Aritmetica I

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matemática

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MCD Y MCM

RAZN

Es la comparacin de 2 cantidades mediante una operacin aritmtica (sustraccin-divisin)). Si es por sustraccin se denomina razn aritmtica, si es por divisin se denomina razn geomtrica.

Ejemplo:

Pepe pesa 60kg y su hermano pesa 15kg, comparar los pesos.

R. Aritmtica (Por sustraccin)

60 kg - 15 kg = 45 kg

R. Geomtrica (Por divisin)

En general:

Se dan 2 cantidades a y b cualesquiera

RAZN

AritmticaGeomtrica

a b = r

Donde:

a: antecedente

b: consecuente

r: razn aritmtica

k: razn geomtrica

PROPORCIN

Es la igualdad de 2 razones. Si ambas son aritmticas se denomina proporcin aritmtica; pero si ambas son geomtricas se denomina proporcin geomtrica.

PROPORCIN

AritmticaGeomtrica

a b = c - d

Adems:

a + d = b + c

Adems:

a.d =b.c

Donde:

a y d: Trminos extremos

b y c: Trminos medios

TIPOS DE PROPORCIONES

1. Discreta: Es cuando los medios son diferentes.

2. Continua: Es cuando los medios son iguales.

PROPORCIN ARITMTICA

DiscretaContinua

a b = c d

d: cuarta diferencial de a; b y ca b = b c

b: media diferencial de a y c.

c: tercera diferencial de a y b.

PROPORCIN GEOMTRICA

DiscretaContinua

d: cuarta proporcional de a; b y c

b: media proporcional de a y c

c: tercera proporcional de a y b

SERIE DE RAZONES GEOMTRICAS EQUIVALENTES: (SRGE)

Son 3 mas razones geomtricas que poseen el mismo valor.

Ejemplo:

como tiene igual valor:

Se cumple:

I. 24 = 6 x 4

20 = 5 x 4

12 = 3 x 4

II.

III.

IV.

3 En general: Sea la SRGE

Donde:

a1, a2, a3.......... an: Antecedentes

b1, b2, b3 ......... bn: Consecuentes

k: Constancia de proporcionalidad

Adems:

a1 = b1k

a2 = b2k

a3 = b3k

. .

. .

. .

an = ank

En el cual se cumple las siguientes propiedades:

I.

II.

Donde: n es el nmero de razones que se multiplican.

PROPIEDADES

Si:

I.

II.

III.

Nota:

1.Si no se indica al tipo de razn (proporcin) se asume que es geomtrica.

2.

Se lee:

- a es a b como 5 es a 3.

- a y b estn en la misma razn que 5 y 3

- a y b estn en la misma relacin que 5 y 3

EJERCICIOS

01. Dos nmeros son entre si como 5 es a 12 y su diferencia es 420. Hallar el nmero mayor.

A) 220 B) 204 C) 720

D) 200

E) 280

02. En una reunin la cantidad de varones y mujeres son entre s como 5 es a 7 respectivamente, luego de 2 horas se retiran 4 parejas y 4 mujeres, con lo cual ahora la relacin es de 4 a 5. Determinar la cantidad inicial de mujeres.A) 35

B) 56 C) 28 D) 21

E) 49

03. Las edades actuales de Magali y Rita estn en la relacin de 7 a 10; dentro de 16 aos estarn en la relacin de 5 a 6. Halle la edad de Rita.A) 20 B)28 C)25 D) 24

E)26

04. Un cilindro de 60 litros de capacidad, fue llenado completamente por 4 recipientes donde el volumen del primero es al segundo como el tercero es al cuarto como 2 es a 1. Hallar la suma de los volmenes del segundo y cuarto recipiente.A)20l. B)40l. C)30l.D)15l. E)25l.

05. Si la razn geomtrica entre A y B es 5/3 y entre B y C es 6/7 entonces la razn geomtrica entre A+B+C y A+C es:

A) 5/7

B) 3/7 C) 23/17D) 11/10

E) 15/8

06. En una carrera de 100 metros Carlos le da una ventaja de 10m a Jaime; y Jaime le da una ventaja de 20m a Daniel y finalmente Daniel recibe de Roberto una ventaja de 25m. Cuntos metros de ventaja le da Juan a Roberto en una carrera de 100m si compiten solos? (Todos compiten en pareja).

A) 5m

B) 4m C) 3mD) 2m

E) 1m

07. En una caja de tizas blancas, rojas y azules se observa que: por cada 4 blancas hay 5 rojas y por cada 7 rojas hay 11 azules. Si la cantidad de azules excede a las rojas en 140; en cunto excede el nmero de tizas azules al nmero de tizas blancas?

A) 210

B) 189 C) 70D) 147

E) 175

08. 15 es la media proporcional de m y 25; 2m es la tercera proporcional de 8 y n. Cul es la cuarta proporcional de m; n y 15?

