Notas de La Unidad I (Numeros Complejos)

Instituto Tecnológico de Tepic Departamento de Ingeniería Industrial

ContenidoLOS NÚMEROS COMPLEJOS ...................................................................................................................2

Aplicaciones ........................................................................................................................................2Un toque de humor .............................................................................................................................2

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos. .......................................................3Forma binómica de un número complejo .................................................................................................4Conjugado de un número complejo ..........................................................................................................4Operaciones con Números Complejos en forma Binómica ......................................................................5

Suma y multiplicación de números complejos .................................................................................5División de números complejos .........................................................................................................6Potencia de un número complejo ......................................................................................................7

Módulo y argumento de un número complejo ..........................................................................................7Ejercicios Propuestos con Números Complejos 1 ....................................................................................9Operaciones de números complejos en su forma trigonométrica Polar ..................................................14

Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica Polar ..................................14División de números complejos en su forma trigonométrica Polar .............................................14Potencia de un número complejo en su forma trigonométrica Polar ..........................................15

Fórmula de Moivre .................................................................................................................................18Anexo A ..................................................................................................................................................19Anexo B ..................................................................................................................................................20Ejercicios con Números Complejos 2 .....................................................................................................21Raíces n-ésimas de un número complejo ................................................................................................22El logaritmo de un número complejo ......................................................................................................27Ejercicios de la Sección 3 .......................................................................................................................28Aplicación ...............................................................................................................................................28Respuestas ...............................................................................................................................................29

Sección 1 ............................................................................................................................................29Sección 2 ............................................................................................................................................29Sección 3 ............................................................................................................................................29

Fuentes de Información: .........................................................................................................................29 ..................................................................................................................................................2Aplicaciones .......................................................................................................................................................................2

humor .......................................2Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos. ..............................................................................................................................................................3

Conjugado de un número complejo ..........................................................................................................4Suma y multiplicación de números complejos .................................................................................5Potencia de un número complejo ......................................................................................................7

Ejercicios Propuestos con Números Complejos 1 ....................................................................................9Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica Polar ..................................14Potencia de un número complejo en su forma trigonométrica Polar ..........................................15

Anexo A ..................................................................................................................................................19Ejercicios con Números Complejos 2 .....................................................................................................21El logaritmo de un número complejo ......................................................................................................27Aplicación ...............................................................................................................................................28

Sección 1 ............................................................................................................................................29Sección 3 ............................................................................................................................................29

LOS NÚMEROS COMPLEJOS ...................................................................................................................2Un toque de humor .............................................................................................................................2

Forma binómica de un número complejo .................................................................................................4Operaciones con Números Complejos en forma Binómica ......................................................................5

División de números complejos .........................................................................................................6Módulo y argumento de un número complejo ..........................................................................................7Operaciones de números complejos en su forma trigonométrica Polar ..................................................14

División de números complejos en su forma trigonométrica Polar .............................................14Fórmula de Moivre .................................................................................................................................18Anexo B ..................................................................................................................................................20Raíces n-ésimas de un número complejo ................................................................................................22

M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Unidad I Números Complejos1


Ejercicios de la Sección 3 .......................................................................................................................27Respuestas ...............................................................................................................................................29

Sección 2 ............................................................................................................................................29Fuentes de Información: .........................................................................................................................29

Aplicaciones ........................................................................................................................................2Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos. .......................................................3Conjugado de un número complejo ..........................................................................................................4

Suma y multiplicación de números complejos .................................................................................5Potencia de un número complejo ......................................................................................................7

Ejercicios Propuestos con Números Complejos 1 ....................................................................................9de números complejos en su forma trigonométrica Polar .......................................................................14

División de números complejos en su forma trigonométrica Polar .............................................14Fórmula de Moivre .................................................................................................................................18Anexo B ..................................................................................................................................................20Raíces n-ésimas de un número complejo ................................................................................................22Ejercicios de la Sección 3 .......................................................................................................................27Respuestas ...............................................................................................................................................29

Sección 2 ............................................................................................................................................29Fuentes de Información: .........................................................................................................................29

