BAB II Operasi-Operasi Lanjutan pada Himpuan Kabur, Representasi Himpunan II.pdf ...

download BAB II Operasi-Operasi Lanjutan pada Himpuan Kabur, Representasi Himpunan II.pdf  2018-08-21 

of 24

  • date post

    02-Mar-2019
  • Category

    Documents

  • view

    224
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of BAB II Operasi-Operasi Lanjutan pada Himpuan Kabur, Representasi Himpunan II.pdf ...

Operasi-operasi Lanjutan pada Himpunan Kabur 31

BAB II

Operasi-Operasi Lanjutan pada Himpuan Kabur, Representasi Himpunan Kabur dan Prinsip

Perluasan

Dalam Bab I telah dibahas beberapa operasi dasar pada himpunan kabur, di antaranya komplemen, gabungan dan irisan. Himpunan kabur tersebut dioperasikan melalui fungsi keanggotaannya. Pada himpunan biasa, kita hanya dapat membuat satu jenis operator pada suatu operasinya. Misalnya untuk operasi gabungan, hanya operator max yang dipakai, dan untuk operasi irisan, hanya operator min yang dipakai. Akan tetapi, pada himpunan kabur kita dapat memodifikasi atau membuat beberapa jenis operator untuk suatu operasi. Hal ini dapat dilakukan karena jangkauan dari derajat keanggotaan pada himpunan kabur lebih luas dari pada derajat keanggotaan pada himpunan biasa. Jenis-jenis operator tersebut dibahas dalam bab ini.

2.1 Komplemen Himpunan Kabur

Misalkan k adalah suatu fungsi yang memetakan derajat

keanggotaan himpunan kabur A ke derajat keanggotaan himpunan kabur

komplemen A , yaitu:

k : [0, 1] [0, 1],

sedemikian sehingga cA Ak x x( ( )) ( ), xU

Agar fungsi k memenuhi persyaratan sebagai suatu operator komplemen, maka haruslah memenuhi sekurang-kurangnya dua aksioma berikut, yaitu: k-1: k(0) = 1 dan k(1) = 0

Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 32

k-2: jika a b maka k(a) k(b) a, b[0, 1]

Fungsi k : [0, 1] [0, 1] yang memenuhi aksioma k-1 dan k-2 di atas disebut komplemen kabur.

Aksioma k-1 memperlihatkan bahwa jika suatu elemen himpunan kabur mempunyai derajat keanggotaan sama dengan nol, maka komplemennya adalah suatu elemen himpunan kabur yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan satu, demikian juga sebaliknya. Sementara aksioma k-2 memperlihatkan bahwa kenaikan nilai derajat keanggotaan suatu elemen himpunan kabur, maka nilai derajat keanggotaan elemen komplemennya haruslah turun atau tidak berubah. Salah satu kelas komplemen kabur adalah komplemen kabur Sugeno, yang didefinisikan sebagai berikut:

a

ak

a

1( ) ,

1(-1, ) dan a[0, 1] (2.1)

Untuk masing-masing nilai parameter , kita mendapatkan suatu operator komplemen kabur khusus. Gambar 2.1 memperlihatkan kelas komplemen

kabur Sugeno untuk berbagai nilai parameter . Jika = 0 maka komplemen kabur Sugeno menjadi k(a) = 1 a, yang sama dengan definisi komplemen himpunan kabur dasar (1.15).

Gambar 2.1 Kelas komplemen kabur Sugeno k(a) untuk

beberapa nilai

Operasi-operasi Lanjutan pada Himpunan Kabur 33

Kelas operator komplemen kabur yang lain adalah komplemen kabur Yager, yang didefinisikan sebagai berikut:

1

1 wwwk a a( ) ( ) , w(0, ) dan a[0, 1] (2.2)

Untuk masing-masing nilai parameter w, kita mendapatkan suatu operator komplemen kabur khusus. Gambar 2.2 memperlihatkan kelas himpunan kabur Yager untuk berbagai nilai parameter w. Jika w = 1 maka komplemen himpunan kabur Yager menjadi k(a) = 1 a yang sama dengan definisi komplemen himpunan kabur dasar (1.15).

