Matematika 2. Parciální derivace vyšších řádů, Směrová ...Matematika 2. Parciální...

Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS 2019-2020 – 1 / 19

Matematika 2.

Parciální derivace vyšších řádů,

Směrová derivace a gradient,

Funkce zadané implicitně

Petr Salač a Jiří HozmanFakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická

Technická univerzita v [email protected]@tul.cz

Parciální derivace složené funkce




Věta 3.4.



Věta 3.4.

Jsou-li funkce g1, g2, . . . , gp n proměnných x1, x2, . . . , xn diferencovatelné v bodě A



Věta 3.4.

Jsou-li funkce g1, g2, . . . , gp n proměnných x1, x2, . . . , xn diferencovatelné v bodě Aa je-li funkce h p proměnných y1, y2, . . . , yp diferencovatelná v boděB = [g1(A), g2(A), . . . , gp(A)],



Věta 3.4.

Jsou-li funkce g1, g2, . . . , gp n proměnných x1, x2, . . . , xn diferencovatelné v bodě Aa je-li funkce h p proměnných y1, y2, . . . , yp diferencovatelná v boděB = [g1(A), g2(A), . . . , gp(A)], pak je složená funkce f = h(g1, g2, . . . , gp)diferencovatelná v bodě A



Věta 3.4.

Jsou-li funkce g1, g2, . . . , gp n proměnných x1, x2, . . . , xn diferencovatelné v bodě Aa je-li funkce h p proměnných y1, y2, . . . , yp diferencovatelná v boděB = [g1(A), g2(A), . . . , gp(A)], pak je složená funkce f = h(g1, g2, . . . , gp)diferencovatelná v bodě A a platí:

∂f

∂xj

(A) =∂h

∂y1(B)

∂g1

∂xj

(A) +∂h

∂y2(B)

∂g2

∂xj

(A) + · · ·+∂h

∂yp(B)

∂gp

∂xj

(A)

pro j = 1, 2, . . . , n.



Věta 3.4.


∂f

∂xj

(A) =∂h

∂y1(B)

∂g1

∂xj

(A) +∂h

∂y2(B)

∂g2

∂xj

(A) + · · ·+∂h

∂yp(B)

∂gp

∂xj

(A)

pro j = 1, 2, . . . , n.

Příklad.



Věta 3.4.


∂f

∂xj

(A) =∂h

∂y1(B)

∂g1

∂xj

(A) +∂h

∂y2(B)

∂g2

∂xj

(A) + · · ·+∂h

∂yp(B)

∂gp

∂xj

(A)

pro j = 1, 2, . . . , n.

Příklad.

Určete ∂f∂xsložené funkce f = h(g1, g2, g3), kde h je funkce proměnných u, v, w

diferencovatelná na E3,g1(x, y, z) = x cos y sin z,g2(x, y, z) = x sin y sin z,g3(x, y, z) = x cos z.

Parciální derivace vyšších řádů




Parciální derivace vyšších řádů jsou definovány opakovaným parciálním derivovánímfunkce.



Parciální derivace vyšších řádů jsou definovány opakovaným parciálním derivovánímfunkce.Určením parciálních derivací parciálních derivací funkce f



Parciální derivace vyšších řádů jsou definovány opakovaným parciálním derivovánímfunkce.Určením parciálních derivací parciálních derivací funkce f dostaneme její druhéparciální derivace,



Parciální derivace vyšších řádů jsou definovány opakovaným parciálním derivovánímfunkce.Určením parciálních derivací parciálních derivací funkce f dostaneme její druhéparciální derivace, druhou parciální derivaci vzniklou derivováním nejprve podleproměnné xj



Parciální derivace vyšších řádů jsou definovány opakovaným parciálním derivovánímfunkce.Určením parciálních derivací parciálních derivací funkce f dostaneme její druhéparciální derivace, druhou parciální derivaci vzniklou derivováním nejprve podleproměnné xj a pak podle proměnné xk



Parciální derivace vyšších řádů jsou definovány opakovaným parciálním derivovánímfunkce.Určením parciálních derivací parciálních derivací funkce f dostaneme její druhéparciální derivace, druhou parciální derivaci vzniklou derivováním nejprve podleproměnné xj a pak podle proměnné xk značíme

∂2f∂xj∂xk

.




