SISTEMA HELICOIDALPASCUAL SACO OLIVEROSCAPTULO0 7OBJETIVOS Conocer las operaciones fundamentales de multiplicacin. Conocer las operaciones fundamentales de divisin. Aprender la aplicacin de las propiedades. Identificar y resolver los problemas sobre multiplicacin y divisin.MOTIVACIN:Una curiosidad es la divisin con uno de los trminos negativos, es decir:100 3133entonces 100 = (3) (33) + 1Cmo ser el resultado por defecto y exceso?1 2(33)(3) 100 (34)(3)res. defecto res. excesoMULTIPLICACIN Y DIVISINI. MULTIPLICACINEsta se origina de una suma abreviada:MMMM Pm ve ce sLuego: M m = Pdonde: M : multiplicando m : multiplicadorP : productoEntonces se puede afirmar que es aquella operacin en la cual dada dos cantidades multiplicando y multiplicador, se determina una tercera llamada producto. Particularidades:(# impar) (# impar) = (# impar) (# entero) (# par) = (# par)(# impar) (....5) = ....5(# par) (....5) = ....0Producto de dos nmeros consecutivos: 0n(n+1) 26II. DIVISINCompendio de Ciencias III-DAritmticaEs aquella operacin inversa a la multiplicacin, la cual tiene por objeto dadas dos cantidades: Dividendo(D) y divisor (d) se determina una terceraCompendio de Ciencias III-DAritmticaCompendio de Ciencias III-DAritmticallamado cociente (q) y algunos casos un cuarto Ddtrmino llamado residuo (r), algoritmo general deuna divisin entera: re (q+ 1)495 49= 5(9+ 1) 1D den to n ce s : D= d q+ rrqd o nd e : 0 < r < d 1 (9+ 1)donde: 1= resid uo por excesoA. Clases de divisin:1. Divisin entera exactaD d0 qento nces :D= dq D d(q 1) rePropiedades:Suma de residuos:* rd + re = d y 0 re < d2. Divisin entera inexacta * Restos mximo y mnimo:Considerando divisores positivos.a. Por defecto: (rd ; re) min = 1(rd ; re) mx = d1D d* Es una div i s i n ent era s ird q multiplicramos el dividendo y el divisor por un nmero entero,495 49= 5 9+ 4 entonces el residuo tambin494= resid uo por defecto queda m ultiplicado po r eldonde: D dq rd y 0 rd < d mismo nmero entero, sin alterar al cociente.Sabemos: D d q rb. Por exceso: Donde: D n (d n)q r nProblema desarrollado1. Demostrar que en una divisin inexacta se cumple que la suma del residuo por defecto y por exceso es igual al divisor y siempre mayor que cero.De las ecuaciones fundamentales de la divisin inexacta por defecto y por exceso se cumple:D d q r ... (I)Pero : D= d qe re ... (II)qe q 1 ... (III)Reemplazando tenemos: (III) en (II)D d q 1 re ... (IV) Igualando (IV) y (I)Tenemos:dq r d q 1 redq r dq d rer re dSISTEMA HELICOIDALPASCUAL SACO OLIVEROSProblema para desarrollar:2. Demostrar que en toda divisin inexacta el residuo es menor que el divisor y siempre mayor que cero.Resolucin:1. Si: 19 N ...541 y 13 N ...107.Hallar la suma de las 3 ltimas cifras de multiplicarN por 42. 5. Si se cumple que:Hallar (2x + 3y) xy 9 x 0 yRpta.: ..............................................................2. Hallar un nmero que al ser agregado en 2 ceros a su derecha, dicho nmero aumenta en 32175 unidades.Rpta.: .............................................................. Rpta.: ..............................................................6. Hallar un nmero de 4 cifras tal que multplicado por 29 da un producto que termina en 1573, dar como respuesta la suma de sus cifras.Rpta.: ..............................................................7. Si a abc 1916; abc b 3353 y c abc 43113. Calcular un nmero que al ser aadido en un cero a su derecha, dicho nmero aumenta en 3789 unidades.Rpta.: ..............................................................4. Hallar la suma de las cifras del resultado de:999 ...9 766 cifrasRpta.: .............................................................. Hallar abc 2Rpta.: ..............................................................8. Determinar la suma de todas las cifras de un nmero que al ser multiplicado por 4 se obtiene por resultado el mismo nmero pero con las cifras invertidas.Rpta.: ..............................................................9. Al efectuar la divisin de 2 nmeros por defecto y por exceso se obtuvo como residuos 31 y 21 respectivamente. Si la suma del dividendo, divisor y cociente es 984. Hallar el dividendo.Rpta.: ..............................................................10. Si se divide el nmero 209 entre determinado nmero; el cociente es igual a este mismo nmero cuando el residuo por defecto es el mximo posible. Calcule la suma de todos los elementos de dicha divisin inexacta.Rpta.: ..............................................................11. La diferencia entre 2 nmeros es 164 y la divisin entre ellos provoca 7 de cociente y 2 de residuo. Calcular la suma de dichos nmeros.Rpta.: ..............................................................12. Hallar el mayor nmero entero positivo tal que al dividirlo entre 137, se obtiene por residuo un nm ero que es el cudruple del co ciente respectivo.Rpta.: ..............................................................13. La diferencia de 2 nmeros es 64 y la divisin entre ellos es 3 y dejando un residuo de 18. Calcular el producto de ambos nmeros.Rpta.: ..............................................................14. La suma de 2 nmeros es 611, su cociente es 32 y el residuo de su divisin el ms grande posible. Cul es la diferencia entre estos dos nmeros?Rpta.: .............................................................. 15. En una divisin, el cociente es 8 y el residuo 20.Sumando el dividendo, el divisor, el cociente y el residuo se obtiene un total de 336. Hallar el dividendo.Rpta.: ..............................................................16. Cuntos nmeros enteros positivos al ser divididos entre 70 dejan un residuo el cual es el triple del cociente respectivo?Rpta.: ..............................................................17. Al realizar una divisin sabemos que al residuo le faltan 8 unidades para ser mximo y le sobran 3 unidades para ser mnimo. Adems el cociente es el doble del residuo. Hallar el dividendo.Rpta.: ..............................................................18. Hallar un nmero de 3 cifras tal que dividido entre su complemento aritmtico da 75 de cociente siendo su residuo el mximo posible. Dar por respuesta la suma de las cifras de dicho nmero.Rpta.: ..............................................................19. En una divisin donde el dividendo es 1081 el cociente y el residuo son iguales y el divisor es el doble del cociente. Cul es el divisor?Rpta.: ..............................................................20. La suma de 3 nmeros es 24 y el cociente de 2 de ellos es 3 y la suma de estos dividido entre el tercero es igual a 5. Hallar el tercer nmero.Rpta.: ..............................................................1. H a l la r e l p ro d u c t o to t a l d e l a s i g u ie n t emultiplicacin sabiendo que la diferencia de sus productos parciales es 45.a 2 a 3 a a 1A) 1308 B) 1435C) 1035 D) 3466E) 16722. Sabiendo que: 4. En una divisin inexacta, la suma de los 4trminos es 423. Si se multiplica el dividendo y el divisor por 3 la nueva suma es 1225.Halle el divisor.A) 11 B) 13C) 15 D) 17E) 229 nn 2n es igual al producto de 4 nmeros 5. Determinar un nmero N si es el mayor posibleconsecutivos. Hallar n.A) 1 B) 2C) 3 D) 4E) 53. El cociente de dividir el producto de 3 nmeros consecutivos entre la suma de estos es 16 Cul es el nmero intermedio?A) 6 B) 9C) 7 D) 10E) 8 adems al dividirlo entre 