· PDF file Sistem aljabar didefinisikan sebagai suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi...

Click here to load reader

  • date post

    16-Oct-2020
  • Category

    Documents

  • view

    6
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of · PDF file Sistem aljabar didefinisikan sebagai suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi...

  • Sistem aljabar didefinisikan sebagai suatu himpunan beserta dengan operasi-operasi pada himpunan

    tersebut. Struktur aljabar secara lepas didefinisikan sebagai karakteristik dari suatu sistem aljabar. Istilah

    struktur aljabar juga mengacu kepada cabang ilmu matematika bernama Aljabar Abstrak yang

    mempelajari mengenai karakteristik sistem aljabar seperti Grup, Ring, dan Field.

    1. Himpunan

    Himpunan adalah suatu kumpulan objek (kongkrit maupun abstrak) yang didefinisikan dengan jelas.

    Obyek-obyek dalam himpunan tersebut dinamakan anggota himpunan.

    Contoh 1.1 :

    1. Himpunan bilangan 0, 1, 2 dan 3.

    2. Himpunan : pena, pensil, buku, penghapus, penggaris.

    3. Himpunan : Negara-negara anggota ASEAN.

    Secara matematis, himpunan dapat dinyatakan dengan tanda kurawal dan digunakan notasi huruf

    besar. Hal itu berarti, himpunan di atas ditulis secara matematik yaitu :

    1. A = { 0, 1, 2, 3 }.

    2. B = { pena, pensil, buku, penghapus, penggaris }.

    3. C = { Negara-negara ASEAN }.

    Untuk membentuk himpunan, salah satu metode yang dapat digunakan adalah metode Roster (tabelaris)

    yaitu dengan menyebut atau mendaftar semua anggota, seperti pada himpunan A dan B sedangkan metode

    lainnya adalah metode Rule yaitu dengan menyebut syarat keanggotaannya. Sebagai contoh, penggunaan metode

    Rule adalah C = { x | x negara-negara ASEAN }. Kalimat di belakang garis tegak ( | ) menyatakan syarat

    keanggotaan.

    Apabila suatu obyek merupakan anggota dari suatu himpunan maka obyek itu dinamakan elemen

    dan notasi yang digunakan adalah ∈. Sebaliknya apabila bukan merupakan anggota dinamakan bukan

    elemen, dan notasi yang digunakan adalah ∉. Sebagai contoh, jika himpunan A = {0, 1, 2, 3 } maka 2 ∈ A

    sedangkan 4 ∉ A. Banyaknya elemen dari himpunan A dikenal dengan nama bilangan cardinal dan

    disimbolkan dengan n(A). Berarti pada contoh di atas n(A) = 4.

    Himpunan A dikatakan ekuivalen dengan himpunan B jika n(A) = n(B), dan biasa disimbolkan

    dengan A ∼ B. Berarti jika A dan B ekuivalen maka dapat dibuat perkawanan satu- satu dari himpunan A

    ke himpunan B dan sebaliknya. Pada contoh di atas himpunan A = {0, 1, 2, 3 } ekuivalen dengan

    himpunan E = {2, 4, 6, 8}.

    1. Operasi Biner

  • Catatan :

    Pada saat menyatakan himpunan harus diperhatikan bahwa

    (i) Urutan tidak diperhatikan, himpunan {0, 1, 2, 3}, {1, 0, 3, 2} dipandang sama dengan

    {1, 2, 3, 0}

    (ii) Anggota-anggota yang sama hanya diperhitungkan sekali, {0, 0, 1, 1, 2, 3} dan {0, 1,

    2, 3, 3, 3} dipandang sama dengan {0, 1, 2, 3}.

    Himpunan semesta (universal set) adalah himpunan semua obyek yang dibicarakan. Himpunan

    semesta dinotasikan S atau U. Sebagai contoh jika A ={0, 1, 2, 3} maka dapat diambil himpunan semestanya

    U = { bilangan bulat } atau U = { himpunan bilangan cacah }, dll. Himpunan kosong adalah

    himpunan yang tidak mempunyai anggota, dalam hal ini digunakan notasi ∅ atau { }. Sebagai contoh jika

    D = { bilangan ganjil yang habis dibagi dua } maka D = ∅ atau D = { }.

    Diagram Venn adalah diagram untuk menggambarkan suatu himpunan atau relasi antar himpunan.

    Himpunan yang digambarkannya biasanya dalam bentuk lingkaran dan anggotanya berupa titik dalam

    lingkaran dan himpunan semestanya dalam bentuk persegi panjang. Sebagai contoh jika diketahui

    himpunan E = { 2, 4, 6, 8 } dan himpunan semestanya adalah himpunan bilangan genap U dapat

    digambarkan dengan diagram Venn.

    Misalkan diketahui himpunan A dan B. Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) jika dan hanya

    jika setiap elemen dari A merupakan elemen dari B. Notasi yang biasa digunakan adalah A ⊆ B atau B ⊇

    A. Notasi A ⊆ B dibaca A himpunan bagian dari B atau A termuat dalam B, sedangkan notasi B ⊇ A dibaca B

    memuat A.

    Contoh 1.2 :

    Himpunan { 0 } ⊆ { 0, 1, 2, 3 } sedangkan 0 ∈ { 0, 1, 2, 3 }.

    Dua himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya mengandung elemen yang tepat sama. Hal

    itu berarti bahwa A = B jika dan hanya jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya

    setiap anggota B juga menjadi anggota A. Untuk membuktikan A = B maka haruslah dibuktikan bahwa A ⊆

    B dan B ⊆ A. Sebagai contoh A = { 0, 1, 2, 3 } sama dengan B = {1, 0, 2, 3}. Perlu dicatat bahwa

    himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sebarang himpunan sehingga ∅ ⊆ A.

