Tema ii calculo de raices de polinomios y numeros complejos uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO C BARRETO G TRAYECTO INICIAL MATEMÁTICA

TEMA II

CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Pedro Rothe (Petrus Roth), en su libro Arithmetica Philosophica (publicado en 1608),

escribió que una ecuación polinómica de grado n (con

coeficientes reales) puede tener n soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention

nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de

grado n tiene n soluciones, pero no menciona que dichas soluciones deban ser números

reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que la ecuación sea

incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea

igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace

evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que

la ecuación: .344 xx A pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones

(la raíz 1 tiene multiplicidad 2): 21,1,1 i y .21 i Leibniz en 1702 y más

tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario.

Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra

que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir

como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De

todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo44 ax (con a real y

distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma

afirmación concerniente al polinomio ,4424 234 xxxx , pero recibió una carta

de Euler en 1742 en el que le decía que su polinomio pasaba a ser igual a:

712712 22 xxxx

Con igual a raíz cuadrada de .724 Igualmente mencionó que:

222244 22 axaxaxaxax

El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su

demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema

TEMA II: CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS Y NÚMEROS COMPLEJOS

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA

(actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo

más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772)

y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema. A finales del siglo XVIII, se

presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas

igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el

teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes

complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última

otra versión de su demostración original. El primer libro de texto que contiene la

demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de Course d'anlyse de l'École

Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el

texto no se le da crédito. Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas.

Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de

encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica

una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este

estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.

CÁLCULO DE RAÍCES DE POLINOMIOS

DESPEJE DIRECTO: Esto se basa en la transposición de términos en una ecuación.

Comúnmente es denominado despeje de manera física. Y se cambian al cambiar de los

lados del miembro de una ecuación las operaciones básicas ( , ) por sus respectivas

opuesta e inversa multiplicativa ( , ), además la potenciación y su inversa la radicación y

viceversa. En general existen más operaciones o funciones inversas para cada una de las

funciones definidas, lo cual va a depender del dominio de definición. Vea los ejemplos:

399

125553223

16445995

48224242

2222

2222

44

1616431941934

22

333333

22

xxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx



FACTOR COMÚN DE UN MONOMIO: Veamos geométricamente la Figura:

Figura: Acepción geométrica de la Factorización sacando Factor Común, la cual tiene relación

con la propiedad distributiva del producto respecto a la adición asociada algebraicamente.

De lo geométrico obtenemos que:

.baccbca

Ejemplos de Sacar Factor común:

1. Buscamos el factor común de a2 y .4 Como el factor común de a2 y 4 es ,2

procedemos a factorizarlo:

2242

22242

aa

aa

Notemos que en cierto sentido aquí existe una descomposición de los factores de cada

sumando:

aa

a 2

1

2

2

2

1

2

4

Luego, el factor común es el 2 y los términos que van en el paréntesis y que llevan el

signo de la suma son una a y un 2 en ese mismo orden.

2. Buscamos el factor común de 32 543 a + aa + . Como el factor común de

,3a 24a y 35a es ,a procedemos a factorizarlo.



.543 543

543543

232

232

a a + aa aa +

aa a aa + a aa +

Notemos que en cierto sentido aquí existe una descomposición de los factores de cada

sumando:

aa

a 3

1

3

a

a

a

a

a

a

2

2

1

2

4

2

2

2

a

a

a

a

a

a

a 5

1

5

2

3

3

Luego, el factor común es la a y los términos que van en el paréntesis y que llevan el

signo de la suma o de la resta son el producto de los restantes que son un ,3 a4 y 25a en

ese mismo orden.

RESOLVENTE CUADRÁTICO

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función

polinómica definida como: .2 cbxaxy Una función cuadrática es aquella que puede

escribirse de la forma: .2 cbxaxxf Donde ba, y c c son números reales

cualquiera y a distinto de cero ya que si es cero nunca será una parábola.