ContenidoLOS NÚMEROS COMPLEJOS ...................................................................................................................2Aplicaciones ..................................................................................................................................................2Un toque de humor ......................................................................................................................................21 .....................................................................................................................................................................3Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos. ............................................................32 .....................................................................................................................................................................4Forma binómica de un número complejo ......................................................................................................43 Conjugado de un número complejo ............................................................................................................4Gráfica 3: ..........................................................................................................Opuesto y conjugado .......................................................................................................................................................................54 Operaciones con Números Complejos en forma Binómica ........................................................................54.1 Suma y multiplicación de números complejos ....................................................................................54.2 División de números complejos ............................................................................................................64.3 Potencia de un número complejo .........................................................................................................75 .....................................................................................................................................................................7Módulo y argumento de un número complejo ...............................................................................................76 Ejercicios con Números Complejos ............................................................................................................97 Operaciones ..............................................................................................................................................14de números complejos en su forma trigonométrica Polar ............................................................................147.1 Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica Polar .....................................147.2 División de números complejos en su forma trigonométrica Polar ................................................147.3 Potencia de un número complejo en su forma trigonométrica Polar .............................................158. ..................................................................................................................................................................18Fórmula de Moivre ......................................................................................................................................18Anexo A .......................................................................................................................................................19Anexo B .......................................................................................................................................................20Ejercicios de la Sección 2 ............................................................................................................................219. ..................................................................................................................................................................22Raíces n-ésimas de un número complejo .....................................................................................................2210. El logaritmo de un número complejo ....................................................................................................27Ejercicios de la Sección 3 ............................................................................................................................27Aplicación ....................................................................................................................................................28Respuestas ....................................................................................................................................................29Sección 1 ......................................................................................................................................................29Sección 2 ......................................................................................................................................................29Sección 3 ......................................................................................................................................................29



Fuentes de Información: ..............................................................................................................................29LOS NÚMEROS COMPLEJOS ...................................................................................................................2

Aplicaciones ........................................................................................................................................2Un toque de humor .............................................................................................................................2

1 .................................................................................................................................................................3Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos. .......................................................32 .................................................................................................................................................................4Forma binómica de un número complejo .................................................................................................43 Conjugado de un número complejo .......................................................................................................4

Gráfica 3: Opuesto y conjugado .......................................................................................................54 Operaciones con Números Complejos en forma Binómica ...................................................................5

4.1 Suma y multiplicación de números complejos ...........................................................................54.2 División de números complejos ...................................................................................................64.3 Potencia de un número complejo ................................................................................................7

5 .................................................................................................................................................................7Módulo y argumento de un número complejo ..........................................................................................76 Ejercicios con Números Complejos .......................................................................................................9

7.1 .......................................................................................................................................................14Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica Polar ..................................14

8. ..............................................................................................................................................................18Fórmula de Moivre .................................................................................................................................18Anexo A ..................................................................................................................................................19Anexo B ..................................................................................................................................................20Ejercicios de la Sección 2 .......................................................................................................................219. ..............................................................................................................................................................22Raíces n-ésimas de un número complejo ................................................................................................22

En general, la formula (2) implica que las raíces n-ésimas de z=r(cos θ + i sen θ) se hallaran en un

círculo de radio 1

nr con centro en el origen. Más aún, estarán igualmente espaciados 2π/n radianes

(360o). Por ende, si se puede encontrar una raíz n-ésima de z, las restantes raíces n-ésimas de pueden obtenerse al rotar la primera raíz en incrementos sucesivos de 2π/n radianes. De haber sido esto en el ejemplo anterior podría haber usado el hecho de que la raíz cúbica real de -27 es -3 y entonces rotarla dos veces un ángulo de 2π/n radianes (120o) para obtener las otras dos raíces cúbicas. ...............................................................................................................................................24

........................................................................26

............................................................................................................................................................27

..................................................................................27



10. El logaritmo de un número complejo ...........................................................................................27Ejercicios de la Sección 3 ..................................................................................................................28Aplicación ..........................................................................................................................................28Respuestas ..........................................................................................................................................29Sección 1 ............................................................................................................................................29Sección 2 ............................................................................................................................................29Sección 3 ............................................................................................................................................29Fuentes de Información: .....................................................................................................................29



LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado se analizó el signo del

discriminante y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.

El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 17977, cuando le otorgo a

el nombre de i (de “imaginario”)

AplicacionesLas coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos:

Cálculo de límites dobles : a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método del paso a coordenadas polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable,

r(en concreto r->0 ), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo θ. Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su valor es el obtenido en el límite en polares.

Ecuaciones de curvas : las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de

ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro (0,0) y radio 3 tiene a x2 + y2 =9

como ecuación en coordenadas rectangulares y a r=3 como ecuación en polares.

Forma polar de un número complejo : todo punto del plano con coordenadas rectangulares (x, y)

es la representación gráfica del número complejo z=x + yi (esta forma de representar un número complejo se denomina forma binómica del z). Pasando a polares obtenemos el módulo ( r) y el argumento (θ ) de z y con ello la forma polar de z: z=rθ

Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces n -ésimas.


Motivación . La no existencia, en el cuerpo de los números reales, de la raíz cuadrada de números negativos.


Cálculo de integrales dobles : cuando la región de integración de una integral doble es una circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas polares es una opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la misma.

Navegación marítima : como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar dicha actividad.