50 se obtiene por residuo el triple del cociente respectivo.A) 1079 B) 913C) 750 D) 848E) 890PASCUAL SACO OLIVEROSSISTEMA HELICOIDALCAPTULO0 8OBJETIVOS Repasar las propiedades y fundamentos aprendidas en adicin y sustraccin. Repasar las propiedades y fundamentos aprendidas en multiplicacin y divisin.INTRODUCCIN:Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solucin de todo problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantee puede ser modesto; pero, si pone aprueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por sus propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. (...)Cmo plantear y resolver problemas Pg 5G. PolyaCompendio de Ciencias III-DAritmticaProblema desarrollado1. Demostrar que la suma de los "n" primeros nmeros naturales es n(n + 1)/2.Desarrollo:Se sabe que en una progresin aritmtica:Suma de trminos = (Primer trmino + ltimo trmino) (Nmero de trminos) / 2.Los "n" primeros nmeros naturales forman una progresin aritmtica de razn 1, donde el primer trmino es 1 el ltimo es n. Por lo tanto;Suma: n(n + 1) / 2 Problema para desarrollar2. Demostar que la suma de los "n" primeros nmeros impares es igual a n 2 .Compendio de Ciencias III-DAritmticaCompendio de Ciencias III-DAritmtica1. Si a la cantidad que tienes le multiplicas por 6 y luegola divides por 10, el cociente lo multiplicas por 3, luego aades 36 finalmente obtendrs 180. Cul era tu cantidad inicial?Rpta.: ..............................................................2. A la cantidad de soles que tengo le aado 5; al resultado lo multiplico por 3 y le aumento 4; al nmero as obtenido le extraigo la raz cuadrada, al resultado le sumo 3, para finalmente dividirlo entre2 y obtener 5 soles. Cunto tena inicialmente? Rpta.: ..............................................................3. Si a la cantidad que tengo lo multiplico por 8, lo divido luego por 10; al cociente lo multiplico por 3 aado 36, entonces tendr 180 soles. Cunto tena inicialmente?Rpta.: ..............................................................4. En un lejano pas existe una imagen milagrosa que duplica el dinero que los devotos le presentan a condicin de dejar 80 monedas por cada milagro; un devoto despus de 3 milagros se qued sin nada.Cunto tena al inicio?Rpta.: ..............................................................5. Se tiene 48 fsforos repartidos en tres grupos diferentes. Si del 1er grupo paso al 2do. tantos fsforos como hay en ste; luego del segundo pas al 3ro. tantos fsforos hay en el 3ro, y por ltimo del3ro. pas al 1ro. resulta que habr el mismo nmero de fsforos en cada grupo. Cuntos fsforos haba al principio en cada grupo?Rpta.: ..............................................................6. Si pago S/. 7000 a cada uno de mis empleados me faltan S/. 4000 pero si les pago S/. 5500, me sobran S/. 56000. Cuntos empleados tengo?Rpta.: .............................................................. 7. Si compro 7 cuadernos me sobraran S/. 5; pero sicompro 10 cuadernos me faltaran S/. 40. De cunto dinero dispongo?Rpta.: ..............................................................8. Para ganar S/.600 en la rifa de un reloj se imprimieron170 boletos, vendindose nicamente 120 boletos, perdindose S/.900. Cunto cuesta el reloj?Rpta.: ..............................................................9. En una granja donde existen conejos y gallinas se cuentan 60 cabezas y 150 patas. Cuntos conejos y cuntas gallinas hay?Rpta.: ..............................................................10. Se desea pagar una deuda de S/. 147 con 39 monedas de S/. 5 y S/. 2 Cuntas monedas de S/. 5 y cuntas de S/. 