Modulo 10. Numeros Complejos

Estudios Matemáticos Argentera

“Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber. Albert Einstein

Albert Einstein: (1879-1955), Científico Alemán,

nacionalizado estadounidense. Es uno de los científicos más conocidos y trascendentes del Siglo XX. En 1905, Hizo la ecuación de la física más conocida, masa-energía, E=mc², también publicó ciertos escritos concernientes a la física estadística y la mecánica cuántica. En 1915 presentó la teoría restringida de la relatividad, la teoría sobre foto efecto y explicación del movimiento Browniano. Obtuvo el Premio Nobel de Física en 1921 por su explicación del efecto fotoeléctrico y sus numerosas contribuciones a la física teórica.

La crisis según Albert Einstein…. “No

pretendamos que las cosas cambien, si siempre hacemos lo mismo. La crisis, es la mejor bendición que puede sucederle a personas y países, porque la crisis trae progresos. La creatividad nace de la angustia como el día nace de la noche oscura. Es en la crisis que nace la inventiva, los descubrimientos y las grandes estrategias. Quien supera la crisis se

supera a sí mismo sin quedar superado. Quien atribuye a la crisis sus fracasos y penurias, violenta su propio talento y respeta más a los problemas que a las soluciones. La verdadera crisis, es la crisis de la

incompetencia. El inconveniente de las personas y los países es la pereza para encontrar las salidas y

soluciones. Sin crisis no hay desafíos, sin desafíos la vida es una rutina, una lenta agonía. Sin crisis no hay méritos. Es en la crisis donde aflora lo mejor de cada uno, porque sin crisis todo viento es caricia. Hablar de crisis es promoverla, y callar en la crisis es exaltar el conformismo. En vez de esto, trabajemos duro. Acabemos de una vez con la única crisis

amenazadora, que es la tragedia de no querer luchar por superarla.”

Los Números complejos

Historia

Los números complejos surgen para dar soluciones a ecuaciones como 2 1 0x , pues como sabemos no existe ningún número real x cuyo

cuadrado sea -1, por lo que los matemáticos de la antigüedad

concluyeron que no tenía solución.

Los griegos rechazaron el uso de los números negativos, por la

falta de un equivalente dentro de las geometrías, Para ellos, todo

número representaba la longitud de un segmento o el área de una figura

plana. La geometría era considerada entonces como el corazón de toda

la matemática y esto, por supuesto, retardo considerablemente el

desarrollo de los sistemas numéricos.

Sin embargo, a mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano

Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar

con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de

números negativos.

Luego el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el moderno

símbolo i para 1 en 1777 y formuló la expresión 1 0ie la

ecuación más misterios de la historia de las matemáticas.

El matemático alemán Carl F. Gauss, en su tesis doctoral de 1799,

demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que

todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz

compleja. Después para 1825, continuando con el estudio de las

funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy

generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para

funciones de variable compleja.

Importancia de los números complejos.

En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir

circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. El número i aparece

explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es

fundamental en la teoría cuántica del átomo. El análisis complejo, que

combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha

aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño

de alas de avión.

Los números complejos se utilizan en todos los campos de las

matemáticas, en la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en

ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones,

por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y

la corriente eléctrica.

Definición de Número Imaginario.

Es la raíz cuadrada de todo número negativo. Cada número imaginario

puede ser escrito como ib donde b es un número real e i es la unidad

imaginaria, con la propiedad:

Todo número imaginario se puede expresar como el producto de un

número real por la unidad imaginaria.

Ejemplo: 25 5; 36 6i

Potencia de un número imaginario.

Para determinar a que es igual la potencia de un imaginario donde su

exponente sea mayor o igual a cuatro, dividimos dicho exponente entre

4 y el residuo resultante lo colocamos como exponente de i. Ver las

siguientes reglas.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

3 1

2 2

1 3

4

1 1

1

Re :

1o

i i i i

i i

gl

i i i i

i i

as

17 1 54 2

Ejemplos: Buscar las siguientes potencias

a) 1 b) 1i i i i

En b el proceso fue que 54 dividido entre 4 es igual a 13 y sobran 2,

cuando chequeamos las anotaciones tenemos que 2 1i

Número complejo en forma canoníca.