Cálculos orbitales : las razones son las mismas que en el caso anterior.

Un toque de humorLas coordenadas polares también sirven para darle un toque de humor matemático a nuestra vida:

¿Qué es un oso polar?Un oso rectangular al que se le ha aplicado un cambio de coordenadas.

1

Sección 1

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos. Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra z al conjunto de

los pares de números reales z= . en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma.

Multiplicación. Los números complejos expresan la suma de un

numeronúmero real a y un numeronúmero imaginario b.

En el número complejo z= llamaremos a la parte real y a la parte imaginaria. Note que la

suma y producto de pares no está definida en .

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad.

Multiplicación por un escalar. dondedónde .

Denotaremos el número complejo con la letra y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil

demostrar que .

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación .

Las soluciones de carecen de sentido porque no es un número real. Para dar validez a estas expresiones surgen los números reales complejos.

Se llama Unidad Imaginaria al nuevo número i=

M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Unidad I Números Complejos

{ a+bi a,b R}.

6


Ejemplo. Dados =2+ i y =-3i, hallar:

a) =2-2i

b) =3-6i

c) =5-8i

Por la definición de número complejo dicha anteriormente, suena razonable representarlo como un punto en un plano cartesiano, lo cual descubrió Argand, quien fue contemporáneo de Gauss y Leibniz quienes hicieron grandes avances en el análisis complejo.

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las y eje imaginario (Im) al eje de las .

Figura 1: Representación del número complejo =a+bi.

Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el

plano el número complejo coincide con el número real . De este modo tenemos

cuando . Los números complejos de la forma son llamados imaginarios puros.

Ejemplo:

A continuación se representan algunos puntos en forma gráfica



Figura 2.

2 Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar :

Para eso escribimos el número real en la forma y aplicamos la definición de multiplicación:

.

Denotaremos el número complejo con la letra y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que .

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación .

Forma binómica de un número complejoSea un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

Pero como y , entonces . En este caso Z= se llama forma binómica o binoomia del número complejo.



3 Conjugado de un número complejoSi es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que pero la parte imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo. Si , entonces y si , entonces .

Ejemplo.

Figura 3: Opuesto y conjugado

A continuación se presentan las propiedades de los conjugados

4 Operaciones con Números Complejos en forma Binómica

4.1 Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica

, puesto que son todos números reales.



Obtener el producto de z1 por z2, así; z1z2=

porque dado que .

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo. Si y , halle y .

Obtener

4.2 División de números complejos

La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación del numerador y del denominador por el conjugado del denominador:Dado que

entonces

Ejemplo. Dados y , halle: (a) y (b) .

(a) Como entonces

(b) Para hallar multiplicamos y dividimos por el conjugado .

Si z≠0, entonces > 0 y z tiene un inverso multiplicativo, denotado mediante 1/z 0 z-1 y dado por

Resolviendo en ejemplo anterior



Ejemplos:Obtener

4.3 Potencia de un número complejo

i 0

= 1, i 1

= i , , i 2

= −1, i 3

= i 2

.i=-1.i= −i, i 4

= i 2

.i 2

=-1. -1=1 1 , i 5

= i 4

.i=1.i= i

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i , se divide el exponente entre 4 , y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

plos mplos



5 Conjugado de un número complejo

Si es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que pero la parte imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo. Si , entonces y si , entonces .

Ejemplo.

Gráfica 2: Opuesto y conjugado

Módulo y argumento de un número complejoSea un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo o magnitud del número

complejo , al número real dado por y lo denotaremos por . El módulo se interpreta como

la distancia al origen del número y también se expresa por r (Gráfica 4a23).

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo , al ángulo comprendido entre el

eje y el radio vector que determina a . El argumento de se denota por , que también se

expresa como θ y se calcula mediante la expresión:

θƟ= , donde . -π < arg z < π



Figura 4a32: Módulo y argumento de un número complejo. Figura 4b: θ=arg (z).

A continuación se presentan diversas formas de comportamiento para θ dados diversos comportamentos de a y de b:



Propiedad:

Demostración:

5.1 División de números complejos

La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación del numerador y del denominadory por el división por el conjugado del denominador:

Dado que

entonces



Ejemplo. Dados y , halle: (a) y (b) .

(a) Como entonces

(b) Para hallar multiplicamos y dividimos por el conjugado .

Si z≠0, entonces > 0 y z tiene un inverso multiplicativo, denotado mediante 1/z 0 z-1 y dado por

Resolviendo en ejemplo anterior

Ejemplos:Obtener

Potencia de un número complejoi 0 = 1 , i 1 = i , i 2 = −1 , i 3 = −i , i 4 = 1



Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i , se divide el exponente entre 4 , y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.Ejemplos:

Raíces complejas de la ecuación de segundo gradoSi el discriminante de la ecuación es negativo, debe sustituirse el signo negativo por y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.

