resumen aritmetica

SEMANA 1 – ARITMÉTICA - “TEORÍA DE CONJUNTOS” Y “SISTEMAS DE NUMERACIÓN”

1. Lorena estudia y/o juega todos los días en el mes de febrero (año no bisiesto), a excepción de 2 días. Si estudió 18 días y jugó 15 días. ¿Cuántos días estudió y jugó en el mismo día?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

SOLUCIÓN

El total de días de febrero que realiza estas actividades son: 28 – 2 = 26

Al sumar 18 + 15 = 33 se observa que el exceso es de: 33 – 26 = 7, lo cual corresponde a la intersección de ambos conjuntos, que es lo solicitado.

RESPUESTA: C

2. Dado los conjuntos unitarios: A= {(m - p); 2}; B= {(m + p); 10}. Si C= {2; 2p-m; m; p}, hallar el número de elementos del Conjunto Potencia de C.

A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16

SOLUCIÓN

Si los conjuntos A y B son Unitarios, significa que tienen un solo elemento, por lo que se puede deducir, que los dos elementos que se indican para cada uno de ellos, son iguales:

→ m + p = 10 → m = 6 y p = 4 → C = {2; 2.4-6; 6; 4} → C= {2; 6; 4}

m - p = 2

→ n (C) = 3 → n [P(C)]= 23 = 8 RESPUESTA: D

3. Si A = {x3-1/ xϵZ y, -2< x ≤2}. ¿Cuál es la suma de los elementos del conjunto A?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 16

SOLUCIÓN:

Para poder realizar la suma solicitada, hay que determinar el conjunto A por extensión x: -1; 0; 1; 2

Elevando al cubo y luego restando 1 a cada elemento “x”, se tendrán los elementos del conjunto A= {-2; -1; 0; 7} → Suma= 7 - 3 = 4 RESPUESTA: A

4. De los asistentes a una fiesta, 30 parejas se encuentran bailando, siendo los hombres que no bailan 1/3 de los que bailan y, las mujeres que no bailan, el doble de los hombres que no bailan. ¿Cuántos son los asistentes a dicha fiesta?

A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 95

SOLUCIÓN: H M

Bailan

No bailan

Total 40 + 50 = 90

RESPUESTA: D

5. Hallar 2a – b, si aba(5) = 119

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

SOLUCIÓN:

Por divisiones sucesivas encontramos el equivalente de 119 en Base 5.

RESPUESTA: A

6. Hallar “m” si 443(m) = 353(9)

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

119 5 19 23 5 4 3 4

∴aba (5)= 434(5) → 2a – b = 8 – 3 = 5

30 30

10 20

SOLUCIÓN:

Aplicando la descomposición polinómica tenemos:

4m2 + 4m + 3 = 3.81 + 45 + 3 → 4m(m + 1) = 288 → m(m + 1) = 72 = 8 . 9

∴ m = 8 RESPUESTA: D

7. Un numeral N de la base decimal, convertido a base “n”, resulta ser el mayor número de 3 cifras, y en base “2n”, es el mayor número de 2 cifras. ¿Quién es el número N?

A) 60 B) 63 C) 70 D) 77 E) 80

SOLUCIÓN:

Simbólicamente estos mayores números son:

(n−1 ) (n−1 ) (n−1 )(n) = (2n−1)(2n−1)(2n). Convertidos a base 10:

→ n3 – 1 = (2n)2 – 1 → n3 = 4n2 → n2 (n – 4) = 0 → n = 4 ∴ 333(4) = 77(8)

Expresando N en base 10 : N= 63 RESPUESTA: B

8. De un libro se perdieron las 120 primeras páginas. ¿Cuántas páginas quedaron, si se emplearon 1332 cifras al enumerar todo el libro?

A) 480 B) 360 C) 380 D) 280 E) 260

SOLUCIÓN:

Conociendo el total de cifras empleadas en la enumeración del libro, podemos encontrar el número de páginas N del libro:

(N + 1) 3 – 111 = 1332 → N = 14433

−¿ 1 = 480

→ Se perdieron: 480 – 120 = 360 páginas RESPUESTA: B

9. Si los cardinales de los conjuntos A; B y C son números enteros consecutivos. Además:n[P(A)] + n[P(B)] + n[P(C)] = 1792 Entonces el valor de: E= n(A) + n(B) + n(C)

A)26 B)27 C)28 D)29 E)30

SOLUCION

n(A)= a; n(B)= a+1; n(C)= a+2

2a + 2a+1 + 2a+2 = 1792

2a (1+2+22) = 1792; 2a = 256

2a=28; a=8; a+1=9; a+2=10

8+9+10=27 (RPTA B)

10. Consideremos el conjunto N={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}

Determinar por extensión el conjunto T={nЄN/n2 ЄN}

Dar la suma de elementos de T.

A)86 B)42 C)30 D)24 E)6

SOLUCION

n2={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9:10}

n=0; 1;√2; √3; 2; √5; √6;√7;√8; 3; √10 Pero n Є N → n: 0;1;2;3

T={0;1;2;3} → suma de Es de T

1+2+3 = 6 (RPTA E)

11. En una reunión hay 3 mujeres por cada 5 asistentes. Si la cuarta parte de las mujeres no habla inglés y la tercera parte de los hombres sí. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión? Considera que 75 personas no hablan inglés.

A)120 B)150 C)180 D)165 E)210

SOLUCION

T= m+h = 5k; mT

= 35

m= 3k; T= 5k; h= 2k

m No inglés 3k4

h SI ingles 2k3

h NO ingles 2k❑

- 2k3

= 4 k3

DATO. h NO + m NO = 75

→ 3k4

+4 k3

=¿ 75

→k =36; pide T

5K =5.36 = 180 (RPTA C)

12. La clase del primer año de la facultad de ciencias de la salud de la UNSM está formada por 200 estudiantes, de estos 80 son mujeres; 146 estudian biología y 24 son mujeres que no estudian biología ¿Cuántos hombres no estudian biología?

