Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi (780 - 850) lahir di Khiva, Uzbekistan. Buku

pertamanya Hisâb al-Jabar wa al Muqabala, membahas solusi sistematik dari persamaan

linear dan notasi kuadrat. Beliau, yang memperkenalkan angka India, yang kemudian

diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di dunia Barat pada abad ke 12.

Beliau merevisi dan menyesuaikan Geografi Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan

tentang astronomi dan astrologi.

1.1. Sistem Bilangan Riil 1.2. Himpunan dan Operasi pada

Himpunan1.3. Penyelesaian Persamaan1.4. Penyelesaian Pertidaksamaan

Sistem Bilangan Riil

1

No Kompetensi Dasar Materi Uraian Materi Indikator

1 Memahami sistem bilangan Riil dan operasinya.

Sistem Bilangan Riil

1. Pengertian dan sifat 2. Pertidaksamaan3. Nilai Mutlak

1. menjelaskan pengertian sistem bilangan Riil.

2. melakukan operasi pada bilangan riil

3. menyelesaikan soal pertidaksamaan

4. menyelesaikan soal harga mutlak

2 Memahami konsep fungsi

Fungsi dan Grafik

1. pengertian2. Macam fungsi3. Grafik fungsi

5. menjelaskan pengertian fungsi dan macamnya

6. menbedakan macam-macam fungsi

7. menentukan domain dan range dari suatu fungsi

8. Menggambar grafik fungsi dalam koordinat Cartesius

3 Menggambar grafik fungsi dalam koordinat polar dan dapat menggambar kurvanya

Sistem Koordinat Kutub (polar)

1. Koordinat2. Hub. Koord. Kutub

dan koord. Kartesius

3. Grafik

9. menggambar grafik fungsi dalam koordinat polar

10. menetukan hubungan antara kooridinat kartesius dengan koordinat polar

11. mengubah persamaan kartesius ke persamaan polar

12. mengubah persamaan polar ke persamaan kartesius

4 Memahami dan menerapkan konsep limit suatu fungsi

Limit Suatu Fungsi

1. Defiinisi dan teorema

2. Limit Satu Arah3. Limit tak hingga

13. Menjelaskan pengertian limit suatu fungsi

14. memahami konsep limit satu arah

15. memahami konsep limit tak hingga

16. menyelesaikan soal-soal limit

5 memahami konsep kekontinuan suatu fungsi dan menerapkannya

Kekontinuan suatu fungsi

1. Kekontinuan pada suatu titik

2. Kekontinuitas pada suatu selang

17. menjelaskan pengertian kekontinuan suatu fungsi

18. menentukan kekontinuan sutu fungsi

6 memahami konsep turunan suatu fungsi.

Turunan Suatu Fungsi

1. Definisi2. Teorema

19. menjelaskan pengertian turunan

20. menggunakan teorema dalam penyelesaian soal

21. dalil rantai7 memahami

konsep turunan suatu fungsi.

Turunan f aljabar dan trigonometri

1. Turunan f aljabar2. Turunan f

trigonometri3. Turunan tingkat tinggi

22. menyelesaikan soal-soal turunan fungsi aljabar

23. menyelesaikan soal-soal turunan fungsi trigonometri

8 memahami konsep turunan

Turunan fungsi

1. fungsi implisit2. turunan tingkat

24. menyelesaikan soal-soal turunan fungsi implisit

Sistem Bilangan Riil

suatu fungsi. implisit tinggi9 memahami

konsep turunan suatu fungsi.

Turunan fungsi eksponen dan logaritma

1. turunan f eksponen2. Turunan fungsi

logaritma

25. menyelesaikan soal-soal turunan fungsi logaritma

26. menyelesaikan soal-soal turunan fungsi eksponen

10 Mengaplikasi kan konsep turunan dalam pemecahan soal

Maksimum dan minimum

1. f naik dan f turun2. nilai maksimum dan

minimum3. aplikasi maksimum

minimum

27. memahami pengertian fungsi naik dn fungsi turun

28. memahami pengertian nilai maksimum dan minimum

29. menerapkan konsep maksimum dan minimum dalam pemecahan masalah

30. Menyelesaikan soal yang berhubungan dengan optimasi dengan menggunakan turunan.

11 Mengaplikasi kan konsep turunan dalam pemecahan soal

Teorema Nilai rata-rata

1. Teorema Rolle2. Teorema Nilai rata-

rata

31. menyelesaikan soal teorema nilai rata-rata dengan menggunakan turunan

12 Mengaplikasi kan konsep turunan dalam pemecahan soal

Bentuk-bentuk Tak Tentu

1. Bentuk

2. Bentuk

32. menyelesaikan bentuk tak tentu denga menggunakan turunan

1

Sistem Bilangan Riil

1.1. Sistem Bilangan Riil

Bilangan Riil dapat dipandang sebagai kumpulan titik-titik dalam dalam

sebuah garis mendatar atau selanjutnya kita sebut sebagai garis bilangan. Pada

garis bilangan letak kumpulan titik-titik bilangan itu mengukur jarak ke kanan atau kiri