Ejemplo. Resolver la ecuación .

Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:

Se puede ver que el discriminante es lo cual puede escribirse como . Por lo tanto:

Así, las raíces complejas de la ecuación son: y .

6 Ejercicios Propuestos con Números Complejos 1



Ejercicios de la Sección 1Ejercicios de la Sección 1.1) Dados los números complejos y , halle:

(a) , (b) , (c) , (d) , (e) .

2) Muestre que es el elemento neutro para la suma de números complejos.

3) Muestre que es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos.4) Calcule:

(a) , (b) , (c) , (d) , (e) .

5) Calcule:(a) , (b) , (c) , (d) .

6) Dado el número complejo halle el par tal que . Al par se le llama

inverso multiplicativo de . Concluya que el par es único y que el no tiene inverso multiplicativo.

7) Verifique que .8) Verifique que y son conjugados.9) Calcule:

(a) , (b) .

10) Resuelva la ecuación .

11) Halle tal que .

12) Calcule y represente en el plano complejo los números , tales que:

(a) , (b) .

13) Calcule y represente en el plano complejo los números tales que:

(a) , (b) , (c) .

14) Resuelva la ecuación cuadrática .

15) Resuelva la ecuación cuadrática .

16) Resuelva la ecuación cuadrática .17) 18) 19) Resuelva la ecuación .

20) Resuelva la ecuación .



7.

Sección 2Forma trigonométrica o polar de un número complejo

La forma trigonométrica o Polar de un número complejo se establece observando el triángulo amarillo de la Figura 354:



Figura 5: Forma Trigonométrica o Polar de un número complejo

Gráfica 34: Forma trigonométrica de un número complejo.

En este caso se tiene que y que .

Luego:

Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica, todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

Comportamiento de las funciones trigonométricas Seno, Coseno y Tangente en el plano cartesiano


http://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorario

http://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorario


Tabla con valores trigonométricos para los ángulos más comunes (α = θ)

Ejemplo: Obtenga el argumento de los siguientes números complejos:



Ejemplo:Escriba los siguientes números complejos en forma polar usando sus argumentos principales.

Como se muestra en la figura 6.

Como se muestra en la figura 6.



Figura 6

Y se muestra en el aAnexo A más adelante qué , como cos(-θ)=cosθ y sen(-θ)= -senθ, también se tiene

La anterior formula se denomina Identidad de Euler. Sí se utiliza la identidad de Euler y las formulasfórmulas de x e y en función de θ, se tienePor lo tanto:

Por ejemplo

Ésta es la llamada forma T trigonométrica o polar del número complejo, la cual está en términos del módulo y el argumento. Se denota comúnmente por . Así, el número complejo z=a+bi en su forma Polar o forma Exponencial se puede escribir de la siguiente manera:

z = (r)θ = rei θ

Esta expresión es la llamada forma exponencial o Polar del número complejo. Note que la forma exponencial es equivalente a la trigonométrica pues dependen de los mismos elementos: módulo y argumento del número complejo . Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multiplicación, división y potenciación o raíces n-ésimas empleando las leyes del álgebra.

Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de .

Hallemos y .

Note que está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:



.

Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de .

Hallemos y .

Note que está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:

Ejemplo: Represente en forma binómica la siguiente representación polar

a) e i = cos+ i sen = -1 b) 3ei /2 = 3(cos[ / 2] + i sen[ / 2]) = 3i

2ei /6 = 2(cos[ / 6] + i sen[ / 6]) = 3 + i

Product

j

a la polar o trigonométrica (α = θ):

z = 260º = 2(cos 60º + i sen 60º)

z = 2120º

=2(cos 120º + i sen 120º)

z = 2240º =2(cos 240º + i sen 240º)

z = 2300º

=2(cos 300º + i sen 300º)

z = 2

z = 20º

=2(cos 0º + i sen 0º)

z = −2

z = 2180º

=2(cos 180º + i sen 180º)



z = 2i

z = 290º

=2(cos 90º + i sen 90º)

z = −2i

z = 2270º

=2(cos 270º + i sen 270º)

Pasar de la forma trigonométrica o polar a la forma binómica:

z = 2120º

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica

rαθ = r (cos θα + i sen θ α)

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

27.1 Operaciones

Multiplicación de nOperaciones de números complejos en su forma trigonométrica Polar

7.1 Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica Polar

Sean y , entonces . En otros términos:

Demostración:

Para su mejor comprensión ver Anexo B.



Por lo tanto, laLa multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.Sean y

Entonces: .

La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:Su módulo es el producto de los módulos. Su argumento es la suma de los argumentos.

