BAB III Bilangan Kabur dan Operasi-Operasi Aritmetikanyaeprints.unm.ac.id/10398/6/BAB III.pdf ·...

Bilangan Kabur dan Operasi Aritmetikanya

55

BAB III

Bilangan Kabur dan Operasi-Operasi Aritmetikanya

3.1 Bilangan Kabur

Di antara berbagai jenis himpunan kabur, maka himpunan kabur yang

didefinisikan pada himpunan bilangan rill mempunyai arti yang khusus.

Himpunan kabur yang demikian mempunyai makna kuantitatif dan disebut sebagai bilangan kabur. Bilangan kabur merupakan suatu bilangan yang tidak

persis (imprecise) dalam garis rill , misalnya “kira-kira 10”, “mendekati 5”,

“sekitar 20”, dan sebagainya.

Suatu bilangan kabur dapat dipandang sebagai suatu perluasan dari interval kepercayaan. Akan tetapi, bilangan kabur bukanlah suatu variabel acak. Variabel acak merupakan suatu data objektif yang diperoleh dari hasil pengamatan sedangkan bilangan kabur merupakan suatu data subjektif yang diperoleh dari hasil penilaian.

Agar bilangan kabur yang merupakan suatu himpunan kabur tersebut dapat dilakukan operasi-operasi aritmetika kepadanya, maka dilakukan beberapa pembatasan-pembatasan pada himpunan kabur tersebut, sehingga bilangan kabur didefinisikan secara formal sebagai berikut:

Definisi 3.1

Misalkan A adalah suatu himpunan kabur yang didefinisikan pada bilangan

rill . Maka A adalah suatu bilangan kabur jika memenuhi sekurang-

kurangnya tiga sifat berikut:

(i). A adalah himpunan kabur normal

Dasar-Dasar Teori Himpunan Kabur dan Logika Kabur 56

(ii). A adalah himpunan kabur konveks

(iii). A merupakan suatu interval tertutup [0, 1]

Fungsi keanggotaan segitiga dan trapezium sering digunakan sebagai fungsi keanggotaan bilangan kabur. Akan tetapi, bentuk-bentuk fungsi keanggotaan yang lain dapat juga digunakan sebagai fungsi keanggotaan bilangan kabur.

Contoh 3.1

Misalkan A adalah himpunan kabur “bilangan-bilangan rill yang dekat ke 6” dengan fungsi keanggotaan

x

xA

x

μ x x6

126

; 0 6

( ) ; 6 12

0 yang lain

, x,

Dengan mudah dapat diperlihatkan bahwa syarat-syarat untuk suatu bilangan

kabur dipenuhi oleh himpunan kabur A , sehingga “bilangan-bilangan rill yang

dekat ke 6” adalah suatu bilangan kabur dalam .

Contoh 3.2

Misalkan B = bilangan-bilangan bulat sekitar 4, adalah suatu himpunan

kabur yang didefinisikan pada bilangan bulat , yaitu:

B = {(-6, 0.1), (-5, 0.1), (-4, 0.2), (-3, 0.3), (-2, 0.3), (-1, 0.5), (0, 0.5),

(1, 0.6), (2, 0.8), (3, 0.9), (4, 1), (5, 0.9), (6, 0.7), (7, 0.4), (8, 0.4),

(9, 0.3), (10, 0.2), (11, 0.2), (12, 0.1)}. Himpunan kabur B tersebut merupakan suatu bilangan kabur “bilangan-bilangan bulat sekitar 4”.

Suatu bilangan kabur dalam dapat ditransformasi ke suatu bilangan

kabur dalam , yaitu dengan meningkatkan pendiskritan (descretezation)

sehingga fungsi keanggotaannya menjadi kontinu sesepenggal (piecewise

continuous) dan semua potongan- nya merupakan interval tertutup dalam

. Sebagai contoh, pandang kembali Contoh 3.2, bilangan kabur B dalam


57

dapat ditransformasi ke bilangan kabur dalam , sehingga fungsi

keanggotaannya seperti diperlihatkan dalam Gambar 3.1

3.2 Interval dan Operasi-operasi Aritmetikanya

Suatu interval tertutup dalam , yaitu [a, b], adalah semua bilangan rill

yang lebih besar atau sama dengan a dan lebih kecil atau sama dengan b, yang dinyatakan sebagai:

[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}

Bilangan c dapat dipandang sebagai interval tertutup dalam , yaitu [c, c].

Sebagai contoh, bilangan 5 adalah interval tertutup pada , yaitu 5 = [5, 5].

Suatu interval tertutup [a, b] pada (himpunan bilangan bulat), didefinisikan

sebagai

[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}

Gambar 3.1 Bilangan kabur “sekitar 4” dalam


Sebagai contoh, A = [-3, 2] adalah interval tertutup dalam , maka A = {-3, -2,

-1, 0, 1, 2}. Demikian juga, interval tertutup [a, b] pada (bilangan asli),

didefinisikan sebagai

[a, b] = {x| a ≤ x ≤ b}

Misalkan menyatakan operasi aritmetika pada interval tertutup, yang

meliputi penjumlahan (+), pengurangan (–), perkalian (), dan pembagian (:),

maka [a, b][d, e] = { fg|a ≤ f ≤ b, d ≤ g ≤ e} merupakan sifat umum dari

semua operasi aritmetika interval tertutup kecuali [a, b] : [d, e] tidak dide-

finisikan jika 0[d, e].

