II. SCISATMEMBAIOHESLIDCOEIDBAALSE9CAPTULO0 4DEFINICINEs parte de la teora de los nmeros que nos ensea a expresar y representar a los nmeros, de una manera sencilla y con una determinada cantidad de smbolos.I. PRINCIPIOS DE UN SISTEMA DE NUME-RAC IN A . De base n a base 10:1. Descomposicin polinmica:a. Si: a bc(n ) donde: n es base Dado: a bcd (n ) a n 3 bn 2 cn1 dCumple: n y n > 1 Ejemplo:b. Si: a bc(n ) * 243(5)=252+45+3 = 73* 1342(6)=163+362+461+2 = 350donde: a, b y c son llamados cifras; dgitos oguarismos siendo a; b y c diferentes y menores 2. Descomposicin polinmica por bloques:a la base.c. A mayor nmero de cifras le corresponde Si: a ba b(n ) a b(n ) n 2 a b(n)(5 )3menor base y a menor nmero de cifras le a bc a bc(n ) abc(n ) n abc(n)corresponde mayor base. 203 203 203(5) 203(5) 5 6 203 5 3 203(5 )Si: abc(n) defg(m ) se cumple: n m B . De base 10 a base ma menor valor aparente la base es mayor y a mayor valor aparente le corresponde menor base. Divisiones sucesivas:De los ejemplos anteriores* 73 a base 5 105 (n ) 147 (m ) 73 5Se cumple: n m 3 144 5 73 = 243(5)2basecifrasd enomina cin234567n0 ;10 ;1 ; 20 ;1; 2 ; 30 ;...... ; 40 ;........ ; 50 ;......... ; 60 ;.... ;(n1)binario ternariocua ternarioquinario sena rio heptanariod. En base n existen n cifras diferentes, siendo la mayor cifra (n1), un dgito menos que la base. * 350 a base 6350 62 58 6Compendio de Ciencias II-DAritmtica496 350 = 1342(6)31III. C ASOS E SPEC IALE Sa. De base K a base Kn : Ejemplo (1):110111010111101(2) a base 8.Compendio de Ciencias II-DAritmtica10PASCUAL SACO OLIVEROS2 2 ; 2 1 ; 2 0 3 1 ; 3 08=23 potencias menores 421 9=32 potencias menores 31Como el exponente es 3 separamos el nmero engrupos de tres cifras.110 Como el exponente es 2 separamos el nmero en grupos de dos cifras: 1242 131 1 1101011 110142142 14 2142 142102042140 17275021210112112313131313131023230316132253475 42032 6 67 275(8) 253 4755 5(9)Ejemplo (2):2121011211212(3) a base 9.Problema desarrollado1. Demostrar que un numeral cualquiera siempre es igual a un mltiplo de su base ms su ltima cifra.Resolucin:Sea: N a 1 a 2 a 3 ..... a n (k )Descomponiendo polinmicamente: Problema por desarrollar1. Probar que la suma de todos los nmeros de tres cifras que se pueden formar con las cifras a, b y c es igual a 3864. Si adems se comprueba que:71(d 6) a bcd(8 )Resolucin:n 1 n 2 n 3N a1 k a 2 k a 3 k ..... a n 1 k a n kkkk N k k k ..... k a nN k a n Lqq dSISTEMA HELICOIDAL111. Calcular la suma de: a + b + c + d + e + f + n 8. Si: m n n (9 ) 1 0 m 3(7 )Si: 112 2(3 ) a bcd ef( n )Rpta.: ........................................................... Calcular: m . n.Rpta.: ...........................................................2. Hallar: a + b. 9. Calcular: a + b + c, si: 6 a a (c ) 4 b b(8 )Si: a b a b(5 ) (a b)a a (8 ) Rpta.: ...........................................................Rpta.: ...........................................................3. Un ciclista viaja por la carretera a velocidad constante si parte del km a 0 b y una hora despus pasa por el km a a b . Si en la primera media horalleg al km a b 0 . Calcular: (a + b). 10. Si se cumple:a 4 5( m ) bb 43( n )a 50(m ) b b 4 4( n )Calcular: a + b + m + n.Rpta.: ...........................................................Rpta.: ........................................................... 11. Si: a (2a )b (a b ) a bb 2 4. Si: a 3 a (9 ) b1 b(5 ) Hallar: a . b.Hallar: a + b. Rpta.: ...........................................................Rpta.: ........................................................... 