Como . En forma trigonométrica tenemos:

Demostración:

Para su mejor comprensión ver Anexo B.

Ejemplo: Producto645° · 315° = (6 . 3)45

o +150o = 1860°

7.2 División de números complejos en su forma trigonométrica Polar

Por lo tanto, lLa división de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al cociente de sus módulos y cuyo argumento es igual a la resta de los argumentos.

Entonces:

La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:Su módulo es el cociente de los módulos. Su argumento es la diferencia de los argumentos.

Ejemplo: Cociente

645° / 315° = 230°



7.3 Potencia de un número complejo en su forma trigonométrica Polar

La potencia de un número complejo es su forma trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo modulo es el modulo es igual modulo elevado a la potencia y cuyo argumento es igual a la potencia por el argumento.

Ejemplo: Potencia

Ejemplos:

Visto de otra manera:

Se obtiene

Que es la forma polar de un número complejo con valor absoluto r1r2 y argumento θ1 + θ2 que es la forma polar de un número complejo con valor absoluto r1r2 y argumento 1 + θ2. Esto demuestra que



La fórmula (1) dice que para multiplicar dos números complejos, se multiplican sus valores absolutos y se suman sus argumentos. Vea la figura 7.

Figura 7

De igual modo, al usar las identidades trigonométricas de resta para seno y coseno, es posible demostrar que

Por tanto

Y se ve que para dividir dos número complejos se dividen sus valores absolutos y se restan sus argumentos.Como caso especial del último resultados se obtiene una fórmula para el rescíproco de un número complejo en forma polar. Al hacer z1=1 (y por lo tanto θ1=0) y z2=z ( y por lo tanto θ2=θ), se obtiene lo siguiente

Ver figura 8



Figura 8

Ejemplo:

Por lo tanto, la multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.

Esto implica que

Por lo tanto, se tiene un método para encontrar el seno y el coseno de un ángulo como π/12, que no es un ángulo especial, sino que puede obtenerse como una suma o diferencia de ángulo especiales.

Sean y . Entonces: y

Ejemplo: Sea y . Entonces y .

Las últimas relaciones nos dan las igualdades siguientes entre las diversas formas de escribir un número complejo Z:



Ejemplo. Sea y .

Entonces

Para calcular (1+i)8 , primero re- escribimos 1+i como . Entonces

Así, puesto que ,

Si , entonces

Ejemplo: Producto

Ejemplo: Cociente

Ejemplo: Potencia



Ejemplos: Pasar a la forma polar y trigonométrica:

z = 260º = 2(cos 60º + i sen 60º)

z = 2120º

=2(cos 120º + i sen 120º)

z = 2240º =2(cos 240º + i sen 240º)

z = 2300º

=2(cos 300º + i sen 300º)

z = 2

z = 20º

=2(cos 0º + i sen 0º)

z = −2

z = 2180º

=2(cos 180º + i sen 180º)

z = 2i

z = 290º

=2(cos 90º + i sen 90º)

z = −2i

z = 2270º

=2(cos 270º + i sen 270º)

Pasar de la forma trigonométrica a la forma binómica:

z = 2120º

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica

rα = r (cos α + i sen α)

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)



8.

Producto y cociente de complejos en forma polar

La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos. Su argumento es la suma de los argumentos.

645° · 315° = 1860°

La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el cociente de los módulos. Su argumento es la diferencia de los argumentos.

645° : 315° = 230°

Fórmula de Moivre

Ahora, s

uSuponga que escribe un número complejo Empleando el resultado del Ejercicio 3b

de esta sección. , Entonces

Así;

,



y tomando , tenemos:

.

Esta expresión es la llamada fórmula de Moivre.

Dicho de manera diferente, se tiene

En palabras, el teorema de De Moivre dice que para calcular la n-ésima potencia de un número complejo se evalúa la n-ésima potencia de su valor absoluto y su argumento se multiplica por n.

Ejemplo:

La figura 9 muestra

Figura 9

n + isen π ). Se tiene que l cúbicas



Como muestra la figura 10, las tres raíces cúbicas de -27 están igualmente espaciadas 2π/3 radianes (120o ) alrededor de un círculo de radio 3 con centro en el origen,

ra 1 cúbicae

Forma exponencial de un número complejoAnexo A

Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los números reales, los conceptos de función, derivadas, series, etc. Vamos a demostrar la fórmula de Euler:

.

Empleemos el desarrollo en serie de potencias de la función , suponiendo que sea válido para

cuando la variable es un número complejo .

Si tomamos , nos queda:

Agrupando tendremos:

Estos son los desarrollos de y respectivamente. Así que .

Sea un número complejo donde es su módulo y su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:

.

