Tema ii calculo de raices de polinomios y numeros complejos uney

Click here to load reader

  • date post

    31-Jul-2015
  • Category

    Education

  • view

    68
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of Tema ii calculo de raices de polinomios y numeros complejos uney

1. PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIN INSTRUMENTACIN Y CONTROL PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO INICIAL MATEMTICA TEMA II CLCULO DE RACES DE POLINOMIOS Y NMEROS COMPLEJOS ANTECEDENTES HISTRICOS Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608), escribi que una ecuacin polinmica de grado n (con coeficientes reales) puede tener n soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), asever que una ecuacin de grado n tiene n soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser nmeros reales. Ms an, l agrega que su aseveracin es vlida "salvo que la ecuacin sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qu se est refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveracin siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuacin: .344 xx A pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raz 1 tiene multiplicidad 2): 21,1,1 i y .21 i Leibniz en 1702 y ms tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario. Como se mencionar de nuevo ms adelante, se sigue del teorema fundamental del lgebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningn polinomio de tipo 44 ax (con a real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmacin concerniente al polinomio ,4424 234 xxxx , pero recibi una carta de Euler en 1742 en el que le deca que su polinomio pasaba a ser igual a: 712712 22 xxxx Con igual a raz cuadrada de .724 Igualmente mencion que: 222244 22 axaxaxaxax El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su demostracin tena un fallo, en tanto que asuma implcitamente como cierto un teorema 2. TEMA II: CLCULO DE RACES DE POLINOMIOS Y NMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMTICA (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sera demostrado hasta un siglo ms tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema. A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand public una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del lgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta ltima otra versin de su demostracin original. El primer libro de texto que contiene la demostracin de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'cole Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crdito. Ninguna de las pruebas mencionadas ms arriba son constructivas. Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del lgebra. En 1891 publica una demostracin de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que luego sera simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981. CLCULO DE RACES DE POLINOMIOS DESPEJE DIRECTO: Esto se basa en la transposicin de trminos en una ecuacin. Comnmente es denominado despeje de manera fsica. Y se cambian al cambiar de los lados del miembro de una ecuacin las operaciones bsicas ( , ) por sus respectivas opuesta e inversa multiplicativa ( , ), adems la potenciacin y su inversa la radicacin y viceversa. En general existen ms operaciones o funciones inversas para cada una de las funciones definidas, lo cual va a depender del dominio de definicin. Vea los ejemplos: 399 125553223 16445995 4822424 2 222 2 222 2 4 4 16 16431941934 22 33 3333 22 xxx xxxxx xxxxx xx xxx xxxxx 3. TEMA II: CLCULO DE RACES DE POLINOMIOS Y NMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 3 MATEMTICA FACTOR COMN DE UN MONOMIO: Veamos geomtricamente la Figura: Figura: Acepcin geomtrica de la Factorizacin sacando Factor Comn, la cual tiene relacin con la propiedad distributiva del producto respecto a la adicin asociada algebraicamente. De lo geomtrico obtenemos que: .baccbca Ejemplos de Sacar Factor comn: 1. Buscamos el factor comn de a2 y .4 Como el factor comn de a2 y 4 es ,2 procedemos a factorizarlo: 2242 22242 aa aa Notemos que en cierto sentido aqu existe una descomposicin de los factores de cada sumando: aa a 2 1 2 2 2 1 2 4 Luego, el factor comn es el 2 y los trminos que van en el parntesis y que llevan el signo de la suma son una a y un 2 en ese mismo orden. 2. Buscamos el factor comn de 32 543 a+aa + . Como el factor comn de ,3a 2 4a y 3 5a es ,a procedemos a factorizarlo. 