dari suatu titik tetap/titik asal yang diberi label O. Tiap bilangan hanya mempunyai

satu titik dalam sebuah garis bilangan yang kita sebut sebagai koordinat titik tersebut

(lihat Gambar 1).

Kita sudah mengenal macam-macam bilangan yang membentuk sistem

bilangan Riil, kita awali dengan sistem bilangan yang paling sederhana yaitu sistem

bilangan asli (natural numbers) yang sering dilambangkan dengan , bilangan itu:

1, 2, 3, 4, . . .

dengan bilangan ini kita dapat menghitung jumlah kendaraan yang melewati

ruas jalan pada jam-jam tertentu, jumlah karyawan pada suatu perusahaan konveksi

dan lain-lain.

Bilangan bulat (integers) sering dilambangkan dengan (berasal dari bahasa

Jerman, Zahlen), terdiri dari bilangan asli bersama dengan negatifnya dan angka 0:

. . ., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .

Ternyata bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup ketika

kita harus mengukur berat, panjang dan yang lainnya. Kita dapat membuat suatu

bilangan rasional (rational numbers) sering dilambangkan dengan ; yang

merupakan hasil bagi antara dua bilangan bulat, sehingga kalau r melambangkan

bilangan rasional maka:

, dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0

Contoh bilangan rasional adalah:

1/2 -3/2 0,13 = 13/100 2 = 6/3

0 1 2 3 4 5 6 7-1 -2 -3 -4

√2 7/2-3/2 -

Gambar 1 Garis Bilangan Riil

2

Sistem Bilangan Riil

Semua bilangan-bilangan yang disebutkan di atas berpangkat satu, tetapi

sebenarnya kita dapat membuat variasi pangkat dari bilangan-bilangan tersebut

misalnya , disamping itu ada bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan

dalam bentuk a/b, misalkan , e dan yang lainnya. Bilangan yang tidak dapat

dinyatakan dalam bentuk a/b disebut bilangan tak rasional/irasional (irrational

numbers). Sekumpulan bilangan rasional dan tak rasional kita sebut sebagai

bilangan riil (real numbers) dan sering kita lambangkan dengan . Bilangan masih

dapat kita perluas lagi menjadi bilangan kompleks, hampir semua mahasiswa

mengenal bentuk bilangan . Akhirnya kita dapat mengikhtisarkan sistem

bilagan dalam gambari di bawah ini.

Gambar 2 Sistem Bilangan

Untuk selanjutnya dalam buku ini kalau disebutkan bilangan, maka yang

dimaksud adalah bilangan riil kecuali kalau disebutkan secara khusus.

Sifat-Sifat Operasi Bilangan Riil Kombinasi dari bilangan riil x dan y. Kita dapat menambahkan atau

mengkalikan bilangan-bilangan tersebut untuk mendapatkan suatu bilangan baru.

Operasi penambahan diberi lambang “+” sehingga penambahan y dari x ditulis x + y,

sedangkan operasi kali diberi lambang “ ” atau untuk memudahkan diberi lambang

titik “.”, sehingga perkalian y terhadap x ditulis sebagai x x y atau x.y (atau cukup

ditulis xy saja). Sifat-sifat dari operasi tambah dan kali dari bilangan riil dapat dilihat

pada tabel di bawah ini.

