Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty...

19
Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1 3.2.2012 13:36:40 Powered by EduBase 2 Variace

Transcript of Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty...

Page 1: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou,funkce exponenciální a funkce

logaritmická

Autor: Mgr. Jaromír JUŘEKKopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

1

3.2.2012 13:36:40 Powered by EduBase 2

Variace

Page 2: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

1. Lineární funkce s absolutní hodnotou

Lineární funkce s absolutní hodnotouJedná se o funkci lineární, tedy funkci danou rovnicí y = ax + b, která ale ve svém zápise obsahuje absolutní hodnotu.

Ukázkové příklady:

Příklad 1:

Narýsujte graf funkce y = |x - 1|

Řešení:

Podobně jako při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutní hodnotou nejprve stanovíme nulové body, tj. bod, v nichž jednotlivé absolutní hodnoty nabývají nulových hodnot. V tomto případě je nulový bod pouze jeden, a jím je číslo 1.

Řešení máme tedy rozděleno na dvě části:

1. x < 1V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto absolutní hodnotu odstraníme tak, že ji změníme na závorku, ale před ní bude znaménko minus.Narýsujeme tedy graf funkce y = -(x - 1), neboli y = -x + 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x < 1

2. x 1V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný, proto ji odstraníme tak, že ji změníme na závorku.Rýsujeme tedy graf funkce y = x - 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x 1

Závěr:

Příklad 2:

Narýsujte graf funkce y = |2x - 1|

Řešení:

Nulovým bodem je 0,5

1. x < 0,5Rýsujeme graf funkce y = -2x + 1 a využíváme část, kde x < 0,5

2. x 0,5Rýsujeme graf funkce y = 2x - 1 a využíváme část, kde x 0,5

Závěr:

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 2

Page 3: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

2. Funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady

OK1. Načrtněte graf funkce f: y = -|x - 2|

1423

OK2. Načrtněte graf funkce f: y = 2 . |x + 1| - 3 . |x - 1|

1420

OK3. Načrtněte graf funkce f: y = |x| - x

1422

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 3

Page 4: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

OK4. Načrtněte graf funkce f: y = 2x - |x + 3| - 5 + |x - 1|

1428

OK5. Načrtněte graf funkce f: y = |2x - 1| + |x - 2| - x

1424

OK6. Načrtněte graf funkce f: y = 3 - |2 - x|

1419

OK7. Načrtněte graf funkce f: y = -|x| + 2

1426

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 4

Page 5: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

OK8. Načrtněte graf funkce f: y = |x + 1| - |1 - x|

1425

OK

9. Načrtněte graf funkce f:y = |x - 3| - 2 . |x + 1| + 2 . |x| - (x - 1)

1421

OK10. Načrtněte graf funkce f: y = |x| - 3

1427

OK11. Načrtněte graf funkce f: y = 2 - |2 - x| - 2 . |x + 4| - 3x

1429

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 5

Page 6: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

3. Exponenciální funkce

Exponenciální funkceDefinice:Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax, kde a > 0 a zároveň a 1

Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a.Je-li a > 1, pak je průběh následující:

Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující:

Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10x

Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální funkce. Má rovnici y = ex.

Pozn.: Eulerovo číslo e = 2,718 28...

Vlastnosti exponenciální funkce: D(f) = (-; +); H(f) = (0; +) Není sudá, ani lichá. ax > 0, proto je funkce omezená zdola, shora omezená není. Je klesající pro 0 a < 1 a rostoucí pro a 1 Nemá maximum ani minimum. Je inverzní k logaritmické funkci. Je v R spojitá.

4. Exponenciální funkce - procvičovací příklady

OK

1. Načrtněte v téže kartézské soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:f(x) = 4x

g(x) = 4x + 2h(x) = 4x - 1

1380

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 6

Page 7: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

OK

2. Načrtněte graf funkce y = 2x + 11364

OK

3. Načrtněte graf funkce f(x) = -(2-2x)1382

OK

4. Je dána funkce f: y = 0,5x - 3.Načrtněte graf funkce |f(|x|)|.

1378

OK

5. Je dána funkce f: y = 0,5x - 3.Načrtněte graf funkce f(|x|).

1377

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 7

Page 8: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

OK

6. Je dána funkce f: y = 0,5x - 3

Načrtněte graf funkce |f(x)|.