∂2f∂xj∂xk

.V případě j 6= k hovoříme o smíšených druhých parciálních derivacích,




∂2f∂xj∂xk

.V případě j 6= k hovoříme o smíšených druhých parciálních derivacích,v případě j = k o ryzích druhých parciálních derivacích




∂2f∂xj∂xk

.V případě j 6= k hovoříme o smíšených druhých parciálních derivacích,v případě j = k o ryzích druhých parciálních derivacích a píšeme ∂2f

∂x2j




∂2f∂xj∂xk


∂x2j

Analogicky třetí,




∂2f∂xj∂xk


∂x2j

Analogicky třetí, čtvrté,




∂2f∂xj∂xk


∂x2j

Analogicky třetí, čtvrté, páté




∂2f∂xj∂xk


∂x2j

Analogicky třetí, čtvrté, páté a obecně m-té parciální derivace




∂2f∂xj∂xk


∂x2j

Analogicky třetí, čtvrté, páté a obecně m-té parciální derivace značíme

∂mf

∂xj1∂xj2 . . . ∂xjm

.




∂2f∂xj∂xk


∂x2j


∂mf

∂xj1∂xj2 . . . ∂xjm

.

Příklad.




∂2f∂xj∂xk


∂x2j


∂mf

∂xj1∂xj2 . . . ∂xjm

.

Příklad.

Určete všechny druhé parciální derivace funkce

f(x, y) = x2y + x4y3 definované v E2 .



Věta 3.5.



Věta 3.5.

Jsou-li parciální derivace ∂f∂xj

, ∂f∂xkdiferencovatelné v bodě A,



Věta 3.5.

Jsou-li parciální derivace ∂f∂xj

, ∂f∂xkdiferencovatelné v bodě A, pak platí

∂2f

∂xj∂xk

(A) =∂2f

∂xk∂xj

(A) .

Funkce m-krát diferencovatelné v bodě




Definice.



Definice.

Řekneme, že funkce f n proměnných je v bodě A m-krát diferencovatelná,



Definice.

Řekneme, že funkce f n proměnných je v bodě A m-krát diferencovatelná, jestližejsou v bodě A diferencovatelné všechny její (m− 1)-ní parciální derivace



Definice.

Řekneme, že funkce f n proměnných je v bodě A m-krát diferencovatelná, jestližejsou v bodě A diferencovatelné všechny její (m− 1)-ní parciální derivace a funkce f avšechny její k-té parciální derivace, k < m− 1,



Definice.

Řekneme, že funkce f n proměnných je v bodě A m-krát diferencovatelná, jestližejsou v bodě A diferencovatelné všechny její (m− 1)-ní parciální derivace a funkce f avšechny její k-té parciální derivace, k < m− 1, jsou diferencovatelné na všech bodechnějakého okolí bodu A.



Definice.


Věta 3.6.



Definice.


Věta 3.6.

Je-li funkce f n proměnných m-krát diferencovatelná v bodě A,



Definice.


Věta 3.6.

Je-li funkce f n proměnných m-krát diferencovatelná v bodě A, pak všechny m-téparciální derivace v bodě A lišící se jen pořadím parciálního derivování jsou si rovny.



Definice.


Věta 3.6.


Příklad.



Definice.


Věta 3.6.


Příklad.

Je-li např. f funkce dvou proměnných třikrát diferencovatelná v bodě A,



Definice.


Věta 3.6.


Příklad.

Je-li např. f funkce dvou proměnných třikrát diferencovatelná v bodě A, pak

∂3f

∂x2∂y=

∂3f

∂x∂y∂x=

∂3f

∂y∂x2.