Se define como un par ordenado de números reales cuya primera

componente es la parte real y cuya segunda componente es la parte

imaginaria.

Ejemplo 1: (5,2) es un complejo cuya parte real es 5 y cuya parte imaginaria es 2.

Ejemplos 2: Escribir en Forma Canónica los siguientes números complejos

Solución: a) 2+3i = (2,3) c) 5-7i = (5,-7)

b) -4+i = (-4, 1) d) 9-i = (9,-1)

Números complejo en forma binómica

Sea ( , )a b un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la

forma: ( , ) ( ,0) (0, ) (1,0) (0,1)a b a b a b

Pero como (1,0) 1 y (0,1) i , entonces ( , )a b a bi . En este caso a bi se

llama forma binómica o binomia del número complejo.

Se expresa de la forma “a+bi”, siendo a y b números reales. El primer

término a se llama parte real y el segundo bi se llama parte

imaginaria.

Ejemplo: 2-4i su parte real es 2 y la parte imaginaria es -4i.

Ejemplos: Escribir en Forma binómica los siguientes números complejos

Solución: a) (6,2) = 6+2i c) (-3,-4) = -3-4i

b) (7,-4) = 7-4i d) (2,-1) = 2-i

Complejo Real Puro: Es aquel cuya componente imaginaria es nula.

Ejemplos: 8+0i = 8; -3+0i = -3 ; 7-0i = 7

Complejo Imaginario Puro: Es aquel cuya componente real es nula.

Ejemplos: 0+9i = 9i; 0-3i = -3i; 0+6i = 6i

Complejos opuestos

Si al número complejo lo representamos por ( + )a bi , El opuesto de este

complejo seria = ( )a bi , Por lo tanto, para determinar el opuesto de

un complejo se le cambian los signos a ambas partes.

Ejemplos:

1) El Opuesto de: 3+4i = -3-4i

2) El Opuesto de: -8+3i =8-3i

3) El Opuesto de: 1-i = -1+i

Conjugado de un número complejo.

Es aquel que difiere únicamente en el signo de de su componente

imaginaria.

Ejemplo:

2 3

25

2 3

25i

i

i

i

Reciproco de un número complejo:

También llamado inverso multiplicativo de un número complejo

corresponde al único número complejo que multiplicado con el número

complejo inicial a bi da como resultado el neutro multiplicativo

1,0 . Y este único número lo encontramos de la siguiente forma:

Demostración: Encontrar el inverso de ( )a bi

1. Elevar el complejo a 1( )a bi

2. Representar el complejo de forma 1

( )a bi

3. Multiplicar por su conjugado 1 a bi

a bi a bi

Realizar la multiplicación2 2 2

1

( )

a bi a bi

a bi a bi a abi abi b i

Simplificamos

2 2 222 2 2( ) (

1

)( 1)

a bi a b

abi

i

a a abi a bi

a bi

a bi

a bi

aa bi i a bb b bi

Por lo que obtendremos 2 2

a bi

a b

Ejemplos: Encuentra el reciproco de (8, 6 )i .

1. Eleva el complejo a -11(8, 6 )i

2. Representa el complejo de forma1

(8 6 )i

3. Multiplica por su conjugado 1 8 6

8 6 8 6

i

i i

Realiza la multiplicación2

1 8 6 8 6

8 6 8 6 64 48 48 36

i i

i i i i i

2

1 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6

8 6 8 6 64 48 48 36 64 (36)( 1) 64 36 100

i i i i i

i i i i i

4. Simplificando obtendremos : 4 3

50

i

Para comprobar si este es el reciproco basta con multiplicar nuestro

compuesto original (8, 6 )i con el reciproco encontrado4 3

50

i. Así:

24 3 32 24 24 18 32 18 508 6 1

50 50 50 50(1,0)

i i i ii

.