Keempat operasi aritmetika pada interval tertutup didefinisikan sebagai berikut:

[a, b] + [d, e] = [a+d, b+e],

[a, b] – [d, e] = [a-e, b-d],

[a, b] · [d, e] = [min(ad, ae, bd, be), max(ad, ae, bd, be)],

[a, b] : [d, e] = [a, b] · [1/e, 1/d] = [min(a/e, a/d, b/c, b/d), max(a/e,

a/d, b/e, b/d)] untuk 0[d, e].

Berikut ini diberikan beberapa sifat dari operasi aritmetika interval

tertutup pada :

Misalkan A=[a1, a2], B=[b1, b2], C=[c1, c2], 0=[0, 0], 1=[1, 1], maka

1. A+B = B+A

A·B = B·A (kekomutatifan)

2. (A+B) + C = A + (B + C)

(A·B)·C = A·( B·C) (keassosiatifan)

3. A = 0 + A = A + 0

A = 1· A = A·1 (identitas)

4. A·( B +C) A·B + A·C (subdistributif)

Jika b·c ≥ 0 bB dan cC, maka A·( B +C) = A·B + A·C

5. 0 A – A dan 1 A : A

6. Jika A E dan B F, di mana E dan F juga adalah interval tertutup, maka

A + B E+F

A – B E – F


59

A·B E·F

A : B E : F

3.3 Operasi Aritmetika Bilangan Kabur

Pada bagian ini dibahas operasi-operasi aritmetika bilangan kabur, seperti operasi penjumlahan, operasi pengurangan, operasi perkalian, dan operasi pembagian. Pengoperasian aritmetika bilangan kabur tersebut

menggunakan dua metode, yaitu metode potongan- dan metode prinsip

perluasan.

3.3.1 Metode potongan-

Metode ini didasarkan pada aritmetika interval dan Teorema

Dekomposisi. Misalkan I dan J adalah himpunan kabur, dan misalkan

adalah operasi aritmetika (+), (–), (), dan (:). Kemudian didefinisikan suatu

himpunan kabur I J pada yang potongan- nya didefinisikan sebagai

(I J) = I J , [0, 1]. Dengan Teorema Dekomposisi, I J dapat

direpresentasikan sebagai I J = 0 1

I*J[ , ]

( ) . Karena (IJ) merupakan

suatu interval tertutup untuk setiap [0, 1] dan I , J bilangan kabur,

maka I J juga bilangan kabur.

Operasi Penjumlahan

Contoh 3.3

Misalkan bilangan kabur I dan J masing-masing mempunyai fungsi

keanggotaan sebagai berikut:

1

xI

x

x x

μ x x

x

53 3

13 3

0 ; 5 atau

( ) ; 5 2

; 2 1

, x (3.1)


dan

0

xJ

x

x x

μ x x

x

37 7

128 8

; 3 atau 12

( ) ; 3 4

; 4 12

, x (3.2)

Dari (3.1), diperoleh

= 1

a ( ) 5

3 3 dan = 2

a ( ) 1

3 3

sehingga potongan- untuk bilangan kabur I adalah

I = 1 2 a a( ) ( )[ , ] = [3 - 5, -3 + 1]


= 1

b( ) 3

7 7 dan = 2

b( ) 12

8 8

sehingga potongan- untuk bilangan kabur J adalah

J = 1 2 b b( ) ( )[ , ] = [7 - 3, -8 + 12]

Dengan demikian, I + J = 1 2 a a( ) ( )[ , ] + 1 2

b b( ) ( )[ , ]

= [3 - 5, -3 + 1] + [7 - 3, -8 + 12]

= [10 - 8, -11 + 13]

Misalkan 1 c ( ) 10 - 8 dan 2

c ( ) -11 + 13, maka

= 1

c ( ) 8

10 10 dan = 2

c ( ) 13

11 11

sehingga diperoleh

I J

x

x

x

x x

x

x

810 10

1310 10

0 ; 8 atau 13

( ) ; 8 2

; 2 13

, x.

Gambar 3.2 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan I +J


61

Contoh 3.4

Misalkan A dan B adalah bilangan kabur dalam , yang didefinisikan

sebagai berikut:

A ={(1, 0.1), (2, 0.3), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.7), (6, 0.3)} dan

B ={(1, 0.3), (2, 0.6), (3, 1), (4, 0.7), (5, 0.2), (6, 0.1)}

Potongan- untuk A dan B dapat diperoleh sebagai berikut:

A0.1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = [1, 6] B0.1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = [1, 6]

A0.2 = {2, 3, 4, 5, 6} = [2, 6] B0.2 = {1, 2, 3, 4, 5} = [1, 5]

A0.3 = {2, 3, 4, 5, 6} = [2, 6] B0.3 = {1, 2, 3, 4} = [1, 4]

A0.4 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.4 = {2, 3, 4} = [2, 4]

A0.5 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.5 = {2, 3, 4} = [2, 4]

A0.6 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.6 = {2, 3, 4} = [2, 4]

A0.7 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.7 = {3, 4} = [3, 4]

A0.8 = {3, 4} = [3, 4] B0.8 = {3} = [3, 3]

A0.9 = {4} = [4, 4] B0.9 = {3} = [3, 3]

A1 = {4} = [4, 4] B1 = {3} = [3, 3]

( )Ix ( )

Jx

( )

I Jx

x

( )x

Gambar 3.2 Penjumlahan dua bilangan kabur (Contoh 3.3)


Misalkan C = A +B , maka C=A+B, sehingga diperoleh:

C0.1 = [1, 6] + [1, 6] = [2, 12] = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

C0.2 = [2, 6] + [1, 5] = [3, 11] = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

C0.3 = [2, 6] + [1, 4] = [3, 10] = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