2.2 Gabungan Himpunan Kabur

Misalkan s adalah suatu fungsi yang memetakan hasil kali (product)

derajat keanggotaan himpunan kabur A dan B ke derajat keanggotaan

gabungan himpunan kabur A dan B , yaitu :

s : [0, 1][0, 1] [0, 1] ,

sedemikian sehingga,

A B A B

s x x x( ( ), ( )) ( ), xU

Gambar 2.2 Kelas komplemen kabur Yager kw(a) untuk beberapa nilai w

Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 34

Agar fungsi s memenuhi persyaratan sebagai suatu operator gabungan, maka haruslah memenuhi sekurang-kurangnya empat aksioma berikut:

s-1 : s(1, 1) = 1, s(0, a) = s(a, 0) = a; a [0, 1]

s-2 : s(a, b) = s(b, a); a, b [0,1]

s-3 : jika a a dan b b maka s(a, b) s(a, b)

s-4 : s(s(a, b), c) = s(a, s(b, c)); a, b, c [0, 1] Aksioma s-1 menjamin bahwa fungsi s berlaku pada himpunan biasa. Aksioma s-2 menjamin bahwa urutan dari himpunan kabur yang dioperasikan tidak mempengaruhi hasilnya. Aksioma s-3 mengindikasikan bahwa

penurunan nilai derajat keanggotaan dalam himpunan kabur A atau

himpunan kabur B tidak mengakibatkan kenaikan nilai derajat keanggotaan

dalam A B . Aksioma s-4 menjamin bahwa kita dapat mengambil gabungan dari sejumlah himpunan kabur dalam urutan kelompok pasangan yang diinginkan. Aksioma s-4 juga membolehkan untuk memperluas operasi gabungan terhadap lebih dari dua himpunan kabur. Ada beberapa aksioma tambahan yang digunakan untuk membatasi kelas-kelas gabungan kabur. Dua di antaranya yang paling sering digunakan, yaitu: s-5 : s adalah suatu fungsi kontinu

s-6 : s(a, a) = a ; a [0, 1] Aksioma s-5 digunakan untuk mencegah keadaan di mana suatu perubahan

nilai derajat keanggotaan yang sangat kecil dalam himpunan kabur A atau

B menyebabkan perubahan yang besar nilai derajat keanggotaan A B . Sementara aksioma s-6 menjamin bahwa gabungan dari sebarang himpunan kabur dengan dirinya sendiri akan menghasilkan himpunan kabur yang sama.

Fungsi s yang memenuhi aksioma s-1, s-2, s-3 dan s-4 biasa disebut s-norm. Dengan mudah dapat diperlihatkan bahwa operator max untuk gabungan kabur (1.13) memenuhi aksioma s-1 s-4, sehingga operator max merupakan suatu s-norm, yaitu:

A B A B

s x x max x x( ( ), ( )) [ ( ), ( )]

Berikut ini diberikan lima kelas s-norm yang sering dijumpai dalam literatur-literatur teori himpunan kabur :

1. Kelas Schweizer dan Sklar :

1 0 1

1p-p -p

ps a, b max a b p( ) , (1 ) (1 ) , 0

Operasi-operasi Lanjutan pada Himpunan Kabur 35

2. Kelas Hamacher :

a+b abs a, b

ab

(2 )( ) , (0, )

1 (1 )

3. Kelas Yager :

1ww w

ws a, b min a +b w( ) 1, ( ) , (0, )

4. Kelas Dubois dan Prade :

a+b-ab-min a,b,

s a, bmax -a -b

( 1- )( ) , (0,1)

(1 , 1 , )

5. Kelas Dombi :

1

1

1

1 1

a b

s a b1

( , ) , (0, )

-1

Untuk masing-masing nilai parameter yang dipilih, kelima kelas s-norm tersebut masing-masing akan mendefinisikan suatu s-norm khusus.

Beberapa s-norm lain yang sering digunakan dan banyak dibahas dalam literatur-literatur di antaranya adalah: 1. Jumlah drastis :

0

JDs a b

max a, b min a, b[ ] jika [ ]( , )

1 yang lain

2. Jumlah terbatas :

1 JTs a b min a b( , ) [ , ]

3. Jumlah Einstein :

JE

a bs a b

ab( , )

1

4. Jumlah aljabar : JAs a, b a b ab( )

Suatu pertanyaan dapat timbul, mengapa begitu banyak s-norm yang diusulkan oleh para ahli? Alasan teoritisnya adalah bahwa s-norm tersebut akan menjadi identik jika derajat keanggotaan dibatasi pada nilai nol atau satu saja. Atau dengan kata lain s-norm tersebut merupakan perluasan dari gabungan himpunan biasa. Sedangkan alasan praktisnya adalah bahwa terdapat s-norm yang cocok dipakai pada suatu aplikasi tapi tidak cocok pada aplikasi yang lain, demikian sebaliknya.

Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 36

Contoh 2.1

Pandang kembali himpunan kabur A dan B pada Contoh 1.13. Akan digunakan keempat s-norm yang disebutkan di atas untuk mendapatkan

A B , sebagai berikut: 1. Jumlah drastis:

x

JDA B s a b( ) ( , ), sehingga

A B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 0.1), (e, 1)} 2. Jumlah terbatas:

x

JTA B s a b( ) ( , ), sehingga

A B = {(a, 0.7), (b, 1), (c, 1), (d, 0.1), (e, 1)} 3. Jumlah Einstein:

x

JEA B s a b( ) ( , ), sehingga

A B = {(a, 0.64), (b, 0.83), (c, 1), (d, 0.1), (e, 0.8)} 4. Jumlah aljabar:

x

JAA B s a b( ) ( , ), sehingga

A B = {(a, 0.6), (b, 0.79), (c, 1), (d, 0.1), (e, 0.75)} Dari bebrapa s-norm yang disebutkan di atas, max merupakan s-norm terkecil sedangkan jumlah drastis merupakan s-norm yang terbesar. Hal ini dinyatakan dalam teorema berikut yang pembuktiannya diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Teorema 2.1

Untuk sebarang s-norm s, maka JDmax a, b s a, b s a, b( ) ( ) ( ),

a, b[0, 1]

2.3 Irisan Himpunan Kabur

Misalkan t adalah suatu fungsi yang memetakan hasil kali (product)

derajat keanggotaan himpunan kabur A dan B ke derajat keanggotaan

irisan himpunan kabur A dan B , yaitu:

t : [0, 1][0, 1] [0, 1] ,

sedemikian sehingga

A B A B

t x x x( ( ), ( )) ( ), xU

Operasi-operasi Lanjutan pada Himpunan Kabur 37

Agar fungsi t memenuhi persyaratan sebagai suatu operator irisan, maka haruslah memenuhi sekurang-kurangnya empat aksioma berikut:

t-1 : t(0, 0) = 0, t(a, 1) = t(1, a) = a; a [0, 1]

t-2 : t(a, b) = t(b, a), a, b[0, 1]

t-3 : jika a a dan b b maka t(a, b) t(a, b);

a, b, a, b [0, 1]

t-4 : t(t(a, b), c) = t(a, t(b, c)); a, b, c [0, 1] Ada beberapa aksioma tambahan yang digunakan untuk membatasi kelas-kelas irisan himpunan kabur, di antaranya adalah: t-5 : t adalah suatu fungsi kontinu

t-6 : t(a, a) = a ; a [0,