ARITMETICA 5

SISTEMA HELICOIDAL

PASCUAL SACO OLIVEROS

CAPTULO1 3

OBJETIVOS

Al terminar el presente captulo el alumno debe contar con la capacidad de: Deducir y aplicar las propiedades de los nmeros primos. Aplicar a ejemplos concretos las propiedades que sean necesarias de los nmeros primos.

INTRODUCCIN:

Dos buenos amigos se encuentran despus de muchos aos sin verse. Se abrazan; y se preguntan por las familias.El mayor le dice al otro: Me cas y tengo tres hijas. Y qu edades tienen?, pregunta el otro, y contesta el primero: La edades de mis hijas suman el nmero de la casa de enfrente, que estamos viendo. Y el producto de las edades es 36.Despus de pensar un poco el otro replica: falta un dato. !Ah si tienes razn, dice el padre, y aade: La mayor de mis hijas toca el piano.El otro sonri con la salida. Y preguntamos Qu edades tenan?.Bueno: Descompongamos el 36, nico dato claro; 36 = 22 . 32; su cantidad de divisores es: (2+1)(2+1)=9Luego:

Divis oresde 3 6 Producto de lostres divisores que dan 3 6 Suma de esostres divisores

1

1 . 1 . 36

1+ 1+ 36 = 382

1 . 2 . 18

1+ 2+ 18 = 21

322 = 42 . 3 = 632 = 9 1 . 3 . 121 . 4 . 91 . 6 . 6 1+ 3+ 12 = 161+ 4+ 9 = 141+ 6+ 6 = 1322 . 3 = 12 2 . 2 . 9 2+ 2+ 9 = 132 . 32 = 1822 . 32 = 36 2 . 3 . 63 . 3 . 4 2+ 3+ 6 = 113+ 3+ 4 = 10

Como vemos hay dos valores que suman 13 por ello se solicit un dato ms, que fue: la mayor de mis hijostoca el piano, i.e.

*13 = 1+6+6no sirve; pues hay dos hijas mayores*13 = 2+2+9da la solucin pues solo hay una mayor

9 aos y dos mellizas.

En General: Si N = a . b . c con a, b y c nmeros primos

S D(N ) 1 a2 a3 a 1 b b 2 b 1 c c 2 c

a 1 1 b1 1 c1 1 = a 1 b 1 c 1

Compendio de Ciencias V-DAritmtica



Ejemplo: Sea N = 360; calcular:a) La suma de divisoresb) La suma de divisores simplesc) La suma de divisores compuestos d) La suma de divisores m4e) La suma de los divisores cuadrados perfectos. NMEROS PRIMOS IIRecordemos lo siguiente: N = 21600 = 25 . 33 .52 (descomposicin cannica) luego la CD(N) (cantidad de divisores) ser; el nmero de maneras en que puede combinarse cada uno de sus factores, i.e.N = 25 . 33 . 52

Resolucin:Sabemos: N = 23 32 5

() 1112352232522333a) SD(N) 1 2 2 2 23 1 3 3 2 1 5

=15 13 6 = 1170 24256 4

3 = 72

b) SDS(N) 1 2 3 5 11 Cantidad total de divisoresLa unid ad Lo s d ivisores prim os

c) SDC(N) = SD(N) SDS(N) = 1170 11 = 1159 Tres maneras de descomponer el factor 52Cuatro maneras de descomponer3d) 360 = 23 . 32 . 5 = 4(2 . 32 . 5) el factor 3Seis maneras de descomponer5SD(N m 4 ) 4 1 2 1 3 3 2 1 5 el factor 2

= 4(3 . 13 . 6) = 936 De esto ltimo tenemos:e) 360 2 3 3 2 5 2 2 2 3 2 5

Luego: SDCP(N) 1 2 2 1 3 2 6 = 5 + 14 = 3 + 13 = 2 + 1 Exponente 2del factor 35En general:= 5 . 10 = 50Ejemplo: Calcular la cantidad de nmeros menores que 36 y primos con l. B a b c ,entonces CDN 1 1 1Resolucin: 36 = 22 . 32

CD 2 = 18 ; CD 3 = 12 ; CD 6 = 6

362 (18) 3 (12) Donde: a, b, c son nmeros primos.

Si deseamos calcular la suma de estos divisores de N = 21600 = 25 . 33 . 52, cada uno de estos trminos los podemos expresar como de ():

26 125: 1+2+4+8+16+32 = 63 =

12 6 6

33: 1+3+9+27 = 40 =

3 4 13 1 2 1

6

Luego:

Ca ntid a d de

52: 1+5+25 = 31 = Luego: 5 3 15 1

26 1 3 4 1 5 3 1 # s me nore s d e 36 18 12 6 SD(21600) = 63 . 40 . 31 = 2 1 3 1 5 1 36 primos con l

= 12

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Compendio de Ciencias V-D Aritmtica

Problema desarrollado

1. Demostrar que p es un nmero primo y n es un exponente de l y pertenece a los nmeros enteros positivos. Se cumple: Problema por desarrollar

1. Sabiendo que un nmero posee nicamente 2 factores primos y la suma de sus divisores es 403. Probar que el nmero es 225 144.

SD p n 1 p p 2 p n 1 p n p n 1 1 Resolucin:p 1

Resolucin:

S D 7 1 7 8S D 9 1 3 9 13S D 125 1 5 25 125 156S D 16 1 2 4 8 16 31

En general:

nnp n 1 S D p 1 p p 2 p 3 ... p 1p 1

1. Sea el nmero 360 donde:A es la cantidad de sus divisores primos. B es la cantidad de sus divisores simples.C es la cantidad de sus divisores compuestos. D es la cantidad de sus divisores totales 6. Calcule el valor de nsi sabemos que 4 18 2 n tiene33 divisores ms que 5 12n .

Rpta.: ............................................................Hallar A + B + C + D 7. Si el nmero 2 4 3 a 7 tiene 4 x divisores

Rpta.: ............................................................

2. Halle el valor de n si 35 14 n tiene 111 divisores propios.

Rpta.: ............................................................

3. Calcule la cantidad de divisores compuestos que tendr la diferencia de 16 6 16 4.

Rpta.: ............................................................ propios. Calcule la suma de todos los divisores que tienen ms de una cifra.

Rpta.: ............................................................

8. Hallar el valor de n para que el nmero de divisores de N 30 n sea el doble del nmero de divisores de M 15 18 n .

Rpta.: ............................................................

4. Si A tiene 44 divisores ms que 3 5 3 3 . Determine 9. Si el nmero 7 a 2 7 9 tiene 12 divisores pares.7n, si A 18 n 27 .

Rpta.: ............................................................

5. Hallar la menor cantidad de divisores que tiene el nmero N si: A 1 8 N 2 tiene 60 divisores de los cuales 3 son primos absolutos.

Rpta.: ............................................................ Hallar cuntos divisores tiene a .

Rpta.: ............................................................

10. Al multiplicar al mayor nmero de 2 cifras por 20.En cunto aumenta la cantidad de sus divisores? Rpta.: ............................................................



11. Cuntos valores tomar x sabiendo que es menor que 20?. Adems x; 32 y 15 son nmeros primos entre s 2 a 2.

Rpta.: ............................................................ 16. Un nmero est conformado en su descomposicin cannica por 3 factores los cuales son 3 nmeros impares consecutivos. Calcular la suma de todos sus divisores.

Rpta.: ............................................................

12. Si N 2 2 3 2 7 n tiene 48 divisores. Cul es la 17. Si se sabe que 7 k 3 7 k tiene 28 divisoressuma de los divisores compuestos de nn ?

Rpta.: ............................................................ compuestos. Hallar cuntos divisores tienek 2 k 1 .

Rpta.: ............................................................

13. Cuntos ceros debemos colocar a la derecha del 18. Si el nmero A 14 n 21 tiene 56 divisores7 para que dicho nmero posea un nmero de doscifras cuya cifra de las decenas es 7?

Rpta.: ............................................................

14. La suma de 4 potencias enteras y consecutivas de7 posee 75 divisores. Si se extrae la raz cuadrada a compuestos. Cuntos divisores mltiplos de 6tiene?

Rpta.: ............................................................

