GONIOMETRICKÉ FUNKCE

24
1 GONIOMETRICKÉ GONIOMETRICKÉ FUNKCE FUNKCE Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Kristýna Zemková, Václav Zemek Gymnázium, Prachatice, Zlatá stezka 137 V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU

description

GONIOMETRICKÉ FUNKCE. V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Kristýna Zemková, Václav Zemek Gymnázium, Prachatice, Zlatá stezka 137. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of GONIOMETRICKÉ FUNKCE

Page 1: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

11

GONIOMETRICKGONIOMETRICKÉ FUNKCEÉ FUNKCE

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF

a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Kristýna Zemková, Václav ZemekGymnázium, Prachatice, Zlatá stezka

137

V PRAVOÚHLÉM V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKUTROJÚHELNÍKU

Page 2: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

22

Thaletova věta:

Všechny trojúhelníky, jejichž střed kružnice opsané půlí nejdelší stranu, jsou pravoúhlé.

Strany pravoúhlého trojúhelníku:

Pravoúhlý trojúhelníkPravoúhlý trojúhelník

Co víš o pravoúhlém trojúhelníku?Co víš o pravoúhlém trojúhelníku?

2 2 2a b c

Pythagorova věta:

Page 3: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

33

Sinus ostrého úhluSinus ostrého úhlu

Pomocí funkce sinus se naučíme Pomocí funkce sinus se naučíme vypočítat jeden z ostrých úhlů vypočítat jeden z ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku.pravoúhlého trojúhelníku.

Nejprve se však musíme domluvit na Nejprve se však musíme domluvit na pojmenování odvěsen trojúhelníku:pojmenování odvěsen trojúhelníku:

Page 4: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

44

Dokážeš určit protilehlou a přilehlou Dokážeš určit protilehlou a přilehlou odvěsnu úhlu odvěsnu úhlu ? ?

Page 5: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

55

protilehlá odvěsnasin

přepona

a

c

Dokážeš určit sinDokážeš určit sin??

protilehlá odvěsna úhlu sin

přepona

b

c

Page 6: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

66

Hodnota sinu úhlu nezáleží na velikosti Hodnota sinu úhlu nezáleží na velikosti trojúhelníku, ale na poměru stran.trojúhelníku, ale na poměru stran.

3 cm

6 cm

9 cm

BC

DE

FG

5 cm

10 cm

15 cm

AB

AD

AF

3sin 0,6

5

6sin 0,6

10

9sin 0,6

12

BC

AB

DE

AD

FG

AF

Page 7: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

77

Je dán pravoúhlý trojúhelník Je dán pravoúhlý trojúhelník ABCABC s s pravým úhlem při vrcholu pravým úhlem při vrcholu CC; ; aa = 5 cm= 5 cm, , c c == 10 cm 10 cm. Vypočítej úhel . Vypočítej úhel . .

Řešení:Řešení:

Nejprve vypočítáme sinNejprve vypočítáme sin..

POZOR, to ještě není velikost úhlu! POZOR, to ještě není velikost úhlu! Kalkulačkou (nebo tabulkami) určíme Kalkulačkou (nebo tabulkami) určíme úhel.úhel.

5sin 0,5

10

a

c

30

K čemu využijeme sinus úhlu?K čemu využijeme sinus úhlu?

Page 8: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

88

Příklad 1:

Trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C; c = 5 cm, b = 3 cm. Kolik měří úhel ?

Page 9: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

99

První způsob:První způsob:

1.1. Pomocí Pythagorovy věty dopočítáme Pomocí Pythagorovy věty dopočítáme stranu stranu aa..

2.2. Vypočítáme sinVypočítáme sin..

3.3. Pomocí kalkulačky nebo tabulek určíme Pomocí kalkulačky nebo tabulek určíme úhel úhel ..

4.4. Velikost úhlu Velikost úhlu je tedy přibližně 53°8‘. je tedy přibližně 53°8‘.

2 2 2 25 3 25 9 16 4 cma c b

4sin 0,8

5

a

c

53,13 53 8'

Page 10: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1010

Druhý způsob:Druhý způsob:1.1. Vypočítáme pomocí funkce sin velikost Vypočítáme pomocí funkce sin velikost

úhlu úhlu ..

2.2. Využijeme vlastnost úhlů v trojúhelníku – Využijeme vlastnost úhlů v trojúhelníku – jejich součet je vždy 180°. Trojúhelník je jejich součet je vždy 180°. Trojúhelník je pravoúhlý, tedy jeden úhel je velký 90°. pravoúhlý, tedy jeden úhel je velký 90°.

3.3. Velikost úhlu Velikost úhlu je tedy přibližně 53°8‘. je tedy přibližně 53°8‘.

3sin 0,6

536 52 '

b

c

180 90 90

90 90 36 52 ' 53 8'

Page 11: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1111

Příklad 2:Příklad 2:

Zjisti bez tabulek či kalkulačky, jen s pomocí pravítka a úhloměru, velikost úhlu , jestliže sin=0,65.