Bilangan Riil

Bilangan Irasional

Bilangan Rasional

Bilangan Bulat

Bilangan Bulat Positif/Asli

Nol

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan Kompleks

Bilangan Imaginer

Bilangan Prima

3

Sistem Bilangan Riil

Sifat-Sifat Operasi Bilangan Riil

Sifat Contoh Deskripsia. Sifat Komutatif a + b = b + a 5 + 4 = 4 + 5 Urutan pada operasi

penjumlahan dua bilangan tidak berpengaruh

ab = ba 7 · 8 = 8 · 7 Urutan pada operasi perkalian dua bilangan tidak berpengaruh

b. Sifat Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c ) (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) Pada saat menjumlahkan tiga

bilangan, kita dapt menjumlahkan dua bilangan terlebih dahulu

(ab)c = a(bc) (5 · 3) · 8 = 5 · (3 · 8) Pada saat mengkalikan tiga bilangan, kita dapt mengkalikan dua bilangan terlebih dahulu

c. Sifat Distributif a(b + c) = ab + ac 4(3 + 5) = 4 · 3 + 4 ·

5Pada saat kita mengkalikan suatu bilangan dengan jumlah dari dua bilangan hasilnya akan sama dengan mengkalikan bilangan itu dengan masing-masing masing-masing bilangan tersebut dan kemudian menjumlahkannya

(b + c)a = ab + ac (4 + 7)5 = 5 · 4 + 5 · 7

Mungkin secara intuitif kita percaya persamaan di atas benar adanya, tapi

akan lebih baik kita tidak percaya sebelum mencoba membuktikannya, misalkan kita

ambil sifat asosiatif dari penjumlahan seperti terlihat dari contoh dalam tabel di atas.

(2 + 3) + 5 = 5 + 5 =10 dan 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10

sifat distributif dapat diterapkan ketika kita mengkalikan suatu bilangan dengan suatu

jumlah dari bilangan. Hal ini dapat dilihat dari ilustrasi di bawah ini:

4(3 + 5) 4.3 + 4.5

4

Sistem Bilangan Riil

Sifat Bilangan NegatifAngka nol mempunyai sifat khusus dalam penjumlahan, sering disebut

identitas penjumlahan (additive identity), karena a + 0 = 0 + a = a, untuk setiap

bilangan riil a mempunyai negatif (ditulis –a), sedemikian sehingga a + (-a) = 0,

pengurangan adalah operasi penjumlahan dengan negatif. Sehingga operasi

pengurangan bilangan dapat kita tuliskan sebagai berikut:

a – b = a + (-b)

Kombinasi dari bilangan riil bersama dengan negatifnya, mempunyai sifat

sebagaimana terlihat pada tabel di bawah ini:

Sifat Bilangan Negatif

Sifat Contoh

1. (-1)a = -a (-1)7 = -7

2. –(-a) = a -(-8) = 8

3. (-a)b = a(-b) = -(ab) (-3)8 = 3(-8) = - (3 · 8)

4 (-a)(-b) = ab (-6)(-4) = 6 · 4

5 – (a + b) = – a – b -(8 + 9) = -8 – 9

6 – (a – b) = – a + b -(7 – 5) = -7 + 5

Berdasarkan sifat nomot 6, secara intuisi kita bisa mengambil kesimpulan

bahwa antara a – b dengan b – a adalah saling negatif satu sama lainnya.

Sedangkan sifat 5 dapat diperumum menjadi:

– (a + b + c) = – a – b – c

Angka 1 sangat spesial pada operasi perkalian, sering disebut identitas

perkalian (multiplicative identity) karena a.1 = 1. a = a untuk setiap bilangan riil a.

Setiap bilangan tak nol a mempunyai balikan/invers 1/a, sehingga a.(1/a) = 1.

pembagian adalah perkalian dengan balikan bilangan. Jika b ≠ 0, maka:

a b = a .

kita tulis a.(1/b) sebagai a/b. Berikutnya sifat-sifat dari operasi bagi bilangan riil.

5

Sistem Bilangan Riil

Sifat-Sifat PembagianSifat Contoh Deskripsi

Operasi kali antar dua pembagian sama dengan perkalian antar pembilang dibagi dengan perkalian antar penyebutOperasi bagi antar dua pembagian sama dengan membalik pembagi kemudian mengkalikan Penjumlahan dua pembagian yang mempunyai penyebut sama adalah dengan menjumlahkan pembilangnyaUntuk menjumlahkan dua pembagian yang mempunyai penyebut yang berbeda sama dengan membuat penyebut persekutuan. Kemudian jumlahkan kedua pembilangnyaBilangan dapat dicoret jika pembilang dan penyebut mempunyai faktor persekutuan

Jika

maka

juga Perkalian silang

Pangkat Bilangan BulatSebuah perkalian dari bilangan yang identik (identical number) sering kali

dinyatakan sebagai pangkat, sebagai contoh 3 · 3 · 3 = 33.

Notasi pangkatJika a suatu bilangan Riil dan n sebuah bilangan bulat, maka pangkat n dari a adalah:

Bilangan a disebut basis dan n disebut eksponen

Perkalian dua perpangkatan yang mempunyai basis sama, yaitu dengan

menjumlahkan eksponennya:

42 x 4-1 = 4(2-1) = 41 = 4

atau dapat kita nyatakan sebagai

6

Sistem Bilangan Riil

55 . 52 = (5 . 5 . 5 . 5 . 5).(5 . 5) = (5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5)

= 57 = 55 + 2 = 78125

dapat disimpulkan bahwa:

, dimana m dan n bilangan bulat positif. Hal itu akan berlaku

untuk m dan n nol dan negatif seperti terlihat di bawah

30 x 33 = 30+3 = 33

Hal ini dapat dilakukan karena 30 = 1, demikian juga untuk:

43 x 4-5 = 43 + (- 5) = 4-2

dan ini benar jika 4-2 = 1/42.

Pangkat Nol dan NegatifJika a ≠ 0 suatu bilangan Riil dan n sebuah bilangan bulat, maka:

dan

AkarSelama ini pangkat dari suatu bilangan selalu bernilai bulat. Tetapi pangkat

dari suatu bilangan tidak selalu bernilai bulat misalkan 22/3, pangkat dari bilangan

tersebut merupakan bilangan rasional. Simbul dibaca dengan “akar positif dari”.

Sehingga:

setara dengan b2 = a dan b ≥ 0

Karena a = b2 ≥ 0, simbul hanya akan berlaku jika a ≥ 0. Misal

karena 32 = 9 dan 3 ≥ 0.

Akar ke-n dari bilangan a adalah bilangan yang ditimbulkan dari pangkat ke-n suatu

bilangan lain, yaitu:

7

Sistem Bilangan Riil

Akar Pangkat n

Jika n bilangan bulat positif, akar pangkat n dari bilangan Riil a didefinisikan

sebagai

= b setara dengan bn = a

Jika n genap maka a ≥ 0 dan b ≥ 0

Maka:

karena 23 = 8

karena (-2)3 = -8

akar tidak lain adalah akar pangkat n dimana n = 2 sehingga cukup ditulis ,

akan tetapi tidak terdefinisi, karena akar dari setiap bilangan riil adalah

nonnegatif.

Pangkat Rasional

Jika pangkat rasional m/n, dimana m dan n bilangan bulatdan n > 0, maka

setara dengan

Jika n genap maka kita mensyaratkan a ≥ 0

Berdarkan definisi di atas dapat bibuktikan bahwa hukum perpangkatan juga

berlaku untuk pangkat rasional.

Sederhanakan pangkat rasional 641/3!

Penyelesaian: Dengan menggunakan definisi di atas maka:

Dengan beberapa aturan yang sudah dikemukakan di atas maka kita dapat

membuat beberapa aturan umum untuk menyelesaikan suatu eksponensial,

beberapa aturan umum yang dimaksud dapat kita singkat dalam tabel yang ada di

bawah ini:

8

Sistem Bilangan Riil

Aturan Pangkat

Aturan Deskripsi

Mengalikan dua pangkat dari bilangan yang sama, yaitu

dengan menjumlahkan pangkatnya

Membagi dua pangkat dari bilangan yang sama, yaitu dengan

mengurangkan eksponennya

Pangkat dari suatu pangkat, mengkalikan eksponennya

Pangkat dari perkalian, mengkalikan bilangan berpangkat

tersebut

Pangkat dari pembagian, timbul dari hasil bari pembagian

pembilang dan penyebut dengan pangkat sama

Hasil pangkat negatif dari pembagian sama dengan membalik

pembagian dengan pangkat sama

Jika bilangan rasional pembilang dan penyebutnya mempunyai

pangkat negatif maka kita dapat membalik posisinya

Sederhanakan persamaan !

Penyelesaian: Dengan menggunakan beberapa aturan yang ada pada tabel di atas

kita dapat menyelesaikan, yaitu

Sederhanakan penulisan akar menjadi bentuk pangkat dari bilangan

berikut!

Penyelesaian:

a. =

=

b.

Soal-Soal yang Berkaitan1. Sederhanakan bentuk pangkat berikut:

9

Sistem Bilangan Riil

a. b.

c. d.

e. f.

g. h.

2. Gunakan manipulasi aljabar untuk menghilangkan tanda kurung dari soal di

bawah ini

a. 4 – 6(8 – 9) – 13

b.

c.

d.

3. Sederhanakan penulisan berikut:

a.

b.

c.

d.

e. (2x + 3)(5x+1)

4. Buktikan ketaksamaan bahwa:

a < b < b

10