Anexo BTr igonomet r ía A plic ada: pr o duc t o de c omplejos

R eco rdemo s la s sig uientes ig ua lda des trigo no métrica s:

co s(α + β ) = co s α co s β − sen α sen β



sen (α + β ) = sen α co s β + co s α sen β cos (α − β ) = co s α co s β + sen α sen β sen (α − β ) = sen α co s β − co s α sen β

No ta d que la s do s seg unda s (a través de la s que da remo s una expresió n del co ciente de número s co mplejo s) se sig uen inmedia ta mente de la s do s pr imera s (que no s sirven pa ra expresa r el pro ducto de do s número s co mplejo s).

Escriba mo s z1 = r1 (co s θ1 + i sen θ1 ) y z2 = r2 (co s θ2 + i sen θ2 ). Ento nces

z1 z2 = r1 (co s θ1 + i sen θ1 )r2 (co s θ2 + i sen θ2 )

= r1 r2

co s θ1 co s θ2 − sen θ1 sen θ2 + i(sen θ1 co s θ2 + co s θ1 sen θ2 )

= r1 r2

cos (θ1 + θ2 ) + i(sen θ1 + θ2 )

,

de do nde se sig ue que pa ra multiplica r número s co mplejo s en fo rma mó dulo a rg umenta l, se multiplica n lo s mó dulo s y se suma n lo s a rg umento s.



Esta expresión es la llamada forma exponencial del número complejo. Note que la forma exponencial es equivalente a la trigonométrica pues dependen de los mismos elementos: módulo y argumento del número complejo . Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multiplicación, división y potenciación empleando las leyes del álgebra.

Multiplicación y división de números complejos en su forma exponencial

Sean y . Entonces:

Ejemplo: Sea y . Entonces y .

Ejercicios con Números Complejosde la Sección 2

Ejercicios de la Sección 2.

Represente:(a) en la forma trigonométrica el número complejo .

(b) en la forma binómica el número complejo .

1) Represente:(a) en la forma trigonométrica el número complejo .

(b) en la forma binómica el número complejo .

2) Multiplicando el mismo número complejo n veces, efectúe y emplee identidades trigonométricas para comprobar que si

,

, …,



entonces

(a)

(b)

(c) .

Extienda el resultado a las potencias enteras negativas.3) Calcule:

(a) , (b)

4) Dados y , emplee la forma exponencial para hallar:

(a) , (b) .

5) Dados y , emplee la forma exponencial para hallar:

(a) , (b) .

6) Halle .

7) Halle



9.

Sección 3

Raíces n-ésimas de un número complejo



En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma trigonométrica( o exponencial) o Polarl un mismo número complejo tiene infinitas representaciones diferentes, con . Para cada valor de habrá una representación diferente del número complejo .

Existen n distintas raíces. Estas están uniformemente distribuidas en el círculo unitario.

Para obtener las raíces n-ésimas de un número complejo

La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

s:

Al igual que las potencias, las raíces convienen que se hagan expresando el número complejo en forma polar.

Obtenemos tantas soluciones como tenga el índice de la raíz n. Las expresamos como rϕ

Para obtener las raíces n-ésimas de un número complejo se parte de que lak es el número de vueltas. Empezamos

con k=0, y llegamos hasta k=n-1

Si es una raíz de índice 3 al representar y unir sus afijos obtenemos un triángulo.

Si es de índice 4 un cuadrado, si es de índice 5 un pentágono y así sucesivamente.



raízan-esima de un número complejo es otro número complejo. Así sean

Elevando al cuadrado ambos términos

, así

Igualando los módulos y argumentos

S=wn y α=nβ con lo que

El argumento α se repite cada ciclo n veces donde k es el número

de vueltas (Existen n distintas raíces que están uniformemente distribuidas en el círculo unitario).

por lo que .

Si es una raíz de índice 3 al representar y unir sus afijos obtenemos un triángulo. Si es de índice 4 un cuadrado, si es de índice 5 un pentágono y así sucesivamente.

En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma trigonométrica(o exponencial) o Polar un mismo número complejo tiene infinitas representaciones diferentes, con . Para cada valor de habrá una representación diferente del número complejo .



En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma trigonométrica(o exponencial) o Polar un mismo número complejo tiene infinitas representaciones diferentes, con . Para cada valor de habrá una representación diferente del número complejo .

Existen n distintas raíces. Estas están uniformemente distribuidas en el círculo unitario.



Raices de la UnidadLa ecuación

Tiene n soluciones de valor complejo, llamadas n raíces de la unidad. Ya que conocemos que cada raíz tiene magnitud 1, sea z = ei q . Entonces

M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Unidad I Números Complejos

(ei q )n = ei n q , ambas con la ecuación de Euler, nos arroja la Formula de Moivre

,para k = 0,±1,±2,¼

41

zn = 1

(cosq+ isinq)n = cos nq+ i sin nq

1 = e0i = e2 p ki


Así las navas son de la forma

Existen n distintas raices. Estas están uniformemente distribuidas en el círculo unitario.