19. Sabemos que 7 12 n posee 1 32 divis ores.Cuntos divisores compuestos ms tiene x que ydicha suma Cuntos divisores posee?

Rpta.: ............................................................ si x 72 72 72 72n fa ctores e y 27 27 27 27 . n fa cto re sRpta.: ............................................................

15. Cuntos de los divisores de a2b son mltiplos de4, si de sus 14 divisores 2 son impares?

Rpta.: ............................................................ 20. Hallar la suma de los divisores del menor nmeroimpar que tenga 15 divisores.

Rpta.: ............................................................

A) 18B) 24C) 16D) 20E) 12

1. Cuntos de los divisores de 2880 son mltiplos de 12? 4. Cuntos nmeros primos hay en:A) 1B) 2C) 3D) 4E)5

12 7 ;14 9 ;12 5 ;14 13 ;12 8

2. Halle n si A 15 n 10 n 1 tiene 147 divisores.A) 7 B) 8 C) 5D) 6 E) 10

3. Cuntas veces se est multiplicando el 36 en

5. Calcular la cantidad de divisores compuestos en:A) 300B) 295C) 296D) 297E) 298

156 154.A 36 36 36 36divisores. para que A tenga 169

A) 5B) 6C) 7D) 8E) 9

CAPTULO1 4

OBJETIVOS

Calcular el MCD. Relacionar las propiedades del MCD.

INTRODUCCIN:A continuacin mostraremos una regla que nos permite calcular el mximo comn divisor de varios nmeros: El mximo comn divisor de varios nmeros: A; B; C; D; ....; Z; el menor de los cuales es A, es igual almximo comn divisor de los nmeros A; R ; R ; R ; ....; R , siendo; R ; R ; ....; R ; los restos de las divisionespor A de los nmeros B; C; D; ....; Z. BCDZ BCZCEn efecto por propiedad de divisibilidad, los divisores comunes de A y B son divisores comunes de A y R yrecprocamente, etc, los divisores comunes de (A, B, C, ...., Z) son, pues, los divisores comunes de (A; R ; R ; ....;BCzR ) y, por lo tanto, ambos grupos de nmeros tienen el mismo mximo comn divisor.

Ejemplo:MCD (2520; 3060; 2790; 4545)Hagamos: 2520 3060 2790 45452520 2520 2520

Obs.: 2520 es el menor

2520 540 270 20252430 540 1890 Obs.: 210 es el menor

90 0 270 135270 90

90 0 45

900 45 = MCDEste mtodo es conocido como la regla de Sturm.

MXIMO COMN DIVISOR (MCD)

Supongamos que deseamos obtener una representacin

18 cuales sern llamados divisores comunes: 1; 2; 3;6, lo que es lo mismo: AB = {1; 2; 3; 6}ms simple de la fraccin ; para ello precisamos24

Compendio de Ciencias V-DAritmticaencontrar el mayor nmero que sea divisor de 18 y 24, para ello haremos:

i) Calcular los divisores de los nmeros 18 y 24, lo cual llamaremos A y B respectivamente:A = {1; 2; 3; 6; 9; 18} yB = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

ii) Observando que tienen elementos comunes los De este ltimo el mayor elemento es 6, el cual serllamado mximo comn divisor y lo denotaremos por: MCD (18, 24) = 6En general:Si A y B representan los conjuntos de divisores de dos nmero enteros y positivos, entonces el mximo comn divisor de estos ser el mayor elemento de la interseccin de los conjuntos A y B.




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Su po nga m o s q ue des ea m o s o bte ner u na

18 MTODOS PARA CALCULAR EL MCD:representacin ms simple de la fraccin ; para ello24 1. DESCOMPOSICIN SIMULTNEAprecisamos encontrar el mayor nmero que sea divisor de 18 y 24, para ello haremos:

i) Calcular los divisores de los nmeros 18 y 24, lo cual llamaremos A y B respectivamente: Ejemplo:Hallar el MCD de 540; 630 y 810entonces:

540 630 810 2 A = {1; 2; 3; 6; 9; 18} yB = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}

ii) Observando que tienen elementos comunes los 270315405

90105135

303545 3 MCD3 cuales sern llamados divisores comunes: 1; 2; 3;6, lo que es lo mismo: AB = {1; 2; 3; 6}