Směrová derivace a gradient


Je-li funkce f n proměnných



Je-li funkce f n proměnných s definičním oborem D(f),



Je-li funkce f n proměnných s definičním oborem D(f), A ∈ D(f),



Je-li funkce f n proměnných s definičním oborem D(f), A ∈ D(f),s jednotkový n-rozměrný vektor,



Je-li funkce f n proměnných s definičním oborem D(f), A ∈ D(f),s jednotkový n-rozměrný vektor, definujeme funkci gs jedné proměnné s definičnímoborem




D(gs) = {t ∈ R; A+ ts ∈ D(f)}




D(gs) = {t ∈ R; A+ ts ∈ D(f)}

a funkčním předpisem




D(gs) = {t ∈ R; A+ ts ∈ D(f)}

a funkčním předpisemgs(t) = f(A+ ts) .




D(gs) = {t ∈ R; A+ ts ∈ D(f)}


Má-li funkce gs derivaci v bodě 0,




D(gs) = {t ∈ R; A+ ts ∈ D(f)}


Má-li funkce gs derivaci v bodě 0, nazýváme ji směrovou derivací funkce f v bodě Ave směru vektoru s




D(gs) = {t ∈ R; A+ ts ∈ D(f)}


Má-li funkce gs derivaci v bodě 0, nazýváme ji směrovou derivací funkce f v bodě Ave směru vektoru s a značíme ji




D(gs) = {t ∈ R; A+ ts ∈ D(f)}


Má-li funkce gs derivaci v bodě 0, nazýváme ji směrovou derivací funkce f v bodě Ave směru vektoru s a značíme ji

∂f

∂s(A) (= g′s(0) ) .



Příklad

Urcete smerovou derivaci funkce

f(x, y) = x2 + xy + 2y2

v bode A = [1, 2] ve smeru vektoru s = (2, 4).



Příklad


f(x, y) = x2 + xy + 2y2


Poznámka



Příklad


f(x, y) = x2 + xy + 2y2


Poznámka

Rozepsanım



Příklad


f(x, y) = x2 + xy + 2y2


Poznámka

Rozepsanım

∂f∂s(A)



Příklad


f(x, y) = x2 + xy + 2y2


Poznámka

Rozepsanım

∂f∂s(A) = limt→0

gs(t)−gs(0)t



Příklad


f(x, y) = x2 + xy + 2y2


Poznámka

Rozepsanım


gs(t)−gs(0)t

= limt→0f(A+ts)−f(A)

t



Příklad


f(x, y) = x2 + xy + 2y2


Poznámka

Rozepsanım


gs(t)−gs(0)t


t

tj. smerova derivace funkce f



Příklad


f(x, y) = x2 + xy + 2y2


Poznámka

Rozepsanım


gs(t)−gs(0)t


t

tj. smerova derivace funkce f v bode A



Příklad


f(x, y) = x2 + xy + 2y2


Poznámka

Rozepsanım


gs(t)−gs(0)t


t

tj. smerova derivace funkce f v bode A ve smeru vektoru s



Příklad


f(x, y) = x2 + xy + 2y2


Poznámka

Rozepsanım


gs(t)−gs(0)t


t

tj. smerova derivace funkce f v bode A ve smeru vektoru s popisuje, jak rychle se menızavisle promenna s pohybem bodu A



Příklad


f(x, y) = x2 + xy + 2y2


Poznámka

Rozepsanım


gs(t)−gs(0)t


t

tj. smerova derivace funkce f v bode A ve smeru vektoru s popisuje, jak rychle se menızavisle promenna s pohybem bodu A ve smeru vektoru s.



Uvažujme základní jednotkový vektor




ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)




ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)

a počítáme




ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)

a počítáme∂f∂ej




ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)

a počítáme∂f∂ej= g′ej (0)




ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)

a počítáme∂f∂ej= g′ej (0) = limt→0

f(A+tej)−f(A)t

=




ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)


f(A+tej)−f(A)t

= = limt→0f(a1,a2,...,aj+t,...,an)−f(A)

t=




ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)


f(A+tej)−f(A)t

= = limt→0f(a1,a2,...,aj+t,...,an)−f(A)

t=

u = aj + t




ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)


f(A+tej)−f(A)t

= = limt→0f(a1,a2,...,aj+t,...,an)−f(A)

t=

u = aj + t

= limu→aj

f(a1,a2,...,u,...,an)−f(A)u−aj




ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)


f(A+tej)−f(A)t

= = limt→0f(a1,a2,...,aj+t,...,an)−f(A)

t=

u = aj + t

= limu→aj

f(a1,a2,...,u,...,an)−f(A)u−aj

= limu→aj

gj(u)−gj(aj)u−aj




ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)


f(A+tej)−f(A)t

= = limt→0f(a1,a2,...,aj+t,...,an)−f(A)

t=

u = aj + t

= limu→aj

f(a1,a2,...,u,...,an)−f(A)u−aj

= limu→aj


= ∂f∂xj(A),




ej = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)


f(A+tej)−f(A)t

= = limt→0f(a1,a2,...,aj+t,...,an)−f(A)

t=

u = aj + t

= limu→aj

f(a1,a2,...,u,...,an)−f(A)u−aj

= limu→aj


= ∂f∂xj(A),

tedy parciální derivace jsou zvláštním případem směrových derivací.



Předpokládáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě A,



Předpokládáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě A,gs(t)



Předpokládáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě A,gs(t) = f(A+ ts)



Předpokládáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě A,gs(t) = f(A+ ts) = f(a1 + ts1, a2 + ts2, . . . , an + tsn),



Předpokládáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě A,gs(t) = f(A+ ts) = f(a1 + ts1, a2 + ts2, . . . , an + tsn),a funkci gs považujeme za složenou funkci s vnější složkou f



Předpokládáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě A,gs(t) = f(A+ ts) = f(a1 + ts1, a2 + ts2, . . . , an + tsn),a funkci gs považujeme za složenou funkci s vnější složkou f a s vnitřními složkami




hj(t) = aj + tsj j = 1, 2, . . . , n




hj(t) = aj + tsj j = 1, 2, . . . , n

(hj jsou diferencovatelné v 0, h′

j(0) = sj)




hj(t) = aj + tsj j = 1, 2, . . . , n


j(0) = sj)⇒ gs je diferencovatelná v 0 a platí




hj(t) = aj + tsj j = 1, 2, . . . , n


j(0) = sj)⇒ gs je diferencovatelná v 0 a platí∂f∂s(A)




hj(t) = aj + tsj j = 1, 2, . . . , n


j(0) = sj)⇒ gs je diferencovatelná v 0 a platí∂f∂s(A) = g′s(0)




hj(t) = aj + tsj j = 1, 2, . . . , n


j(0) = sj)⇒ gs je diferencovatelná v 0 a platí∂f∂s(A) = g′s(0) =

∂f∂x1(A)s1 +

∂f∂x2(A)s2 + · · ·+ ∂f

∂xn(A)sn (∗)




hj(t) = aj + tsj j = 1, 2, . . . , n



∂f∂x1(A)s1 +

∂f∂x2(A)s2 + · · ·+ ∂f

∂xn(A)sn (∗)

Definice




hj(t) = aj + tsj j = 1, 2, . . . , n



∂f∂x1(A)s1 +

∂f∂x2(A)s2 + · · ·+ ∂f

∂xn(A)sn (∗)

Definice

Je-li funkce f diferencovatelna v bode A, definujeme




hj(t) = aj + tsj j = 1, 2, . . . , n



∂f∂x1(A)s1 +

∂f∂x2(A)s2 + · · ·+ ∂f

∂xn(A)sn (∗)

Definice

Je-li funkce f diferencovatelna v bode A, definujeme gradient funkce f v bode A




hj(t) = aj + tsj j = 1, 2, . . . , n



∂f∂x1(A)s1 +

∂f∂x2(A)s2 + · · ·+ ∂f

∂xn(A)sn (∗)

