Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace

Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616

Název projektu: Inovace výuky

Číslo a název šablony klíčové aktivity:

EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol

Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)

EU-8-56 – DERIVACE FUNKCE XII(lokální extrémy funkce – teorie, úlohy)

AnotaceHledání lokálních extrémů pomocí první derivace funkce (monotónnosti funkce) a pomocí znaménka druhé derivace funkce. Obrázek jako prvek výuky vedoucí k pochopení pojmů, postupů a výpočtů.

Autor PaedDr. Milan Rieger

Jazyk Čeština

Očekávaný výstupŽák je schopen určovat lokální extrémy jednoduchých funkcí dvěma způsoby, v případě možnosti je schopen zvolit efektivnější způsob výpočtu. Zjišťování extrémů funkce dovede žák využít při vyšetřování průběhu funkce. Žák chápe jednoduchou teorii a dovede ji konkrétně aplikovat.

Klíčová slovaLokální maximum, ostré lokální maximum, lokální minimum, ostré lokální minimum, první derivace funkce, funkce rostoucí, klesajícÍ. Stacionární bod, druhá derivace funkce, lokální extrém funkce.

Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy

Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace

Cílová skupina Žák

Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání

Typická věková skupina 17 – 19 let

Datum vytvoření 19. 11. 2013

MALÉ OPAKOVÁNÍ – BODY, VE KTERÝCH NEMÁ FUNKCE DERIVACINa obrázku je narýsovaný graf funkce f: y = | x + 1 | – 2 | x – 1 |. Určete derivaci funkce f v daném bodě x0: a) x0 = – 2; b) x0 = 0; c) x0 = 2; d) x0 = – 1; e) x0 = 1.

f/(– 1-) = 1f/(– 1+) = 3

f/(– 1) neexistuje

f/(1-) = 3f/(1+) = – 1

f/(1) neexistuje

Má funkce f v bodě -1 lokální extrém?Má funkce f v bodě 1 lokální extrém?Ve kterých bodech má funkce y = g(x) na obrázku lokální extrémy?

Ve kterých bodech může mít funkce lokální extrém?

MALÉ OPAKOVÁNÍ – BODY, VE KTERÝCH MÁ FUNKCE DERIVACI ROVNOU NULE

Určete derivaci funkce a) y = x2 v bodě x0 = 0 b) y = xn (n = 2k, kN) v bodě x0 = 0c) y = x3 v bodě x0 = 0 d) y = xn (n = 2k-1, kN) v bodě x0 = 0

Ve kterých bodech může mít funkce lokální extrém?

Ve kterých bodech může mít funkce lokální extrém?

Funkce může mít lokální extrémy v bodech, ve kterých je první derivace funkce rovna nule nebo neexistuje.

Body, ve kterých je první derivace funkce rovna nule nebo neexistuje jsou body „podezřelé z extrémů“. Někdy se jim říká stacionární body.

VĚTA (nutná, nikoliv však postačující podmínka existence lokálního extrému): Má-li funkce f v bodě x0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace f/(x0), potom platí f/(x0) = 0.

Vzpomeňte si na některou mocninnou funkci s lichým přirozeným mocnitelem (např. f(x) = x3) a hned se můžete k platnosti či neplatnosti této věty kvalifikovaně vyjádřit.

f(x) = x3 f/(x) = 3x2 funkce f má první derivaci rovnou nule v bodě x0 = 0 (to je stacionární bod, tedy bod podezřelý z extrému), funkce f však v bodě x0 = 0 nemá lokální extrém, protože je funkce f vlevo i vpravo od tohoto bodu rostoucí.

PROBLÉM K ŘEŠENÍ – formulujte větu obrácenou a rozhodněte, zda tato věta platí.

Obrácená VĚTA: Je-li f/(x0) = 0, potom má funkce f v bodě x0 lokální extrém.

ÚLOHY K ŘEŠENÍ (podle obrázků) 1) Určete první derivaci funkce f v bodě x0.2) Ve kterých případech má funkce f v bodě x0 lokální extrém?3) Platí následující tvrzení?Jestliže nemá funkce f první derivaci v bodě x0, potom má funkce f v bodě x0 lokální extrém.

rostoucí klesající klesající rostoucí rostoucí rostoucí klesající klesající

ostré lokální maximum ostré lokální minimum v bodě x0 není extrém v bodě x0 není extrém

rostoucí klesající klesající rostoucí rostoucí rostoucí klesající klesající

ostré lokální maximum ostré lokální minimum v bodě x0 není extrém v bodě x0 není extrém

VĚTA (postačující podmínka existence lokálního extrému): Předpokládejme f/(x0) = 0.

Existuje-li -okolí bodu x0 [tedy interval (x0 – ; x0 + ) D(f)],

že v intervalech (x0 – ; x0) a (x0; x0 + ) má f/(x) různá znaménka, potom má funkce f v bodě x0 ostrý lokální extrém.