Representación Gráfica de los Números Complejos.

La Representación Gráfica de Números Complejos se debe a Carlos

Federico Gauss. Este empleó el sistema de Coordenadas Rectangulares.

En donde el eje (x) sería el eje Real, y el eje (y) sería el eje Imaginario.

Por esta razón a este plano se le denomino plano Gaussiano.

El Punto que corresponde a un complejo se le denomina afijo del

complejo.

Operaciones de números complejos

Suma y diferencia de números complejos

La suma y diferencia de n meros complejos se realiza sumando las

partes reales y las partes imaginarias, la parte imaginaria tambi n

la podemos representar con una j.

(a bj) (c dj) a c b d

ú

é

(a bj) (c dj) a c b d

Ejemplo : Realizar las siguientes operaciones.

9 2 1 3 4 2

9 1 4 2 3 2 4 7

j

j

i i i

i i

Multiplicación de números complejos

: Re 5 2 · 2

(a b ) · (c

3

d ) ac bd ad bc

10 15 4 6 ² 10 11 6 16 11

Ejemplo

i i i

i i i i

aliza i i

i

División de números complejos

El cociente de números complejos se hace racionalizando el

denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el

conjugado de éste.

2 2

x iy

a ib

2 iEjemplo: Resolver

5

x iy ( ) ( ).

a ib

2 i 5 - 3i (10 3) (5 6 ).

5 3i 5 - 3i

1

25 9

3

3i 34

a ib ax by ay bx i

a ib a b

i i i

2zz z

Forma modulo argumental de un complejo z .

Sea ( , )z a b a bi un número complejo cualquiera.

Llamaremos módulo del número complejo , al número real dado por 2 2a b y lo denotaremos por

2 ( )( ) ( ) ( ) 0z z a bi a bi abi abi yi a b ab ab i a b i a b z

El módulo se interpreta como la distancia al origen del número z.

Cálculo del argumento.

arg( ) arctan( )b

za

Demostración:

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( )( ) ( ) ( )

0

zz a bi a bi a abi abi y i a b ab ab i

a b i a b z

Ejemplo 1: Expresar en forma módulo argumental ( 2,2 )Z i

2 2

2 2

yz = x +y α=arctang

x

2z = (-2) +(2) α=arctang

-2

z = 4+4 α=arctang-1

8 135

2 2

z

z

z

1352 2

Ejemplo 2: Determinar módulo y argumento de 2 2i ;

2 22 2 2 2 8 2 2i

2

arg(2 2 ) 12 4

i arctg arctg

4

2 2z

Operaciones de números complejos en su forma de Módulo

argumental.

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

9030 60

3 5

2 2

Ejemplos: Realiza las siguientes operaci

a) Producto.

^

. .

a) 9 4 36

) 7 2 14

ones.

z z z z

z z z z z z

b

1 1 2 2

1 11

2 2 2

100

45

55

23

2

2

b) Divisi .

^

Ejemplos: Realizar la siguiente operaciones

81) 2

4

502) 10

5

n

Si z z z z

z zz

z z z

ó

1 1

1 1 1

33

50 3(50

c) Potenciaci .

Si es un conplejo en su forma mod-arg. y n es un expoente

positivo, por lo tanto tendremos que:

Ejemplos: Realiza las siguientes operaciones

1) 7 7

nn n

n

n

z z

z z z

ó

) 150

2

5 10

7 7

343

2) 4 16

d) Radicaci .

En la extracci de raices hay que tener presente que todo numero complejo

diferente de cero tiene dos raices cuadradas, tres c bicas, cuatro raices cua-

dradas y asi sucesivamente hasta n

n

n

ó

ó

ú

1

2

- sima raices.

Si w es un conplejo en su forma mod-argumental

entonces sus raices la podemos calcularlas por medio de las expresiones.

) En radianes: w= ; 0,1,2,3, 4,5nnk

n

z

a z z k

é

1

360

45

Ejemplos: Realiza las siguientes operaciones

,6,..., 1

) En Sexagesimal: w= ; 0,1,2,3,4,5,6,..., 1

a) Buscar las tres raices cúbicas de 8 en forma módulo argumental.

1) Cua

nnk

n

n

a z z k n

3 45 360 (0)0

3

1 45 360 (1)

3

2 45 360 (2)

3

13

6

2

15

(0)46

04

255

4

5

2

ndo k=0 8

2) Cuando k=1 2

3) Cuando k=2 2

) Busca las cuatro raices cuartas de 1 .

1) Cuando k=0

2

2

2

1 1

2)

w

w

w

b

w

2(1)46

14

2(2)46

24

2(3)46

3

25

13

24

4

47

2

3

24

Cuando k=1 1

3) Cuando k=2 1

4) Cuando k=3

1

1

1

1

w

w

w

Forma trigonométrica de un número complejo

Viene dado por la expresión w cos isen w donde ya sabes que

z es el modulo y su argumento.

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2

1 21:

a) Product

20( 90

5( 30 30

o.

( ) ^ ( )

.

. 5 4 30

) ^ 4( 60 60 )

60 3

90 )

0 60

Ejemplo Multiplicar w Co

w w Cos isen w w Cos isen

w

s

Cos

isen w Cos ise

w w w Cos isen

w w Co

i

s isen

s

n

en

Ejemplo 2 : 5 cos90 i sen90 . 3 cos60

:15

i

co

sen

s150

6

i se 150

0

nSolucion

División de números complejos

Para dividir dos números complejos en forma trigonométrica se dividen

los módulos y se restan los argumentos.

1 1 2 2

2

2

2

11

2

1

11: Dividir 10( 300 300 ) ^ 5( 120 120 )

b) División.

( ) ^ ( )

10

2( 180 180

300 120 300 1205

)

Ejemplo w Cos

w w Cos isen w w Cos isen

wwCos isen

w w

wCos

i

isen

Cos ise

sen w Cos ise

Ej

n

n

w

1 2

1

2

2 : 32( ) ^ 8( )

32

8 7 2 7 2

45

7 7

7 7

2 2

5C

emplo Dividir

os ise

wCos

w Cos isen w Cos is

n

en

isenw

Es a trav s del cual podemos desarrollar cualquier potencia sin tener que

desarrollar la formula de Newton.

[ (cos i sen )] (cos + i

Teorema de De Moivre

Ejemplo 1: Determine

sen ); .

n n n

é

z w w n n n z

3

3

El argumento de 1 3 es y su modulo es 3 1 3 23

2(cos sen ) ahora aplicando potencia tenemos que3 3

2(cos sen )

(1 3) mediante el Teore

8(cos

ma de De Moi

)

vre

8( 1 + 3 3

z i i

z i

i ise

i

n

0 8)i

5

5Ejemplo 2: Determine 2( 30 30) mediante el Teorem

2 5*30 32 os150 15

a de D

5

e Moivr

*

e

0 03Cos is

Cos ise

en C e

n

iS n

5 3

9 14

15

3

2 7

4

1 5

1 5

2 4

100 200

143 521

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

ACTIVIDADES

I. Identifique la parte real y la parte imaginaria de los siguientes

números complejos:

II. Encuentre el opuesto de:

3 2

4 1

7 2

4 9

45 3

37 5

i

i

i

i

i

i

20,3

3

(9 30 )

(8 15 )

(14 17 )

i

i

i

i

III. Encuentra el conjugado de:

5 3

9 14

15

1 4

235 7

1000

1 12

9 3

25 4

60 30

22 44

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

IV. Encuentra el reciproco de:

768 881

315

1 4

235 7

1000

1 12

4 1

7 2

4 9

45 3

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

5 3

9 14

15

3

2 7

4

1 5

1 5

2 4

100 200

143 521

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

V. Representa en forma binómica los siguientes pares ordenados.

4,1

7, 2

4,9

45, 3

(5,3 )