12. Si: 5 a 0(7 ) bcd 5(a )Calcular: b + c + d.5. Hallar en qu sistema de numeracin el nmero16000 se escribe como 1003000.Rpta.: ........................................................... Rpta.: ...........................................................13. Hallar el valor de "n", si se cumple: n n n n n 6. Hallar: x . y, si se cumple que: 2 2 2 (n ) 2 xyy(9 ) (y 1)(y 1)x(7 )Rpta.: ...........................................................7. Un vendedor tiene una coleccin de pesas de 1 gr,4 gr, 16 gr, 64 gr, ....., etc. Cuntas pesas deber utilizar como mnimo para pesar una masa de 831 gr, si se sabe que no posee ms de tres pesas del mismo peso?Rpta.: ........................................................... Rpta.: ...........................................................14. Si: (2a )(2a )(2a )(8 ) a 0 6(n 1)Hallar: a + n.Rpta.: ...........................................................15. Si el numeral 1457(n) se expresa en base (n + 1).Cunto suman sus cifras?Rpta.: ...........................................................12PASCUAL SACO OLIVEROS16. Calcular: a + b + c + d + e.Si: 1a bcd e . 3 a bcd e1 19. Si: nn 1n = 8281n 1nRpta.: ...........................................................17. Si se cumple: (n 1)(n 3 )(n 3) a bc(8 ) n veces 1nCalcular: n.Rpta.: ...........................................................Calcule: E ca ca ca(b ) 20. Si el nmero: mm = 6001mRpta.: ...........................................................18. Calcular: a + b . p .Calcular: m3 1m1m(m+ 1) vecesSi: a b c a b a b ab (p ) 9 c(11) Rpta.: ...........................................................Rpta.: ...........................................................1. Si: a 89(m ) 8 1m(n ) 6 m p(1 2 ) 4. Hallar: a + b, si: a 2 b(9) a 7 2(n )Hallar: m + n + p + a.A) 23 B) 29C) 35 D) 37E) 262. Calcular el valor de: a + b, si se cumple que:a b bb(6 ) 5 b a (8 ) A) 5 B) 7C) 6 D) 8E) 95. En un pueblo habitan ba nios, bca adultos yba c ancianos. Si la poblacin tiene a bc habitan- tes. Cuntos no son ancianos?A)2B) 5A)255B) 260C)4D) 6C)279D) 524E)3E)4873. Al expresar un nmero en diferentes bases se tiene:2 3a (9 ) ; 2 7 b(m ) ; 3 6 a (p )Determinar el valor de: b a + m + p. A) B)C) D)E)SISTEMA HELICOIDAL13CAPTULO0 5Problema desarrollado1. Probar que se cumple:S 1 3 5 7 ..... (2n 1) n 2 Problema por desarrollar1. Probar que se cumple:S 12 2 2 3 2 ..... n 2 n(n 1)(2 n 1)6Resolucin:S1 1S 2 1 3 4 22S3 1 3 5 9 3 2 Resolucin:2Sn 1 3 5 ..... (2 n 1) n(H ip te sis)Sn 1 1 3 5 ..... (2 n 1) (2 n 1) ..... ?Por hiptesis:Sn 1 n 2 (2n 1) (n 1)2Se cumple para todo n 1 , n Compendio de Ciencias II-DAritmtica1. Cuntos nmeros capicas de 5 cifras existen,tal que la suma de sus cifras es un nmero impar? Rpta.: ...........................................................2. En el sistema de numeracin de base "n" existen120 nmeros de 4 cifras significativas, todas pares y diferentes. Calcule el valor de "n".Rpta.: ...........................................................3. Determine la cantidad de nmeros de la forma:(2a 1)(2 b 1)a b(3 a 1)(1 3 ) que existen.Rpta.: ........................................................... 4. Calcule la cantidad de cifras usadas en la numeracinde las pginas impares, de un libro de 316 pginas. Rpta.: ...........................................................5. En las 52 ltimas pginas de un libro se ha utilizado132 cifras ms que en la primera parte. Cuntas pginas del libro terminan en la cifra 7?Rpta.: ...........................................................6. De un libro de 225 pginas se arrancaron cierto nmero de hojas del principio notndose que en las pginas que han quedado se utilizaron 432 cifras. Cuntas cifras se arrancaron?Rpta.: ...........................................................Compendio de Ciencias II-DAritmtica14PASCUAL SACO OLIVEROS7. En las siguientes progresiones:* 11; 18; 25; 32; ...