Este tipo de funciones tiene como característica que cuando 0a el vértice de

la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma y cuando 0a el vértice se

encuentra en la parte superior. La representación gráfica en el plano cartesiano de una

función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas.

La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso

contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos

muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.



Por ejemplo, sea la función ,822 xxy verificar que los puntos de cortes con el eje

son: 21 x y ,42 x y con el eje y es el punto ,8y de acuerdo con la grafica de

abajo:

Gráficas de la función cuadrática.

RAÍCES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de ,x

para los cuales .0xf Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2

raíces, denotadas habitualmente como: 1x y 2x dependiendo del valor

del discriminante definido como .42 acb

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

a

bx

21

y

a

bx

22

Una solución real doble si el discriminante es cero:

a

bxx

221

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:

ai

a

bx

221

y

ai

a

bx

222



REPRESENTACIÓN ANALÍTICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Hay tres formas de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera

dar a la función, un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una

interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc.

FORMA DESARROLLADA

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del

polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

cbxaxxf 2con .0a

FORMA FACTORIZADA

Toda función cuadrática se puede escribir en forma factorizada en función de sus raíces

como: .21 xxxxaxf

Siendo a el coeficiente principal de la función, y 1x y 2x las raíces de .xf En el caso

de que el discriminante sea igual a 0 entonces 21 xx por lo que la factorización

adquiere la forma:

21xxaxf

En este caso a 1x se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2. Si el

discriminante es negativo, las soluciones son complejas.

RUFFINI: DIVISIÓN POR x Y ESQUEMA DE RUFFINI

Es el caso en particular de que , xxD la división queda planteada en los

siguientes términos: x+ Rx Qx= xP

Demostración: Ejercicio.



Esta regla se aplica en general para dividir un P(x) entre un divisor que tenga o adopte las

siguientes formas: ;bx ;bax y .baxn

Cuando su forma general es: bx se opera así:

1. Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;

2. Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un

lugar a la izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo;

3. Se divide teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al

primer coeficiente del dividendo.

4. Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.

Ejemplo: Obtener el cociente y el resto en la división: 1

232 45

x

xxx

Solución: Escribimos los coeficientes en el cuadro (completamos con ceros los términos

que faltan):

Entonces: x x x xxQ 2234 (cociente obtenido) y 0xR (residuo

obtenido)

6520 entonces ,0Si 23 xxxy

Por división sintética: Los factores de 6 son: .6,3,2,1 Usemos Ruffini según el

Anexo B.

Por lo tanto, f tiene un factor de la forma x-1.

)6()1(652)( 223 xxxxxxxf

Cocientes del dividendo

1 2 0 0 3 2

- 1 -1 -1 1 -1 - 2

1 1 -1 1 2 0

Coeficiente del cociente Resto

Termino

Independiente

del divisor con

signo

cambiado.

1 -2 -5 6

1 1

1

-1

-1

-6

-6

0



El factor 62 xx , puede descomponerse en:

)2()3(62 xxxx

Finalmente: 0)2()3()1(,decir es ,0652 entonces ,0 23 xxxxxxySi

Los valores de x por despeje directo son:

202

303

101

xx

xx

xx

La curva corta al eje x en los puntos: (-2, 0), (1, 0) y (3, 0)

Ejercicio 1: Determinar cociente y resto de dividir:

93522 234 x + x+ xxxP entre .2 xxD

5323 234 x + x+ xxxP entre .1 xxD

1432 23 x + x+ xxP entre .2 xxD

43 24 x+ xxP entre .1 xxD

Verificar las operaciones anteriores.

Ejercicio 2:

Dado ,322 234 ax + x+ xxxP determinar “a” para que al dividirlo entre

2 xxD dé por resto 5

Dado ,53 23 ax + bxxxP determinar “a” y “b”, sabiendo que es divisible

entre 1x y al dividirlo por 2x da por resto 9.

Observaciones:

a. Cuando su forma general es: .bax

1. Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor, es

decir :

a

bxabax

2. Se divide entre ,

a

bx como en el primer caso.



3. Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del

divisor.

4. El resto obtenido no sufre alteración.

b. Cuando el divisor es de la forma: .baxn En este caso para que la división se

pueda efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del

exponente de la variable del divisor

NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el

mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números

complejos se designa como ,C siendo R el conjunto de los reales en donde se cumple que

.CR Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia

de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número

real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica

con la letra i ), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de

ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones

diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además

los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de

la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en

la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas

electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como

puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los

imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es

el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable

compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n

soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números

complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.



UNIDAD IMAGINARIA

El número imaginario más conocido es .1 Euler lo representó por el símbolo i que aún

se usa en la literatura. Así, la unidad imaginaria es el número 1 y se designa por la

letra .i Esto es: .1 i O sea que i será aquella cantidad que elevada al cuadrado

resulta .1 Claramente: .112

2 iii Las leyes formales de operación para i

son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de los Signos, se tiene:

.==ii=iiii

i;× i =i =i = iii

; = i = ii

= i;--i

= -i;-i

= i;+i

111

1

1

1

1

1

22

2

2

Con lo anterior se puede construir una tabla de las potencias de la unidad imaginaria:

1i i

3i i

5i i

7i i

2i 1

4i 1

6i 1

8i 1

Esta tabla indica que las potencias impares de i son iguales a i o i y que las potencias

pares de son iguales a 1 o .1 Se cumple además que: .10 i

Nota: Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una

determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la

potencia equivalente a la dada. Debemos destacar que el “sobrante” o “resto” que oscilará

entre 0 y 3 (lo cual es lo que nos importa para realizar los cálculos como vemos en el

ejemplo de abajo).

Ejemplos: Hallar .22i

Solución: Como haciendo la división, tenemos que: ,52

422 entonces:

11111525422 iii



Ejercicio: Demostrar que: ii 27

RAÍZ CUADRADA DE CUALQUIER NÚMERO NEGATIVO

Podemos hallar la raíz cuadrada de cualquier número negativo como el siguiente:

.214144 i

Ejercicio: Demostrar que:

a) i 39

b) i2

10

2

5

Podemos definir a los números imaginarios de forma general:

NÚMEROS IMAGINARIOS

Un número imaginario se denota por ,bi donde:

b es un número real

i es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando negativo.

Ejemplo: Hallar las raíces de la ecuación 092 = + x

Solución: Tenemos que: 9909 22 x =x =+x

Es decir: ixxx 319199 111

Y ixxx 319199 111

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

Al número a+bi z le llamamos número complejo en forma binómica. En donde:



El número a es la parte real del número complejo, y se denotará como .Re az

El número b es la parte imaginaria del número complejo, denotado como .Im bz

Además:

Si 0 =b el número complejo se reduce a un número real ya que ,0 aia+ con

.0Im z

Si 0 =a el número complejo se reduce a bi+bi ,0 y se dice que es un número

imaginario puro, es decir, .0Re z

El conjunto de todos números complejos se designa por .C Se expresa:

RbabiaC ,/

Y tenemos que:

Los números complejos a+bi y bi a se llaman opuestos.

Los números complejos a+bi z y bi az se llaman conjugados.

De lo anterior se concluye que el conjunto de los Números Reales es un subconjunto de los

Números Complejos. Demos así la siguiente definición:

Definición: (Igualdad de Complejos): Dos números complejos 1z y 2z son iguales

siempre que:

21 ReRe zz y .ImIm 21 zz

Ejemplo: Verificar para cuales valores de x e y los números complejos ixz 621 y

yiz 3102 sean iguales.

Solución: Debe cumplirse que las partes reales y complejas de los números deben ser

iguales, es decir:

52

10102

xxx y yyy 2

3

636

PLANO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS O DIAGRAMA DE ARGAND

El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números

complejos. Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de

los polos y los ceros de una función en el plano complejo.



Definición (El Plano Complejo):El plano complejo es un sistema de coordenadas

rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se

representará la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadas se

representará la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO).