Definice

Je-li funkce f diferencovatelna v bode A, definujeme gradient funkce f v bode A jakon-rozmerny vektor




hj(t) = aj + tsj j = 1, 2, . . . , n



∂f∂x1(A)s1 +

∂f∂x2(A)s2 + · · ·+ ∂f

∂xn(A)sn (∗)

Definice


(∂f

∂x1(A),

∂f

∂x2(A), . . . ,

∂f

∂xn

(A))




hj(t) = aj + tsj j = 1, 2, . . . , n



∂f∂x1(A)s1 +

∂f∂x2(A)s2 + · · ·+ ∂f

∂xn(A)sn (∗)

Definice


(∂f

∂x1(A),

∂f

∂x2(A), . . . ,

∂f

∂xn

(A))

a oznacıme jej gradf(A).



Poznámka



Poznámka

Vzorec (*) lze prepsat do tvaru



Poznámka


∂f

∂s(A) = gradf(A).s



Poznámka


∂f


kde . znacı skalarnı soucin vektoru.



Poznámka


∂f



Poznámka (n=2 nebo n=3)



Poznámka


∂f



Poznámka (n=2 nebo n=3)Je-li gradf(A) 6= 0, pak



Poznámka


∂f



Poznámka (n=2 nebo n=3)Je-li gradf(A) 6= 0, pak∂f∂s(A)



Poznámka


∂f



Poznámka (n=2 nebo n=3)Je-li gradf(A) 6= 0, pak∂f∂s(A) = |gradf(A)|.|s|. cosα



Poznámka


∂f





Smerova derivace v bode A je tedy nejvetsı,



Poznámka


∂f





Smerova derivace v bode A je tedy nejvetsı, resp. nejmensı,



Poznámka


∂f





Smerova derivace v bode A je tedy nejvetsı, resp. nejmensı, prave kdyz α = 0,



Poznámka


∂f





Smerova derivace v bode A je tedy nejvetsı, resp. nejmensı, prave kdyz α = 0, resp.α = π.



Poznámka


∂f





Smerova derivace v bode A je tedy nejvetsı, resp. nejmensı, prave kdyz α = 0, resp.α = π.(tj. s je nasobkem gradientu).



Příklad

Urcete jednotkovy vektor s, v jehoz smeru je smerova derivace

f(x, y) = x2 + xy + 2y2

v bode A = [1, 2] nejvetsı a zjistete ji.



1) Funkce zadaná explicitním vyjádřením (explicitní funkce) je zadána analytickýmpředpisem




y = f(x) .




y = f(x) .

Příklad 1.

f(x) = sin x




y = f(x) .

Příklad 1.

f(x) = sin xf(x) = x3 + 2x− 11




y = f(x) .

Příklad 1.

f(x) = sin xf(x) = x3 + 2x− 11

2) Funkce zadana parametrickym vyjadrenım (parametricka funkce) je zadana soustavourovnic




y = f(x) .

Příklad 1.

f(x) = sin xf(x) = x3 + 2x− 11


x = f1(t), y = f2(t) ,

kde t je realny parametr.




y = f(x) .

Příklad 1.

f(x) = sin xf(x) = x3 + 2x− 11


x = f1(t), y = f2(t) ,


Příklad 2.

x = 2 + 3t, y = 1− t , t ∈ R , prımka




y = f(x) .

Příklad 1.

f(x) = sin xf(x) = x3 + 2x− 11


x = f1(t), y = f2(t) ,


Příklad 2.

x = 2 + 3t, y = 1− t , t ∈ R , prımkax = cos t, y = sin t , t ∈ [0, 2π] , kruznice




y = f(x) .

Příklad 1.

f(x) = sin xf(x) = x3 + 2x− 11


x = f1(t), y = f2(t) ,


Příklad 2.

x = 2 + 3t, y = 1− t , t ∈ R , prımkax = cos t, y = sin t , t ∈ [0, 2π] , kruznicex = 2 cos t, y = 5 sin t , t[0, 2π] , elipsa



3) Funkce zadaná v implicitním tvaru (implicitní funkce) je zadána pomocí funkcedvou reálných proměnných. Ptáme se, kdy rovnice




g(x, y) = 0

určuje y jako funkci proměnné x.




g(x, y) = 0

určuje y jako funkci proměnné x.

