Keg. 2.3 Memahami Operasi Himpunan

Click here to load reader

  • date post

    27-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    980
  • download

    10

Embed Size (px)

Transcript of Keg. 2.3 Memahami Operasi Himpunan

  • Matematika 131

    Memahami Operasi HimpunanegiatanK 2.3

    Selama ini kalian mengenal operasi dalam bilangan. Sama seperti bilangan, himpunan-himpunan juga bisa dioperasikan satu sama lain. Operasi-operasi himpunan itu mencakup: (a) Irisan, (b) Gabungan, (c) Selisih, dan (d) Komplemen.

    a. Irisan (Intersection)

    AyoKita Amati

    Coba amati dengan cermat masalah dan alternatif penyelesaiannya berikut ini.

    Masalah 2.7

    Bela dan Diva adalah dua orang sahabat. Bela senang dengan bunga mawar, bunga melati, dan bunga anggrek, sedangkan Diva senang dengan bunga matahari dan bunga anggrek.

    1. Jika A adalah himpunan bunga yang disenangi oleh Bela dan B adalah himpunan bungan yang disenangi oleh Diva, tentukanlah anggota himpunannya.

    2. Apakah ada anggota kedua himpunan itu yang sama?

    Alternatif Pemecahan Masalah

    A adalah himpunan bunga yang disenangi Bela.

    B adalah himpunan bunga yang disenangi Diva.

    1. Kedua himpunan itu adalah: A = {mawar, melati, anggrek} B = {matahari, anggrek}

    2. Untuk melihat apakah ada anggota himpunan A yang sama dengan anggota himpunan B dapat dilakukan dengan membandingkan satu persatu, apakah elemen A ada pasangannya yang sama pada B dan sebaliknya. Kita dapat merancang prosedur sistematis untuk melakukan ini sebagai berikut.

    a. Ambil elemen pertama A, bandingkan dengan elemen B. Apabila ada pasangan yang anggotanya sama.

  • Kelas VII SMP/MTs Edisi Revisi Semester I132

    b. Ambil elemen kedua, ketiga, dan seterusnya dari A, bandingkan dengan elemen B, ulangi hal yang sama sampai semua elemen A habis.

    c. Bila setelah semua elemen A habis diproses, tulislah semua elemen yang menjadi anggota himpunan A dan sekaligus menjadi angota himpunan B.

    Prosedur ini dilakukan sebagai berikut.1. Ambil elemen pertama dari A yaitu: mawar. Apakah pasangan yang sama ada di

    B? Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya.2. Ambil elemen kedua dari A yaitu: melati. Apakah pasangan yang sama ada di B?

    Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya.

    3. Ambil elemen ketiga dari A yaitu: anggrek. Apakah pasangan yang sama ada di B? Ada. Jadi anggrek adalah anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B.

    4. Karena semua elemen himpunan A telah habis diproses, maka diperoleh satu anggota himpunan A dan sekaligus menjadi anggota himpunan B, yaitu: anggrek

    Contoh 2.10

    Diketahui himpunan P = {1, 3, 5, 7} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Temukan anggota himpunan P yang sekaligus menjadi anggota himpunan Q.

    PenyelesaianAlternatif

    Kedua himpunan itu adalah: P = {1, 3, 5, 7} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    Untuk mencari himpunan dimaksud, kita lakukan prosedur sama seperti prosedur pada alternatif pemecahan Masalah 2.7, sebagai berikut.

    1. Ambil elemen pertama dari P, yaitu: 1. Apakah ada pasangan yang sama di Q? Ada.

    Jadi 1 adalah anggota himpunan P yang sekaligus menjadi anggota himpunan R.

    2. Lakukan cara yang sama untuk elemen kedua, ketiga, keempat, dan kelima dari P. Setelah semua elemen P telah habis diproses, maka anggota himpunan P yang sekaligus menjadi anggota himpunan R adalah 1, 3, dan 5.

    Berdasarkan Masalah 2.7 dan Contoh 2.10, dapat disimpulkan irisan himpunan sebagai berikut.

  • Matematika 133

    Ayo KitaMenggali Informasi+

    =+

    Misalkan S adalah himpunan semesta, irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota S yang merupakan anggota himpunan A dan anggota himpunan B, dilambangkan dengan A B.

    Irisan dua himpunan dinotasikan A B = {x | x A dan x B}.

    A B dalam diagram Venn disajikan sebagai daerah yang diarsirDiketahui himpunan A = {1, 3, 5}B = {2, 4, 6, 8}Selidikilah apakah A B = B A = Untuk menyelidiki apakah A B = , kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut.1. Ambil elemen pertama dari A, yaitu 1. Apakah ada pasangan yang sama di B?

    Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya.

    2. Dengan melakukan cara yang sama untuk semua elemen himpunan A, ternyata tidak ada elemen himpunan A yang sama dengan elemen himpunan B.

    Berarti tidak ada anggota himpunan A yang mempunyai pasangan dengan anggota himpunan B, artinya tidak ada anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B. Hal ini berarti irisan himpunan A dengan himpunan B adalah himpunan kosong atau A B = .Untuk menyelidiki apakah B A = kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut.1. Ambil elemen pertama dari B, yakni 2. Apakah ada pasangan yang sama di A?

    Tidak ada. Lanjutkan ke elemen berikutnya!

    2. Dengan melakukan cara yang sama untuk semua elemen himpunan B, ternyata tidak ada elemen himpunan B yang sama dengan elemen himpunan A.

