SISTEMA HELICOIDALPASCUAL SACO OLIVEROSOBJETIVOS Comparar cantidades de diferentes magnitudes. Establecer relaciones entre las razones. Deducir propiedades que presentan las proporciones.MOTIVACIN:Un destacado hombre de negocios va de caza acompaado de un bracero. l se pierde, separndose del bracero y al tener hambre ofrece a dos pastores repartir sus panes, uno da 5 y otro da 3 despus el empresario entrega 8 monedas de plata, cuntos debe llevarse cada uno?ResolucinAparentemente el que dio 5 panes debera recibir 5 monedas y 3 monedas el que dio 3 panes, pero no es as:veamos, cada uno comi lo mismo o sea que cada pan se dividi en tres partes:Panes 1er Pastor 5 3PedazosComiDa158 pedazos798 pedazos1 2do Pastor 3 3Luego: C1 C 271 donde: C1 + C2 = 8 monedasSum a n d o a n tece d e nte s : 8Sum a n d o co n se cu e nte s : 8 1 co n sta nteCompendio de Ciencias VII-DAritmticaC1 = 71 = 7 monedas y C2 = 11 = 1 monedaCompendio de Ciencias VII-DAritmticaCompendio de Ciencias VII-DAritmticaRAZONES Y PROPORCIONESI. RAZ NLlamaremos razn a la comparacin de dos cantidades a travs de una sustraccin o una divisin.Ejemplo:Comparar la edad de Jorge y su abuelo que es 15y 60 aos respectivamente. 60 15 = 45 Razn Aritmtica 32 = 8 =82Tercera ProporcionalMedia ProporcionalPROPIEDADES DE UNA PROPORCIN1) Proporcin Aritmtica:Suma de trminos Suma de trminos 60 415 Razn Geomtrica Medios Extremo sDonde: 60 Es llamado antecedente.15 Es llamado consecuente.45,4 Es llamado valor de la razn. Proporcin Geomtrica:P r od ucto s de Medio s Pr o ductos d e Extremos II. PROPORCIN:Llamamos proporcin cuando dos razones de la misma clase tienen el mismo valor. 2) La media diferencial Suma de medios2Ejemplo:20 45 8208y 4 4252 La me d ia pro po rcion a l = prod u cto d e lo s m ed ios3) Suma de a nte ce dente s K Suma d e consecue ntesDonde: 20 y 8 Son antecedentes.5 y 2 Son consecuentes.20 y 2 Son trminos extremos.5 y 8 Son trminos medios.2 Es la cuarta proporcional. 19 7 = 15 3 = 12Donde: 19 y 3 Son extremos (trminos). Serie de Razones Equivalentes:Cuando ms de dos razones tienen el mismo valor.10 2; 40 2; 12 2 10 40 1252065206 1 En general: a a2 an Kbbb7 y 15 Son medios (trminos).3 Es la cuarta diferencial. 12a a n aTambin se cumple: 1 2 n KnTambin puede ocurrir que la proporcin seacontinua cuando sus trminos medios sean iguales. Ejemplo: 25 18 = 18 11 b b12 bTercera diferencialMedia diferencialSISTEMA HELICOIDALPASCUAL SACO OLIVEROS 1 2 3 n1. Si a a a a Kcccc 2. Si: a a a a K 1 2 3 ncccc123nDemostrar que: 123nDemostrar que:a 2 a 2 a 2 a 2 a 5a 5a5a 5 1 2 3 n K 2 1 2 3 n K5c 2 c 2 c 2 c 2 c 5c 5c 5c 5123nResolucin:11De la serie: a 2 c 123nResolucin:K2a 2 c22a 2 c33a 2 cnn K2K2K2Sumando:a 2 a 2 a 2 a 2 c 2 c 2 c 2 c 2 K21 2 3Luego: n 1 2 3 na 2 a 2 a 2 a 2 1 2 3 n K2c 2 c 2 c 2 c 2123 nL.q.q.d.1. Jos, Ral y Luis tienen canicas en la relacin de 4,5 y 9. Si la mayor diferencia que tienen dos de ellos es 60. Halle el total de canicas.Rpta.: ..............................................................2. Si: a b 20 4 3. Sabiendo que:abcd 412 xx 67 a b c 330Calcule dRpta.: ..............................................................58nCalcule (a + b + n) 4. Si: 8 a ab c128 32nRpta.: .............................................................. Halle a b c n Rpta.: ..............................................................5. Sabiendo que:P E R U 3 5 6 7 P + E + R + U = 504Calcule E + RRpta.: ..............................................................6. Dada la serie de razonesa b c d Kmnpqa 2 b 2 c 2 d 2 296m 2 n 2 p 2 q 2 1850 11. En una serie de razones geomtricas continuas equivalentes, el primer consecuente es 27 veces el