Definamos la radicación como la operación inversa de la potenciación, esto es:

.

Supóngase que es un número complejo de módulo y argumento y que un número

complejo de módulo y argumento . Entonces equivale a:

.

De esta manera:

(1) (2)

Por lo tanto, donde y , con .

Estas son las fórmulas para hallar las raíces n-ésimas de cualquier número complejo. Compruebe que para todo otro valor de , con , se obtienen las mismas raíces que para .



k es el número de vueltas. Empezamos con k=0, y llegamos hasta k=n-1

Si es una raíz de índice 3 al representar y unir sus afijos obtenemos un triángulo.

Si es de índice 4 un cuadrado, si es de índice 5 un pentágono y así sucesivamente.Ejemplo:

En foma polar, -27 = 27(cos π + isen π ). Se tiene que las raíces cúbicas de -27 están dadas por


z = ei[(2 p k)/ n] .


Como muestra la figura 10, las tres raíces cúbicas de -27 están igualmente espaciadas 2π/3 radianes (120o ) alrededor de un círculo de radio 3 con centro en el origen,

Figura 10: Raíz cúbica de -27

En general, la formula (2) implica que las raíces n-ésimas de z=r(cos θ + i sen θ) se hallaran en un círculo

de radio con centro en el origen. Más aún, estarán igualmente espaciados 2π/n radianes (360 o ). Por

ende, si se puede encontrar una raíz n-ésima de z, las restantes raíces n-ésimas de pueden obtenerse al rotar la primera raíz en incrementos sucesivos de 2π/n radianes. De haber sido esto en el ejemplo anterior podría haber usado el hecho de que la raíz cúbica real de -27 es -3 y entonces rotarla dos veces un ángulo de 2π/n radianes (120o ) para obtener las otras dos raíces cúbicas.

Ejemplo:

Ejemplo: Hallar las 6 raíces sextas de



Ejemplo:. Hallar las 2 raíces cuadradas de .

. Por lo tanto y , con . Entonces:

Para , tenemos .

Para , tenemos .

Ejemplo: Hallar las 3 raíces cúbicas de



En esta figura se observa su representación gráfica

Ejemplo:

Calcula y representa las 6 raíces y une sus afijos.



En la siguiente figura se observa su representación gráfica



Ejemplo: Hallar las cuatro raíces cuartas de

, dado que el argumento es =60° y el modulo es 2. Por lo tanto y

, con . Entonces:



Para , tenemos .

Para , tenemos .

Ejemplo:

Por lo que las raíces son , , , y

10. El logaritmo de un número complejoAl igual que para los reales, vamos a definir el logaritmo de un número complejo como la operación inversa de la exponencial, esto es:

.

Supóngase que es un número complejo de módulo y argumento , entonces:

.

Ejemplo. Sea . Por tanto , con .

Ejercicios de la Sección 31) Halle las raíces cuadradas de y verifique que son y .

2) Halle las raíces cúbicas de 1.

3) Halle las raíces cúbicas de .

4) Halle las raíces cuadradas del número i y expréselas en la forma binómica.

5) Halle las raíces cúbicas del número y expréselas en la forma binómica.

6) Halle las raíces cuadradas de y represéntelas en el plano complejo.

7) Muestre que .



8) Halle:

(a) , (b) , (c) .

9) Muestre que .

Aplicación



Respuestas

Sección 11) a) , b) , c) , d) , e)

6)

9) a)

11)

13) a) , círculo de radio 5 centrado en y su interior.

15)

17)

Sección 2

1 a)

5) a) 2, b)

7)

Sección 3

3)

5)

8) a) , c)

EJERCICIOS

1 Calcular todas las raíces de la ecuación: x6 + 1 = 0

2 Realiza las siguientes operaciones:

3 Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.



4Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.

5Calcula , dando el resultado en forma polar.

6 Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces cúbicas.

7 Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

8 Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:

14 + 4i

2−2 + 2i

9 Calcular todas las raíces de la ecuación: x5 + 32 = 0

Ejercicios resueltos de números complejos

1

Calcular todas las raíces de la ecuación: x6 + 1 = 0


2



Realiza las siguientes operaciones:

1

2

3

4




3

Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.




4

Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.


5

Calcula , dando el resultado en forma polar.




6

Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces cúbicas.