A)45 B)38 C)32 D)30 E)25

SOLUCION

h = 120

m = 80

TOTAL

Estudian biología

90 56 146

No estudian biología

30 24 54

TOTAL 120 80 200

Hombres que no estudian biología son 30 (RPTA D)

13. Calcule “k”, sabiendo que en la base 12 existen 38880 numerales de “k” cifras, tales que todas sus cifras son pares.

A)11 B)9 C)7 D)6 E)5

SOLUCION

N =abc …………. X(12)

200…………. 0

422…………. 2

644…………. 4

866…………. 6

1088………… 8

1010…… ..10

5. 6. 6 ……… 6 = 38880

5. 6n = 5 × 65

→ “N” Tiene 6 cifras (RPTA D)

14. Hallar un número tal que al convertirlo a 2 sistemas de numeración de bases pares consecutivos se representan como 46 x; 12 x1, si la suma de la base menor y la cifra “x” es menor de 12.

A)207 B)303 C)307 D)404 E)407

SOLUCION

46 X (2n + 2) = 12 X 1(2n)

DATO: 2n + x ¿ 12

2n + 2 > 6

Podemos deducir:

6 < 2n + 2 < 12

“n”: 3; 4 cumple para n = 3

46 x (8) = 12 x1(6)

4. 64 + 6. 8 + x = 216 + 2. 36 + 6X + 1

304 + X = 289 + 6X

X = 3

En sistema decimal 304 + x

304 + 3 = 307 (RPTA C)

15. En cierto sistema de numeración, de todos los números que se escriben en 4 cifras, hay 42 que son capicúas ¿Cuántos no son capicúas?

A)7200 B)6300 C)3420 D)2870 E)2016

SOLUCION

Abb a(n) ab cd (7)

1 0 1 0 0 0

2 1 2 1 1 1

3 2 . 2 2 2

. 3 . . . . .

. . 6 . . .

. . . 6 6 6

. . 6.7. 7. 7 = 2058

. .

6×7 n = 42

↘ n = 7

No capicúas 2058 – 42 = 2016 (RPTA E)

16. Al enumerar la tercera parte de las primeras páginas de un libro, se utilizó 972 cifras. ¿Cuántas cifras empleó en todo el libro?

A)2800 B)2970 C)3213 D)3312 E)4312

SOLUCION

#cifras = (N + 1). K – 111… ..11⏟

“k” unos

Hallando total de páginas

972 = (N3

+1¿. 3 – 111

N = 1080

TOTAL CIFRAS = (1080 + 1). 4 -1111

3213 (RPTA C)

SEMANA 02. CUATRO OPERACIONES – DIVISIBILIDAD CICLO 2013 - I (ACELERADO)

1. Se tiene un numero de 2 cifras, donde el duplo de la cifra de las decenas restado de la cifra de las unidades

es mayor que 5 y la diferencia de 14 veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es menor que 112.

Indique cuál es la diferencia de cifras.

A) 1 B) 7 C) 4 D) 3 E) 2

Solución: Sea el #: ab

b-2a >5… (I)

14b – a < 112…(II)

De (I)

b > 2a+5

como “b” es un dígito la única posibilidad es que a = 1

b > 7 ; b = 8 , 9

si b = 8, en la expresión (II) se tiene

14 (8) – 1 < 112

111 < 112 cumple

Si b = 9 , en (II)

14 (9) – 1 < 112

125 < 112 ; no cumple

Entonces: ab = 18

Luego b – a = 7

RESPUESTA: “B”

2. Se suman los complementos aritméticos de los números de tres cifras en el sistema quinario; entonces, la

suma de cifras de dicho resultado en el sistema decimal es.

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

Solución:

Los números en base 5 : 100(5 ; 101(5 ; 102(5 ; …..; 444(5

Sus complementos respectivos son:

CA [100(5] = 400(5 = 100

CA [101(5] = 344(5 = 99

CA [102(5] = 343(5 = 98

CA[444(5] = 1(5 = 1

Suma en base 10 = 1+2+3+4+……..+98+99+100

S ¿100 (101 )2

= 5050

Luego suma de cifras = 5+0+5+0 =10

RESPUESTA: “B”

3. Halle a+b: si 1(5)+2(6)+3(7)+…+a(b) = 3710

A) 40 B) 44 C) 50 D) 36 E) 52

Solución: 1(1+4)+2(2+4)+3(3+4)+…+a(a+4) = 3710

(12+22+32+…+a2)+4(1+2+3+…+a) = 3710

a (a+1 )(2a+1)6

+ 4 [a(a+1)2

¿ = 3710

a = 20 ˄ b = 24

luego a+b = 44

RESPUESTA: “B”

4. Hallar “a”, si 55a (a+1) =9o

A) 8 B) 9 C) 10 D) 7 E) 6

Solución: 5+5+a+(a+1) = 9o

11+2a = 9o

9+2+2a = 9o

2+2a = 9o

Se cumple cuando a = 8

RESPUESTA: “A”

5. En un barco donde iban 100 personas ocurre un naufragio, de los sobrevivientes se sabe que la doceava

parte eran mujeres y que la quinta parte de los muertos eran casados. ¿Cuántos murieron?

A) 30 B) 40 C) 50 D)60 E)70

Solución:

# de mujeres =112

(sobrevivientes) sobrevivientes = 12o

# casados = 15

(muertos) muertos = 5o

Como: Sobrevivientes + Muertos = 100

12o + 5o = 100

60 + 40 = 100

Luego # de muertos = 40

RESPUESTA: “B”

SEMANA #03 ARITMETICA: NUMEROS PRIMOS Y MCD – MCM CICLO 2013-I(ACELERADO)

1. Calcular la suma de los divisores comunes de 23760 que sean PESI con 572.A ¿180 B ¿240 C ¿300 D ¿325 E ¿360 Solución: 23760=24 x33 x5 x11

572=22 x11 x 13 Para PESI eliminamos lo que repite no importa la potencia y se toma solo lo que queda del primer número.24 x33 x5 x1122 x11 x 13

=33 x513

Se toma solo 33 x5=135

SD135=( 34−12 )( 52−14 )=240

RESPUESTA: “B” 2. El producto de los divisores de un número (N) es 236 x 312 x 524. Hallar en cuantos ceros termina N!.

A ¿190 B ¿180 C ¿168 D ¿148 E ¿140 Solución:

PDN=236 x 312 x 524=(23 x3 x 52 )12=600

Se hace divisiones sucesivas de 600 entre el factor mayor de la base en este caso “5”.

4

55

5

120

600

24

No importa residuos, se suma los cocientes:120+24+4=148 RESPUESTA: “D”

3. ¿Cuantos terrenos rectangulares diferentes existen, cuya área sea860m2 y sus dimensiones miden un numero entero de metros?A ¿14 B ¿12 C ¿6 D ¿8 E ¿10 Solución:

860=22 x 51 x 431 DN=(2+1 ) (1+1 ) (1+1 )=12

FDN=DN2

=6

RESPUESTA: “C”

4. Al aplicar el algoritmo de Euclides para hallar el MCD de dos números se obtienen como cocientes sucesivos 3; 4; y 3; si la diferencia de dichos números es 580; entonces el menor de los números es: A ¿420 B ¿380 C ¿340 D ¿260 E ¿240 Solución:

42d−13d=29d→29d=580→d=20 Menor 13d=260 RESPUESTA: “D”

5. Las dimensiones de un terreno rectangular son 712 y 336m. Se desea parcelarlo en terrenos cuadrados de tal modo que no sobre nada y se obtenga el menor número de parcelas ¿Cuantas parcelas cuadradas resultaran? A ¿3738 B ¿2432 C ¿872 D ¿640 E ¿516 Solución:

Hallamos MCD (712;336 )=8El # de terrenos cuadrados es: 712x 3368x 8

=3738

RESPUESTAA 6. Hallar el número de divisores compuestos que tiene N = 12n . 15m, sabiendo que tiene en total 75

divisores.A)69 B) 70 C) 71 D) 72 E) 73

3 4 342d 13d 3d d

3d d 0

Solución:

N = 12n . 15m = 22n . 3n . 3m . 5m = 22n. 3n+m. 5m → Hay 3 divisores primos→ N° de divisores simples: 3 + 1 = 4∴ N° de divisores compuestos= 75 – 4 = 71

RESPUESTA: “C”

7. El producto de los divisores de un número es 236 x 324 x 712. Hallar cuántos divisores múltiplos de 21 tiene dicho número.A)8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15

Solución:

Hallar la suma de dos números cuya diferencia es 135, su MCD es 45 y su MCM es 1 260.A)384 B) 495 C) 521 D) 611 E) 730

SOLUCIÓN:

RESPUESTA: “A”8. La diferencia de dos números es 135 y su mcm de las mismal es 1260; hallar la suma de los

numero A – B = 135; d = 45; m = 1 260 ; A + B = d(α + β) = ¿?A)430 B)495 C)510 D)535 E)545

Solución:

RESPUESTA: “B”

9. Si el MCD de (77A; 44A; 11A) es 33, hallar su MCM.A)308 B) 520 C) 683 D) 924 E) 1 100

Solución:

El MCD de estos 3 numerales es 11A = 33 → A = 3∴ MCM = 3 x 11 x 7 x 4 = 924

RESPUESTA: “D”

10. Al hallar el MCD de 2 números por el algoritmo de Euclides, se obtuvo como cocientes: 1; 2; 1; 19 y 4. ¿Quién es el número menor si la diferencia de ambos es 324?.A)320 B) 415 C) 509 D) 738 E) 956

Solución: Después de llenar la Tabla a partir de los datos del problema:

P = 236. 324. 712 = (23 x 32 x 7)12= = (23 x 32 x 7)24/2

N

CD(N) = 4 x 3 x 2 = 24

N = 3 . 7 (23. 3) → CD( ) 4 x 2 = 8

A – B = d( α – β) = 45 x 3 → α – β = 3 α = 7

m = d . α . β = 1 260 = 45 x 28 → α . β = 28 β = 4

∴ A + B = 45( 7 + 4) = 495

1 2 1 19 4320d 239d 81d 77d 4d d

81d 77d 4d d 0

320d – 239d = 324 → d = 32481

= 4

Menor número: 239 x 4 = 956

RESPUESTA: “E”11. Determinar la cantidad de divisores compuestos de N = 243 . 212

A) 184 B) 180 C) 176 D) 189 E) 183

Solución:

N = (23 . 3)3 . (3 . 7)2

= 29 . 35 . 72

CD (N) = (9 + 1)(5 + 1)(2 + 1) → CD (N) = 180

D (primos) = 3 → 180 = 1 + 3 CD (Compuestos)CD (Compuestos) = 176

RESPUESTA:”C”

12. Determinar el valor de “n”; si el número: N = 15 . 18n, tiene 144 divisores.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 7Solución:

N = (3 . 5) . (2 . 32)n

= 3 . 5 . 2n . 32n→ 2n . 32n+1 . 51

CN (n) = 144

Luego:

(n + 1)(2n + 2)(1 + 1) = 144(n + 1)2(n + 1)(2) = 144 (n + 1)2 = 36 n = 5RESPUESTA: “C”

13.¿Cuántos ceros hay que agregar a la derecha de 275 para que el número resultante tenga 70 divisores?