2 se tendr?Rpta.: ..............................................................11. Un postulante en un examen de 25 preguntas obtiene4 puntos por respuesta correcta y perder un punto por respuesta errada. Cuntas respuestas erradas tuvo, si contestando todas las preguntas obtuvo 70 puntos?Rpta.: ..............................................................12. Un litro de leche pesa 1,03 kg. Un lechero entrega55 litros de leche con peso de 56,5 kg. Le agreg agua en la leche? si la respuesta es positiva En qu volumen (1 litro de agua pesa 1 Kg.)Rpta.: ..............................................................13. Sabiendo que 6 varas de pao cuestan lo mismo que 5 metros de cuero y que 2 metros de cuero cuestan S/. 4 Cunto costarn 12 varas de pao?Rpta.: ..............................................................14. Cunto costarn 6 metros de casimir, sabiendo que4 metros de ste cuestan lo mismo que 25 metros de lana y que 10 metros de lana cuestan S/. 6?Rpta.: ..............................................................15. Un herrero toma una aprendiz y adems de mantenerlo, promete darle 2 aos de trabajo S/. 74 y un pantaln, al cabo de 1 ao y 4 meses lo despide dndole S/. 42 y el pantaln. Cunto vale el pantaln?Rpta.: ..............................................................16. Por 90 das de trabajo, un patrn promete a un obrero S/. 120 y un traje. Al cabo de 60 das el patrn despide al obrero y le da S/. 120, en el traje. Cunto vale el traje?Rpta.: ..............................................................17. En un zoolgico hay leones y gorriones. Si en total hay 20 cabezas y 62 patas. Cuntos leones hay?Rpta.: ..............................................................1. Se quiere cubrir una superficie de losetas y se observa que si se quiere formar un cuadrado faltan 8 losetas, pero si a este cuadrado se agrega una loseta por lado, faltan 23. Cuntas losetas tienen?A) 25 B) 23 C) 24D) 41 E) 502. Cuatro jugadores A, B, C y D convienen que en cada partida, el que pierde duplicar el dinero que le queda a cada uno de los otros tres. Cada uno pierde una partida en el orden indicado por sus letras.Cunto tena cada uno al iniciar el juego si al final cada uno tena S/. 32?A) 15; 35; 40; 32 B) 18; 42; 33; 22C) 70; 28; 12; 6 D) 66; 34; 18; 10E) 10; 28; 8; 703. Se contrat a un profesor por un ao y al final del cual se tena que abonar S/. 24 000 y un reloj. Al cabo de 5 meses fue despedido recibiendo slo S/. 3 700 y el reloj. Cunto vale el reloj? 18. Con tres desarmadores se obtiene un alicate, con tres alicates un martillo. Cuntos martillos se obtendrn con 117 desarmadores?Rpta.: ..............................................................19. En un examen por cada respuesta bien contestada, ganan un punto y por cada respuesta incorrecta pierde un punto. Si la nota de un alumno en 20 preguntas fue de 10. Cuntas preguntas contest mal?Rpta.: ..............................................................20. Un estudiante escribe en su cuaderno cada da la mitad de hojas en blanco que posee ese da ms 5 hojas, si al cabo de 4 das ha gastado todas las hojas.Cuntas hojas tena el cuaderno?Rpta.: ..............................................................4. Un frutero deba vender 300 naranjas a razn de 5 por un sol y otras 300 naranjas a razn de 3 por un sol; las vendi todas a razn de 4 por un sol. Gan o perdi? y Cunto?A) No gana ni pierde B) Gana 30C) Pierde 30 D) Gana 10E) Pierde 105. Se contrata un obrero por 63 das con la condicin de que se abonar 40 por cada da de trabajo y que l entregar 50 por cada da que deje de trabajar. Si debe recibir 1440 soles. Cuntos das tendr que trabajar?A) 50 B) 51 C) 53D) 40 E) 55A) 11 000B) 5 300C) 10 800D) 12 500E) 15 000SISTEMA HELICOIDALPASCUAL