CAPITULOXXIII NUMEROCOMPLEJOYANALISISDECIRCUITOS 23-1.Mtododelasmagnitudescomplejascomorepresen-tacindevectoresgiratorios.Cuandouncircuitosecomponede variasramas,demodoqueeldiagramavectorialresultamscom-plicadoqueenlosejemplosprecedentes,puedesimplificarseconside-rablementeeltrabajoderesolverelproblemadedichocircuitoutili-zandoelmtododelascantidadescomplejas.Enestemtodocada vectorsedescomponeendoscomponentesperpendicularesentres, unahorizontalylaotravertical.. As,p.ej.,enlafigura23-1elvectorVIpuededescomponerse endoscomponentes,unaahalolargodelejex,yotraOhalolargo delejey,demaneraqueVIeslasumavectorialdealybh locual seexpresaescribiendo [23-1] La ecuacin[23-1]estableceelconveniode quelosnmerosordi-narios,talescomoalY blr representarncomponenteshorizontales, yquelaletrajseconsiderarcomounoperadorquehacegirar90 enelsentidocontrarioalasagujasdeunrelojalacomponenteala queseasocia,hacindolavertical.Elsmbolobl solorepresentar unacomponentehorizontal,perojbl representarunacomponente vertical,Alacantidadal + jbl selellamanmerocomplejoocan-tidadcompleja. Enloscaptulosprecedentes,E,1 yZ,enitlicas,representaban solamentemagnitudes.Conelfindeevitarcualquierconfusinpo-sible,seutilizarnlasletras E, 1, VY Z,ennegritas,pararepresentar losvectoresgiratoriosconsumagnitudysentido. 23-2.Adicinysustraccindevectoresgiratorios.De acuerdoconelconveniodescritoenlaseccinanterior,escribimos: VI =al + jbl V1= a2 + jb2 (verFig.23-1 ) Vs= sumavectorialdeVIyV2= a,+ jb, =(a,+a2)+ j(b, +b2) . 322 SEC.23-3 ]MUL TIPLlCACIODENUMEROSCOMPLEJOS323 ResultaquelalongituddeVs es. a/+ bsl Y sungulodefasecf> bs eselquetieneportangente- . 1 I / ----__-- I -- I .-- I .-- I .-- I I -'\ . -. " . ~ .. IG->-I f-._-~ - - - - - - a , - - - - - ~ , as e l' FIG.23-1.- Adlclndevectores:V- suma vectorialdeV.yV. .' v. 6, a,, -b I j f--------a, - - - - ~ FiG.23-2.-Sustracclndevectores: V,-sumavectorialdeV.y- V . ElvectordiferenciaVl - VIseobtienesumandogrficamentea V:elopuestodeVI!comoindicalafigura23-2.As,pues,elvector diferenciaes: yenesteejemploparticularb3 esnegativo,porserbmayorqueb2 23-3.Multiplicacindenmeroscomplejos.Elmtodode representarunvectorpora + jbesparticularmenteadecuadopara loprocesosdeadicinysustraccin,peroseprestafcilmen te tambinparalamultipli cacin. Consideremoselcircuitoqueapareceenlafigura23-3,cuyo diagramavectorialestrepresentadoenlafigura23-4.Sisedibuja elvectorintensidad1sobreelejex,demodoqueI = / + jO,laten-l E=lxe ).. % I E'r I r 1 I % E z E, =/r Ex -FIc.23-3.F,c.23-4. 324NUMEROSCOMPLEJOSYANALISISDECIRCUITOS[ CAP.23 sinErnecesariaparaimpulsarestacorrienteatravsdelaresis-tenciarseencuentratambinsobreelmismoeje,puestoquela tensinylaintensidadestnenfaseenunaresistencia,ylatensin Exnecesariaparaimpulsarlacorrienteatravsdelareactanciax esperpendicularalaintensidadyestavanzada9()Orespectoaella, segnseindica.LatensintotalEeslasumavectorialdeE,yEJ( ' Portanto, PeroE= IZ,siendoZlaimpedanciadelcircuito.Porconsiguiente, Z=r+ jx. Deestemodo,laimpedanciapuedeserconsideradacomoun nmerocomplejo. ' Dehecho,laimpedanciadeunci rcuitoessim-plementelatensinnecesariaparahacercircularunaintensidadde valoreficaz1Apordichocircuito.Esciertoquemedimoslaresis-tencia,lareactanciaylaimpedanciaenohmios,peropudieraigual-mentemedirseenvoltiosporamperio.Muchosprefierenconsiderar laimpedancia,r + jx,comounoperadorporelcualhademultipli-carselaintensidadparaobtenerlatensinnecesariaparahacer circularlacorrienteatravsdelaimpedanciadada. Volvamosaldiagramavectori aldelcircuitodelafigura23-3, dibujandoahora1perpendicularalejex,demodoquesuscompo-nentesestndadasporlaecuacin1 =O+ jI.Eldiagramavectorial resultanteestrepresentadoenlafigura23-5,ypuestoquelaposi-cindelejexnopuedeafectarenmodoalgunoalascondiciones tsicasdelcircuito,sededucequeeldiagramavectorialdelafigu-ra23-5eselmismodiagramadelafigura23-4girado90.Enla figura23-5,EtieneunacomponentenegativaE"sobreelejex, yunacomponentepositivaErsobreelejey,demodoque Enlamayorpartedeloscasos,unaojeadasobreeldiagrama vectorialessuficienteparadeterminarqucomponentessonhori-zontalesyculessonverticales,ytambinsilascomponentesson pOSitivasOnegativas;pero,dadoqueeldiagramavectorialno puededibujarseconprecisinaescalahastadespusderesolver elcircuitoy- conocerlosvaloresdelasmagnitudesysusngulos defase,sededucequeendiagramasmscomplicadoshabrcon frecuenciaincertidumbreencuantoalossignos.Portanto,esim-portantedarsecuentadequesiconsideramosjcomounoperador quegiraelvector90ensentidocontrarioalasagujasdeunreloj,y SECo23-3]MULTlPLICACIONDENUMEROSCOMPLEJOS aplicamoslasreglasdellgebra,lossignossern As,p.ej.,enlafigura23-5,E = IZ,pero 1=0+;1yZ =r+;x. Portanto, E =(0+ jI) (r +jx ) =jIr+ ]1eh = 1 sen 4>1' E = IZ = (la + jh) (r + jxl = r(Ia + jlb)+ jx(la + jhl =' ar + jlax+ jhr + Phx. j2=-1. E =(lar - hx) + j (/ax + Ibr) =Ea + jEb, siendoEaYEblascomponentesdeEsobrelosejesxey. [23-2J Sepuedecomprobar,sinreferirnosaldiagramavectorial,que laecuacin[23-2Jescorrectadelasiguientemanera:Lacompo-nentehorizontaldelacorriente'a,quecircul aporr,producirla componentehorizontalpositivadelatensinlar.Lacomponente verticaldelacorrientelb,quecirculaporx,producirlacompo-nentehorizontalnegativadelatensin- , ~ .Lacomponentever-ticaldelacorrien teh,quecirculaporr,producirlacomponente verticalpositivadelatensinjlbr.Lacomponentehorizontaldela corrientela,quecirculaporx,producirlacomponentevertical positivadelatensinjlax,siendoElasumadeestascuatrocom-ponentes.Lascomponentesdelascuatrotensionesdelaecua-cin[23-2]sepuedeniden ti ficareneldiagramavectorialcomo sigue: E =OC+jCP =(OB - CB) + j (BN + NM) = (/. r - IbX) +j(lax+lbr ) ES' importantecomprenderquealaplicarunaecuacintalcomo laE=IZ,simultiplicamossi mpl ementelosvaloresnumricosde1 ydeZ,soloobtenemoselvalornumricodeE;perosiescribimos 1yZenlaformaa + jbYhallamoselvectorproducto,obtenemosE enlaformaa + jb,quedaelngulodefaseyelvalornumrico. SECo23-4JDIVISIONDENUMERO SCOMPLEJOS327 EJEMPLO.Seanenlafigura23-3,r= 6n,:t = 3ne1= 10ADeterminar elvalordeEysungulodefasecuandosedibuja1formandounngulo de36 52'coneleje:t,comoenlafigura23-6. Pero Portanto, Valorde 1= 10 cos 36 52' +ilO sen 36 52' =10xO,S + iIOxO,6 =S+i6. Z= r+i:t =6+i3. E=IZ =(S + i6)(6 + i3) =4S +i(24+ 36) + i21S. j2= -l. E =(4S - IS)+j(24 + 36) =30+ i60. E= J 302+ 6()2= 67,OSV. 412= ngulocuyatangente 60 es- =63 26'. 30 (,. E=7 ,5 FIG.23-15. E =7 R=5 Xc = 10 F IG.23 18. R=1.5 J= '?",. X=2 XC=300

XL =10o FlG.23-16. J F IG.23 19. Xr. =5 R= I O 1:2= 2200 I 0-1.-11:::7 factor depotencio: 80% en retraso F1C.23-21. 23-11.Paraunalneadetransportequealimentaunacargaconun fa ctordepotenciaenadelanto.setiene: E2=2000V 1= 100A Factordepotenciadecarga= 80%enadelanto f= 50c/ seg R=2n X L= 5n 336NUMEROSCOMPLEJOSyANALIS ISDECI RCUITOS[ CAP.23 ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - ~ - - - ~ -Determinarlosi guiente:a)tensindeentradaEl;b)rendimientodeltrans-porte;c)RyXcenparaleloequivalentesalacarga(vaseFig.23-22) . R =2 E2=2OOOV F 1G.23-22. 23-12.Determinarlascorrientesentodaslaspartesdel sentadoenlafigura23-23ydibujareldiagramavectori al Easobreelej edelasx. I1 SIl ----, E. l 12 102Il 206Il E = 115 V 13 SIl10 o 1-'IC.23-23 . CirCUi tore pre-compl eto.con I