Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace

Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616

Název projektu: Inovace výuky

Číslo a název šablony klíčové aktivity:

EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol

Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)

EU-8-52 – DERIVACE FUNKCE VIII(derivace složené funkce)

AnotaceZopakování pojmu složené funkce, věta o derivování složené funkce, procvičení derivování složené funkce na příkladech.

Autor PaedDr. Milan Rieger

Jazyk Čeština

Očekávaný výstupŽák chápe princip skládání funkcí a složenou funkci, dovede rozlišit (určit) vnitřní a vnější funkci, umí derivovat složené funkce.

Klíčová slova Složená funkce, vnitřní funkce, vnější funkce, derivace složené funkce.

Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy

Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace

Cílová skupina Žák

Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání

Typická věková skupina 17 – 19 let

Datum vytvoření 11. 1. 2013

PŘÍKLAD 1: Vytváření „nových“ funkcí skládáním elementárních funkcí.

xxf

5)(

23)( xxg

3)( xxf xxg sin)(

xxxfxgfgfm 33 sinsin)(sin))((

33 sin))(( xxgxfgfgh

1)( 2 xxf3)( xxg

11)())(( 6233 xxxfxgfgfm

322 11))(( xxgxfgfgh

PŘÍKLAD 2: Zopakování rovnosti (nerovnosti, různosti) funkcí f, g.

xxf

5)(

23)( xxg

235

)23())((

x

xfxgfgfm

215

25

35

))((

xxxgxfgfgh

Skládání funkcí není komutativní.

)()(; xgxfDxDDDgf gf

)()(; xgxfDxDDDgf gf

32

RD gf 0RD fg

fggf

))(())(( xfgxgf

215

235 xx

PŘÍKLAD 3: „Rozkládání“ složených funkcí na elementární funkce.

Máme danou funkci

235

x

y chceme vypočítat hodnotu této funkce pro dané x R.

Výpočet hodnoty funkce můžeme vyjádřit takto: yx

xx

23

523

y45

42Pokud zvolíme x = 2 dostaneme:

Podrobněji: yxgfxxg

xgxx

))((23

5)(

5)(23

Položíme-li a = g(x) [ tedy a = 3 x – 2 ] dostaneme:

yafa

ax )(5

235

))((

x

xgfyDanou (složenou) funkci jsme rozložili na dvě elementární funkce:

PŘÍKLAD 4: „Rozkládání“ složených funkcí v tabulce.

Doplňte tabulku rozložením dané funkce na funkci vnitřní a vnější:

y = f(g(x)) a = g(x) y = f(a)

y = (5x – 7) 2

y = sin(6x +5)

y = cos(–3x + 8)

y = sin2x

y = tg3x

y = cotg5x

y = 27x–3

y = ln(9x+5)

y = ln cosx

y = ln 2x

235

x

y

PŘÍKLAD 4: Správné doplnění tabulky.

y = f(g(x)) a = g(x) y = f(a)

a = 3 x – 2

y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7 y = a2

y = sin(6x + 5) a = 6 x + 5 y = sin a

y = cos(–3x + 8) a = –3x + 8 y = cos a

y = sin2x a = sin x y = a2

y = tg3x a = tg x y = a3

y = cotg5x a = cotg x y = a5

y = 27x–3 a = 7 x – 3 y = 2a

y = ln(9x+5) a = 9 x + 5 y = ln a

y = ln cosx a = cos x y = ln a

y = ln 2x a = 2x y = ln a

235

x

ya

y5

PŘÍKLAD 5: Derivace elementárních funkcí – opakování.

Doplňte tabulku o derivace vnitřní a vnější funkce (vnější funkci derivujte podle proměnné a):

y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) y ' = ?

a = 3 x – 2

y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7 y = a2

y = (4x + 11)117 a = 4x + 11 y = a117

y = sin(6x + 5) a = 6 x + 5 y = sin a

y = cos(–3x + 8) a = –3x + 8 y = cos a

y = sin2x a = sin x y = a2

y = cos3x a = cos x y = a3

y = tg4x a = tg x y = a4

y = cotg5x a = cotg x y = a5

235

x

ya

y5

PŘÍKLAD 5: Doplnění derivací elementárních funkcí v tabulce.

Doplňte tabulku o derivace vnitřní a vnější funkce (vnější funkci derivujte podle proměnné a):

y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) y ' = ?

a = 3 x – 2 a' = 3 y ' = – 5/a2

y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7 a' = 5 y = a2 y ' = 2 a

y = (4x + 11)117 a = 4x + 11 a' = 4 y = a117 y ' = 117 a116

y = sin(6x + 5) a = 6 x + 5 a' = 6 y = sin a y ' = cos a

y = cos(–3x + 8) a = –3x + 8 a' = – 3 y = cos a y ' = – sin a

y = sin2x a = sin x a' = cos x y = a2 y ' = 2 a

y = cos3x a = cos x a' = – sin x y = a3 y ' = 3 a2

y = tg4x a = tg x a' = 1/cos2x y = a4 y ' = 4 a3

y = cotg5x a = cotg x a' = – 1/sin2x y = a5 y ' = 5 a4

235

x

ya

y5

PŘÍKLAD 6: Doplnění tabulky derivací elementárních funkcí.

Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x:

y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) y ' = ? y' (x) = ?

a = 3 x – 2 a' = 3 y ' = – 5/a2

y = (5x – 7) 2 a = 5 x – 7 a' = 5 y = a2 y ' = 2 a

y = (4x + 11)117 a = 4x + 11 a' = 4 y = a117 y ' = 117 a116

y = sin(6x + 5) a = 6 x + 5 a' = 6 y = sin a y ' = cos a

y = cos(–3x + 8) a = –3x + 8 a' = – 3 y = cos a y ' = – sin a

y = sin2x a = sin x a' = cos x y = a2 y ' = 2 a

y = cos3x a = cos x a' = – sin x y = a3 y ' = 3 a2

y = tg4x a = tg x a' = 1/cos2x y = a4 y ' = 4 a3

y = cotg5x a = cotg x a' = – 1/sin2x y = a5 y ' = 5 a4

235

x

ya

y5

PŘÍKLAD 6: Doplnění tabulky derivací elementárních funkcí.

Doplňte tabulku o derivaci vnější funkce vyjádřenou pomocí proměnné x:

y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) y ' = ? y' (x) = ?

a = 3x–2 a' = 3 y ' = – 5/a2 y ' = – 5/(3x-2)2

y = (5x – 7) 2 a = 5x–7 a' = 5 y = a2 y ' = 2 a y ' = 2 (5x – 7)

y = (4x + 11)117 a = 4x+11 a' = 4 y = a117 y ' = 117 a116 y ' = 117 (4x+11)116

y = sin(6x + 5) a = 6x+5 a' = 6 y = sin a y ' = cos a y'=cos(6x+5)

y = cos(–3x + 8) a = –3x+8 a' = – 3 y = cos a y ' = – sin a y'=–sin(–3x+8)

y = sin2x a = sin x a' = cos x y = a2 y ' = 2 a y ' = 2 sinx

y = cos3x a = cos x a' = – sin x y = a3 y ' = 3 a2 y ' = 3 cos2x

y = tg4x a = tg x a' = 1/cos2x y = a4 y ' = 4 a3 y ' = 4 tg3x

y = cotg5x a = cotg x a' = – 1/sin2x y = a5 y ' = 5 a4 y ' = 5 cotg4x

235

x

ya

y5

PŘÍKLAD 7: Výpočet derivace složené funkce.

Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x0. 1. Derivaci můžeme vypočítat pomocí definice (není to však nejefektivnější způsob výpočtu). 23

5

x

y

202

0

00

00

0

00

0

0

0

0

0

0

/

23

15

23

53

23235

32323

53

232353

2323235235

2323235235

235

235

235

limlimlim

limlim

limlim

000

00

000

xx

xxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxxx

x

xxxxxx

xxxx

xxxxxx

y = f(g(x)) a = g(x) a' = ? y = f(a) y ' = ? y' (x) = ?

a = 3x–2 a' = 3 y ' = – 5/a2 y ' = – 5/(3x-2)2

235

x

ya

y5

Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x0. 2. Derivaci můžeme vypočítat efektivně (rychle a správně) (všimneme si souvislostí v předcházejícím výpočtu s výsledky v

tabulce, pokusíme se formulovat „pravidlo“ pro výpočet derivace složené funkce – tedy matematickou větu).

235

x

y

PŘÍKLAD 8: Výpočet derivace složené funkce.

Máme vypočítat derivaci funkce y = f(g(x)) v bodě x0 f(g(x)) = (5x – 7)2

1. Derivaci můžeme vypočítat pomocí vět o derivování funkcí (v případě, že mocnitel bude např. 3 457 už nelze tento výpočet prakticky používat).

2. Derivaci můžeme vypočítat pomocí definice (není to však nejefektivnější způsob výpočtu).

49702575 22 xxxy 75107050/ xxy

0

00

0

20

2/2 )75()75()75()75(

lim)75()75(

lim)75(00

0 xx

xxxx

xx

xxx

xxxxxx

)75(10)75(25)75()75(5lim)75()75()(5

lim 0000

00

00

xxxx

xx

xxxxxxxx

)75(10)75(25)75(/2 xxx

3. Derivaci můžeme vypočítat pomocí výpočtů provedených v přecházející tabulce (nejrychlejší výpočet derivace).

Zjednodušeně

PŘÍKLAD 9: Rychlé výpočty derivace složené funkce z tabulky (zpaměti).

Vypočítejte derivace složených funkcí z tabulky.

y = f(g(x)) a = g(x)a' = ?

derivace vnitřní funkce

y = f(a) y ' = ? y' (x) = ?derivace vnější funkce

y = (5x – 7) 2 a = 5x–7 a' = 5 y = a2 y ' = 2 a y ' = 2 (5x – 7)

y = (4x + 11)117 a = 4x+11 a' = 4 y = a117 y ' = 117 a116 y ' = 117 (4x+11)116

y = sin(6x + 5) a = 6x+5 a' = 6 y = sin a y ' = cos a y'=cos(6x+5)

y = cos(–3x + 8) a = –3x+8 a' = – 3 y = cos a y ' = – sin a y'=–sin(–3x+8)

y = sin2x a = sin x a' = cos x y = a2 y ' = 2 a y ' = 2 sinx

y = cos3x a = cos x a' = – sin x y = a3 y ' = 3 a2 y ' = 3 cos2x

y = tg4x a = tg x a' = 1/cos2x y = a4 y ' = 4 a3 y ' = 4 tg3x

y = cotg5x a = cotg x a' = – 1/sin2x y = a5 y ' = 5 a4 y ' = 5 cotg4x

VĚTA O DERIVOVÁNÍ SLOŽENÉ FUNKCEJestliže má funkce a = g(x) derivaci v bodě x0 a jestliže má funkce y = f(a) derivaci v

bodě a0 = g(x0), má složená funkce y = f(g(x)) derivaci v bodě x0 a platí

[ f(g(x0)) ]/ = f/(g(x0)) • g/(x0).

))(()()())(()()(

lim)()(

))(())((lim

)()(

)()(

))(())((lim

))(())((lim))((

0/

0/

0/

0/

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0/

00

000

xgfxgxgxgfxx

xgxg

xgxg

xgfxgf

xx

xgxg

xgxg

xgfxgf

xx

xgfxgfxgf

xxxx

xxxxxx

DŮKAZ VĚTY (užitím definice derivace)

))(()()())(())(( /////xgfxgxgxgfxgf

Derivace složené funkce je rovna součinu derivace vnější funkce a derivace vnitřní funkce (lze také říci: „součinu derivace vnitřní funkce a derivace vnější funkce“).

PŘÍKLAD – derivujte funkci y = (x5+3x2+7)9.

yaaxxx 925 73

73965 25/8/4 xxayaaxx

8254825/25/ 7365973973 xxxxxxxxy

AUTOTEST – vypočítejte derivace složených funkcí.

MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková, vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1998, strana 156, úloha 22. ISBN 80-7196-099-3.

p1) 62 1 xy p2) xxy 34 p3) 83 212 xy

p4) p5) p6) 10243

1

xxy

xxy 5 )42cos( xy

p7) p8) p9) xy 2sin2sin xy

xy 3sin

1

p10) p11) p12) xy 2cos3 22cos xxy

43

xtgy

KONTROLA AUTOTESTU

p1) p2)

p3) p4)

p5) p6)

p7) p8)

p9) p10)

p11) p12)

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

52/ 112 xxyxx

xy

3

2/

42

112

12

212243

732/

x

xxy

1124

3/

3

21210

xx

xxy

xxx

xy

5554

5522

/

)42sin(2/ xy

xxxy 2sincossin2/ 2/ cos2 xxy

x

xy 4/

sin

cos3

x

xy

2cos

2sin/

3 2

/

22cos3

2sin22

xx

xy

43cos

3

2

/

x

y