De este ltimo el mayor elemento es 6, el cual ser llamado mximo comn divisor y lo denotaremos por:MCD (18, 24) = 6

En general:Si A y B representan los conjuntos de divisores de dos nmero enteros y positivos, entonces el mximo comn divisor de estos ser el mayor elemento de la Nmero s PESI

2. DESCOMPOSICIN PRIMA O CANNICA Cuando los nmeros estn expresados en sus factores primos o cannica, el MCD va a estar dado por el producto de los factores primos comunes elevados al menor o igual exponente. Ejemplo:

A 23 3 4 5 2 71 13 2

5232interseccin de los conjuntos A y B. Luego B 2 3 5 11 13MCD(A;B) = 23 32 52 132

1. Todo divisor comn de un conjunto devarios nmeros ser tambin divisor de su MCD.

2. Si dos o ms nmeros son PESI, entoncesMCD de ellos ser uno. Ejemplo:

14 y 9 son PESI, entonces: MCD(14,9) = 1

3. Si uno de los nmeros divide a los dems, entonces el MCD de ellos ser aquel divisor.Ejemplo:Hallar el MCD de 9, 27, 63 y 81. Resolucin: 3. AL G O R IT M ODEE U C L IDE SODIVISIONES SUCESIVOSPara calcular MCD de dos nmeros. Sean: A y B, A>B

q1q 2q 3q 3ABr1r2r3r1r2r30

Residuosentonces: MCD(A;B) = r3

23125252316342216342210

(C ocie nte s)Ejemplo: Calcular MCD(525;231)Como 27, 63 y 81 = 9MCD(9, 27, 63, 81) = 9 Residuosentonces: MCD(525;231) = 21

Compendio de Ciencias V-D Aritmtica

Propiedades: 2. MCD(A;B) = d

Sea MCD(A;B) = d MCD d A ; B 1. A dp B d q donde :p y q so n P ESI

+

+3. Sean: A; B; C sea: MCD A;B;C A;B B;C MCDMCD ;C MCDA;MCD

1. Calcular el MCD de 90, 60 y 120.

Rpta.: ............................................................ 8. Cuntos divisores de 6020 son divisores de 7030 y11040?

Rpta.: ............................................................

2. Si M CD A; B 20y A 2 n 3 m 5 4y 9. Si el MCD de 2a2 y N es 17. Cuntos valores

B 2 4 5 m 7 2 . Calcular m + n.

Rpta.: ............................................................ puede tomar N, si se sabe que es menor que 500pero mayor que 200?

Rpta.: ............................................................

3. Calcular el MCD de 296 y 999 mediante divisionessucesivas.

Rpta.: ............................................................ 10. Cal cular n s i el M CD d e

n 3 n 4 n 5 es 9. n n 1 n 2 y

4. Se sabe que A y B son PESI y MCD (A;B) + A = 21.Cuntos valores menores que 10 toma B? Rpta.: ............................................................5. Se sabe que MCD (N; 20) = N y MCD (N; 30) = Nadems N>1. Cuntos valores toma N? Rpta.: ............................................................6. Si MCD (3A; B) = 40 y MCD (4A; C) = 60. CalcularMCD (A; B; C).

Rpta.: ............................................................

7. Se han colocado rboles igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular cuyos lados miden 182; 234 y 260 respectivamente. Sabiendo que hay un poste en cada vrtice y que la distancia entre rboles est comprendida entre 4 y 20 metrosCuntos rboles se colocaron?

Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................

11. Cul es el menor nmero de ladrillos cbicos que se necesitan para formar un slido concreto, cuyas dimensiones sean 180, 126 y 252 cm.?

Rpta.: ............................................................

12. Si se cumple: MCD a 2b b 4 c ; c0 a 2b 126 .Calcular: a + b + c.

Rpta.: ............................................................

13. Se tienen 3 nmeros A; B y C al calcular el MCD de A y B por el algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes 1; 1 y 2 y al calcular el MCD de A y C por el mismo mtodo se obtuvo como cocientes1; 2 y 2. Hallar el menor de dichos nmeros si A + B + C = 1053 si se sabe que A > B > C.

Rpta.: ............................................................




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14. Si A 15B y MCD (A; B)=18. Calcular A+B. 18. Al calcular el MCD dos nmeros mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvieron como tercer yltimo cociente a 2 y como suma de sus residuosRpta.: .......................................................

15. Si: MCD(15A, 25B) = 560; MCD(25A, 15B) =480. Calcular MCD(A, B).

Rpta.: .......................................................

16. Si los cocientes sucesivo s o btenidos en la determinacin del MCD de A y B mediante el algoritmo de Euclides, han salido 14; 1; 1; 1; y 2 respectivamente y si ambos nmeros son primos entre s. Cul es la suma de stos?

Rpta.: ............................................................

17. Se desea elegir un recipiente cuya capacidad sea un nmero entero de litros de modo que con este se pueda extraer de 3 cilindros diferentes (cuyos volmenes son 144; 168; 216 litros y estn llenos con agua) el agua que contiene en el menor nmero de extracciones con el recipiente lleno y sin desperdicios lquido. Cul ser la capacidad del recipiente?

Rpta.: ............................................................ 3060. Determinar dicho MCD.

Rpta.: ............................................................

19. Se han colocado postes igualmente espaciados en el contorno de un campo triangular, cuyos lados miden 210, 270 y 300 m respectivamente. Sabiendo que hay postes est comprendido entre 10m y 20m. Calcular cuntos postes se colocaron.

Rpta.: ............................................................

20. Las dimensiones de un terreno rectangular son 882 y 336 m. Se desea parcelarlo en terrenos cuadrados de tal modo que no sobre nada y se obtenga el menor nmero de parcelas. Cuntas parcelas cuadradas resultarn?

Rpta.: ............................................................

A) 20B) 30C) 40D) 50E) 60

1. Calcular el MCD de 180, 150 y 120. 4. Se sabe que A y B son PESI y MCD (A; B) + A=31.Cuntos valores menores que 10 toma B? A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 52. Si M CD ( A; B ) = 2 0 y A 2 P 3 q 5 4yA) 3B) 4C) 5D) 6E) 7

B 2 4 5 q 7 2 . Calcular q + p. 5. Se sabe que MCD (N; 25) = N y MCD(N; 30) = N, adems N>1. Cuntos valores toma N?A) 1 B) 2 C) 3

3. Al calcular el MCD de dos nmeros A y B por elalgoritmo de Euclides los residuos sucesivos fueron:3; 5; 2; 1 y 2. Si A y B son PESI. Calcular el mayor nmero.

A) 147B) 137C) 133D) 143E) 131

CAPTULO1 5

OBJETIVOS Aplicar el MCD y MCM a los problemas concretos. Relacionar las propiedades del MCD. Manejar el algoritmio de Euclides.

INTRODUCCIN:

A continuacin veamos un ejemplo:

La media armnica de dos nmeros es igual a la cuarta parte de su MCM y la media aritmtica de su MCM yMCD es 32. Hallar la diferencia entre dichos nmeros.

Resolucin:Sea MCD(A;B) = d y MCM(A;B) = m

2 A B A B 1 m (1)4 m d2 32 (2)A = dq ; B = dq ....(3) m = dq q .... (4)121 2

De (3) y (4) y (1):

2dq1q2d

1 m 2d dq1q2 1 m

8m q1 q2 md q1 q2 4 d q1 q2 4 q1 q2 8

De (2) Si: q1 7q1 5 q2 1 ....(5)q 3 2

dq q d 1 2 32 dq1q2 d 64 d q1q2 1 642

d 64q1q2 1 (6)

(5) en (6):

d

647 1 1

8 e n (3) d 645 3 1 4

Compendio de Ciencias V-DAritmticaA 8 7 56B 8 1 8A B 48 A 4 5 20B 4 3 12A B 8




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MNIMO COMN MLTIPLO (MCM)