A) 5 B) 11 C) 3 D) 4 E) 7

Solución:

N = 275000…00

“n”

N = 275 . 10n → N = 52 . 11 . (2 .5)n → N = 2n .5n+2 . 11

Como CD(N) = 70 → (n + 1)(n + 3)(2) = 70 → (n + 1)(n +3) = 35

1 2 1 19 4320d 239d 81d 77d 4d d

81d 77d 4d d 0

320d – 239d = 324 → d = 32481

= 4

Menor número: 239 x 4 = 956

(n + 1)(n +3) = 5.7 n = 4

RESPUESTA:”D”14. Si MCD (3A ; 24C) = 18N y MCD (2C ; B) = 2N. Calcule N si MCD (A ; 4B ; 8C) es 21000.

A) 10500 B) 21000 C) 13500 D) 12200 E) 12400

Solución:

(3A ; 24C) = 18N MCD(A ; 8C) = 6N ………. (1)

MCD (2C ; B) = 2NMCD (8C ; 4B) = 8N ………(2)

De (1) y (2):

MCD (A ; 4B ; 8C) = MCD (6N ; 8N) = 2N

Intervienen los tres números. Nos piden:

MCD (A ; 4B ; 8C) = 21000 = 2N → N = 10500

15. La suma de dos números A y B es 651, el cociente entre su MCM y su MCD es 108. Halle (A - B).

A) 108 B) 216 C) 713 D) 483 E) 438

Solución:

A = dq1 ; B = dq2 ; donde: dq1 y dq2 son números primos.

Luego: MCM (A ; B) = D . q1 . q2

MCM (A ;B)MCD(A ; B)

=q1 . q2=22 .33

q1 = 33 ^ q2 = 22

A + B =d(q1 + q2) = 651 → d(27 + 4) = 651 → d = 21

(A – B) = d(q1 - q2) = 21 . 23 = 483

Luego: (A – B) = 483

RESPUESTA:”D”

16. Determinar la cantidad de divisores compuestos de N = 243.212

A) 180 B) 177 C) 176 D) 194 E) 175

Solución:

CD(N) = CD compuestos + CD primos +1 …(I)

N = (23.3 )3 (3.7)2 = 29.35.72

En (I) : (10)(6)(3) = CD compuestos +3+1

176 = CD compuestos

RESPUESTA: “C”

17. ¿Cuántos divisores impares tiene 37 800?

A) 36 B) 48 C) 52 D) 72 E) 24

Solución: 37 800 = 23.33.52.71

Para calcular divisores impares tarjamos base prima dos

CD(impares) = (4) (3) (2) = 24

RESPUESTA: “E”

18. ¿cuántos de los divisores de 396 000 son divisibles por 3 pero no por 5?

A) 24 B) 36 C) 18 D) 72 E) 48

Solución: 396 000 = 25.32.53.11 Divisores 3o pero no 5o

3o 15o 5o

24 72 36

CD(3o) = 3 [25.3.53.11] = (6)(2)(4)(2) = 96

CD(5o) = 5 [25.32.52.11] = (6)(3)(3)(2) = 108

CD(15o) = 15 [25.3.52.11] = (6)(2)(3)(2) = 72

Luego la cantidad de divisores múltiplos de 3 pero no de 5 será: 96 – 72 = 24

RESPUESTA: “A”

19. Hallar el producto de los divisores del número: N = 124.203. Dar como respuesta el menor exponente de

su descomposición canónica.

A) 4200 B) 1200 C) 900 D) 450 E) 840

Solución:

N = 214.34.53

CD(N) = (15)(5)(4) = 300

PD(N) = √ (214 .34 .53 )300 = √24200 .31200 .5900=22100 .3600 .5450

Luego el menor exponente es: 450

RESPUESTA: “D”

20. ¿ Cuál es el exponente de 2 en la descomposición canónica de 212!

A) 511 B) 1023 C) 2047 D) 4095 E) 8191

Solución: Para hallar el exponente de 2 bastará dividir sucesivamente 212 entre 2 y sumar los cocientes.

212 2

0 211 2

210 2

29

.

.

22 2

2 2

1

Luego exponente de dos es: 1+2+22+23+…+211 = 212 – 1 = 212 – 1 = 4095 2 - 1

RESPUESTA: “D”

SEMANA 04 ARITMETICA: CICLO 2013-I1. Hallar una fracción propia e irreductible de denominador 90 que este comprendido entre ¼ y 1/5.

A ¿17/90 B ¿18 /90 C ¿19 /90 D ¿21/90 E ¿23/90

SOLUCION:15< N90

< 14

; multiplicando por 90

905

< 90N90

< 904

, 18<N<22,5 → N :19 ;20;21 ;22

para F.P.I tenemos: N=19

f=1990

………………….

RESPUESTA “C”2. A un alambre de 380m de longitud se le han dado 2 cortes de manera que la longitud de cada trozo

sea igual al anterior aumentado en su mitad. ¿Cuál es la longitud del trozo mas largo?A ¿90 B ¿120 C ¿160 D ¿180 E ¿195 SOLUCION:

x (x+ x2 ) [(x+ x

2 )+ 12 (x+ x2)]

x+3 x2

+ 9 x4

=380→x=80

Mayor: 9 x4

=9.804

=180m

RESPUESTA “D”3. Se deja caer una pelota de tenis desde 432cm de altura, si en cada rebote se eleva 2/3 de su altura

anterior. Después de cuantos rebotes se elevara 128cm.A ¿2 B ¿3 C ¿ 4 D ¿5 E ¿6 SOLUCION:

( 23 )n

x 432=128 → Simplificando

( 23 )n

= 827

→ ( 23 )n

=( 23 )3

→n=3

RESPUESTA “B” 4. La media proporcional de 2 números es 35. Si la proporción continúa que se forma, tiene por razón

S/7. Hallar la media diferencial de los términos extremos.A ¿21 B ¿22 C ¿23 D ¿24 E ¿25 SOLUCION:

a35

=35b

=k →k=57

a35

=57

→a=25

35b

=57

→b=49

b−a=49−25=24 RESPUESTA “D”

5. En una proporción geométrica continua los términos extremos están en la relación de 9 a 16. Si la diferencia de los antecedentes es 15. Hallar la suma de los consecuentes. A ¿80 B ¿120 C ¿140 D ¿150 E ¿160 SOLUCION:

ab=b

c=k →

ac= 916

→ a=9k y c=16k

b=√9k .16k→b=12k

c k2

c= 916

→k2= 916

→k=34

dato : b−a=15 ; (12−9 ) k=15→k=5

∑ consecuentes :b+c=(12+16 ) k→28.5=140

RESPUESTA “C” 6. Aumentar 90 en sus 2/9.