    Jika A dan B himpunan maka A dikatakan himpunan bagian sejati (proper subset) B jika dan hanya jika

    A ⊆ B dan A ≠ B. Notasi yang biasa digunakan adalah A ⊂ B. Sebagai contoh

    {1, 2, 4 } ⊂ { 1, 2, 3, 4, 5 }.

    Himpunan A = { 0, 1, 2, 3 } bukan himpunan bagian himpunan G = {1, 3, 6, 8} atau

    A ⊄ G karena ada anggota A (misalnya 2) yang bukan anggota G.

    Dari suatu himpunan A dapat dibuat himpunan kuasa (power set) yaitu himpunan yang anggota-

    anggotanya adalah himpunan bagian dari himpunan A dan notasi yang digunakan adalah 2 A

    . Sebagai contoh,

    himpunan H = { 1, 2 } maka 2 A

    = { ∅, {1}, {2}, {1,2} }. Dalam hal ini n(2 A

    ) =2 n(A)

    = 2 2

    = 4.

  • Dua himpunan A dan B dikatakan saling asing jika masing-masing tidak kosong dan A ∩ B = ∅.

    Sebagai contoh himpunan A = { 0, 1, 2, 3 } saling asing dengan himpunan E = { 5, 6, 7, 8}.

    Komplemen himpunan A adalah semua anggota dalam semesta yang bukan anggota A. Notasi

    komplemen A adalah A C

    . Secara matematik dapat ditulis sebagai

    A C

    ={ x | x ∈ U dan x ∉ A }.

    Sebagai contoh jika U = { 1, 2, 3,…, 10 } dan A = { 3, 5, 7 } maka

    A C

    ={1, 2, 4, 6, 8, 9,10}.

    Relasi antara himpunan A dan komplemennya yaitu A C

    dapat dinyatakan dalam diagram Venn. Dalam hal ini

    U C

    = ∅ dan ∅ C

    = U.

    Gabungan (union) dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota- anggotanya terdiri

    atas semua anggota dari himpunan A atau B. Notasi yang digunakan adalah A ∪ B. Secara matematika

    A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }. Sebagai contoh jika A = { a, i, e } dan B = { i, e, o, u} maka A ∪ B =

    { a, i, e, o, u }. Dalam hal ini berlaku sifat A ⊆ (A ∪ B} dan B ⊆ (A ∪ B} dan juga A ∪ A C

    = U.

    Irisan (intersection) dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas

    anggota himpunan A yang juga merupakan anggota himpunan B. Dalam hal ini digunakan notasi A ∩

    B. Secara matematik A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }. Sebagai contoh jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B ={ 2, 4, 6,

    8 } maka A ∩ B ={ 2 }. Dalam operasi irisan berlaku bahwa (A ∩ B) ⊆ A dan (A ∩ B) ⊆ B dan juga A ∩

    A C

    =∅ .

    Selisih antara himpunan A dan himpunan B adalah anggota A yang bukan B. Notasi yang digunakan

    adalah A-B. Secara matematik A-B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }. Sebagai contoh jika

    A = {0, 1, 2, 3} dan B = { 3, 4, 5 } maka A-B = { 0, 1, 2 }.

    Jumlah himpunan A dan B adalah himpunan A saja atau himpunan B saja tetapi bukan anggota A dan

    B. Dalam hal ini digunakan notasi A + B. Secara matematik dapat dinyatakan sebagai A + B = { x | x ∈

    (A ∪ B) tetapi x ∉ (A ∩ B) }. Sebagai contoh jika A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B ={ 2, 4, 6 } maka A + B = { 1,

    3, 5, 6 }. Catatan bahwa : A + B = (A ∪ B) - (A ∩ B) atau A + B = (A - B) ∪ (B - A).

    Hukum-hukum aljabar himpunan:

    1. Hukum komutatif : A ∩ B = B ∩ A,

    A ∪ B = B ∪ A.

    Bukti :

    Karena A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B } maka

    A ∩ B = { x | x ∈ B dan x ∈ A }

    = B ∩ A.

  • Karena A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B } maka

    A ∪ B = { x | x ∈ B atau x ∈ A }

    = B ∪ A.

    2. Hukum assosiatif: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,

    A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

    3. Hukum idempoten: A ∩ A = A,

    A ∪ A = A.

    4. Hukum distributif : A ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ (A ∩ C),

    A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

    5. Hukum de Morgan : (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc,

    (A ∪ B) c

    = A c

    ∩ B c .

    6. Jika A ⊆ B maka A ∩ B = A dan A ∪ B = B.

    Himpunan bilangan

    Himpunan bilangan asli (natural number) N = { 1, 2, 3, 4, 5, …. }.

    Himpunan bilangan prima (prime number) P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. }.

    Himpunan bilangan cacah C = { 0, 1, 2, 3, 4, …. }.

    Himpunan bilangan bulat (integer) Z = {…., -3, -2, -1, 0, 1,2, 3, …. }.

    Himpunan bilangan real (real number) R adalah himpunan yang memuat semua bilangan anggota

    garis bilangan.

    Himpunan bilangan rasional (rational number) Q = { a/b | a, b ∈ Z dan b ≠ 0 }

    Himpunan bilangan irrasional R – Q = Q c

    = { x ∈ R | x ∉ Q }.

    2. Operasi biner

    Dalam aljabar tidak hanya dibahas tentang himpunan tetapi juga himpunan bersama dengan

    operasi penjumlahan dan pergandaan yang didefinisikan pada himpunan.

    Definisi 1.1

    Misalkan A himpunan tidak kosong. Operasi biner * pada A adalah pemetaan dari setiap pasangan berurutan

    x, y dalam A dengan tepat satu anggota x * y dalam A.

    Himpunan bilangan