* 14; 25; 36; 47; ...Halle el quinto trmino comn que tienen. Rpta.: ...........................................................8. Cuntas cifras se utilizan en la enumeracin de los siguientes nmeros: 20; 33; 46; 59; .....; 800?Rpta.: ........................................................... 14. En las 274 pginas de un libro, cuntas de stas utilizan al menos una cifra 2?Rpta.: ...........................................................15. El primer y ltimo trmino de una progresin aritmtica son a b y 42 a respectivamente. Si larazn es "a" y el nmero de trminos es 51. Calcule el cuadragsimo tercer trmino.Rpta.: ...........................................................16. Si en la progresin aritmtica:9.Calcule la suma de los 20 ltimos trminos de la siguiente progresin: 12; 29; 46; 63; .....; 869. Rpta.: ...........................................................10. Halle la suma de los 30 primeros trminos de laprogresin aritmtica: 23(n); 32(n); 41(n); 50(n); ...... a 0 b ; a a d ; ..... ; b0 a se tienen 89 trminos. Halle:a + b + d.Rpta.: ...........................................................17. Determinar cuntos nmeros de la forma:(2 a )(a 2)(b 4 )(b 6 ) existen en el sistema deRpta.: ...........................................................11. Cuntos nmeros de tres cifras tienen una y sola una cifra no significativa en su escritura?Rpta.: ...........................................................12. En un sistema de numeracin de base par existen1470 nmeros de 4 cifras diferentes. Cuntos nmeros capicas de tres cifras existen en dicho numeracin de base 1 5; cuyas cifras sean significativas.Rpta.: ...........................................................18. Al enumerar las 1a b c pginas de un libro se han empleado 4 a bc cifras. Calcule: a + b + c.Rpta.: ...........................................................sistema? 19. Si la secuencia an es definida por:a 1 3a n 1 a n 3 n (pa ra : n 1)Rpta.: ........................................................... Calcule el valor numrico de a .200613. Cuntos tipos de imprenta se usan en la siguientesecuencia:12 ; 34 ; 5 6 ; 7 8 ; ..... ; a b c a b c 1Siendo a bc el trigsimo cuarto trmino de la sucesin: 12; 19; 26; 33; .....Rpta.: ........................................................... Rpta.: ...........................................................20. Determinar la suma de los 20 primeros trminos de la serie siguiente, en la que cada trmino viene indicado por un parntesis:S (1) (2 3 ) (4 5 6 ) (7 8 9 1 0 ) .....Rpta.: ...........................................................SISTEMA HELICOIDAL151. Cuntos nmeros de la forma:existen en el sistema duodecimal? (2a )b a (3 b) 2 4. Si consideramos los nmeros: 3; 13; 23; 33; ... ytodos los nmeros que terminan en 3. Cul ser la cifra que ocupa el lugar 290?Rpta.: ...........................................................2. Cuntos trminos tiene la sucesin aritmtica:a a , ..... , (2a )b , 5 4 , b a ?Rpta.: ...........................................................3. De un libro de 186 pginas se arrancaron cierto nmero de hojas del principio, notndose que en las pginas que quedan se emplearon 391 cifras.Cuntas hojas se arrancaron?Rpta.: ........................................................... Rpta.: ...........................................................5. Cuntos trminos de la siguiente sucesin terminan en la cifra 5?13; 22; 31; 40; .....; 904Rpta.: ...........................................................16PASCUAL SACO OLIVEROSCAPTULO0 6I. SUMA O ADICINFrmula General de la Suma:Dada la suma en progresin aritmticaS = a1+a2+a3+.....+an d) Suma de primeros nmeros al cuadrado:S = 12+23+32+.....