tercer consecuente. Adems la suma de los 3 primeros antecedentes es 468. Calcule la suma de los dos primeros consecuentes.Rpta.: ..............................................................12. En la serie de razones iguales.a c d f bdegSe cumple:a c 12 e g 15 b d 75Halle K E ab cd de fgRpta.: ..............................................................7. Se tiene que: Rpta.: ..............................................................13. Sabemos que: m n p a b c K, K 81850 m 3 n 3 p 3 1120 mnpAdemsHalle ( m n p ) abm n 2 b c 48 n p Rpta.: .............................................................. m n p 80Calcule (a + b +c)8. Si: a b a 15 2ab 129Calcule a b b 3 a 1 Rpta.: ..............................................................Rpta.: .............................................................. 14. Si: a b x4 a b9. Se tiene ab ac bc K 4Adems a ax 4 !3 !2 !81510Halle a b c k si mnimo a, b, c, k Rpta.: ..............................................................10. Es una serie de 4 razones geomtricas equivalentes la suma de antecedentes es 140 y la suma de 16Calcule el valor de b.Rpta.: ..............................................................15. Si: a b c4169consecuentes 210. Calcule el valor, del producto de Adems: ab bc ac 104los antecedentes entre el producto de consecuentes. Rpta.: .............................................................. Calcule (a b c ).Rpta.: ..............................................................16. En un colegio los que practican slo uno de los siguientes deportes ftbol, bsquet, tenis y voley son proporcionales a los nmeros 7; 5; 3 y 4 19. Si: A B Cm n p y 80 A 6 0 B 4 0 C 12 0 m 15 n 10 p 2respectivamente. Adems hay 370 futbolistas ms Determine: m 3 n 3que tenistas. Cuntos alumnos hay en el colegio?Rpta.: .............................................................. A3 B 3Rpta.: ..............................................................17. Si: ac 24 b y b c 8 20. C R I S 4b 38c 972CRISCalcular ( a b c ).Rpta.: ..............................................................18. En una serie de tres razones geomtricas continuas la suma del primer antecedente y del ltimo consecuente es 196. Hallar la suma de los antecedentes, si el producto de las tres razones es Calcule (C + R + I + S).Rpta.: .............................................................. 1 .27Rpta.: ..............................................................1. Si a b c d y2357 4. Si: a b c Kb 3 c 3 1216Calcule: (a + d).A) 54 B) 63 C) 72D) 81 E) 992. Se tiene la serie: a b c d5 9 4 7Adems a + b + c = 100 m n pAdems a b c 512 m n p 1728. Halle el valor de KA) 1/2B) 2/3C) 3/4D) 4/5E) 5/65. Si se cumple que:a 2 b 5 c 7 KA) 250B) 260C) 280D) 300E) 320Calcule a b c a 2 b 5 c 7Adems a b c 1 K3. Si 40 a b c A) 2B) 5/2C) 3D) 7/2E) 4Halle el valor de K.ab13521Calcule (a + b + c).A) 164B) 170C) 172D) 184E) 186PASCUAL SACO OLIVEROSSISTEMA HELICOIDALCAPTULO2 0OBJETIVOS Saber para que sirven los promedios. Poder interpretar y recopilar datos y calcular el promedio. Aplicar las propiedades de los promedios.MOTIVACIN:Durante un ao la razn entre los precios de 2 kg de arroz y un litro de leche fue de 2 y el siguiente ao de 2,5. Calculemos la media aritmtica de las razones:MA 1 2 2, 5 2, 252 Arroz a leche Ahora la media de las razones de la leche con respecto al arroz:Como arroz a leche es 2 leche a arroz es 0,50 y tambin 0,40.Luego: MA 0, 40 0, 50 0, 452 Leche a arroz Debera ocurrir que dichas medias son recprocas sin embargo:10, 45 2,11 2, 25Le ch e Arro z Arro zLecheCompendio de Ciencias VII-DAritmticaEsto demuestra que la media aritmtica no es la adecuada para promediar