(9,14 )

(15, )

(1, 4 )

(235,7 )

(1000, )

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

VI. Grafica los siguientes complejos:

VII. Determinar el módulo y argumento de los siguientes números

complejos:

) ( 1, 3 )a Z i

) (4 8 )b Z i

c) (1 44 )Z i

d) (4 8 )Z i

e) 2 2i

5

)3

f i

) 3g i

)(1, 2 )h i

20 Precálculo

VIII. EJERCICIOS PROPUESTOS

Expresa en forma trigonométrica:

4 + 4i

−2 + 2i

-3 + 3i

2+ 2i

5 / 3i

√3 + i

3 – 4i

17i

2 + 5i

5 + 4i

21

IX. En los ejercicios siguientes utilice el teorema de De Moivre

para determinar la potencia indicada del número complejo.

Escriba respuesta en la forma estándar a + bi.

1. 3

cos sen4 4

i

2. 3 3

3 cos 2 2

i sen

3.

3

3 32 cos

4 4i sen

4.

4

5 56 cos

6 6i sen

5. 5

1 i

6. 20

3 4i

7. 3

1 3i

8.

3

1 3

2 2i

22

Bibliografía

Ditutor.com. (n.d.). Retrieved from ditutor.com:

http://ditutor.com/numeros complejos/operacionescomplejos.html

Encarta Microsoft Corporation. (2007). Numeros Complejos.

Geraldino, R. P. (1999). Matematicas 4to. Segundo Ciclo Nivel medio.

Santo Domingo: Santillana.

Lenner, S. (2006). Precalculo 6ta Edicion. Mexico: Pearson Education.

Murillo, P. J. (2010). Coordenadas Polares. 3-5.

Slideshare. (2006). Retrieved Marzo 30, 2010, from Slideshare.net:

http://slideshare.net/darkapalmira/nmenor-complejos-1906395

Thdes.cica.es. (2005, Abril 23). Retrieved Marzo 30, 2010, from

Thdes.cica.es/recursos matematicos:

http://www.thdes.cica.es/recursos matematicos

Wikipedia. (n.d.). Wikipedia. Retrieved marzo 27, 2011, from

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares

“Forma trigonométrica de números complejos” en:

http://www.luiszegarra.cl/algebra/cap8.pdf

“Forma trigonométrica de números complejos” en: www.Wikipedia.com

“Forma trigonométrica de números complejos” en: http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad4/u4comte40.pdf

“Módulo de números complejos” en : http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

“Módulo de números complejos” en:

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/complejos.htm#Forma%20polar

“Modulo de Números complejos” en: http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_complejos/ap04_n

umeros_complejos.php

http://www.luiszegarra.cl/algebra/cap8.pdf

http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad4/u4comte40.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo



http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_complejos/ap04_numeros_complejos.php

http://www.fisicanet.com.ar/matematica/numeros_complejos/ap04_numeros_complejos.php

23

“Números complejos” en: www.wikipedia.com

“Números complejos” en: www.ditutor.com

“Teorema de Moivre” en:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_De_Moivre-Laplace

“Teorema de Moivre” en: http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/d/demoivre

stheorem.htm

“Teorema de Moivre” en: http://www.ditutor.com/distribucion_normal/teorema_moivre.html

Frase de Albert Einstein http://www.proverbia.net/citasautor.asp?autor=

es.wikipedia.org/wiki/Albert Einstein

Revisado el 24 de abril 2012.

Prof. Wilton Oltmanns

Ser sincero no es decir todo lo que se piensa, sino no decir nunca lo contrario de lo que se piensa. Autor Pendiente

http://www.wikipedia.com/

http://www.ditutor.com/

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_De_Moivre-Laplace

http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/d/demoivrestheorem.htm

http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/d/demoivrestheorem.htm

http://www.ditutor.com/distribucion_normal/teorema_moivre.html

Modulo 10. Numeros Complejos

Documents

Transcript of Modulo 10. Numeros Complejos