A) 109 B) 95 C) 119 D) 110 E) 105SOLUCION:

Toda cantidad contiene sus 9/9. Si a esta cantidad se le agrega 2/9 se obtendrá 11/9. Bastará calcular 11/9 de 90.¡11/9 de 90 = 11.(90/9) = 110

7. En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D, sabiendo que el total de votos ha sido de 15400. Los votos obtenidos por el candidato D es:A) 4200 B) 4600 C) 5500 D) 14320 E) 1080

SOLUCION:A: (3/11)15400 → 4200 votosB: (3/10)15400 → 4600 votosC: (5/14)15400 → 5500 votos4200 + 4620 + 5500 = 14320D: 15400 – 14320 = 1080 votosRESPUESTA: “E”

8. La media diferencial de una proporción es 24. Determinar la razón de la proporción, si el primer extremo es el doble del segundo.A) 6 B) 8 C) 10 D) 16 E) 12

SOLUCION:a – b = c – da – m = m - da - 24 = 24 - d2X - 24 = 24 - X → 3X = 48 →X = 16 24 – 16 = 8

RESPUESTA “: “B”9. En una fábrica embotelladora, se tienen 3 máquinas (A, B y C). Por cada 7 botellas que produce la

máquina A, la máquina B produce 5 y, por cada 3 botellas que produce la máquina B, la máquina C produce 2. En un día, la máquina A produjo 4400 botellas más que C. ¿Cuántas botellas produjo la máquina B ese día? A) 2000 B) 4000 C) 6000 D) 3000 E) 8000

SOLUCION:

A B C7p 5p

3q 2q

(4400 + X) ? XAC

=7 p2q

= 72q ( 35 q )=2110=4400+X

X

→ 5p = 3q2110

=4400+XX

21X = 4400 + 10X → 11X = 4400 → X = 400B = 15x 15.400 = 6000RESPUESTA “C”

10. Se deja caer una pelota desde cierta altura. Calcular esta altura, sabiendo que cada rebote que da alcanza los ¾ de la altura anterior y que en el tercer rebote alcanza 81 cm.

A) 190 B) 191 C) 192 D) 195 E) 197SOLUCION:

34H

H (34

)2H

(34

)3H

(34) 3H = 81

27H64

= 81

H = 192RESPUESTA “C”

11. Se deja caer una pelota desde 20, 48 m; cada rebote que da alcanza ½ de la altura anterior. ¿Cuántos rebotes ha dado si la última altura que alcanzo es de 0; 04m?A) 10 B) 8 C) 12 D) 9 E) 5

SOLUCION:

h(no) = (ab).nH

0; 04 = (12)n (20,48)

N = 9RESPUESTA “D”

12. Una piscina esta llena hasta sus 3/5 partes. Si se sacara 2000l quedaría llena hasta sus 4/7 partes. ¿Cuántos litros falta para llenarla? A) 30 000l B) 25 000l C) 20 000l D) 4000l E) 28 000l

SOLUCION: falta

2/5 n De la figura

n2000 l35n35n−47n = 2000

47n n = 70 000 litros

luego falta para llenarla 25

(70 000) = 28 000 litros

RESPUESTA “E”13. A y B pueden hacer una obra en 4 días, B y C en 6 días y A y C en 8 días ¿En cuántos días

puede hacer la A trabajando solo?

A)435

B) 485

C) 525

D) 495

E) 395

SOLUCION:En un día hacen:

A+B = 14

… (I)

B+C = 16

… (II)

A+C = 18

… (III)

2(A+B+C) = 14

+ 16

+ 18

2(A+16

) = 6+4+324

A = 548

( en 1 hora )

“A” lo hace todo en: 485

días

RESPUESTA “B”14. La suma de los cuadrados de los cuatro términos de una proporción geométrica continua es

igual a 7225. Calcular la media proporcional si la diferencia de los extremos es 75.A) 18 B)19 C) 20 D) 80 E) 22SOLUCION:

ab

= bc

; dato a – c = 75

a2+2b2+c2 = 7225 b2 = a.c

a2+2ac+c2 = 7225 (a+c)2 = 7225 a + c = 85 a – c = 75 2a = 160 a = 80 c = 5

Piden: b2 = a.c b¿√80(5)

b = 20RESPUESTA “C”

15. SI 5; b; 20; d; e, forman una sucesión de razones iguales continua.Hallar d + e – bA) 110 B) 100 C) 90 D) 40 E) 80

SOLUCION:5b

= b20

= 20d

= de

5b

= b20

; b = 10

b20

= 20d

; d = 40

20d

= de

; e = 80

Piden d + e – b = 40 + 80 – 10 = 110RESPUESTA “A”

16. Dos obreros deben pintar las instalaciones del CPU-T; al trabajar solos, demorarían 12 y 24 días respectivamente. ¿Cuánto tiempo demorarían al trabajar juntos?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11SOLUCION:En 1 día:A realiza: 1/12 de obra; B realiza 1/24 de obra.