razones.Compendio de Ciencias VII-DAritmticaCompendio de Ciencias VII-DAritmticaPROMEDIOSDEFINICINSean los valores a1; a2; a3; ......; an. Si deseamos hallar el promedio de todos ellos ser: un valor P que ha de estar entre el menor valor y el mayor valor del Ejemplo:Si las edades de tres personas es 18; 12 y 16. Hallar su promedio armnico.grupo de elementos. MH 31 1 1 11, 08meno r valor PPro me d io mayor va lo r 81216PROPIEDADES1) MH MG MA y son iguales: MH = MG= MA , si1) Media Aritmtica todos los datos son iguales.2) Slo para dos datos:MA Suma de da tosnme ro de da tos MG2 MA.MHEjemplo:Las notas de un alumno fueron: 16; 15; 10 y 08, hallar el promedioMA 16 15 10 08 12, 25 124 3) Slo para dos datos:(a b)2 = 4 MA2 MA2 2) Media Geomtrica:Mide ndices y tasas de crecimiento nmero de datosMG= Producto de datosEjemplo:El siguiente cuadro refleja crecimiento poblacional de los pueblos jvenes en Lima.Ao2003200220012000Crecimiento%1681256625Luego la tasa anual de crecimiento promedio ser:MG 4 16 81 256 625 1203) Promedio ArmnicoMH nmero de da to sSuma de inve rsa s de lo s da tos1. Si a y b son dos nmeros . Demostrar que: 2. Si a y b son nmeros . Demostrar que:MA a, b MG a, b .Resolucin:a ba b 0a b 2 0a 2 b 2 2ab 0a 2 b 2 2aba 2 b 2 2ab 4 aba b 2 4 ab MA a, b Resolucin: MH a, b a b 2 aba b ab2 M A a, b M G a, b 1. Calcular la MH de 4; 12 y 24 5. Si para 2 nmeros se cumple: M A 49Rpta.: ..............................................................2. El promedio geomtrico de 2 x ; 2 2 x y 8 x es 1024. Calcular: M A M G M H25Calcular x.Rpta.: ..............................................................3. El promedio de 4 nmeros es 72, si se considera un quinto nmero el promedio diminuye en 2 unidades.Cul es el quinto nmero?Rpta.: ............................................................4. La media armnica de 2 nmeros es 160 y su media geomtrica es 200. Cul es su media aritmtica?Rpta.: .............................................................. Rpta.: ..............................................................6. El promedio de 5 nmeros es 85 si se considera un sexto nmero el promedio aumenta en 15 unidades.Cul es el sexto nmero?Rpta.: ..............................................................7. La media aritmtica de 20 nmeros diferentes es 50 y la media aritmtica de otros 30 nmeros diferentes es 80. Halle la media aritmtica de los 50 nmeros.Rpta.: ..............................................................8. 50 alumnos rindieron una prueba de matemtica, el promedio de notas de todos fue 14,4. Si 20 alumnos obtuvieron un promedio de 16. Cul fue el promedio de los otros 30 alumnos?Rpta.: ..............................................................9. El promedio armnico de 10 nmeros es 5, el promedio armnico de otros 20 nmeros es 10 y el promedio armnico de otros 30 nmeros es 6. Halle el promedio armnico de los 60 alumnos.Rpta.: ..............................................................10. El promedio aritmtico de las edades de 4 hombres es 48. Ninguno de ellos es menor de 45 aos. Cul es la mxima edad que podra tener uno de ellos?Rpta.: ..............................................................11. El promedio aritmtico de 8 nmeros es 12. Si se aumenta a dichos nmeros 1, 2, 3,... respecti- vamente. Cul ser el promedio aritmtico de los nuevos nmeros?Rpta.: ..............................................................12. El promedio geomtrico de 20 nmeros es 8 y el promedio geomtrico de otros 20 nmeros es 18. Calcule el promedio geomtrico de los 40 nmeros.Rpta.: ..............................................................13. El promedio aritmtico de 30 nmeros es 20. Si se quita dos de ellos cuyo promedio es 48. En cunto disminuye el promedio aritmtico?Rpta.: ..............................................................14. El promedio aritmtico de 5 nmeros pares consecutivos es 24. Hallar el promedio geomtrico de la quinta parte del menor y la sptima parte del mayor.Rpta.: .............................................................. 