Příklad 3.

y − x− arctgy = 0 .



Uvažujme funkci g dvou proměnných



Uvažujme funkci g dvou proměnných a označme

P = {[x, y] ∈ D(g); g(x, y) = 0} .




P = {[x, y] ∈ D(g); g(x, y) = 0} .

Množina P může být prázdná, konečná i nekonečná.




P = {[x, y] ∈ D(g); g(x, y) = 0} .

Množina P může být prázdná, konečná i nekonečná.Nás zajímá případ, kdy P je grafem nějaké funkce f jedné proměnné.




P = {[x, y] ∈ D(g); g(x, y) = 0} .


Příklad 4.

g(x, y) = x2 + y2 + 1




P = {[x, y] ∈ D(g); g(x, y) = 0} .


Příklad 4.

g(x, y) = x2 + y2 + 1

Příklad 5.

g(x, y) = x2 + y2




P = {[x, y] ∈ D(g); g(x, y) = 0} .


Příklad 4.

g(x, y) = x2 + y2 + 1

Příklad 5.

g(x, y) = x2 + y2

Příklad 6.

g(x, y) = x2 + y2 − 1



Příklad 7.

g(x, y) = x+ y



Příklad 7.

g(x, y) = x+ y

Příklad 8.

g(x, y) = xy − |xy|



Příklad 7.

g(x, y) = x+ y

Příklad 8.

g(x, y) = xy − |xy|

Příklad 9.




Příklad 7.

g(x, y) = x+ y

Příklad 8.

g(x, y) = xy − |xy|

Příklad 9.


Příklad 10.

x2 − 2xy + y2 + x+ y − 4 = 0 .



Příklad 7.

g(x, y) = x+ y

Příklad 8.

g(x, y) = xy − |xy|

Příklad 9.


Příklad 10.

x2 − 2xy + y2 + x+ y − 4 = 0 .

Příklad 11.

4x2 + 2y2 − 3z2 + xy − yz + x+ 18 = 0 .



Věta 4.1. (veta o implicitnı funkci)



Věta 4.1. (veta o implicitnı funkci)Je-li g funkce dvou promennych, jejımz korenem je bod B = [a, b],



Věta 4.1. (veta o implicitnı funkci)Je-li g funkce dvou promennych, jejımz korenem je bod B = [a, b], ma-li funkce g

spojite vsechny m-te parcialnı derivace v nejakem okolı V bodu B




spojite vsechny m-te parcialnı derivace v nejakem okolı V bodu B a je-li ∂g∂y(B) 6= 0,





pak existuje okolı U bodu a





pak existuje okolı U bodu a a jedina funkce f jedne promenne, ktera ma na U spojitoum-tou derivaci, pro kazde x ∈ U





pak existuje okolı U bodu a a jedina funkce f jedne promenne, ktera ma na U spojitoum-tou derivaci, pro kazde x ∈ U platı






g(x, f(x)) = 0 (1)






g(x, f(x)) = 0 (1)

a

f(a) = b . (2)






g(x, f(x)) = 0 (1)

a

f(a) = b . (2)

Definice






g(x, f(x)) = 0 (1)

a

f(a) = b . (2)

Definice

Funkci f (z Vety 4.1.) nazyvame funkcı zadanou implicitne rovnicı g(x, y) = 0 a bodemB.



Poznámka (derivovanı funkce zadane implicitne)



Poznámka (derivovanı funkce zadane implicitne)Rovnost (1) derivujeme podle x s prihlednutım ke skutecnosti, ze v (1) je za druhoupromennou „dosazena“ funkce promenne x.