7

Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:




8

Expresa en función de cos α y sen α:

cos 5α y sen 5α

Binomio de Newton

Fórmula de Moivre


9

Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:

14 + 4i



2−2 + 2i


10

Calcular todas las raíces de la ecuación: x5 + 32 = 0



Números Complejos. Actividades

11

Expresa en función de cos α y sen α:

cos 3α y sen 3α

Binomio de Newton

Fórmula de Moivre

Igualamos con la parte real e imaginaria de la expresión anterior.

10Calcula k para que el número complejo que obtenemos al dividir esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

11 Halla el valor de k para que el cociente sea:



1.-Un número imaginario puro. 2.-Uno número real.

12 Se considera el complejo 2 + 2 i, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Hallar el complejo obtenido después del giro.

13 Halla las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 190°.

14 Determina el valor de a y b para que el cociente sea igual a:

15 Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i.

16 Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).

17 La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.

Fuentes de Información:

Algebra Lineal, una introducción moderna David Pool 3ª. Edición anexo: números complejosTomado de http://temasmatematicos.uniandes.edu.cohttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Complejos/paginas/intro.htmAlgebra Lineal 6ta Edicion Stanley Grossman, Anexo 1www.campusoei.org/cursos/centrocima/matematica/ complejo .pdf www.disfrutalasmatematicas.com/ numeros / numeros - complejos .html http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.htmhttp://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Complejos/paginas/intro.htmhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_complejos_operaciones/Numeros_complejos_operaciones.htmhttp://www.tesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/cuadernillo_041.pdf

Ejercicios para Resolver


http://www.tesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/cuadernillo_041.pdf

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_complejos_operaciones/Numeros_complejos_operaciones.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_complejos_operaciones/Numeros_complejos_operaciones.htm

http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Complejos/paginas/intro.htm

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.htm

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-complejos.html

http://www.campusoei.org/cursos/centrocima/matematica/complejo.pdf

http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Complejos/paginas/intro.htm

http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/


n a ls

Solución a los Problemas Propuestos



EJERCICIOS1 Calcular todas las raíces de la ecuación: x6 + 1 = 02 Realiza las siguientes operaciones:

3 Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.

4Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.

5Calcula , dando el resultado en forma polar.

6 Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces cúbicas.7 Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

8 Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:14 + 4i2−2 + 2i9 Calcular todas las raíces de la ecuación: x5 + 32 = 0 Ejercicios resueltos de números complejos1Calcular todas las raíces de la ecuación: x6 + 1 = 0

Ejercicios resueltos de números complejos2Realiza las siguientes operaciones:

1

2



3

4

Ejercicios resueltos de números complejos3Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.



Ejercicios resueltos de números complejos4Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.

Ejercicios resueltos de números complejos5

Calcula , dando el resultado en forma polar.

Ejercicios resueltos de números complejos6

Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces cúbicas.



Ejercicios resueltos de números complejos7Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

Ejercicios resueltos de números complejos8Expresa en función de cos α y sen α: cos 5α y sen 5αBinomio de Newton



Fórmula de Moivre

Ejercicios resueltos de números complejos9Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:14 + 4i

2−2 + 2i

Ejercicios resueltos de números complejos10Calcular todas las raíces de la ecuación: x5 + 32 = 0



Números Complejos. Actividades11Expresa en función de cos α y sen α: cos 3α y sen 3αBinomio de Newton

Fórmula de Moivre

Igualamos con la parte real e imaginaria de la expresión anterior.

10Calcula k para que el número complejo que obtenemos al dividir esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

11 Halla el valor de k para que el cociente sea:1.-Un número imaginario puro. 2.-Uno número real.

12 Se considera el complejo 2 + 2 i, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Hallar el complejo obtenido después del giro.13 Halla las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 190°.


15 Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i.16 Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2). 17 La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.

Aplicación



1 Calcula k para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté representado en la bisectriz del primer cuadrante.

a = b .

aara que el cociente 1 Un número imaginario puro.U1 Un número imaginario puro.

2 Un número real.

a

3 Se considera el complejo , se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj.

, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj.

4 Hallar las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 1 9 0 ° .

Los vértices son los afijos de las raíces sextas de otro complejo z .




eea igual a: 6 ¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i ?C 9 0 ° = i.(2 + i ) · 1 9 0 (27 Halacoorddasvérticesd cuartro el oriedenadas, Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).s i

Los vérticeson

8 La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.

ais, y la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma i = r α

z = a − b i =rr + r = 10 r = 5

a = 3 b 2

b = 4 cos α + r cos (− α ) = 6

5cs + = 3/5

α = 5°7 α 0°3 + 4 i = 5 5 3 ° 7 ' 4 8 ' '



c

R

Realiza las siguientes operaciones:



3 l

4 4 Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones y su conjugado.

5

6

e p 1

2

ciee 1

2

l cai

r 1

2


Notas de La Unidad I (Numeros Complejos)

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Transcript of Notas de La Unidad I (Numeros Complejos)