15. El mayor promedio de 2 nmeros es 18 mientras que su menor promedio es 10. Halle la diferencia de dichos nmeros.Rpta.: ..............................................................16. La MA y la MG de dos nmeros son dos nmeros consecutivos. Halle la diferencia de las races cuadradas de dichos nmeros.Rpta.: ..............................................................17. En un saln de clases de 50 alumnos se ha obtenido el promedio de notas bimestrales de los varones y de las mujeres los cuales son 17,5 y 16. Cuntos son los varones, si el promedio de los 50 notas es16,6?Rpta.: ..............................................................18. Si para dos 2 nmeros se cumple:MA = 18,5MG = 17,5Calcular la diferencia de ambos nmeros.Rpta.: ..............................................................19. El promedio aritmtico de 3 nmeros es 14, la MG es par e igual a uno de los nmeros adems la MH es 72/7. Halle el mayor de los nmeros.Rpta.: ..............................................................20. Si para 2 nmeros se cumple que:M G 1, 8M HCalcular: MA MHRpta.: .......................................................1. Halle el promedio aritmtico de 24; 30; 36; ...; 618A) 320B) 321C) 324D) 325E) 3302. Calcule el promedio geomtrico de 2; 2 2 ; 2 3 ;... ; 21 5A) 32 B) 64 C) 128D) 256 E) 5123. El promedio aritmtico de las notas de 36; 54 y 90 estudiantes son 15;20 y 10 respectivamente. Calcule el promedio aritmtico de las 180 notas. 4. La edad promedio de 5 estudiantes es 18 aos, aljuntarse con ellos el profesor, la edad promedio sera seis aos mayor que el anterior. Halle la edad del profesor.A) 52B) 54C) 55D) 56E) 58A) 15B) 16C) 17D) 18E) 195. El promedio aritmtico de dos nmeros es 15 y el promedio geomtrico es 12. Halle la diferencia de los nmeros.A) 12B) 13C) 14D) 16E) 18SISTEMA HELICOIDALPASCUAL SACO OLIVEROSCAPTULO2 1OBJETIVOS Identificar una magnitud y diferenciales. Determinar el tipo de proporcionalidad existente entre dos magnitudes. Aprender la importancia de las magnitudes y su aplicacin en otros cursos de ciencias. La facilidad de su aplicacin en la deduccin e induccin de frmulas.MOTIVACIN:Focohx d x Focoh'P P'' P'Problema:Averiguar el punto del segmento PP ' igualmente iluminado por dichos focos en la figura de al lado.Resolucin:La luz recibida por un foco en un punto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco: i.e.operando: I I ' x 2 2dIx I h ' 2 d 2 I ' h 2 0 Ih 2 x 2 I 'd x 2 h 2 Si las intensidades son iguales (I = I') sera una lineal (ecuacin). Si las alturas fueran cero ocurre lo mismo. i.e.Compendio de Ciencias VII-DAritmticaI d x 2 I ' x 2 x d II I 'Compendio de Ciencias VII-DAritmticaCompendio de Ciencias VII-DAritmticaMAGNITUDES PROPORCIONALESMAGNITUDES PROPORCIONALESSe entiende por magnitud, como todo aquello cuya intensidad puede variar (aumentar o disminuir), entonces dicha intensidad es suceptible de ser medido o contado.Dos magnitudes son proporcionales, si al variar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra tambin variarn en la misma proporcin.CLASES DE MAGNITUDES1) Magnitudes Directamente Proporcionales (D.P)Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar los valores de uno de ellas o disminuir los valores correspondientes de la otra tambin aumentarn o disminuirn