NOTAS: En el plano complejo los números imaginarios pueden ser representados como

puntos o como vectores. Además, la suma de números complejos se puede relacionar con

la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse

simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto

de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la

suma de los ángulos de los términos.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real.

El eje Y se llama eje imaginario.

El número complejo a+bi z se representa:

1. Por el punto ba, que se llama

su afijo.

2. Mediante un vector de origen

0,0 y extremo .,ba

Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, .X

Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, .Y

En este sentido, los Números Complejos se pueden expresar de varias formas:

1. FORMA BINÓMICA: Es la manera como se han presentado hasta ahora:

Ejemplos: 321 i; +=z 3

12 i; =z 9

2

13 ; i=z 24 ; =z .105 i=z



2. FORMA CANONICA O DE PAR ORDENADO: Se colocan, entre paréntesis

y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del

complejo en cuestión.

Ejemplos: ;=z 3,21 1,3

12 ;=z

2

1,93 ;=z

;=z 0,24 .10,05=z

Nota: En los ejemplos anteriores que 4z es real y que 5z es imaginario puro.

3. FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR (Será explicada más adelante).

Ejercicio: Representar los números complejos anteriores, tanto en forma binómica como en

forma canónica o como par ordenado.

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Sean a+biz 1 y c+diz 2 dos numero complejos, entonces se pueden realizar las

siguientes operaciones:

1. SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS:

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes reales

y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

ib+d+a+c=dic+a+bi

ib -d+a -c=c+di-bia

Ejemplo: Sean ,251 i+z i+-z 382 y ,243 i-z hallemos .321 zzzz

i+i = -++ - -= i--i +-i+z 77232485243825

Ejercicio: Dados ;531 i+z ;42 iz ;23 iz 0,34 z y .3,04 z Halla

el resultado de: .54321 zzzzzz

2. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del

producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que .12 i



iad+bc+dbac=dica+bizz 21

Ejemplo: Sean i+z 251 y ,322 iz hallemos .21 zzz

1116

415610

223532253225

i - =

i +=

i -+--= i-i+z

Ejercicio: Dados 2,31 z y ,5,22 z halla el valor de .21 zzz

CONJUGADO DE UN COMPLEJO: Llamaremos conjugados a dos complejos

denotados como z y z que tengan sus partes reales idénticas pero sus partes

imaginarias opuestas. Esto será: a+bi z y .biaz

Ejemplos:

En forma binómica: En forma canoníca:

PROPIEDAD DE LOS COMPLEJOS CONJUGADOS:

Al multiplicar dos complejos conjugados, el resultado es un número real positivo.

Ejemplo: Si ,2 iz halla el producto de .zz

Resolución:

522)1(422. iiizz

Por lo tanto: 5. zz

Vamos a probar ahora la propiedad para cualquier par de complejos conjugados (Fórmula):

Si tenemos que a+bi z y ,biaz entonces:

z z

1,3 1,3

5, 5,

3,0 3,0

0,e 0,e

0,0 0,0

z z

i 53 i 53

i 2 i 2

i3 i3

8 8



iabbababiabiazz .).()(. 22

ibababazz ... 22

ibazz 0. 22 22. bazz (Fórmula)

(Al estudiante se le deja verificar la propiedad resolviendo el ejemplo anterior).

3. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por

el conjugado de este.

idc

adbc+

dc

bdac=

dic

a+bi

2222

Ejemplo: Sean i+z 231 y ,212 iz calcule .2

1

z

zz

i+

i+

i+

i+=

i

i+z

5

8

5

1

5

8

5

43

41

62

41

43

21

2312

21

2213

21

23

2222

Nota: Para dividir números complejos multiplicamos el numerador y el denominador por el

conjugado del denominador. Realice la demostración de esta fórmula.