SACO OLIVEROSCAPTULO0 9OBJETIVOS Realizar operaciones en forma rpida y sencilla con los mltiplos de un mismo mdulo. Poder determinar el residuo de una operacin sin efectuar la operacin. Encontrar los mltiplos de un nmero.INTRODUCCIN:Para los aparatos contadores la serie de los nmeros se cierra en un cierto punto sobre si misma y vuelve a empezar, cuando el dispositivo llega a la mxima capacidad vuelve al 0, si la manecilla del reloj seala las 3 pueden tambin ser las 15; y volver a las 3 despus de 27 horas o 39, los nmeros 3; 15; 27; 39 divididos por 12 dan todos el mismo resto: 3, se llaman mdulos congruentes entre s de mdulo 12.DIVISIBILIDADI. MULTIPLICIDAD Y DIVISIBILIDAD DENMEROS ENTEROSa. Divisibilidad de Nmeros:Un nmero entero positivo es divisible entre otro positivo (mdulo) cuando al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo es cero.20 50 4Donde:20 es nmero entero.5 es nmero entero positivo (mdulo).4 nmero entero. Donde:30 es nmero entero.6 es nmero entero positivo (mdulo).5 es nmero entero. Entonces:30 es mltiplo de 6.6 es submltiplo de 30.6 es factor a 30.II. MUTACIN Y REPRESENTACIN DE LOS MLTIPLOS DE UN NMEROa. Si A es mltiplo de n.Entonces:20 es divisible entre 5.5 es divisor de 20. Donde: A m n A no A n5 divide a 20.b. Multiplicidad de NmerosUn nmero entero es mltiplo de otro positivo Ejm: m n n n n k , n y k 7 7 k Si k ... 1;0;1; 2; 3...(mdulo) cuando es el resultado de multiplicar dicho nmero entero positivo por uno entero cualquiera. e s ... 7; 0;7;14; 21; 28...7Compendio de Ciencias III-DAritmtica30 = 65 b. Si A no es mltiplo de n o no es divisible por n.Compendio de Ciencias III-DAritmticaCompendio de Ciencias III-DAritmticadsabemos: A=nk+r (por defecto) f. Si:N Donde: A=n(k+1)re (por exceso) a r ob o M C M(a, b, c) rSi: A n rd n re c r rd re n (mdulo) g. Si: n r1 n r2 n r3 ... n rk Ejemplo: Entonces: n r r r ... r7 3 7 413 7 1 3 630 18 30 1 2 obs. 3+4 = 7 obs.7+6 = 13 obs. 18+12 = 30 123kh. Teorema de Arqumedes Euclides:En el producto de dos factores igual a cierto mdulo, uno de los factores necesariamente es mltiplo del mdulo.Ejemplo:III. PR O PIE DADE SYPR IN C IPI O SFUNDAMENTALESa. La suma de varios mdulos iguales seguir siendo mltiplo del mismo mdulo: 3 A 713B 15 A 7 B 15n n n ... n n 4(A 1) 9 A 9 1b. La resta de dos mdulos iguales seguir siendo mltiplo del mismo mdulo: 12(B 2) 17 B 17 2n n nc. Si: n k nd. Si k n n Obs : k e. Todo entero es mltiplo de los factores positivos que lo forman o de las combinaciones de estos factores. 2 63 180 4 ....120 205 Compendio de Ciencias III-D Aritmtica1. Calcule la suma de los 12 primeros nmerosenteros positivos mltiplos de 15.Rpta.: .............................................................2. Considerando los nmeros enteros desde 1 hasta el 250 Cuntos son mltiplos de 7 de 12?Rpta.: .............................................................3. Calcule cuntos nmeros enteros de tres cifras son mltiplos de 18.Rpta.: .............................................................4. Desde el nmero 1 hasta el nmero 400 Cuntos son mltiplos de 5 y de 8?Rpta.: ............................................................. 8. Carlos al contar todos sus libros de 7 en 7 le sobra 3,al contarlos de 5 en 5 le sobra 1, y al contarlos de 5en 5 le sobra 1, y al contarlos de 9 en 9 le sobra 5.Cuntos libros tiene carlos, si son ms de 800 y menos de 1000?Rpta.: .............................................................9. Calcule la cantidad de nmeros de 4 cifras que son mltiplos de 13 y cuya representacin literal termina en 4.Rpta.: .............................................................10. Cuntos nmeros de 3 cifras son mltiplos de 8y de 6 pero no de 5?Rpta.: ............................................................. o o o o o o 11. Si ab 7 3; cd 7 2 . Calcular el residuo que5. Si: N 7 2 7 4 7 3 7 4 Indique el residuo que se obtiene al dividir N entre7. se obtiene al dividir: abcd entre 7.Rpta.: .............................................................Rpta.: ............................................................. 