Řešení:1.1.Nejprve si musíme uvědomit, žeNejprve si musíme uvědomit, že

, kde 10 je přepona trojúhelníku , kde 10 je přepona trojúhelníku a 6,5 protilehlá odvěsna daného úhlu.a 6,5 protilehlá odvěsna daného úhlu.

6,50,65

10

Page 12: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1212

2.2. Tento trojúhelník sestrojíme. Tento trojúhelník sestrojíme. Pomůže nám Thaletova věta.Pomůže nám Thaletova věta.

3.3. Úhel změříme.Úhel změříme.

4.4. Výsledek si ověříme v tabulkách Výsledek si ověříme v tabulkách nebo na kalkulačce.nebo na kalkulačce.

Page 13: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1313

Kosinus ostrého úhluKosinus ostrého úhlu

přilehlá odvěsnacos

přepona

b

c

Page 14: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1414

Příklad 1:Příklad 1:

sin

cos

d

f

e

f

sin

cos

e

f

d

f

Zapiš sinus a kosinus úhlů Zapiš sinus a kosinus úhlů a a pomocí pomocí délek stran trojúhelníku délek stran trojúhelníku DEF.DEF.

Page 15: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1515

Příklad 2:Příklad 2:

Narýsujeme pravoúhlý trojúhelník s přeponou dlouhou 10 cm. Poté změříme délku odvěsen.

5,7sin 35 0,57

108,2

cos35 0,8210

Narýsuj vhodný trojúhelník s úhlem Narýsuj vhodný trojúhelník s úhlem = = 35°, změř potřebné strany a urči s 35°, změř potřebné strany a urči s přesností na dvě desetinná místa sinpřesností na dvě desetinná místa sin a a coscos..Řešení:

Page 16: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1616

Tangens a kotangens Tangens a kotangens ostrého úhluostrého úhlu

protilehlá odvěsnatg =

přilehlá odvěsna

a

b

protilehlá odvěsnatg =

přilehlá odvěsna

b

a

přilehlá odvěsnacotg =

protilehlá odvěsna

a

b

Page 17: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1717

Bez pomoci tabulek a kalkulačky, jen Bez pomoci tabulek a kalkulačky, jen rýsováním a měřením, urči přibližnou rýsováním a měřením, urči přibližnou velikost ostrého úhlu velikost ostrého úhlu , jestliže platí, jestliže platí ..

Příklad 1:Příklad 1:

tg 0,625

Řešení:5

0,6258

5tg

8

b

a

32

Page 18: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1818

Příklad 2:Příklad 2:

tg 4 cotg ?

1cotg

4

b

a

Řešení:

4tg

1

a

b

Page 19: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

1919

Vztahy mezi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi goniometrickými funkcemi

ostrého úhluostrého úhlu

90

90

sin

cos cos 90

sin cos

a

ca

c

cos

sin sin 90

cos sin

b

cb

c

Podobně:tg cotg

tg cotg

Page 20: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

2020

tg co

1 1tg cotg

cotg tg

tga b

b a

2 2 2

2 2 2

2 22 2 2

2 2

sin cos

sin cos

sin cos 1

a b c

c c c

c c c

sin

c

s

os

in

cos

a c

b c

a

cb

c

sintg

coscos

co

sin

cos

tgsin

cos

sin

a c

b cb c

a c

Page 21: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

2121

sin cos

cos sin

tg cotg

cotg tg

1tg

cotg

1cotg

tg

sintg

coscos

cotgsin

2 2sin cos 1

Page 22: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

2222

Příklad 1:Příklad 1:

2 2

2 2

2

sin cos 1

sin 0,6 1

sin 0,64

sin 0,8

Vypočítej sin, tg a cotg, je-li cos = 0,6.

sin 0,8 4tg

cos 0,6 3

1 3cotg

tg 4

Page 23: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

2323

Tabulka hodnot Tabulka hodnot goniometrických funkcígoniometrických funkcí

sin

cotg

cos

tg

0 30 45 60 90

0

1

0

1

2

3

2

3

3

2

2

1

2

0

0

1

1

1

3

2

2

3

2

3

3 3

Page 24: GONIOMETRICKÉ FUNKCE

2424

[1] Herman, J. a kol.: [1] Herman, J. a kol.: Matematika pro nižší ročníky víceletých Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií - Podobnost a funkce úhlu.gymnázií - Podobnost a funkce úhlu. Dotisk 1. vydání. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, 2003. ISBN 80-7196-206-6. s. 67-114Praha: Prometheus, 2003. ISBN 80-7196-206-6. s. 67-114

[2] Odvárko, O.: [2] Odvárko, O.: Matematika pro gymnázia – Goniometrie.Matematika pro gymnázia – Goniometrie. Dotisk 3. vydání. Praha: Prometheus, 2002. Dotisk 3. vydání. Praha: Prometheus, 2002. ISBN 80-7196-203-1. s. 20-24ISBN 80-7196-203-1. s. 20-24

Literatura: