Aritmetica del Computador - Hermes- .Introducci on Teoria de Errores Aritmetica del computador...

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Aritmetica del Computador

    Hermes Pantoja Carhuavilca

    Facultad de Ingeniera IndustrialUniversidad Nacional Mayor de San Marcos

    Metodos Computacionales

    Hermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador

  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Contenido

    1 Introduccion

    2 Teoria de Errores

    3 Aritmetica del computador

    Hermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador

  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Introduccion al estudio de metodos computacionales

    Hermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador

  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Aproximacion y Errores

    Los calculos numericos inevitablemente conducen a errores

    Estos son de dos clases principales:

    1. Errores de Redondeo

    Errores asociados con la representacion inexacta de numerosreales por la computadora.Errores asociados con la maquina.

    2. Errores de Truncamiento

    Errores asociados con el uso de un procedimiento numericoaproximado para reemplazar una expresion matematica exacta.Error asociados con el algoritmos matematico.

    Ambos conducen al error total.

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Fuentes de errores

    Los errores en el calculo matematico tienen varia fuentes:

    El modelado que da origen al problema matematico.

    Incertidumbre de los datos del problema.

    La codificacion del modelo.

    Errores de redondeo.

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Error absoluto, relativo y precision

    Consideremos A el valor exacto de la medida de cierta magnitud(en general desconocida) y sea a un valor conocido que sellamara aproximacion de A. Evidentemente la buena cualidad dela aproximacion es de acuerdo a cuan proximo esta a de A.

    Error Absoluto

    Llamamos error absoluto del numero aproximado a al valor:

    a = |A a|

    y todo numero a a, se denominara cota del error absoluto.

    Hermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador

  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Error absoluto, relativo y precision

    Error Relativo

    Llamamos error relativo del numero aproximado a al valor:

    a =|A a||A|

    , A 6= 0

    y todo numero a a, se denominara cota del error relativo.

    Precision

    Dado un > 0 (pequeno) decimos que el valor a aproxima aA con una precision si:

    a = |A a|

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Definiciones

    Sean A y a dos numeros reales. Se dice que a es unaaproximacion de A con n cifras decimales exactas (o que Ay a coinciden en n cifras decimales), si n es el mayor enterono negativo tal que

    a 0,5 10n

    Sean A y a dos numeros reales, con A6= 0. Se dice que a esuna aproximacion de A con n cifras decimales significativasexactas (o que A y a coinciden en n cifras decimalessignificativas), si n es el mayor entero no negativo tal que

    a 5 10n

    Hermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador

  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Exactitud vs Precision

    Exactitud : Se refiere a que tan cercano esta el valor calculado omedido del valor verdadero.Precision: Se refiere a que tan cercanos se encuentran, uno deotros, diversos valores calculados o medidos.a)Inexacto e impreciso b)Exacto e impreciso c)Inexacto y precisod) Exacto y Preciso

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Propagacion de errores

    Al resolver un problema utilizando metodos numericos, el error quese genera sera consecuencia de un cumulo de errores ocurridos enpasos sucesivos, se debe estudiar la mecanica de propagacion delos mismos a lo largo del calculo.

    Reglas de Propagacion

    a) Suma: Propaga los errores absolutos|x+y | |x |+ |y |

    b) Producto y cociente(Si x y y son pequenos): propaga loserrores relativos|x .y | |x |+ |y ||x/y | |x |+ |y |

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Propagacion de errores

    c) Funciones de una variable: y = f (x)

    y |y |x

    d) Funciones de varias variables: y = f (x1, x2, . . . , xn)

    y n

    i=1

    | fxi|xi

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Aritmetica del Computador

    Las operaciones de suma, resta, multiplicacion y division en elsistema de punto flotante (F), se denota por ,,,respectivamente. Estas operaciones estan definidas por:x y = fl(fl(x) + fl(y))x y = fl(fl(x) fl(y))x y = fl(fl(x) fl(y))x y = fl(fl(x) fl(y)), fl(y) 6= 0, y 6= 0Estas operaciones no son cerradas sobre F, pues en algunos casosse genera underflow u overflow;

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Representacion de numeros del computador

    Los computadores trabajan con aritmetica real usando un sistemadenominado de punto flotante. Suponen un numero real quetiene la expansion binaria:Numero Normalizado

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Notacion Normalizada

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Ejemplo

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Estandar IEEE-754

    Precision Simple: 32 bits

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Ejemplos:

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Estandar IEEE-754

    Precision Doble: 64 bits

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Cambio de Base

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  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Hermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador

  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Ejemplo:

    Hermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador

  • IntroduccionTeoria de Errores

    Aritmetica del computador

    Hermes Pantoja Carhuavilca Aritmetica del Computador

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    Aritmetica del computador

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