+n2S n (n 1)(2 n 1)donde:6n a ndonde: a a nn1S 2 Ejemplo: S = 12 + 22 + 32 + .... + 202Ejemplo: S = 23 + 30 + 37 + .... + 296 n 20 2 20296 16n 407 296 23 40 S 20 21 41 28706S 63802 e) Suma de primeros nmeros al cubo:S = 13+23+33+.....+n3Frmulas Notables: n (n 1) 2a) Suma de primeros nmeros enteros positivos: S = 1+2+3+4+.....+n S 2 donde: n 3 an n 1S donde: n = a Ejemplo: S = 13 + 23 +33 + .... + 183332n n 18 18Ejemplo: S = 1 + 2 + 3 + .... + 30n = 30 18 19 2S 29241S 30 31 4652 2f) Suma de primeras potencias:1 2 3 nb) Suma de primeros nmeros pares: S = 2+4+6+8+.....+2n S = k +k +k +.....+kk kn 1 S S n n 1 donde: n a n2 k 1Ejemplo: S = 2 + 4 + 6 + .... + 80n 80 402S = 40 41 = 1640c) Suma de primeros nmeros impares: S = 1+3+5+7+.....+(2n1) Ejemplo: S = 21 + 22 + 23 + .... + 212212 1S 81902 1g) Suma de primeros productos consecutivos: S = 12+23+34+.....+n(n+1)S n 2 donde: n a n 12 S n (n 1)(n 2)3Ejemplo: S = 1 + 3 + 5 + .... + 3737 1n 192 Ejemplo: S = 12 + 23 + 34 + .... + 3031n = 3030 31 32Compendio de Ciencias II-DAritmticaS =192 = 361 S 99203Compendio de Ciencias II-DAritmticaSISTEMA HELICOIDAL17II. RESTA O SUSTRACCINSabemos: M S Dadems: M S D 2 M Ejemplos:910 C A [24354 3654 3 6 ] 7564 56345 6467donde: M: minuendoS: sustraendoD: diferenciaa) Complemento aritmtico (C.A.) C A [53164 3263 2 4 (7)] 1350 2340 343(7)En general:nn1 C A a a aEl complemento aritmtico de un nmero natural es lo que falta a dicho nmero para ser una unidad del orden inmediato superior al mayor orden de dicho nmero natural.Sea: N(n) el cual tiene K cifras. b) Resta Notable8 3 4 4 3 8 1 2 k (n)7 5 2 2 5 7nk1 N nk(n) 3 9 6 4 9 5En general: Ejemplos: C A N(n)2 C.A. [N(n)] n K N(n) Observamos que las cifras extremas su suma es igual a la cifra central.En general:a bc cba xyzC A(25) 10 25 75C A(650) 10 3 65 0 3 502 donde: x z y 9Si: a bc(n) cba (n) xyz(n)C A 23(6) 6 23(6) 33(6)C A 3 15(8)Regla prctica: 8 3 3 15(8) 463(8) x z y (n 1)A la primera cifra significativa de la derecha se le resta de la base y el resto de las cifras de la izquierda se le resta de la mxima cifra de la base.18PASCUAL SACO OLIVEROSProblema desarrollado Problema por desarrollar1. Dado: S = 1 + 2 + 3 + ..... + n 1. Sea: A = 1 + 3 + 5 + ..... + (2n 1)Demostrar:Resolucin: S n(n 1)2 Demostrar que:Resolucin: nA = 2i) "Ley Conmutativa"a + b = b + aii) "Ley de la uniformidad"a = b +c = da + c = b + dLuego:S = 1 + 2 + 3 + ..... + (n - 2) + (n - 1) + n S = n + (n - 1) + (n - 2) + ..... + 3 + 2 + 1 +2S = (n+ 1)+ (n+ 1)+ (n+ 1)+ ..... + (n+ 1)+ (n+ 1)+ (n+ 1)2S = n(n+ 1)2 n(n+ 1) S =21. Calcular la suma de las 4 ltimas cifras que seobtiene al sumar: 3. Luego de calcular la suma A y la suma B.4 43 43 4 43 43 ..... 4 34 3 ..... 432 0 cifra s A 9 9 9 99 9 99 99 ..... 99 ..... 9 91 0 cifra sRpta.: ...........................................................2. Si se tiene sobre el piso cierto nmero de bolas de billar ordenados del modo siguiente: 1 en la primera fila, 2 en la segunda fila, 3 en la tercera fila, as sucesivamente (siempre en contacto). Si en la ltima fila hay 15 esferas, cuntos puntos en contacto entre esferas se podrn contar como mximo?Rpta.: ........................................................... B 9 99 999 999 9 ..... 99 ..... 998 cifra sCalcule la diferencia que se obtiene al restar, la suma de cifras de A con la suma de cifras de B.Rpta.: ...........................................................SISTEMA HELICOIDAL194. Se tiene una suma de 15 nmeros todos mayores que cero, si a 9 de ellos se les aumenta 7 unidades a cada uno y a los 6 restantes se les disminuye a cada uno tres unidades se obtiene el doble de la suma inicial de los nmeros. Calcular la suma inicial.Rpta.: ...........................................................5. Tres cilindros tienen cada uno cierta cantidad de litros de vino, los