4. TEMA II: CLCULO DE RACES DE POLINOMIOS Y NMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 4 MATEMTICA .543543 543543 232 232 aa+aaaa + aaaaa +aaa + Notemos que en cierto sentido aqu existe una descomposicin de los factores de cada sumando: aa a 3 1 3 a a a a a a 2 2 1 2 4 2 2 2 a a a a a a a 5 1 5 2 3 3 Luego, el factor comn es la a y los trminos que van en el parntesis y que llevan el signo de la suma o de la resta son el producto de los restantes que son un ,3 a4 y 2 5a en ese mismo orden. RESOLVENTE CUADRTICO En matemticas, una funcin cuadrtica o funcin de segundo grado es una funcin polinmica definida como: .2 cbxaxy Una funcin cuadrtica es aquella que puede escribirse de la forma: .2 cbxaxxf Donde ba, y c c son nmeros reales cualquiera y a distinto de cero ya que si es cero nunca ser una parbola. Este tipo de funciones tiene como caracterstica que cuando 0a el vrtice de la parbola se encuentra en la parte inferior de la misma y cuando 0a el vrtice se encuentra en la parte superior. La representacin grfica en el plano cartesiano de una funcin cuadrtica es una parbola, cuyo eje de simetra es paralelo al eje de las ordenadas. La parbola se abrir hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadrticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la cada libre o el tiro parablico. 5. TEMA II: CLCULO DE RACES DE POLINOMIOS Y NMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 5 MATEMTICA Por ejemplo, sea la funcin ,822 xxy verificar que los puntos de cortes con el eje son: 21 x y ,42 x y con el eje y es el punto ,8y de acuerdo con la grafica de abajo: Grficas de la funcin cuadrtica. RACES DE LA FUNCIN CUADRTICA Las races (o ceros) de una funcin cuadrtica, como en toda funcin, son los valores de ,x para los cuales .0xf Por tratarse de un polinomio de grado 2, habr a lo sumo 2 races, denotadas habitualmente como: 1x y 2x dependiendo del valor del discriminante definido como .42 acb Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo: a b x 2 1 y a b x 2 2 Una solucin real doble si el discriminante es cero: a b xx 2 21 Dos nmeros complejos conjugados si el discriminante es negativo: a i a b x 22 1 y a i a b x 22 2 6. TEMA II: CLCULO DE RACES DE POLINOMIOS Y NMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 6 MATEMTICA REPRESENTACIN ANALTICA DE LA FUNCIN CUADRTICA Hay tres formas de escribir una funcin cuadrtica, aplicables segn el uso que se le quiera dar a la funcin, un estudio analtico de la funcin o de la ecuacin cuadrtica, una interpretacin o construccin geomtrica de la parbola, etc. FORMA DESARROLLADA La forma desarrollada de una funcin cuadrtica (o forma estndar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como: cbxaxxf 2 con .0a FORMA FACTORIZADA Toda funcin cuadrtica se puede escribir en forma factorizada en funcin de sus races como: .21 xxxxaxf Siendo a el coeficiente principal de la funcin, y 1x y 2x las races de .xf En el caso de que el discriminante sea igual a 0 entonces 21 xx por lo que la factorizacin adquiere la forma: 2 1xxaxf En este caso a 1x se la denomina raz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el discriminante es negativo, las soluciones son complejas. RUFFINI: DIVISIN POR x Y ESQUEMA DE RUFFINI Es el caso en particular de que , xxD la divisin queda planteada en los siguientes trminos: x+ RxQx=xP Demostracin: Ejercicio. 7. TEMA II: CLCULO DE RACES DE POLINOMIOS Y NMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 7 MATEMTICA Esta regla se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga o adopte las siguientes formas: ;bx ;bax y .baxn Cuando su forma general es: bx se opera as: 1. Se escriben los coeficientes del dividendo en lnea horizontal; 2. Se escribe el trmino independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo del coeficiente del primer trmino del dividendo; 3. Se divide teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo. 4. Para obtener el cociente, se separa la ltima columna que viene a ser el resto. Ejemplo: Obtener el cociente y el resto en la divisin: 1 232 45 x xxx Solucin: Escribimos los coeficientes en el cuadro (completamos con ceros los trminos que faltan): Entonces: xxxxxQ 2234 (cociente obtenido) y 0xR (residuo obtenido) 6520entonces,0Si 23 xxxy Por divisin sinttica: Los factores de 6 son: .6,3,2,1 Usemos Ruffini segn el Anexo B. Por lo tanto, f tiene un factor de la forma x-1. )6()1(652)( 223 xxxxxxxf Cocientes del dividendo 1 2 0 0 3 2 - 1 -1 -1 1 -1 - 2 1 1 -1 1 2 0 Coeficiente del cociente Resto Termino Independiente del divisor con signo cambiado. 1 -2 -5 6 1 1 1 -1 -1 -6 -6 0 8. TEMA II: CLCULO DE RACES DE POLINOMIOS Y NMEROS COMPLEJOS PROFESOR: JULIO C BARRETO G 8 MATEMTICA El factor 62 xx , puede descomponerse en: )2()3(62 xxxx Finalmente: 0)2()3()1(,decires,0652entonces,0 23 xxxxxxySi Los valores de x por despeje directo son: 202 303 101 xx xx x