C0.4 = [3, 5] + [2, 4] = [5, 9] = {5, 6, 7, 8, 9}

C0.5 = [3, 5] + [2, 4] = [5, 9] = {5, 6, 7, 8, 9}

C0.6 = [3, 5] + [2, 4] = [5, 9] = {5, 6, 7, 8, 9}

C0.7 = [3, 5] + [3, 4] = [6, 9] = {6, 7, 8, 9}

C0.8 = [3, 4] + [3, 3] = [6, 7] = {6, 7}

C0.9 = [4, 4] + [3, 3] = [7, 7] = {7}

C1 = [4, 4] + [3, 3] = [7, 7] = {7}

Misalkan didefinisikan himpunan kabur C yang fungsi keanggotaannya

C

μ x( )=

Cμ x( ) x, maka diperoleh

0 1C . = {(2, 0.1), (3, 0.1), (4, 0.1), (5, 0.1), (6, 0.1), (7, 0.1), (8,0.1), (9, 0.1),

(10, 0.1), (11, 0.1), (12, 0.1)}

0 2C . = {(3, 0.2), (4, 0.2), (5, 0.2), (6, 0.2), (7, 0.2), (8, 0.2), (9,0.2), (10, 0.2),

(11, 0.2)}

0 3C . = {(3, 0.3), (4, 0.3), (5, 0.3), (6, 0.3), (7, 0.3), (8, 0.3), (9, .3),(10, 0.3)}

0 4C . = {(5, 0.4), (6, 0.4), (7, 0.4), (8, 0.4), (9, 0.4)}

0 5C . = {(5, 0.5), (6, 0.5), (7, 0.5), (8, 0.5), (9, 0.5)}

0 6C . = {(5, 0.6), (6, 0.6), (7, 0.6), (8, 0.6), (9, 0.6)}

0 7C . = {(6, 0.7), (7, 0.7), (8, 0.7), (9, 0.7)}

0 8C . = {(6, 0.8), (7, 0.8), (8, 0.8), (9, 0.8)}

0 9C . = {(7, 0.9)}

1C = {(7, 1)}

Dengan menggunakan Teorema Dekomposisi, maka diperoleh

C = 0 1C . 0 2C . 0 3C . … 1C

= {(2, 0.1), (3, 0.3), (4, 0.4), (5, 0.6), (6, 0.8), (7, 1), (8, 0.8), (9, 0.7),

(10, 0.3), (11, 0.2), (12, 0.1)}.


63

Operasi Pengurangan

Contoh 3.5



1

xI

x

x x

μ x x

x7

195 5

0 ; 7 atau 19

( ) ; 7 14

; 14 19

, x (3.3)

dan

xJ

x

x x

μ x x

x

32 2

105 5

0 ; 3 atau 10

( ) ; 3 5

; 5 10

, x (3.4)


= 1

a ( )

17

dan = 2

a ( ) 19

5 5


I = 1 2 a a( ) ( )[ , ] = [7 + 7, -5 + 19]


= 1

b( ) 3

2 2 dan = 2

b( ) 10

5 5


J = 1 2 b b( ) ( )[ , ] = [2 + 3, -5 + 10]

Dengan demikian, I – J = 1 2 a a( ) ( )[ , ] – 1 2

b b( ) ( )[ , ]

= [7 + 7, -5 + 19] – [2 + 3, -5 + 10]

= [12 - 3, -7 + 16]

Misalkan 1 c ( ) 12 - 3 dan 2

c ( ) -7 + 16, maka

= 1

c ( ) 3

12 12 dan = 2

c ( ) 16

7 7


sehingga diperoleh

xI+J

x

x x

μ x x

x

312 12

167 7

0 ; 3 atau 16

( ) ; 3 9

; 9 16

, x.

Gambar 3.3 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan I -J

Contoh 3.6


sebagai berikut:

A = {(-2, 0.1), (-1, 0.3), (0, 0.7), (1, 0.9), (2, 1), (3, 0.5)} dan

B = {(-1, 0.1), (0, 0.6), (1, 1), (2, 0.8), (3, 0.3)}


A0.1 = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} = [-2, 3] B0.1 = {-1, 0, 1, 2, 3} = [-1, 3]

A0.2 = {-1, 0, 1, 2, 3} = [-1, 3] B0.2 = {0, 1, 2, 3} = [0, 3]

A0.3 = {-1, 0, 1, 2, 3} = [-1, 3] B0.3 = {0, 1, 2, 3} = [0, 3]

A0.4 = {0, 1, 2, 3} = [0, 3] B0.4 = {0, 1, 2} = [0, 2]

A0.5 = {0, 1, 2, 3} = [0, 3] B0.5 = {0, 1, 2} = [0, 2]

A0.6 = {0, 1, 2} = [0, 2] B0.6 = {0, 1, 2} = [0, 2]

A0.7 = {0, 1, 2} = [0, 2] B0.7 = {1, 2} = [1, 2]

xJ~

xJI~~

xJ~

Gambar 3.3 Pengurangan dua bilangan kabur (Contoh 3.5)


65

A0.8 = {1, 2} = [1, 2] B0.8 = {1, 2} = [1, 2]

A0.9 = {1, 2} = [1, 2] B0.9 = {1} = [1, 1]

A1 = {2} = [2, 2] B1 = {1} = [1, 1]

Misalkan C = A –B , maka C=A– B, sehingga diperoleh:

C0.1 = [-2, 3] – [-1, 3] = [-5, 4] = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

C0.2 = [-1, 3] – [0, 3] = [-4, 3] = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

C0.3 = [-1, 3] – [0, 3] = [-4, 3] = {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

C0.4 = [0, 3] – [0, 2] = [-2, 3] = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