cuales son: a b , cd y d a , si todo se rene en un solo cilindro se obtendra: cd a litros.Si la cantidad cd a es el menor posible, calcularcuntos litros tiene el segundo cilindro.Rpta.: ...........................................................6. Calcular la suma de todos los nmeros de 10 cifras cuya suma de cifras sea 89. Indicar como respuesta, la suma de cifras de la suma.Rpta.: ...........................................................7. En una sustraccin se sabe que, el sustraendo es igual al complemento aritmtico de la diferencia. Si la diferencia tiene tres cifras. Calcular el valor del minuendo.Rpta.: ...........................................................8. Si en una sustraccin, al minuendo se le agrega 4unidades en las centenas y al sustraendo se le agrega7 unidades en las decenas. Cmo vara la diferencia?* Aumenta en 470.* Disminuye en 330.* Aumenta en 330.* Disminuye en 100.* Aumenta en 100.Rpta.: ...........................................................9. Si los trminos de una sustraccin son sumados de 2 en 2, se obtiene las siguientes sumas: 580;450 y 770. Calcular el valor del minuendo. Rpta.: ........................................................... 10. Calcular la suma de cifras del minuendo de una sustraccin, si al sumar el minuendo con el sustraendo y el minuendo con la diferencia se obtiene como suma total 1215.Rpta.: ...........................................................11. Si: a b c cb a xy(x 3)Calcular: xy yx xx yyRpta.: ...........................................................12. Si: p qr 3 yx rq p ; p r 10Calcular: (p r)Rpta.: ...........................................................13. Si: CA(m) CA(m m) CA(m mm) ...... 4Calcular: m.Rpta.: ...........................................................14. Escribiendo una cifra cero a la derecha de un nmero y una cifra 5 a su izquierda, el nmero aumenta en 29 veces su valor inicial. Si el nmero es de tres cifras. Calcular la suma de sus cifras.Rpta.: ...........................................................15. En una sustraccin se cumple que el sustraendo es7 veces el valor de la diferencia, si la suma de los tres trminos es 1680. Calcular el valor de la diferencia.Rpta.: ...........................................................16. Calcular la suma de todos los nmeros capicas de tres cifras.Rpta.: ...........................................................20PASCUAL SACO OLIVEROS17. Calcular: A1 + A2 + A3 + ..... + A10A1 1 2 3 ..... 1 0A2 2 3 4 ..... 11A3 3 4 5 ..... 12A1 0 10 1 1 12 ..... 1 9Rpta.: ...........................................................18. Si el complemento aritmtico de a 7 b5 c es 3 m 4 n 6 .Calcular: a + b + c m n.Rpta.: ........................................................... 19. Una persona debe recorrer 3275m y lo hace de la siguiente manera: en el primer minuto recorre "a" m, en el segundo minuto recorre "2a" m y retrocede10m, en el tercer minuto recorre "3a" m y retrocede10m, as sucesivamente, llegando a la meta en 21minutos exactamente. Calcule: a.Rpta.: ...........................................................20. La suma de los complementos aritmticos de los nmeros: 1a1 ; 2a 2 ; 3 a 3 ; ..... ; 9 a 9 es 3915. Hallarel valor de: a.Rpta.: ...........................................................1. Si: 6 a 2 b c 4 d 8 15 222Calcular: (a + b) (c + d). 4. Si: a b c cba p(2 q )(p 1)Calcular: p + q.A)1B)2A)9B)10C)4D)6C)11D)12E)8E)13)2. Si: (a + b + c + d 2 = 169 5. Si: C A(a b cd ) 4 a b cdCalcular: a b cd b a d c cd a b d cba Calcular: a + b + c + d.A)13333B)14444A)2B)3C)14443D)13334C)4D)5E)14343E)63. En una sustraccin se cumple que la suma de sustrminos es 1624. Calcular el sustraendo, si la diferencia es 508.A)296B) 300C)304D) 308E)312