A + B realizan: 112

+ 124

= 2+124

= 324

de obra

→ tiempo: 243

= 8 días RESPUESTA “B”

17. Pedro resultó premiado en un juego de azar, gastando 1/3 del dinero ganado en comprarse ropa; 2/5 del resto en cenar en un lugar elegante; 1/3 de lo que le quedó ahorró, dándole el saldo a su madre, que fue de S/. 500. ¿Cuánto fue lo que ganó?A) 3 000 B) 4 800 C) 1 875 D) 2 136 E) 5 000

SOLUCION:Gastó Le queda:

Ropa: 13

D → 23

D

Cena: 25

. 23

D → 35

. 23

D = 25

D

Ahorra: 13

. 25

D → 23

. 25

D = 415

D = 500 → D = 1 875

RESPUESTA “C”

18. La suma de los 4 términos de una proporción aritmética continua es 80. ¿Cuál es el valor de su media diferencial?A)16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

SOLUCION:En : a – b = b – c; a + 2b + c = 80 ….. (1) ; b = ¿?→ a + c = 2b …. (2)De (1) y (2): 2b + 2b = 80 → b = 20 RESPUESTA “E”

19. La suma de 4 números que son proporcionales a 2; 3; 4 y 5 es 6 300; hallar el número mayor.A)2 250 B) 2 300 C) 3 000 D) 3 500 E) 4 100

SOLUCION:a2

= b3

= c4

= d5

= k → a+b+c+d2+3+4+5

= k → 630014

= 450 = k

→ d = 5k = 5 x 450 = 2 250 RESPUESTA “A”

20. En una progresión geométrica continua la suma de los antecedentes es 60. Hallar la media proporcional. A)50 B) 42 C) 23 D) 10 E) 15

SOLUCION:ab

= bc

= k → b = c.k; a = ck2

→ a + b = ck2 + ck = c . k ( k + 1 ) = 60 = 10 . 6 ↓ ↓ ↓ 2 5 6

→ b = c . k = 2 . 5 = 10 RESPUESTA “D”

SEMANA Nº 04 – ARITMETICA “DIVISIBILIDAD” CICLO 2012-III

1. ¿Cuántos números terminados en 6 son múltiplos de 7 entre 720 y 8542?

a) 98 B) 112 C) 118 D) 156 E) 172

Solución:

7=7k=.. . . .. .6⇒K=…8 720<7 k<8542⇒102,8<k<1220,2

103 ;104 ;105 ;………….;1220 K :108 ;118 ;128 ;……….;1218

n=1218−9810

⇒n=112

RESPUESTA: “B”

2. Si 615abc=13+3; hallar el menor valor de abc ; siendo a; b y c diferentes y mayor que cero.

a) 123 B) 124 C) 126 D) 128 E) 129

Solución:

615=(13+4)→ dividimos “4” a una potencia cada vez mayor, entre 13.

4 ° 41 42 43 44 45 46 47 48

13 13 13 13 13 13 13 13 131 4 3 12 9 10 1 4 3

Contando antes que se repita el “1” en este caso ⇒G=6

(13+4)abc=13+3→abc se relaciona con Gaussiano (G)

abc=6 Se ubica en 13+3⇒ 48=46+2=13+3

Por lo tanto abc=6+2=6 k+2⇒abc=6×21+2=128

RESPUESTA: “D”

3. Por S/. 918 se compraran 120 prendas de vestir entre pantalones calzoncillos y polos; si los precios unitarios de cada uno son; S/. 40; S/. 5 y S/. 8 respectivamente. ¿Cuántos polos se compró?

a) 12 B) 25 C) 37 D) 48 E) 71

Solución:

Pantalones = x Calzoncillos = y Polos = Z5 ( x+ y+ z )=120×5→ (1 )→MUltiplicamos por 540 x+5 y+8 z=918→(2)Restando los 2 queda: 35 x+3 z=318 a este dividimos entre 32 x=3→x=335.3+3 z=318→z=71

RESPUESTA: “E”

4. Hallar el mayor valor del producto de a . b tal que a y b cumplan con la siguiente relación:

5 .7ab+6ab=30+a+b

a) 32 B) 30 C) 28 D) 24 E) 21

Solución:

5(6+1)ab+6 (5+1)ab=30+a+b

30+5+30+6=30+a+b

a+b=119+2→9.2=18

GAUSSIANO

8+3→8.3=247+4→7.4=286+5→6.5=30 (Mayor)

RESPUESTA: “B”

5. Si: N=aabb y además “a” es el doble de “b”; entonces “N” siempre va a ser multiplicado de:

a) 7 B) 17 C) 67 D) 101 E) 203

Solución:

N=aabb→a=2b

Reemplazando:

N= (2b ) (2b )bb

2000b+200b+10b+b=2211b¿3×11×67⇒67

RESPUESTA: “C”

6. Demostrar que siendo “n” un entero cualquiera, la suma:

3.52n+1+23n+1 es divisible por 17.

A) m6 B) m7 C) m17 D)m25 E) m2

Solución:

Si demostramos que este número es múltiplo de 17, será divisible por 17.

Operando los exponentes:

N = 3 . 25n . 5 + 8n . 2 = 15(17 +8)n + 8n . 2 = 15(m17 + 8n) + 8n . 2 = m17 + 15 . 8n + 8n . 2 = m17 + 8n (15 + 2) = m17 + 8n . m17 = m17RESPUESTA: “C”

7. Hallar a y b si: 30ab60=m 99

A) b = 9 ; a = 0 B) b = 18 ; a = 9 C) b = 18 ; a = 0 D) b = 9 ; a = 3E) b = 18 ; a = 3

Solución:m9

30ab60=m 99 m11

Aplicando divisibilidad entre 9:9 (1)

3 + 0 + a + b + 6 + 0 =m9 → a + b 18 (2)

Aplicando divisibilidad entre 11: 0 (3)

b – (6 + a + 3) = b – 9 – am11 (4)

Sólo (1) y (3) cumplen condiciones.

b = 9 ; a = 0

RESPUESTA: “A”

8. El número de niños que va a un nido es menor que 265 y mayor que 95. Si se observa que los 2/7 del total usan mandiles celestes y los 5/13 del total usan mandiles amarillos, ¿Cuál es la suma de las cifras del número que indica la cantidad de niños que no usan ni mandil celeste ni mandil amarillo?