C0.5 = [0, 3] – [0, 2] = [-2, 3] = {-2, -1, 0, 1, 2, 3}

C0.6 = [0, 2] – [0, 2] = [-2, 2] = {-2, -1, 0, 1, 2}

C0.7 = [0, 2] – [1, 2] = [-2, 1] = {-2, -1, 0, 1}

C0.8 = [1, 2] – [1, 2] = [-1, 1] = {-1, 0, 1}

C0.9 = [1, 2] – [1, 1] = [0, 1] = {0, 1}

C1 = [2, 2] – [1, 1] = [1, 1] = {1}


C

μ x( )=

Cμ x( ) , x, maka diperoleh

0 1C . = {(-5, 0.1), (-4, 0.1), (-3, 0.1), (-2, 0.1), (-1, 0.1), (0, 0.1), (1, 0.1),

(2, 0.1), (3, 0.1), (4, 0.1)}

0 2C . = {(-4, 0.2), (-3, 0.2), (-2, 0.2), (-1, 0.2), (0, 0.2), (1, 0.2), (2, 0.2), (3, 0.2)}

0 3C . = {(-4, 0.3), (-3, 0.3), (-2, 0.3), (-1, 0.3), (0, 0.3), (1, 0.3), (2, 0.3), (3, 0.3)}

0 4C . = {(-2, 0.4), (-1, 0.4), (0, 0.4), (1, 0.4), (2, 0.4), (3, 0.4)}

0 5C . = {(-2, 0.5), (-1, 0.5), (0, 0.5), (1, 0.5), (2, 0.5), (3, 0.5)}

0 6C . = {(-2, 0.6), (-1, 0.6), (0, 0.6), (1, 0.6), (2, 0.6)}

0 7C . = {(-2, 0.7), (-1, 0.7), (0, 0.7), (1, 0.7)}

0 8C . = {(-1, 0.8), (-1, 0.8), (0, 0.8), (1, 0.8)}

0 9C . = {(0, 0.9), (1, 0.9)}

1C = {(1, 1)}


C = 0 1C . 0 2C . 0 3C . … 1C = {(-5, 0.1), (-4, 0.3), (-3, 0.3), (-2, 0.7),

(-1, 0.8), (0, 0.9), (1, 1), (2, 0.6), (3, 0.5), (4, 0.1)}.


Operasi Perkalian

Contoh 3.7



I

x

x x

μ x x x

x52 2

0 ; 2 atau 5

( ) 2 ; 2 3

; 3 5

, x+ (3.5)

dan 32 2x

J

x x

μ x x

x x

0 ; 3 atau 6

( ) ; 3 5

6 ; 5 6

, x+ (3.6)


= 1 a( ) 2 dan = 2

a ( ) 15

2 2


I = 1 2 a a( ) ( )[ , ] = [ + 2, -2 + 5]


= 1

b( ) 3

2 2 dan = 2

b( ) 6

sehingga potongan- untuk bilangan kabur J~

adalah

J = 1 2 b b( ) ( )[ , ] = [2 + 3, - + 6]

Dengan demikian, I · J = 1 2 a a( ) ( )[ , ] · 1 2

b b( ) ( )[ , ]

= [ + 2, -2 + 5] · [2 + 3, - + 6]

= [22 + 7 + 6, 22 - 17 + 30]

Misalkan 1 c ( ) 22 + 7 + 6 dan 2

c ( ) 22 - 17 + 30, maka

= 11 c ( )7 8

4 dan =

2 c ( )17 49 8

4


67

sehingga diperoleh

1

x

I J

x

x x

μ x x

x

7 8

4

17 49 8

4

0 ; 6 atau 30

( ) ; 6 15

; 15 30

, x +

Gambar 3.4 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan I .J

Contoh 3.8


sebagai berikut:

A = {(3, 0.4), (4, 1), (5, 0.7)} dan B = {(3, 0.1), (4, 0.8), (5, 1), (6, 0.3)}


A0.1 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.1 = {3, 4, 5, 6} = [3, 6]

A0.2 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.2 = {4, 5, 6} = [4, 6]

A0.3 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.3 = {4, 5, 6} = [4, 6]

A0.4 = {3, 4, 5} = [3, 5] B0.4 = {4, 5} = [4, 5]

A0.5 = {4, 5} = [4, 5] B0.5 = {4, 5} = [4, 5]

A0.6 = {4, 5} = [4, 5] B0.6 = {4, 5} = [4, 5]

A0.7 = {4, 5} = [4, 5] B0.7 = {4, 5} = [4, 5]

A0.8 = {4} = [4, 4] B0.8 = {4, 5} = [4, 5]

A0.9 = {4} = [4, 4] B0.9 = {5} = [5, 5]

xI~

xJI~~

xJ~

Gambar 3.4 Perkalian dua bilangan kabur (Contoh 3.7)

x


A1 = {4} = [4, 4] B1 = {5} = [5, 5]

Misalkan C = A ·B , maka C=A · B, sehingga diperoleh:

C0.1 = [3, 5] · [3, 6] = [9, 30] = {9, 10, …, 30}

C0.2 = [3, 5] · [4, 6] = [12, 30] = {12, 13, …, 30}

C0.3 = [3, 5] · [4, 6] = [12, 30] = {12, 13, …, 30}

C0.4 = [3, 5] · [4, 6] = [12, 25] = {12, 13, …, 25}

C0.5 = [4, 5] · [4, 5] = [16, 25] = {16, 17, …, 25}

C0.6 = [4, 5] · [4, 5] = [16, 25] = {16, 17, …, 25}

C0.7 = [4, 5] · [4, 5] = [16, 25] = {16, 17, …, 25}

C0.8 = [4, 4] · [4, 5] = [16, 20] = {16, 17, 18, 19, 20}

C0.9 = [4, 4] · [5, 5] = [20, 20] = {20}

C1 = [4, 4] · [5, 5] = [20, 20] = {20}


C

μ x( )=

Cμ x( ) , x, maka diperoleh

0 1C . = {(9, 0.1), (10, 0.1), …, (30, 0.1)}

0 2C . = {(12, 0.2), (13, 0.2), …, (30, 0.2)}

0 3C . = {(12, 0.3), (13, 0.3), …, (30, 0.3)}

0 4C . = {(12, 0.4), (13, 0.4), …, (25, 0.4)}

0 5C . = {(16, 0.05), (17, 0.5), …, (25, 0.5)}

0 6C . = {(16, 0.6), (17, 0.6), …, (25, 0.6)}

0 7C . = {(16, 0.7), (17, 0.7), …, (25, 0.7)}

0 8C . = {(16, 0.8), (17, 0.8), (18, 0.8), (19, 0.8), (20, 0.8)}

0 9C . = {(20, 0.9)}

1C = {(20, 1)}


C = 0 1C . 0 2C . 0 3C . … 1C

= {(9, 0.1), (10, 0.1), (11, 0.1), (12, 0.4), (13, 0.4), (14, 0.4), (15, 0.4),

(16, 0.8), (17, 0.8), (18, 0.8), (19, 0.8), (20, 1), (21, 0.7), (22, 0.7),

(23, 0.7), (24, 0.7), (25, 0.7), (26, 0.3), (27, 0.3), (28, 0.3), (29, 0.3),

(30, 0.3)}.


69

Operasi Pembagian

Contoh 3.9

Misalkan bilangan kabur I dan J masing-masing mempunyai fungsi keang-

gotaan sebagai berikut:

xI

x

x x

μ x x

x

184 4

11

0 ; 18 atau 33

( ) ; 18 22

3 ; 22 33

, x+ (3.7)

dan

J

x

x x

μ x x x

x2

0 ; 5 atau 8

( ) 5 ; 5 6

4 ; 6 8

, x+ (3.8)


= 1 a ( ) 18

4 dan = 2

a ( )3

11


I = 1 2 a a( ) ( )[ , ] = [4 + 18, -11 + 3]


= 1 b( ) 5 dan = 2

b( )4

2


J = 1 2 b b( ) ( )[ , ] = [ + 5, -2 + 8]

Dengan demikian, I : J = 1 2 a a( ) ( )[ , ] : 1 2

b b( ) ( )[ , ]

= [4 + 18, -11 + 3] : [ + 5, -2 + 8]

=

4 18 11 33,

2 8 5

Misalkan 1 c ( )

4 18

2 8 dan 2

c ( )

11 33

5, maka

= 1

1

c

c

( )

( )

8 18

4 2 dan = 2

2

c

c

( )

( )

33 5

11,


sehingga diperoleh

0

x

xI:J

x

x

x x

μ x x

x

18 338 5

(8 18) 2218(4 2 ) 8 6

(33 5 ) 22 33( 11) 6 5

; atau

( ) ;

;

, x+

Gambar 3.5 memperlihatkan grafik fungsi keanggotaan I :J

Contoh 3.10

Misalkan A dan B adalah bilangan kabur seperti dalam Contoh 3.8 dan

misalkan C = A :B , maka C=A : B, sehingga diperoleh

C0.1 = [3, 5] : [3, 6] = ],[3

5

6

3 = 3 3 3 5 5 54 4 46 5 4 3 5 6 6 4 3

{ , , , 1, , , , , , }

C0.2 = [3, 5] : [4, 6] = ],[4

5

6

3 = 3 3 3 5 54 4 46 5 6 4 5 6 3 4

{ , , , , , , 1, , }

C0.3 = [3, 5] : [4, 6] = ],[4

5

6

3 = 3 3 3 5 54 4 46 5 6 4 5 6 3 4

{ , , , , , , 1, , }

C0.4 = [3, 5] : [4, 5] = ],[4

5

5

3 = 3 3 5 54 4 45 6 4 5 6 3 4

{ , , , , , 1, , }

C0.5 = [4, 5] : [4, 5] = ],[4

5

54 = 5 54 4

5 6 3 4{ , , 1, , }

C0.6 = [4, 5] : [4, 5] = ],[4

5

54 = 5 54 4

5 6 3 4{ , , 1, , }

C0.7 = [4, 5] : [4, 5] = ],[4

5

54 = 5 54 4

5 6 3 4{ , , 1, , }

xI~ x

J~

x

xJI~

:~

Gambar 3.5 Pembagian dua bilangan kabur (Contoh 3.9)


71

C0.8 = [4, 4] : [4, 5] = ]1,[54 = 54

5 6{ , , 1}

C0.9 = [4, 4] : [5, 5] = ],[54

54 = }{

54

C1 = [4, 4] : [5, 5] = ],[54

54 = }{

54


C

μ x( )=

Cμ x( ) x, maka diperoleh

0 1C . =

3 3 3 46 5 4 3

5 5 54 45 6 6 4 3

0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 0 1

( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ),

( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , .1), ( , . )

0 2C . =

3 3 3 46 5 4 3

5 54 45 6 6 4

0 2 0 2 0 2 1 0 2 0 2

0 2 0 2 0 2 0 2

( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ),

( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . )

0 3C . =

3 3 3 46 5 4 3

5 54 45 6 6 4

0 3 0 3 0 3 1 0 3 0 3

0 3 0 3 0 3 0 3

( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ),

( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . )

0 4C . =

3 34 45 6 4 5

5 546 3 4

0 4 0 4 0 4 0 4

0 4 1 0 4 0 4 0 4

( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ),

( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . )

0 5C . = 5 54 45 6 3 4

0 5 0 5 1 0 5 0 5 0 5{( , . ), ( , . ), ( , . ),( , . ), ( , . )}

0 6C . = 5 54 45 6 3 4

0 6 0 6 1 0 6 0 6 0 6{( , . ), ( , . ), ( , . ),( , . ), ( , . )}

0 7C . = 5 54 45 6 3 4

0 7 0 7 1 0 7 0 7 0 7{( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . )}

0 8C . = { 545 6

0 8 0 8 1 0 8( , . ), ( , . ), ( , . ) }

0 9C . = 45

0 9{( , . )}

1C = 45

1{( , )}


C = 0 1C . 0 2C . 0 3C . … 1C

= 3 3 3 54 46 5 6 4 5 6

0 3 0 4 0 4 0 4 1 0 8 1 0 8{( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , ),( , . ), ( , . ),

5 543 4 3

0 7 0 7 0 1( , . ), ( , . ), ( , . )}


3.3.2 Metode Prinsip Perluasan

Berikut ini akan diberikan teorema yang tidak akan dibuktikan dan akan digunakan untuk mendapatkan operasi aritmetika bilangan kabur.

Teorema 3.1

Jika I dan J adalah bilangan kabur pada yang fungsi keanggotaannya

masing-masing adalah I

μ x( ) dan yJ

μ ( ) , maka dengan menggunakan

prinsip perluasan pada operasi biner : , diperoleh fungsi

keanggotaan bilangan kabur I J sebagai berikut:

( ) { [ ( ), ( )]}

I J I Jz=x yμ z max min μ x μ y , (3.9)

di mana = {+, –, . , :}.

Dari Teorema 3.1 kita dapat memperoleh fungsi keanggotaan operasi-operasi aritmetika bilangan kabur, sebagai berikut:

Penjumlahan bilangan kabur

Misalkan I dan J adalah bilangan kabur pada dengan fungsi

keanggotaan masing-masing adalah I

μ x( ) dan yJ

μ ( ) , maka fungsi

keanggotaan bilangan kabur I +J adalah:

I+J I Jz=x+y

μ z max min μ x μ y( ) { [ ( ), ( )]} (3.10)

Contoh 3.11

Misalkan bilangan kabur 1 didefinisikan sebagai berikut:

1 = {(0, 0.2), (1, 1), (2, 0.2)}

maka bilangan kabur 1 +1 dapat diperoleh sebagai berikut:

1 1

μ (0) = max[min{0.2, 0.2}] = 0.2

1 1

μ (2) = max[min{0.2, 0.2}, min{1, 1}, min{0.2, 0.2}] = 1

1 1

μ (1) = max[min{0.2, 1}, min{1, 0.2}] = 0.2

1 1

μ (3) = max[min{1, 0.2}, min{0.2, 1}] = 0.2

1 1

μ (4) = max[min{0.2, 0.2}] = 0.2


73

sehingga bilangan kabur

1 + 1 = {(0, 0.2), (1, 0.2), (2, 1), (3, 0.2), (4, 0.2)}

Pengurangan bilangan kabur

Misalkan I dan J adalah bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan

masing-masing adalah I

μ x( ) dan yJ

μ ( ) , maka fungsi keanggotaan

bilangan kabur I -J adalah:

I-J I Jz=x-y

μ z max min μ x μ y( ) { [ ( ), ( )]} (3.11)

Contoh 3.12

Misalkan bilangan kabur 3 dan 1 masing-masing didefinisikan sebagai

berikut:

3 = {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 1), (4, 0.7), (5, 0.3)}

1 = {(0, 0.2), (1, 1), (2, 0.2)}

maka bilangan kabur 3 -1 dapat diperoleh sebagai berikut:

μ3-1(1) = max[min{0.1, 0.2), min{0.5, 1}, min{1, 0.2}] = 0.5

0μ3-1( ) = max[min{0.1, 1), min{0.5, 0.2}= 0.2

2μ3-1( ) = max[min{0.5, 0.2), min{1, 1}, min{0.7, 0.2}] = 1

3μ3-1( ) = max[min{1, 0.2), min{0.7, 1}, min{0.3, 0.2}] = 0.7

1μ3-1( ) = max[min{0.1, 0.2}] = 0.1

4μ3-1( ) = max[min{0.7, 0.2), min{0.3, 1}] = 0.3

5μ3-1( ) = max[min{0.3, 0.2}] = 0.2

sehingga bilangan kabur

3 – 1 = {(-1, 0.1), (0, 0.2), (1, 0.5), (2, 1), (3, 0.7), (4, 0.3), (5, 0.2)}

Perkalian Bilangan Kabur



μ x( ) dan yJ

μ ( ) , maka fungsi

keanggotaan bilangan kabur I .J adalah:


I.J I Jz=x.y

μ z max min μ x μ y( ) { [ ( ), ( )]} (3.12)

Contoh 3.13

Misalkan bilangan kabur 3 dan 2 masing-masing didefinisikan, sebagai

berikut:

3 = {(1, 0.1), (2, 0.5), (3, 1), (4, 0.7), (5, 0.3)}

2 = {(1, 0.2), (2, 1), (3, 0.5)}

maka bilangan kabur 3 ·2 dapat diperoleh sebagai berikut:

μ3.2(1) = max[min{0.1, 0.2}] = 0.1

μ3.2(2) = max[min{0.1, 1}, min{0.5, 0.2}] = 0.2

μ3.2(3) = max[min{0.1, 0.5}, min{1, 0.2}] = 0.2

4μ3.2( ) = max[min{0.5, 1}, min{0.7, 0.2}] = 0.5

5μ3.2( ) = max[min{0.3, 0.2}] = 0.2

6μ3.2( ) = max[min{0.5, 0.5}, min{1, 1}] = 1

8μ3.2( ) = max[min{0.7, 1}] = 0.7

9μ3.2( ) = max[min{1, 0.5}] = 0.5

10μ3.2( ) = max[min{0.3, 1}] = 0.3

12μ3.2( ) = max[min{0.7, 0.5}] = 0.5

15μ3.2( ) = max[min{0.3, 0.5}] = 0.3

Sehingga diperoleh:

3 ·2 = {(1, 0.1), (2, 0.2), (3, 0.2), (4, 0.5), (5, 0.2), (6, 1), (8, 0.7),

(9, 0.5), (10, 0.3), (12, 0.5), (15, 0.3)}

Dari hasil perkalian bilangan kabur tersebut, ternyata hasilnya tidak konveks. Ketidakkonveksan ini disebabkan oleh penyimpangan yang berkaitan dengan

angka dari pendiskritan (descretization) bilangan kabur 3 dan 2 , bukan

disebabkan oleh masalah dalam prinsip perluasan. Permasalahan ini dapat

diatasi dengan mentransformasikan bilangan kabur 3 dan 2 dalam


75

menjadi bilangan kabur dalam , atau dengan kata lain pendiskritannya

dinaikkan sehingga fungsi keanggotaan hasil perkaliannya akan monoton naik

di sebelah kiri nilai normal ( = 1) dan monoton turun di sebelah kanan nilai normal.

Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

Pada bilangan yang lebih kecil daripada bilangan yang fungsi keanggotaannya sama dengan satu, gunakan semua pasangan perkalian

x.y di mana x.y z.

Pada bilangan yang lebih besar daripada bilangan yang fungsi keanggotaannya sama dengan satu, gunakan semua pasangan perkalian

x.y di mana x.y z.

Dengan demikian, dari Contoh 3.13 perkalian bilangan kabur 3 dan 2 dapat

diperoleh melalui proses berikut:

Bilangan yang fungsi keanggotaannya sama dengan satu adalah 6, yaitu:

6μ2.3( ) = max[min(0.5, 0.5), min(1, 1)] = 1

1 1

1 0 1 0 2

μ max min2.3( ) . , . =0.1

1 1 2 1 1 2

2 0 1 0 2 0 5 0 2 0 1 1

μ max min min min2.3( ) . , . , . , . , . , = 0.2

1 1 1 2 2 1

1 3 3 1

0 1 0 2 0 1 1 0 5 0 23

0 1 0 5 1 0 2

min min minμ max

min min

2.3

. , . , . , , . , . ,( )

. , . , , .

= 0.2


1 1 1 2 2 1

3 1 1 3 2 2

4 1

0 1 0 2 0 1 1 0 5 0 2

4 1 0 2 0 1 0 5 0 5 1

0 7 0 2

min min min

μ max min min min

min

2.3

. , . , . , , . , . ,

( ) , . , . , . , . , ,

. , .

=0.5

1 1 1 2 2 1

1 3 1 3 2 2

5 14 1

0 1 0 2 0 1 1 0 5 0 2

5 1 0 2 0 1 0 5 0 5 1

0 7 0 2 0 3 0 2

min min min

μ max min min min

min min

2.3

. , . , . , , . , . ,

( ) , . , . , . , . , ,

. , . , . , .

= 0.5

6 1μ2.3( )

4 3 3 34 2

5 2 5 3

0 7 1 0 7 0 5 1 0 57

0 3 1 0 3 0 5

min min minμ max

min min

2.3

. , , . , . , , . ,( )

. , , . , .

= 0.7

4 3 3 34 2

5 2 5 3

0 7 1 0 7 0 5 1 0 58

0 3 1 0 3 0 5

min min minμ max

min min

2.3

. , , . , . , , . ,( )

. , , . , .

= 0.7

3 3 4 3 5 2

5 3

1 0 5 0 7 0 5 0 3 19

0 3 0 5

min min minμ max

min

2.3

, . , . , . , . , ,( )

. , .

= 0.5

4 3 5 2 5 3

10 0 7 0 5 0 3 1 0 3 0 5

μ max min min min2.3( ) . , . , . , , . , . = 0.5


77

4 3 5 3

11 0 7 0 5 0 3 0 5

μ max min min2.3( ) . , . , . , . = 0.5

4 3 5 3

12 0 7 0 5 0 3 0 5

μ max min min2.3( ) . , . , . , . = 0.5

5 3

13 0 3 0 5

μ max min2.3( ) . , . = 0.3

5 3

14 0 3 0 5

μ max min2.3( ) . , . = 0.3

5 3

14 0 3 0 5

μ max min2.3( ) . , . = 0.3

sehingga :

3 ·2 =

1 0 1 2 0 2 3 0 2 4 0 5 5 0 5 6 1

7 0 7 8 0 7 9 0 5 10 0 5 11 0 5 12 0 5

13 0 3 14 0 3 15 0 3

( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , ),

( , . ), ( , . ), ( , . ),( , . ),( , . ),( , . ),

( , . ),( , . ), ( , . )

Pembagian bilangan kabur



μ x( ) dan J

μ y( ) , maka fungsi

keanggotaan bilangan kabur I :J adalah:

I:J I Jz=x:y

μ z max min μ x μ y( ) { [ ( ), ( )]} (3.13)

Contoh 3.14

Pandang kembali bilangan kabur 3 dan 2 pada Contoh 3.13. Dengan

menaikkan pendiskritan seperti pada Contoh 3.13 maka bilangan kabur 3 :2

dapat diperoleh melalui proses berikut:


13

13

0 1 0 5

μ max min3:2( ) . , . = 0.1

12

μ3:2( )=

1 13 2

0 1 0 5 0 1 1

max min min. , . , . , = 0.1

23

μ3:2( )=

1 213 32

0 1 0 5 0 1 1 0 5 0 5

max min min min. , . , . , , . , . = 0.5

1μ3:2( )=

1 213 32

31 231 2

0 1 0 5 0 1 1 0 5 0 5

0 1 0 2 0 5 1 1 0 5

min min minmax

min min min

. , . , . , , . , . ,

. , . , . , , , .