12. Si H 1H es un nmero entero positivo.6. Siendo A, B y C nmeros enteros positivos determine que proposiciones son falsas.oo o Calcule: H 2 10 H 120 H 3 11 H 3 15Rpta.: .............................................................I. A B 8 B 8 A 813. Si para un nmero P se cumple:oooII. A 7 1; C= 7 1 A C 7 1 oP 7 3ooo o A 8; B 6; C 9 B 2 C 3 ARpta.: .............................................................o7. Cuntos nmeros de 4 cifras son 7 y terminanen cifra 3?Rpta.: ............................................................. P 4 1oP 3Calcular el mayor valor de P si este no llega a tener 4 cifras.Rpta.: .............................................................Compendio de Ciencias III-DAritmticaCompendio de Ciencias III-DAritmticaPASCUAL SACO OLIVEROSPASCUAL SACO OLIVEROS14. Un nmero de la forma: ababab no siempre es divisible por:Rpta.: .............................................................15. Considerando la siguiente sucesin numrica:3, 7, 11, 15, .... , 207Calcule cuntos nmeros son mltiplos de: Rpta.: .............................................................16. Cuntos nmeros de la siguiente sucesin son mltiplos de 5 pero no de 10.4, 7, 10, 13, ..., 241Rpta.: ............................................................. 18. En una reunin se observa que 1/8 de los hombres son casados y 1/11 de las mujeres tienen zapatos rojos, si en total estn reunidos 124 personasCuntas son las mujeres?Rpta.: .............................................................19. En una empresa el nmero total de empleados es188; si de las mujeres se sabe que 3/7 son casados y de los hombres 5/8 son solteros. Calcule el nmero de mujeres solteras si adems se sabe que30 mujeres y 50 hombres estn en planilla.Rpta.: .............................................................20. Durante la celebracin del "Da de la Madre" se observ que haban asistido un total de 150 madres de las cuales unas tenan cabello largo y17. Si A 2 2 14 2 16 2 18 2 1...34 2 1 otras cabello corto; de las que tenan cabello largo se observ que, los 387 tenan ojos pardos y 2/5Calcular el residuo que se obtiene al dividir A entre 4.Rpta.: ............................................................. de las que tenan el cabello corto, usaban vestidos claros. Cuntas madres tenan el cabello largo? (Nro de madres de cabello largo es menor al nmero de madres de cabello corto)Rpta.: .............................................................1. Calcule la suma de los 16 primeros nmeros enterospositivos mltiplos de 12.A) 1596B) 1608C) 1620D) 1632E) 16442. Considerando los 129 primeros nmeros enteros positivos, determine:I. Cuntos son mltiplos de 5.II. Cuntos no son mltiplos de 4.D como respuesta la suma de ambos resultados. A) 120 B) 121 C) 122D) 123 E) 1243. Si consideramos todos los nmeros enteros positivos de 3 cifras, calcule cuntos de estos son mltiplos de 15. 4. Si: oA 7 2oB 7 5oC 7 1Calcular el residuo que se obtiene al dividir: A B Centre 7.A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 65. Un comerciante de pantalones observa que si los cuenta de 10 en 10 sobra 3 pero si los cuenta de 12 en 12 faltaran 9 para completar otra docena. Si la mercadera que tiene es ms de 350 pero menos deA) 351B) 363C) 372D) 375E) 381400. Cuntos pantalones tiene para vender?A) 40B) 50C) 60D) 70E) 80