en la misma proporcin.Adems para que dos magnitudes sean directamente proporcionales es necesario y suficiente, que los cocientes de cada par de sus valores correspondientes sea iguales.En general:Si A es D.P. a B A K Bdonde las magnitudes A y B cumplen:Magnitudes Valores CorrespondientesA A1 A2 A3 . . . . AnB B1 B2 B3 . . . . BnLuego si son directamente proporcionales, se cumple que:A1 A2 A3 An KB1B2B3BnDonde K es la constante de proporcionalidadEjemplo:Magnitudes Valores CorrespondientesEspacio (km)20324456Velocidad (km/h)581114Luego: 20 32 44 56 4581114entonces espacio es D.P a la velocidadLa grfica del ejemplo anterior es: Espacio564432205 8 11 14 RectaVelocidadSISTEMA HELICOIDALPASCUAL SACO OLIVEROS2) Magnitudes Inversamente Proporcionales (I.P)Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar uno de ellas en sus valores o disminuir, los valores correspondientes de la otra disminuirn o aumentarn en la misma proporcin.Adems para que dos magnitudes sean inversamente proporcionales es necesario y suficiente que los productos de cada par de sus valores correspondientes sean iguales.En general:Si A es I.P. a B AB Pdonde las magnitudes A y B cumplan:Magnitudes Valores CorrespondientesA A1 A2 A3 . . . . AnB B1 B2 B3 . . . . BnLuego si son inversamente proporcionales, se cumple que:A1 B1 A2 B2 A3 B3 An Bn PDonde P es la constante de proporcionalidadEjemplo:Magnitudes Valores CorrespondientesMasa1224816Aceleracin4263Luego: 12 4 24 2 8 6 16 3 48Entonces masa es I.P a la aceleracinLa grfica del ejemplo anterior esMasa2416Hiprbola equiltera1282 3 4 6 AceleracinPRO PIE DADE SA) Si: A I.P. B A D.P 1/BB)Si : A D.P. B C co nsta nte Si : A D.P. C B co nsta nte C)Si : A I.P. B C constante A D.P. B C A I.P. B C Si : A I.P. C B constante 1. Si A es DP a B, siendo A y B magnitudes demostrarque An ser DP a Bn Resolucin: Sabemos que 2. Si A y B son 2 magnitudes. Demostrar que:A I P B A D P 1BResolucin:nSi: A DP B A= K BLuego A Bn Kn consta nteLuego: An es D.P. a Bn1. Se sabe que la magnitud A es directamenteproporcional a B 2 . Si A es 48 cuando B es 4. Qu valor deber tomar A cuando B = 3.Rpta.: ..............................................................2. Una magnitud A es inversamente proporcional de B 2 . Si A es m y B = 10 y cuando A aumenta en 9 unidades entonces B en 2 unidades. Hallar m.Rpta.: ..............................................................3. Si A y B son magnitudes inversamente proporcionales tales que A es 24 cuando B es 15. Qu valor le corresponde a la magnitud A cuando B aumenta 3 unidades?Rpta.: .............................................................. 5. De la siguiente tabla de valores para las magnitudesM y N, las cuales varan proporcionalmente. Determine (x + y + z).Mag M244896zMa g Nxy 10363 xRpta.: ..............................................................6. Se sabe que m y n son 2 magnitudes inversamente proporcionales y de la siguiente tabla de valores.Mag M2418b36Mag Naa 62acCalcular (a+ b+c).Rpta.: ..............................................................4. Si 2 magnitudes directamente proporcionales A y Bson tales que A es 24, cuando B es 18 Qu valor 7. A es directamente proporcional a B 2 y C. Cuandotoma B, si A aumenta 6 unidades?Rpta.: .............................................................. A=24; B=2 y C=3. Hallar A cuando B=3; C=2.Rpta.: ..............................................................8. Una magnitud M es D.P. a la magnitud N e I.P. a Q 3 . Si cuando M=4; N=16 y Q=3. Hallar Q cuando M y N son 2 y 4 respectivamente.Rpta.: ..............................................................9. Un administrador de una tienda, ha comprobado que el tiem po de atencin a lo s clientes vara proporcionalmente al nmero de clientes que son atendidos. Si 4 clientes son atendidos en 12 minutos menos, que si hubiese 7 clientes. Cunto tiempo se demorara en atender 9 clientes?Rpta.: .............................................................. 