

xx e

5.

xxx ln

1

1

1lim

1

xx

xx

x ln)1(

1lnlim

1=

xxx

xx 1

).1(ln.1

11

lim1

=

2

2

1 )1(1

1

lim

x

xx

x

xx

2

2

1 1

1

lim

x

xx

x 2

1

1

1lim

1

xx.



TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DEL VALOR MEDIO

TEOREMA DE ROLLE: Sea f una función de variable real que satisface las

siguientes propiedades:

i. f es continua en el intervalo cerrado .,ba

ii. f es derivable en el intervalo abierto .,ba

iii. .0 bfaf

Entonces, existe por lo menos un punto bac , tal que: .0 cf

El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuación, es una

generalización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor medio

para derivadas.

TEOREMA DEL VALOR MEDIO: Sea f una función de variable real que satisface las

siguientes propiedades:

i. f es continua en el intervalo cerrado .,ba

ii. f es derivable en el intervalo abierto .,ba

Entonces, existe por lo menos un punto bac , tal que:

.ab

afbfcf

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Larson, Hostetler, Edwards: Cálculo. Volumen 1 y 2. Editorial McGraw-Hill. 6ta. Ed.

Leithold. L: El Cálculo. Oxford University Press. 7ma. Ed.

Purcell, E: Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice-Hall-Hispanoamericana.

8va. Ed.

Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.

Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.

Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal,

con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial

Reverté.

"Si he llegado a ver más lejos que otros, es porque me subí a hombros de gigantes"

Sir. Isaac Newton

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