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LA ARITMÉTICA GENERALIZADA Angie Murillo
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LA ARITMÉTICA
GENERALIZADAAngie Murillo
La definición de Gauss, Kummer y Dedekind de los
enteros algebráicos.
La restricción del teorema fundamental de la aritmética
a los campos de números de números algebraicos
debida a la introducción de os ideales por Dedekind.
La obra definitiva de Galois sobre la solución de
ecuaciones algebraicas por medio de la teoría de los
campos que siguieron.
La aplicación parcial de los conceptos aritméticos a
ciertas álgebras
La teoría de la conducción del calor de
Fourier (1822) reveló tantas sutilezas
imprevistas en los conceptos de límite y
de continuidad que hizo revisar las ideas
básicas del cálculo.
Durante el resto del siglo XIX muchos se
dedicaron a trabajar en esto. Poco a
poco se fue percibiendo que los
cardinales y los ordinales
1,2,3..necesitaban aclaración.
Después de 25 años de lucha para
comprender el número se acabó por donde
Pitágoras había iniciado sus trabajos.
Pitágoras confiaba en que
1,2,3…”explicaran” el universo incluyendo las
matemáticas; y el espiritu que animaba su
“explicación”era el razonamiento
estrictamente deductivo.
La divisibilidad generalizada
Recordemos que Euclides en el siglo IV
a.c,demostró uno de los teoremas
fundamentales relativos a los números
primos racionales positivos :
Si un numero P divide al producto de dos
enteros racionales positivos necesariamente
ha de ser divisor de uno de ellos.
El hacer definiciones es completamente
inutil a menos que se tenga a la vista un
objetivo concreto.. En este caso el teorema
fundamental de la aritmetica : los “enteros”
definidos se han de poder descomponer en
potencias de distintos numeros “primos” de
un solo modo , a parte de los factores
“unitarios” y de las permutaciones entre
otros factores.
En el teorema de la aritmética racional “ si a
divide a b,b no divide a a menos que a y b
sean unidades” a,y b(b≠a) y las relaciones
de división son todas interpretaciones
determinadas en la generalización que se
diferencian de las de la aritmética racional.
Pero esas afirmaciones son tales que la
afirmación “ si a,etc” sigue siendo cierta
para nuevas interpretaciones.
La ampliación de la aritmética racional a una
aritmética de los números algebraicos ,y
considerablemente después ,a una
aritmetización parcial del algebra lineal, tuvo
dos orígenes distintos:
La demostración de Gauss en 1828-32,o antes
de la ley de la reciprocidad cuadrática la
tentativa que hizo Kummer en 1840-50 para
probar el ultimo teorema de Fermat.
Si hay un entero racional tal que cuando n,py
q, sean numeros enteros positivos dados
(x^n)-q es divisible(sin residuo)por p,se dice
que q es un residuo n-simo de p.
Enunciandolo al modo de las congruencias
de Gauss