Mění-li se znaménko derivace z plus na minus, má funkce v bodě x0 ostré lokální maximum, mění-li se znaménko derivace z minus na plus, má funkce v bodě x0 ostré lokální minimum.Nemění-li se znaménko derivace, lokální extrém v bodě x0 funkce nemá.Analogicky toto platí také v případě, že funkce v bodě x0 derivaci nemá.

ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD

233

: 23

xxx

yfNajděte lokální extrémy funkce

Zjistíme stacionární body (body „podezřelé z extrému“).f/(x) = x2 – 2 x – 3f/(x) = 0 x2 – 2 x – 3 = 0 (x – 3) (x + 1) = 0 (x = 3 x = – 1)Stacionární body jsou tedy x = 3 nebo x = – 1.Zjistíme monotónnost funkce f pomocí stacionárních bodů a znaménka první derivace funkce. To lze řešit efektivně na číselné ose.

URČOVÁNÍ LOKÁLNÍCH EXTRÉMŮ FUNKCE POMOCÍ DRUHÉ DERIVACE FUNKCEUrčování lokálních extrémů funkce pomocí znaménkových změn první derivace funkce v okolí stacionárních bodů vede k řešení nerovnice f/(x) > 0 [f/(x) 0 ], to může být v některých případech nepříjemné. V těchto případech je dobré mít k dispozici alternativní (správné a jednodušší) řešení, nabízí se možnost určení lokálních extrémů funkce pomocí druhé derivace funkce. Následující obrázky ukazují, jak lze postupovat.

VĚTA (postačující podmínka existence lokálního extrému pomocí druhé derivace funkce): Předpokládejme f/(x0) = 0 a existenci druhé derivace funkce f v bodě x0. Je-li f//(x0) < 0, potom má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum.Je-li f//(x0) > 0, potom má funkce f v bodě x0 ostré lokální minimum.

Je-li f//(x0) = 0, nelze podle uvedené věty rozhodnout o existenci lokálního extrému.Například pro funkci f(x) = x4 platí:f/(x) = 4 x3 bod podezřelý z extrému je x0 = 0 f//(x) = 12 x2 f//(x0) = f//(0) = 0 podle uvedené věty o extrému funkce v bodě x0 = 0 nelze rozhodnoutZe znalosti grafů mocninných funkcí však víme, že funkce f(x) = x4 má v bodě x0 = 0 ostré lokální minimum. Pokračujme ve výpočtů vyšších derivací … f///(x) = 24 x f///(x0) = f///(0) = 0fIV(x) = 24 fIV(x0) = fIV(0) = 24 fIV(x0) > 0 funkce f(x) = x4 má v bodě x0 ostré lokální minimum (uvedenou větu jsme mírně zobecnili).Zkuste si podobné mírné zobecnění také pro funkci f(x) = – x6. VĚTA – zobecnění předcházející věty(postačující podmínka existence lokálního extrému pomocí znaménka sudé derivace funkce): Je dána funkce f, x0 reálné číslo, n přirozené číslo.Je-li f/(x0) = f//(x0) = f///(x0) = … = f(n-1)(x0) = 0 a f(n)(x0) 0, potom platí.Je-li n sudé a f(n)(x0) > 0, potom má funkce f v bodě x0 ostré lokální minimum.Je-li n sudé a f(n)(x0) > 0, potom má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum.

ILUSTRATIVNÍ PŘÍKLAD (určení lokálních extrémů funkce pomocí druhé derivace funkce ve stacionárních bodech)

233

: 23

xxx

yfNajděte lokální extrémy funkce

Zjistíme stacionární body (body „podezřelé z extrému“).f/(x) = x2 – 2 x – 3f/(x) = 0 x2 – 2 x – 3 = 0 (x – 3) (x + 1) = 0 (x = 3 x = – 1)Stacionární body jsou tedy x = 3 nebo x = – 1.f//(x) = 2 x – 2f//(3) = 4 > 0 funkce f má v bodě 3 ostré lokální minimumf//(– 1) = – 4 < 0 funkce f má v bodě – 1 ostré lokální maximum

MATEMATIKA – příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy, autor Jindra Petáková, vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1998, strana 158, úloha 45. ISBN 80-7196-099-3.

ÚLOHY K PROCVIČENÍ Určete lokální extrémy funkcí:

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

3)(

2

1 x

xxg

4

2)(

22

x

xg

xxxg4

)(3 24 4)( xxxg

x

xxg

2)(5

32

6 1)( xxg

2)3(

62)3(

62

2)3(

2)3(2)(/

1

x

xx

x

xx

x

xxxxg

34

22

4 3

18

)3(

696)3(2

)3(

)3(2622)3(62)(//

1

xx

xxxxx

x

xxxxxxg

D(g1)=R – { – 3}

3)(

2

1 x

xxg

6002)3(

60)(/

1

xx

x

xxxg

3

2

lim x

x

x

3

2

lim x

x

x

3

2

3lim x

x

x

3

2

3lim x

x

x

03

2

27

18)0(//

1g

03

2

27

18)6(//

1g

funkce g1 má v bodě 0 ostré lokální minimum

funkce g1 má v bodě -6 ostré lokální maximum