1376

OK

7. Načrtněte graf funkce y = 32x - 2 - 11381

OK

8. Načrtněte graf funkce y = 0,5x - 31374

OK

9. Načrtněte graf funkce y = 2x - 11365

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 8

Page 9: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

OK

10. Načrtněte graf funkce y = 2x - 2-x1368

a > 1OK

11. Pro která čísla a je funkce klesající?1370

OK

12. Je dána funkce f: y = 2x + 1. Načrtněte graf funkce |f(|x|)|1373

OK

13. Načrtněte a porovnejte grafy funkcí y = 2x a y = 2-x1366

a > 2OK

14. Pro která čísla a je funkce rostoucí?1369

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 9

Page 10: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

OK

15. Načrtněte graf funkce y = 2x + 2-x1367

OK

16. Načrtněte graf funkce1383

OK

17. Načrtněte v téže kartézské soustavě souřadnic grafy těchto funkcí:f(x) = 0,4x

g(x) = 0,4-x

h(x) = f(|x|)

1379

OK

18. Je dána funkce f: y = 2x + 1. Načrtněte graf funkce |f(x)|.1371

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 10

Page 11: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

OK

19. Je dána funkce f: y = 2x + 1. Načrtněte graf funkce f(|x|).1372

OK

20. Načrtněte graf funkce y = 0,5x + 31375

5. Logaritmická funkce

Logaritmická funkce

Definice:Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = logax.

Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu.

Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu.

Pozn.: Zápis y = loga x vyjadřuje totéž jako zápis x = ay

Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma).

Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a:

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 11

Page 12: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy.

Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor D(f) =(0; +) Obor hodnot H(f) = R Není sudá, ani lichá Není zdola ani shora omezená. Pro 0 < a < 1 je klesající Pro a > 1 je rostoucí. Funkce nemá maximum ani minimum. Pro x (0; +) je spojitá.

Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu.

6. Logaritmická funkce - procvičovací příklady

D(f) = <10; +)OK

1. Určete definiční obor funkce f: 1460

D(f) = (0; +)OK

2. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.f: y = |log4 x|

1451

D(f) = (-; -1) ( 2; +)OK

3. Určete definiční obor funkce f:1462

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 12

Page 13: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

D(f) = (0; +)OK

4. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.f: y = log4 x

1448

D(f) = (4; +); a > 0, a 1 OK

5. Urči definiční obor funkce:1432

D(f) = R \ {0}OK

6. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.f: y = log4 |x|

1452

D(f) = (0; +)OK

7. Načrtněte graf funkce f: y = 2 . log x a určete definiční obor funkce.1456

OK

8. Načrtni graf funkce f: y = log2 (x + 2)1436

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 13

Page 14: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

D(f) = (2; 9)OK

9. Urči definiční obor funkce:1439

OK

10. Načrtni graf funkce f: y = log2 x1435

OK

11. Je dána funkce f: y = log1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce |f(x)|.1445

D(f) = R \ {0}OK

12. Načrtněte graf funkce f: y = log x2.1455

OK

13. Načrtni graf funkce:1444

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 14

Page 15: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

D(f) = { }OK

14. Určete definiční obor funkce f: y = log (-x2 + 6x - 9)1461

D(f) = (-; -3) ( 5; +); a > 0, a 1 OK

15. Urči definiční obor funkce1431

D(f) = (-2; +)OK

16. Načrtněte graf funkce f: y = log (x + 2) - 3 a určete definiční obor funkce.1457

D(f) = (-1,5; +); a > 0, a 1 OK

17. Urči definiční obor funkce y = loga (2x +3)1430

D(f) = R \ {0}OK

18. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.f: y = |log4 |x||

1453

D(f) = (0; +)OK

19. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.f: y = -log4 x

1449

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 15

Page 16: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

D(f) = (-1; 1); a > 0, a 1 OK

20. Urči definiční obor funkce1433

OK

21. Je dána funkce f: y = log2 (x - 4).Načrtněte graf funkce |f(x)|.

1441

OK

22. Načrtněte graf funkce f: y = log2 (x - 4)1440

D(f) = (-; -3) 1; +OK

23. Urči definiční obor funkce f: y = log (2x2 + 4x - 6)1438

OK

24. Načrtni graf funkce f: y = log2 (x + 2) - 31437

D(f) = (0; 3); a > 0, a 1 OK

25. Urči definiční obor funkce:1434

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 16

Page 17: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

OK

26. Načrtněte graf funkce f: y = |ln (x - 1) + 1|1458

OK

27. Načrtněte graf funkce f: y = 1 - log x1454

D(f) = <1; +)OK

28. Určete definiční obor funkce:1459

OK

29. Je dána funkce f: y = log2 (x - 4).Načrtněte graf funkce |f(|x|)|.

1443

OK

30. Je dána funkce f: y = log2 (x - 4).Načrtněte graf funkce f(|x|).

1442

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 17

Page 18: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

OK

31. Je dána funkce f: y = log1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce |f(|x|)|.1447

D(f) = (-; 0)OK

32. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.f: y = log4 (-x)

1450

OK

33. Je dána funkce f: y = log1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce f(|x|).1446

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 18

Page 19: Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce ... · Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Definiční obor

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická 1

Obsah21. Lineární funkce s absolutní hodnotou32. Funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady63. Exponenciální funkce64. Exponenciální funkce - procvičovací příklady115. Logaritmická funkce126. Logaritmická funkce - procvičovací příklady

Powered by EduBase 23.2.2012 13:36:40 19