= 0.5

32

μ3:2( )= 1

43

μ3:2( )=

54 23 3 1

5 342 2 1

541 1

0 7 0 5 0 3 0 5 0 5 0 2

0 7 1 0 3 1 1 0 2

0 7 0 2 0 3 0 2

min min min

max min min min

min min

. , . , . , . , . , . ,

. , , . , , , . ,

. , . , . , .

= 0.7

53

μ3:2( )=

5 2 43 1 2

5 3 42 1 1

51

0 3 0 5 0 5 0 2 0 7 1

0 3 1 1 0 2 0 7 0 2

0 3 0 2

min min min

max min min min

min

. , . , . , . , . , ,

. , , , . , . , . ,

. , .

= 0.7


79

2μ3:2( )=

52 41 2 2

3 541 1 1

0 5 0 2 0 7 1 0 3 1

1 0 2 0 7 0 2 0 3 0 2

min min minmax

min min min

. , . , . , , . , ,

, . , . , . , . , .

= 0.7

52

μ3:2( )=

5 3 42 1 1

51

0 3 1 1 0 2 0 7 0 2

0 3 0 2

min min minmax

min

. , , , . , . , . ,

. , .

= 0.3

3μ3:2( ) =

3 541 1 1

1 0 2 0 7 0 2 0 3 0 2max min min min

, . , . , . , . , .

= 0.2

4μ3:2( )=

541 1

0 7 0 2 0 3 0 2

max min min. , . , . , . = 0.2

5μ3:2( )= 0 3 0 2 max min . , . = 0.2

sehingga diperoleh:

3~

: 2~

=

31 1 2 43 2 3 2 3

5 53 2

0 1 0 1 0 5 1 0 5 1 0 7

0 7 2 0 7 0 3 3 0 2 4 0 2 5 0 2

( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , . ), ( , ), ( , . ),

( , . ),( , . ), ( , . ), ( , . ),( , . ), ( , . )


Soal-Soal Latihan

3.1. Yang manakah dari himpunan kabur yang fungsi keanggotaannya didefinisikan berikut termasuk bilangan kabur:

i). 0

0

A

x xμ x

x

sin ;( )

; yang lain

ii). 0 10

0

B

x xμ x

x

;( )

; yang lain

iii). 1 0 10

0

C

xμ x

x

;( )

; yang lain

iv). 1

D

x xμ x

x <

min( , ) ; 0( )

0 ; 0

v). 1 5

0

E

xμ x

x

;( )

; yang lain

3.2. Hitunglah

a) [-1, 2] + [1, 3]

b) [-2, 4] - [3, 6]

c) [-3, 4] [-3, 4]

d) [-4, 6] : [1, 2]

3.3. Misalkan A dan B adalah bilangan kabur dengan fungsi keanggotaan

22 0

2

20 2

2

0

A

xx

xμ x x

x

( );

( )( ) ;

yang lain

, x+,


81

22 4

2

64 6

2

0

B

xx

xμ x x

x

( );

( )( ) ;

yang lain

, x+.

Hitunglah A +B , A –B , A B dan A :B dengan menggunakan

metode potongan-.

3.4. (a). Misalkan bilangan kabur “sekitar 4” dan “sekitar 3” dalam

didefinisikan sebagai berikut:

4 {(1, 0.1), (2, 0.3), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.7), (6, 0.3)}

3 {(1, 0.3), (2, 0.6), (3, 1), (4, 0.7), (5, 0.2), (6, 0.1)}

Hitunglah 4 + 3 dengan menggunakan metode potongan- dan

prinsip perluasan.

(b). Misalkan bilangan kabur “sekitar 2” dan “sekitar 1” dalam


2 {(-2, 0.1), (-1, 0.3), (0, 0.7), (1, 0.9), (2, 1), (3, 0.5)}

1 {(-1, 0.1), (0, 0.6), (1, 1), (2, 0.8), (3, 0.3)}

Hitunglah 2 – 1 dengan menggunakan metode potongan- dan prinsip perluasan.

(c). Misalkan bilangan kabur “sekitar 4” dan “sekitar 5” dalam +


4 {(1, 0.1), (2, 0.3), (3, 0.8), (4, 1), (5, 0.7), (6, 0.3)}

5 {(1, 0.3), (2, 0.6), (3, 1), (4, 0.7), (5, 0.2), (6, 0.1)}

Hitunglah 4 5 dan 4 :5 dengan menggunakan metode

potongan- dan prinsip perluasan.

3.5. Buktikan bahwa jika A dan B adalah bilangan kabur dalam , maka

A +B dan A B adalah himpunan kabur dalam yang normal.

(gunakan metode potongan-)

BAB III Bilangan Kabur dan Operasi-Operasi Aritmetikanyaeprints.unm.ac.id/10398/6/BAB III.pdf ·...

Documents

Transcript of BAB III Bilangan Kabur dan Operasi-Operasi Aritmetikanyaeprints.unm.ac.id/10398/6/BAB III.pdf ·...