Poznámka (derivovanı funkce zadane implicitne)Rovnost (1) derivujeme podle x s prihlednutım ke skutecnosti, ze v (1) je za druhoupromennou „dosazena“ funkce promenne x.(aplikujeme vetu o slozene funkci)



Poznámka (derivovanı funkce zadane implicitne)Rovnost (1) derivujeme podle x s prihlednutım ke skutecnosti, ze v (1) je za druhoupromennou „dosazena“ funkce promenne x.(aplikujeme vetu o slozene funkci)Dostaneme




∂g

∂x(x, f(x)) +

∂g

∂y(x, f(x)).f ′(x) = 0 (3)




∂g

∂x(x, f(x)) +

∂g

∂y(x, f(x)).f ′(x) = 0 (3)

pokud




∂g

∂x(x, f(x)) +

∂g

∂y(x, f(x)).f ′(x) = 0 (3)

pokud

∂g

∂y(x, f(x)) 6= 0




∂g

∂x(x, f(x)) +

∂g

∂y(x, f(x)).f ′(x) = 0 (3)

pokud

∂g

∂y(x, f(x)) 6= 0

f ′(x) = −∂g∂x(x, f(x))

∂g∂y(x, f(x))



dalším derivováním (3) dostaneme




∂2g

∂x2(x, f(x)) +

∂2g

∂x∂y(x, f(x)).f ′(x)+




∂2g

∂x2(x, f(x)) +

∂2g

∂x∂y(x, f(x)).f ′(x)+

+(∂2g

∂x∂y(x, f(x)) +

∂2g

∂2y(x, f(x)).f ′(x)).f ′(x)+




∂2g

∂x2(x, f(x)) +

∂2g

∂x∂y(x, f(x)).f ′(x)+

+(∂2g

∂x∂y(x, f(x)) +

∂2g

∂2y(x, f(x)).f ′(x)).f ′(x)+

+∂g

∂y(x, f(x)).f ′′(x) = 0 ,




∂2g

∂x2(x, f(x)) +

∂2g

∂x∂y(x, f(x)).f ′(x)+

+(∂2g

∂x∂y(x, f(x)) +

∂2g

∂2y(x, f(x)).f ′(x)).f ′(x)+

+∂g

∂y(x, f(x)).f ′′(x) = 0 ,

odtud vypočítáme




∂2g

∂x2(x, f(x)) +

∂2g

∂x∂y(x, f(x)).f ′(x)+

+(∂2g

∂x∂y(x, f(x)) +

∂2g

∂2y(x, f(x)).f ′(x)).f ′(x)+

+∂g

∂y(x, f(x)).f ′′(x) = 0 ,

odtud vypočítáme

f ′′(x) = . . .




∂2g

∂x2(x, f(x)) +

∂2g

∂x∂y(x, f(x)).f ′(x)+

+(∂2g

∂x∂y(x, f(x)) +

∂2g

∂2y(x, f(x)).f ′(x)).f ′(x)+

+∂g

∂y(x, f(x)).f ′′(x) = 0 ,

odtud vypočítáme

f ′′(x) = . . .

podobně postupujeme dále . . .



Příklad.

Urcete tecnu grafu funkce f zadane implicitne rovnicı

x2 − 2xy + y2 + x+ y − 4 = 0

a bodem B = [1, 2] v bode B.



Příklad.


x2 − 2xy + y2 + x+ y − 4 = 0


Analogicky postupujeme u funkcı vıce promennych.



Příklad.


x2 − 2xy + y2 + x+ y − 4 = 0


Analogicky postupujeme u funkcı vıce promennych.

Příklad.

Urcete tecnou rovinu grafu funkce f(x, y) dvou promennych zadane implicitne rovnicı

4x2 + 2y2 − 3z2 + xy − yz + x+ 18 = 0

a bodem B = [1, 2, 3] v bode B.

Matematika 2. Parciální derivace vyšších řádů, Směrová ...Matematika 2. Parciální...

Documents

Transcript of Matematika 2. Parciální derivace vyšších řádů, Směrová ...Matematika 2. Parciální...