A)15 B)20 C)16 D)18 E)24

09. Hallar (x+y+z), sabiendo que x es la media diferencial de 8 y 32; y es la tercera diferencial de 32 y x; z es la cuarta diferencial de x, y y 6.

A)22

B)20 C)24D)26

E)28

010. Determinar la media proporcional de una proporcin geomtrica, sabiendo que la suma de los trminos extremos es 130 y su diferencia 120. Sealar la cifra mayor de dicha media proporcional.A)2 B)3 C)4D)5

E)6

011. Si y a + b + c + d = 130

Hallar d.A) 70

B) 56 C) 66

D) 55

E) 44

012. Si: y (a-m)(b-n)(c-p)=343,Halle:

A) 6

B) 7 C) 8

D) 9

E) 10

TAREA 1. La relacin de las temperaturas de dos ciudades es de 3 a 5. Si la mayor temperatura es de 25 C, determine la menor temperatura.

A) 8 C

B) 10 C C) 12 C D) 14 C

E) 15 C 2. La razn aritmtica de 2 nmeros es 244 y la razn geomtrica es 7/3. Cul es el mayor de los nmeros?

A) 150

B) 200

C) 740 D) 800

E) 427 3. La suma de 3 nmeros es 14 250. El primero es al segundo como 11 es a 3 y su diferencia 600. Hallar el tercero.

A) 13 245

B) 12 550 C) 10 000

D) 13 200

E) 15 2004. En una caja se tienen 15 bolas blancas y 16 bolas rojas. Cuntas bolas blancas se deben aumentar para que la relacin entre bolas blancas y rojas sea de 5 a 2?

A) 18

B) 21

C) 30

D) 25

E) 20

5. En una serie de razones iguales, los antecedentes son 3; 5; 7 y 8, y el producto de los consecuentes es 13 440. luego, la suma de los consecuentes es:

A) 82

B)38

C)46D) 86

E)94

Es todo aquello susceptible a ser medido, aumentando o disminuyendo sus valores.

CANTIDAD

Es la medida de un caso particular de la magnitud.

Ejemplo:

RELACIONES ENTRE MAGNITUDES

I.Magnitudes Directamente Proporcionales (DP )

Se dice que 2 magnitudes son D.P. cuando el cociente de sus valores correspondientes es constante.

Se observa que al aumentar (o disminuir) una de ellas la otra tambin aumenta (o disminuye) respectivamente.

Ejemplos:

Se observa que:

Grficamente

La grfica de 2 magnitudes D.P. resultan ser puntos sobre una lnea recta.

En general:

II.Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP)

Se dice que 2 magnitudes son IP cuando el producto de sus valores correspondientes es constante.

Se observa que al aumentar (o disminuir) una de ellas la otra disminuye ( o aumenta) respectivamente.

Ejemplo:

Se observa que:

5 x 60 = 10 x 30 = 15 x 20 = 50 x 6 = 300

Grficamente:

La grfica de 2 magnitudes IP resultan puntos sobre un hiprbola equiltera.

En general:

A IP B => (Valor de A) (Valor de B) = K

PROPIEDADES

I.A DP B => B DP A

A IP B) => B IP A

II:A IP B => A DP (1/B)

III.A DP B

A DP C => A DP BCD

A DP D

IV.A DP B => An DP Bn

A IP B => An IP Bn

REPARTO PROPORCIONAL

REPARTO: Estudia la forma de repartir una cantidad en forma directamente proporcional o inversamente proporcional a ciertos valores que se llaman ndices de proporcionalidad.

CLASES DE REPARTO

- Directo

Simple

- Inverso

Compuesto

1. REPARTO SIMPLE: El reparto es simple porque intervienen 2 magnitudes.

a. Reparto Simple Directo: Se hace de tal manera que las partes resultantes sean D.P. a los ndices de proporcionalidad.

Para efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente:

1. Se suman los ndices.

2. Se divide la cantidad dada entre dicha suma siendo el cociente la constante de proporcionalidad (k).

3. Las partes se obtienen multiplicando cada ndice por la constante.

Ejemplo:

Repartir 750 en forma D.P. a 6, 7 y 12.

Paso 1:

D.P.

6

750 7

12

......

25

Paso 2:

Paso 3:

Atencin!: Si a todos los ndices de proporcionalidad se les multiplica o divide por un mismo nmero entonces el reparto no se altera.

b. Reparto Simple Inverso: Se hace en forma I.P. a los ndices, para ello se invierten los ndices y luego se efectan en reparto directo, como ya se conoce:

Ejemplo:

Repartir 594 en forma I.P. a 2, 3, 6 y 10.

Paso 1:

I.P. D.P.

2. REPARTO COMPUESTO: En este caso se trata de repartir una cantidad en forma D.P. a ciertos nmeros y a la vez en forma I.P. a otros.

Se procede de la siguiente manera:

1. Se convierte la relacin I.P. a D.P. (invirtiendo los ndices).

2. Se multiplican los ndices de las dos relaciones D.P.

3. Se efecta un reparto simple directo con los nuevos ndices.

Ejemplo: Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en f