A) 2 B) 7 C) 5 D)6 E) 8

Solución:

Sea “n” el número de niños:

95 < n < 265 (1)

(2/7)n = # entero → n = m7

Usan mandiles amarillos:

(5/13)n = # entero → n = m13

Entonces: n = m7.m13 = m91 = 91k

Reemplazando en (1)

95 < 91k < 265; k Є Z+

(95/91) < k < (265/91)

1(4/91) < k < 2(83/91) → k = 2

Entonces: n = 91(2) = 182

Usan mandil celeste: (2/7)182 = 52Usan mandil amarillo: (5/13)182 = 70

No usan mandil amarillo ni celeste:

182 – (52 + 70) = 60

Luego: 6 + 0 = 6 RESPUESTA: “D”

9. A un número de 4 dígitos, cuyas 3 últimas cifras son iguales se le ha restado otro, que se obtuvo al invertir el orden de las cifras del primero. Si la diferencia es múltiplo de 7, hallar la diferencia.

A) 8111 B) 1118 C) 6993 D) 9222E) 3993

Solución:

El número es la forma: ammmPor condición: ammm + mmma = 7̇Ahora calculando esta diferencia:1000a + 111m - 1110m - a = 7̇999a - 999m = 7̇999 (a - m) = 7̇

→ a - m = 7̇ 8 1 (1) ó 9 7 (2)

De (1) : 8111 - 1118 = 6993De (2) : 9222 - 2229 = 6993

Luego la diferencia es: 6993 RESPUESTA: “C”

10. Un vendedor tiene 6 cestas que contienen huevos. En algunas cestas hay huevos de gallina y en las otras de paloma. El número de huevos de cada cesta es 8, 12, 21, 23, 24 y 29. El vendedor dice: “Si vendo esta cesta, me quedaría el cuádruple de huevos de gallina de paloma”. ¿A qué cesta se refiere el vendedor?

A) 8 B) 12 C) 21 D) 23 E) 24

Solución:

Cantidad total de huevos: 8 + 12 + 21 + 23 + 24 + 29 = 117 (1)Sea “n” el número de huevos que hay en la cesta que piensa vender. Al vender la cesta quedaría:

(117 - n) huevos

Se sabe que: “Si una cantidad es el cuádruple de otra, la suma de estas será 5 veces la menor”. Según esto podemos establecer que el número de huevos de paloma es:

117 - n = m5

De donde se infiere que n termina en 2 ó en 7 (3)

De (3) y (1) se deduce que: n = 12 huevos

RESPUESTA: “B”

Centro Preuniversitario UNSM-T Seminario de Aritmética

11. En una academia hay 690 alumnos, se observa que los 58

de las mujeres son menores de

17 años, los 311

de las mismas usan jeans y los 25

de ellas postulan a la UNI.

¿Cuántos hombres hay en la academia?A) 440 B) 250 C) 360 D) 300 E) 490

Solución:Por dato: H+M = 690…IAdemás, de las mujeres se sabe que:

Menores de 17 años: 58

(M) M= °8

Usan jeans:311

(M) M = °11

Postulan a la UNI: 25

(M) M = °5

Luego Mujeres = MCM (8, 11.5) = 440Mujeres = 440Hombres =690 - 440 = 250Hombres = 250

RESPUESTA: “B”

12. ¿Cuál es el residuo de dividir: 222…222 entre 9 50 cifras

A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 0

Solución:

2+2+2+2+… +2+2+2 = °9

2(50) = °9

100 = °9

100 = °9

+ 1

RESPUESTA: “B”

23


13. ¿Cuántos de los números de 3 cifras son divisibles por 2 y 3 a la vez, pero no por 5 A) 110 B) 115 C) 120 D) 124 E) 150

Solución:

N= ¿¿

abc= °30

=30K

100 < ¿¿

abc<1000

100 < 30k < 1000

3,3 < k < 33,3

K = 30 términos (múltiplos de 2, 3 y 5)

N= ¿¿

abc=°6=6 k

100 < ¿¿

abc<1000

100 < 6k < 1000

16,6 < k < 166,6 K = 150 términos (múltiplos de 2 y 3 a la vez)

Luego son divisibles por 2 y 3 a la vez, pero no por 5 = 150 – 30 = 120RESPUESTA: “C”

14. En una lancha hay 150 personas, ocurre un accidente y muere un grupo de ellas. De los

sobrevivientes los 29

son solteros y los 1314

son peruanos. ¿Cuántos murieron?

A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24

Solución: Sobrevivientes: N

N = 29

(solteros) N = °9

N = 1314

(peruanos) N = °14

N = MCM (9; ,14) = 126

N = 126 (los que viven)Mueren = 150 – 126 = 24Mueren = 24

24


RESPUESTA: “E”

25


15. ¿Cuántos números de la forma ¿¿

a (a+b )b son múltiplos de 8?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Solución:

a (a+b )b=°8

4 2 1

4a+2(a+b)+b= °8

32a+b = °8

2a + b = °8

1 6 2 4 3 2 4 0 7 2 8 0Luego existen 6 números

RESPUESTA: “B”

16. Cuántos números de la forma 1ab1ab son divisibles por 35?A)2 B) 5 C) 10 D) 15 E) 20

Solución:

Si N = 11Equation Section (Next)22Equation Section (Next) → N = y . Si N = → b = 0 ó 5 → 2 opciones

Si N = = → -2 – 3a –b +2 +3a +b = 0 =

Observamos que “a” puede tomar cualquier valor para ser múltiplo de 7, entonces utilizando la combinatoria:

26

1ab1ab 2 3 1 2 3 1

1ab1ab 0 0 1 5 2 ⋮ 9 10 x 2 = 20


17. ¿Cuántos números menores o iguales que 280 no son divisibles por 5 ni por 7?A)135 B) 192 C) 199 D) 200 E) 202

Solución:Utilizando una gráfica de conjuntos:

280 - (48 + 8 + 32) = 192

RESPUESTA: “B”

18. De los 490 estudiantes de 5° de secundaria de una institución educativa, los 5/8 de los varones postulará en diciembre a una carrera universitaria, los 2/5 postulará a una carrera técnica, los 3/7 esperará a marzo para postular. ¿Cuántos varones no postularán en marzo?