Ejercicios: Halla el valor de:

ii

z

2

23

i

iz

65

827



NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA

MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el

origen de coordenadas y su afijo. Se designa por .z Es dado por: .22 bazr

Ejemplo: Halla el módulo de .43 iz

Solución: De la fórmula tenemos que:

251694)3( 22 z

Por lo tanto: 5z

ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se

designa por .zArg El argumento de un complejo puede tomar infinitos valores que se

diferencian entre sí por un número enteros de vueltas:

.con ,2 ZkkzArg Llamaremos argumento principal al que está

comprendido entre 2,0 , o sea una vuelta; y se calcula usando cualquier función

trigonométrica como por ejemplo:

,r

barcSen

r

bSen ,

r

aarcCos

r

aCos .

a

barcTg

a

bTg

Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de a

b prescindiendo de los signos,

para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:



IV cuadrante elen ,360

0y 0 si,270

III cuadrante elen ,180

0y 0 si,180

II cuadrante elen ,180

0y 0 si,90

I cuadrante elen ,

0y 0 si,0

0

0

0

0

0

0

0

ba

ba

ba

ab

a

barctg

Ejemplos: Halla el argumento de los siguientes complejos: iz .221 y

iz .572

Solución:

Argumento de z1: 12

2

arcTgTg

Por lo tanto: )º360(2º135:24

3kbienok

Argumento de z2: 714286,07

5arcTgTg

Por lo tanto: )º360(2º5376,215:28809,1 kbienokrad

FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO:

En la figura se tiene que:

Senbdondedeb

Sen . ;



Y también:

Cosadondedea

Cos . .

Ahora, como ,bz=a+i sustituyendo obtenemos:

iSenCosz ... ,

Lo cual organizándolo nos queda: SeniCosz .. , y ahora sacando el factor

común resulta: SeniCosz . , y por último llamando a la expresión

SeniCos . = Cis se tiene la “Forma Trigonométrica o Polar de Z”:

Cisz .

Ejemplo 1: Convierta de la forma polar a la forma binómica: 120º2z

Solución: Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a

la forma trigonométrica. Tomando en cuenta que: .isenααrrz α cos Así,

00

00

1202120cos2z

120120cos2

isen

isenz

De aquí que la parte real es dada por: .12

12120cos2 0

a

Y la parte imaginaria es: .32

321202 0

senb

Por tanto, el número complejo en forma binómica es dado por: i31z

Nota: Reales e imaginarios puros de módulo unidad:

z =10º = 1 z =1180º = −1 z =190º = i z =1270º = −i

Ejemplo 2: Pasar a la forma polar: i31z

Solución: Notemos que su modulo y argumento viene dados por:

.2z4z31z31z22

.601

3arcTg 0



Y por tanto nos queda que:

60º2z

UNA FÓRMULA MARAVILLOSA

Relaciona los números imaginarios (i = raíz cuadrada de (–1)), con las potencias (número

e y logaritmos neperianos) y con las funciones trigonométricas. Permite recordar, sin

esfuerzo, fórmulas trigonométricas como la del seno o coseno de una suma de ángulos, del

ángulo doble o mitad, y calcular, con facilidad, derivadas de funciones trigonométricas.

Esta es la Fórmula de Euler: isene i cos

Y cuando , tenemos que: 1ie o bien 01ie

Para finalizar, se enunciará la opinión que emitió alrededor de la cuarta década del siglo

XX el eminente científico John von Neumann acerca de los números complejos: “Hace 150

años, uno de los problemas más importantes de la ciencia aplicada -de la que dependía el

desarrollo de la industria, comercio y gobierno- era el problema de salvar vidas en el mar.

Las estadísticas sobre esas pérdidas eran terribles. El dinero y los esfuerzos empleados en

resolver el problema eran también terríficos, los matemáticos desarrollaban una

herramienta que salvaría más vidas que las que esperaba salvar el grupo de excéntricos

inventores. Esa herramienta se llegó a conocer como la teoría de Funciones de Variable

Compleja. Entre las muchas aplicaciones de esta noción puramente matemática, una de las

más fructíferas es la Teoría de la Comunicación por Radio.”

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A.

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Tema ii calculo de raices de polinomios y numeros complejos uney

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