14. El precio de un diamante vara directamente proporcional al cuadrado de su peso. Un diamante que cost 800 se parti en 2 partes iguales. Cunto cuesta cada parte y cunto se perdi?Rpta.: ......................................................15. La eficiencia de un empleado es I.P. al nmero de das trabajados. Si el empleado realiza un trabajo en 24 horas. Cunto demorara en hacer dicha obra si aumenta su rendimiento en 1 ?3Rpta.: ......................................................16. Se sabe que las magnitudes A y B guardan cierta relacin proporcionalidad. Conocida la siguienteA1636100y196B23x47tabla. Hallar (x + y).10. Se sabe que A es DP a B 2 y B es IP a C 2 . DeA132yB2 2x22 / 5C481256625la siguiente tabla. Hallar (x + y).Rpta.: ......................................................Rpta.: ..............................................................A1636100y196B23x4711. La siguiente tabla muesta la proporcionalidad entre las magnitudes A y B. Hallar (x + y). 17. Si la magnitud A es I.P. a; B2 ; A es 48 cuandoB es 6. Qu valor toma B (positivo) cuando A es72?Rpta.: ......................................................A23x610B122748y30018. L a s m a gnit udes A y B guar dan cier ta proporcionalidad cuyos valores se muestran en la siguiente tabla. Hallar (x + y).Rpta.: ..............................................................12. El proceso de un artculo vara en forma IP al nmerode artculos producidos. Con una produccin de 500 artculos estos cuestan S/. 2 menos que si se producen slo 300. Cuntos deber producirse para que su costo unitario sea S/. 2,50?Rpta.: ..............................................................13. Dos ruedas se encuentran engranadas, la primera posee 80 dientes y la segunda 72 dientes. Si la primera da cierto nmero de vueltas en un minuto, la segunda da 3 vueltas ms. Cuntas revoluciones por minuto da la segunda rueda?Rpta.: .............................................................. Rpta.: ......................................................19. El precio de una co leccin de libro s v ara proporcionalmente al nmero de libros que la componen. Si la coleccin consta de 6 libros su precio es de S/. 150. Cunto costar una coleccin que posee 2 libros ms?Rpta.: ......................................................20. El sueldo de un empleado vara proporcionalmente al cuadrado del nmero de horas trabajadas. Si su sueldo mensual asciende a S/. 450. Cunto dejar de ganar si slo trabaja los 3/5 de las horas normales?Rpta.: ......................................................Aa34B8124b1. Una magnitud A es D.P. al cuadrado de la magnitudB. Hallar el valor de A cuando B es 2, si cuando Bse incrementa en una unidad A aumenta en 35. 4. Se sabe que A es DP a 3 B . Hallar (a+b). Si se muestra los siguientes datos.A) 24B) 28C) 32D) 35E) 42A) 195B) 192C) 12D) 15E) 652. Si las magnitudes A y B 2 son IP. Si cuando A es 24, B es 6 encontrar B cuando A es 54.A) 6 B) 4 C) 12D) 12 E) 93. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Se sabe que un diamante cuesta 1000 dolres, cunto costar si se parte en 2 pedazos que son proporcionales a 2 y 3? A) S/. 40B) S/. 42C) S/. 45D) S/. 48E) S/. 505. El precio de un objeto vara en forma DP en su peso. Si para 240 gramos de peso su precio es 36 soles. Cunto costar otro objeto que pesa 60 gramos ms?A) 480B) 640C) 520D) 680E) 360