A)100 B) 170 C) 160 D) 280 E) 210

Solución:De los varones:

- Postularán en Dic. a la U.: 58 V → V = V = = = 280

- Postularán en Dic. a un I.S.:25 V → V = → No postularán en marzo:

- Postularán en Marzo: 37 V → V =

47 V =

47 . 280 = 160 varones

RESPUESTA: “C”

19. ¿Cuántos números de 3 cifras terminados en “3” son ?A)8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

27

RESPUESTA: “E”

U = 2802805

= 56 números

2807

= 40 números

28035

= 8 números

→ x = 280 - (56+32)

X = 192


Solución:

Si N = ab3 = → 11k = …3 → k = …3100 ≤ 11k < 1000 → 9,09 ≤ k < 90,9 → k : 13; 23; 33; 43; … ; 83 → # N = # k = 8

RESPUESTA: “A”

20. Hallar el residuo de dividir (7739)33 : 8.A)7 B) 6 C) 5 D) 3 E) 1

Solución:

(7739)33 : 8 = ( + 3)33 : 8 = ( + 333) : 8

333 = 332. 3 = (32)16. 3 = ( + 1)16. 3 = ( + 1)3 = + 3 → r = 3

RESPUESTA: “D”

PROBLEMAS SOBRE DIVISIBILIDAD

1.- Demostar que siendo “n” un entero cualquiera, la suma:

3.52n+1+23n+1 es divisible por 17.

A) m6 B) m7 C) m17 D)m25 E) m2

Solución:

Si demostramos que este número es múltiplo de 17, será divisible por 17.

Operando los exponentes:

N = 3 . 25n . 5 + 8n . 2 = 15(17 +8)n + 8n . 2 = 17(m17 + 8n) + 8n . 2 = m17 + 15 . 8n + 8n . 2 = m17 + 8n (15 + 2) = m17 + 8n . m17 = m17 Rpta. : C

2.- Hallar a y b si: 30ab60=m 99

A) b = 9 ; a = 0 B) b = 18 ; a = 9 C) b = 18 ; a = 0 D) b = 9 ; a = 3

28


E) b = 18 ; a = 3

Solución:m9

30ab60=m 99 m11

Aplicando divisibilidad entre 9:9 (1)

3 + 0 + a + b + 6 + 0 =m9 → a + b 18 (2)

Aplicando divisibilidad entre 11: 0 (3)

B – (6 + a + 3) = b – 9 – am11 (4)

Sólo (1) y (3) cumplen condiciones.

b = 9 ; a = 0

Rpta: A

3.- El número de niños que va a un nido es menor que 265 y mayor que 95. Si se observa que los 2/7 del total usan mandiles celestes y los 5/13 del total usan mandiles amarillos, ¿Cuál es la suma de las cifras del número que indica la cantidad de niños que no usan ni mandil celeste ni mandil amarillo?

A) 2 B) 7 C) 5 D)6 E) 8

Solución:

Sea “n” el número de niños:

95 < n < 265 (1)

(2/7)n = # entero → n = m7

Usan mandiles amarillos:

(5/13)n = # entero → n = m13

Entonces: n = m7.m13 = m91 = 91k

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Reemplazando en (1)

95 < 91k < 265; k Є Z+

(95/91) < k < (265/91)

1(4/91) < k < 2(83/91) → k = 2

Entonces: n = 91(2) = 182

Usan mandil celeste: (2/7)182 = 52Usan mandil amarillo: (5/13)182 = 70

No usan mandil amarillo ni celeste:

182 – (52 + 70) = 60

Luego: 6 + 0 = 6

4.- A un número de 4 dígitos, cuyas 3 últimas cifras son iguales se le ha restado otro, que se obtuvo al invertir el orden de las cifras del primero. Si la diferencia es múltiplo de 7, hallar la diferencia.

A) 8111 B) 1118 C) 6993 D) 9222E) 3993

Solución:

El número es la forma: ammmPor condición: ammm + mmma = 7̇Ahora calculando esta diferencia:1000a + 111m - 111m - a = 7̇999a - 999m = 7̇999 (a - m) = 7̇

→ a - m = 7̇ 8 1 (1) ó 9 7 (2)

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De (1) : 8111 - 1118 = 6993De (2) : 9222 - 2229 = 6993

Luego la diferencia es: 6993 Rpta: C

5.- Un vendedor tiene 6 cestas que contienen huevos. En algunas cestas hay huevos de gallina y en las otras de paloma. El número de huevos de cada cesta es 8, 12, 21, 23, 24 y 29. El vendedor dice: “Si vendo esta cesta, me quedaría el cuádruple de huevos de gallina de paloma”. ¿A qué cesta se refiere el vendedor?

A) 8 B) 12 C) 21 D) 23 E) 24

Solución:

Cantidad total de huevos: 8 + 12 + 21 + 23 + 24 + 29 = 117 (1)Sea “n” el número de huevos que hay en la cesta que piensa vender. Al vender la cesta quedaría:

(117 - n) huevos

Se sabe que: “Si una cantidad es el cuádruple de otra, la suma de estas será 5 veces la menor”. Según esto podemos establecer que el número de huevos de paloma es:

117 - n = m5

De donde se infiere que n termina en 2 ó en 7 (3)

De (3) y (1) se deduce que: n = 12 huevos

Rpta: B

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