Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizace

Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616

Název projektu: Inovace výuky

Číslo a název šablony klíčové aktivity:

EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol

Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)

EU-8-60 – DERIVACE FUNKCE XVI(průběh funkce - asymptoty)

AnotaceAsymptoty jako nástroj zpřesnění rýsování grafu funkce v úlohách o průběhu funkce. Animace a obrázky názorně ukazují problematiku asymptot funkce. Asymptoty bez směrnice, asymptoty se směrnicí, jejich zjišťování.

Autor PaedDr. Milan Rieger

Jazyk Čeština

Očekávaný výstupŽák chápe význam asymptot při rýsování grafu funkce, dovede určovat asymptotu bez směrnice pomocí nevlastní jednostranné či oboustranné limity v bodě nespojitosti funkce či asymptotu se směrnicí, dovede vypočítat koeficienty a, b v rovnici asymptoty y = a x + b.

Klíčová slova Asymptota grafu funkce, asymptota bez směrnice, asymptota se směrnicí.

Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy

Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace

Cílová skupina Žák

Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání

Typická věková skupina 17 – 19 let

Datum vytvoření 22. 12. 2013

PŘIPOMENUTÍ 1 - GEOMETRICKÝ VÝZNAM DERIVACE FUNKCE f(x) V BODĚ x0

směrnice kTL sečny TLsměrnice tečny t

)()()(

lim 00

0

0

xfxx

xfxfk

xxt

tgxx

xfxfkTL

0

0 )()(

Derivace funkce f(x) v bodě x0 udává směrnici tečny t (kt) k funkci f(x)v bodě T[x0; f(x0)]. Rovnice tečny t: y – f(x0) = f'(x0) (x – x0).

– SMĚRNICE k PŘÍMKY p

– SMĚRNICOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY p qxkyp :

PŘIPOMENUTÍ 2 – směrnice přímky, směrnicový tvar rovnice přímky

Přímky rovnoběžné s osou y nemají definovanou směrnici.

ASYMPTOTY GRAFU FUNKCE

jsou přímky, které zpřesňují sestrojení grafu funkce

asymptoty bez směrnice jsou asymptoty, které nemají definovanou

směrnici (k = tg ; je-li = 90, potom tg není definováno), takové přímky

jsou rovnoběžné s osou y

asymptoty se směrnicí jsou přímky určené rovnicí y = a x + b (a = tg , kde

je směrový úhel přímky), takové přímky jsou různoběžné s osou

y a protínají ji v bodě [0; b]

asymptota bez směrnice

asymptota se směrnicík = tg 0 = 0

xy

1

ASYMPTOTA BEZ SMĚRNICE grafu funkce f

je přímka o rovnici x = a tehdy, když má funkce f v bodě a aspoň jednu

jednostrannou nevlastní limitu.

1

12:

x

xyf

Funkce f není definována v bodě x = 1.

)(lim xfax

Příklad:

1

12lim1 x

xx

1

12lim1 x

xx

Funkce f má asymptotu bez směrniceo rovnici x = 1.

DEFINICE ASYMPTOTY SE SMĚRNICÍ grafu funkce f

Přímka y = a x + b se nazývá asymptota se směrnicí grafu funkce f,

jestliže . 0)()(lim

baxxfx

0)(

lim0)(

lim

0)()(

lim0)()(lim

ax

xf

x

ba

x

xfx

baxxfbaxxf

xx

xx

x

xfa

x

)(lim

0)()(lim baxxfx

axxfbx

)(lim

Určení konstant a, b v rovnici přímky y = a x + b:

DEFINICE ASYMPTOTY SE SMĚRNICÍ grafu funkce f

Přímka y = a x + b se nazývá asymptota se směrnicí grafu funkce f,

jestliže . 0)()(lim

baxxfx

0)(

lim0)(

lim

0)()(

lim0)()(lim

ax

xf

x

ba

x

xfx

baxxfbaxxf

xx

xx

x

xfa

x

)(lim

0)()(lim baxxfx

axxfbx

)(lim

Určení konstant a, b v rovnici přímky y = a x + b:

DALŠÍ PŘÍKLADY ASYMPTOT SE SMĚRNICÍ grafu funkce f

axxfbx

xfa

xx

)(lim,

)(lim

Přímka o rovnici y = a x + b je asymptotou se směrnicí grafu funkce f právě tehdy, když existují limity

nebo axxfbx

xfa

xx

)(lim,

)(lim

ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1

Je dána funkce f. Určete:a) definiční obor funkce,b) průsečíky funkce s osami souřadnými,c) asymptoty funkce,d) monotónnost funkce a lokální extrémy.Narýsujte graf funkce.

2

33:

x

xyf

102

330)(;

2

3)0()

xx

xxffb

2)() RfDa

32

363lim2

33

lim)(

lim)2

2

xx

xx

xx

x

x

xfac

xxx

02

3lim3

2

363lim3)(lim

2

x

xx

xxxxfb

xxx

22

2/

2

313

2

343)

x

xx

x

xxyd

Funkce f je rostoucí v intervalech (–; 1>, <3;+),

klesající v intervalech <1; 2), (2;3>.

V bodě 1 má funkce f ostré lokální maximum, f(1)=0.

V bodě 3 má funkce f ostré lokální minimum, f(3)=12.

Funkce f má asymptotu bez směrnice o rovnici x = 2,

asymptota se směrnicí je určena rovnicí y = 3 x.

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

p1)

p3)

p5)

p2)

p4)

ÚLOHY K PROCVIČENÍ

3

1:

2

x

xyf

Je dána funkce f. Určete:a) definiční obor funkce,b) průsečíky funkce s osami souřadnými,c) asymptoty funkce,d) monotónnost funkce a lokální extrémy.Narýsujte graf funkce.

23

12:

x

xyf

xx

xyf

12:

2:

2

x

xyf

2

1:

xyf

MATEMATIKA PRO GYMNÁZIA – Diferenciální a integrální počet, 1. vydání, Dag Hrubý, Josef Kubát, 1997 vydalo nakladatelství Prometheus, spol. s r.o., v roce 1997, strana 82, úloha 3.12. ISBN 80-7196-063-2.

p6) 3

1:

xyf