    Berarti tidak ada anggota himpunan B yang mempunyai pasangan dengan anggota himpunan A, artinya tidak ada anggota himpunan B yang sekaligus menjadi anggota himpunan A. Hal ini berarti irisan himpunan B dengan himpunan A adalah kosong atau B A = . Berdasarkan hasil penyelidikan diperoleh A B = dan B A = , sehingga dapat ditulis A B = B A = . Oleh karena A B = B A = , maka tidak ada anggota himpunan A yang menjadi anggota himpunan B.Berdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut

    Himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau saling asing, jika tidak ada anggota A yang merupakan anggota B, dilambangkan dengan A//B.

    S A B

    Gambar 2.11 Diagram Venn A B

  • Kelas VII SMP/MTs Edisi Revisi Semester I134

    Ayo KitaMenanya??

    Berdasarkan hasil pengamatan kalian coba tulislah pertanyaan yang berkaitan dengan irisan dari dua himpunan

    Ayo KitaMenalar

    1. Jika A = himpunan pria, dan B = himpunan wanita, apa yang bisa kamu temukan?2. Diberikan A = {xx < 5, x bilangan asli} dan B = {xx > 5, x bilangan asli}, apakah (A B) = ? Jika A B = , apakah B A = ?

    Ayo KitaBerbagi

    Coba diskusikan hasil menalar kalian dengan temanmu, dan presentasikan hasilnya di depan kelas jika ada perbedaan coba taanyakan kepada gurumu.

    AyoKita Amati

    Amatilah masalah penggunaan diagram Venn dalam kehidupan sehari-hari berikut ini.

    Masalah 2.8

    Dalam suatu kelas terdapat 30 orang siswa yang senang dengan pelajaran Matematika, 25 orang siswa senang dengan pelajaran Fisika, dan 10 orang siswa senang pelajaran matematika dan fisika.

    a) Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atasb) Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran matematika?

    c) Berapa orang siswa yang hanya senang pelajaran fisika?

    d) Berapa banyak siswa dalam kelas itu?

    Alternatif Pemecahan Masalah

    Pada masalah ini, tidak disajikan anggota-anggota setiap himpunan, cukup kita fokus pada banyak anggota setiap himpunan.

  • Matematika 135

    Perlu kalian ketahui bahwa siswa yang senang dengan pelajaran matematika tidak menutup kemungkinan bahwa siswa tersebut juga senang dengan pelajaran fisika, sebaliknya juga demikian.

    Misalkan A adalah himpunan semua siswa yang senang belajar matematika, maka n(A) = 30.

    Misalkan B adalah himpunan semua siswa yang senang belajar fisika, maka n(B) = 25.

    Misalkan M adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar matematika.

    Misalkan F adalah himpunan semua siswa yang hanya senang belajar fisika.

    Misalkan S adalah himpunan semua siswa dalam satu kelas.

    A B adalah himpunan siswa senang pelajaran matematika dan fisika, maka n(A B) = 10.

    a) Diagram Venn

    b) Siswa yang hanya senang pelajaran matematika.

    Banyak siswa yang senang pelajaran matematika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.

    n(A) = n(M) + n(A B) 30 = n(M) + 10 n(M) = 30 10 = 20 Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 20 orang.

    c) Siswa yang hanya senang pelajaran fisika.

    Banyak siswa yang senang pelajaran fisika adalah banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.

    n(B) = n(F) + n(A B) 25 = n(F) + 10 n(F) = 25 10 = 15 Maka banyak siswa yang hanya senang belajar matematika adalah 15 orang.

    Gambar 2.12 Diagram Venn

    S A

    20 10

    B

    15

  • Kelas VII SMP/MTs Edisi Revisi Semester I136

    d) Banyak siswa dalam kelas

    Banyak siswa dalam satu kelas yaitu banyak siswa yang hanya senang belajar matematika ditambah dengan banyak siswa yang hanya senang belajar fisika ditambah dengan banyak siswa yang senang belajar kedua-duanya.

    n(S) = n(M) + n(I) + n(A B) = 20 + 15 + 10 = 45 Jadi banyak siswa satu kelas itu adalah 45 orang.

    Ayo KitaMenggali Informasi+

    =+

    Contoh 2.11

    Diketahui himpunan A = {1, 3, 5, 7) dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Selidiki apakah A B, bagaimana hubungan A B dengan himpunan A?

    PenyelesaianAlternatif

    Kedua himpunan itu adalah:A = {1, 3, 5, 7) B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}Untuk menyelidiki apakah A B, kita lakukan langkah berikut.Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B yaitu: 1 A dan 1 B; 3 A dan 3 B; 5 A dan 5 B; 7 A dan 7 B. Karena seluruh anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka disimpulkan A B.Hubungan A B dengan himpunan A: Karena: 1 A dan 1 B; 3 A dan 3 B; 5 A dan 5 B; 7 A dan 7 BMaka (A B) = {1, 3, 5, 7}Ternyata (A B) = ABerdasarkan keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa

    Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A B, maka A B = A

  • Matematika 137

    Ayo KitaMenanya??

    Berdasarkan hasil pengamatan kalian, coba buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan penggunaan diagram Venn dalam kehidupan sehari-hari. Tulislah pertanyaan kalian di buku tulis

    Ayo KitaMenalar

    Di antara warga RT 05 yang terdiri atas 50 orang, ternyata 20 orang berlangganan majalah,