11Si queremos sumar dos fracciones como: y157; para ello necesitamos tener un comn denomi-20nador, ste nmero debe ser mltiplo de 15 y 20, porejemplo 120 pues 120 = 15 . 8 = 20 . 6, luego: MTODOS PARA CALCULAR EL MCM1. Descomposicin SimultneaEjemplo:Hallar el MCM de 540; 630 y 810entonces:

11 88 y7 42; entonces 540 630 810 215120 20120 27090 315 405 3105 135 311 7 88 42 130 30 35 45 51520120120120Ahora veamos el conjunto de mltiplos de 15 y 20a los cuales llamaremos P y Q:P = {15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120; ....} 6 7 9 23 7 9 31 7 3 31 7 1 7 MCMQ = {20; 40; 60; 80; 100; 120; ....}

Luego observamos mltiplos comunes entre P y Qcomo: 60; 120; 180; etc., lo cual expresamos:PQ = {60; 120; 180 ....} donde 60 es el elemento mnimo al que llamaremos mnimo comn mltiplo y lo denotamos por: MCM (15, 20) = 60.

En general:Si P y Q son dos conjuntos de mltiplos de dos nmeros enteros positivos, entonces el mnimo comn mltiplo de los nmeros ser el menor elementos de la interseccin de los conjuntos P y Q. 1 1 1

2. Descomposicin Prima o CannicaCuando los nmeros estn expresados en sus factores primos o cannica, el MCM va a estar dado por el producto de los factores comunes y no comunes elevados al mayor o igual exponente. Ejemplo:A = 23 . 34 . 52 . 7 . 132B = 25 . 32 . 53 . 11 . 132

Luego:MCM (A,B) = 25 . 34 . 53 . 7 . 11 . 132

PRO PIE DADE S

1. Todo mltiplo comn de dos o ms nmeros es mltiplo del mnimo comn mltiplo.

2. Si dos nmeros son PESI, entonces elMCM de ellos ser el producto de los 1. A = dpB = dq

m = ASm = Bt Donde:p y q son PESI

Donde:s y t son PESInmeros. 2. MCD (A,B) = d ; MCM (A,B) = mEjemplo: A B d A B mMCD , ; MCM , ; 0

11 y 24 son PESI, entonces:MCM (11,24) = 264

3. Si en un conjunto de nmeros uno de ellos es mltiplo de los dems, entonces dicho nmero es el mcm del conjunto de nmeros antes dicho.Ejemplo:Hallar el MCM de: 5, 4, 6, 60entonces: MCM(5; 4; 6; 60) = 60 3. Sean A, B, C +MCD A, B, C MCD MCD A, B , C MCD A, MCD B, C MCM A, B, C MCM MCM A, B , C MCM A, MCM B, C

4. MCD(A,B) . MCM(A,B) = A . B

Compendio de Ciencias V-D

Problema desarrollado

1. Si tenemos que:

Problema por desarrollar1. Si tenemos que: AritmticaA = dp B = dq d = MCD (A; B) Demostrar: A dp; B dq;Demostrar: d M C D A; B M C M A, B M C D A, B A B ... I A B M C M A, B entonces A es pesi con B.

Resolucin: AB Resolucin:* Sacando MCM de A y B

Observacin: dp dq dpqp

11q

d al ser el MCM, entonces p y q sern nmeros primos entre si. M C M A, B dpqDe la igualdad: d d p q d d p q Ley conmutativa: d p q d d p d q Ley asociativa d pq d d p dqFinalmente: M C M A, B M C D A, B A Blqqd.

1. Calcular el valor del mnimo comn mltiplo de M 7 1 y M 5 11 200; 1 500 y 4 900.

Rpta.: ............................................................

2. Dados los nmeros:A 27 3 4 7 9B 210 3 9 513Se o bti ene que el M CM d e A y B es :2 a 3 b 5 c 7 dCalcular: a + b + c + d

Rpta.: ............................................................

3. Si el MCM de 12a; 15a y 20a es igual a 840, calcule el valor de a.

Rpta.: ............................................................

4. Si 2 nmeros A y B cumplen que: MCM (A,B) es420 adems: AB=1. Calcular: A + B

Rpta.: ............................................................

5. Cules son los mayores nmeros M y N ambos de3 cifras que cumplen: N 9 8 y N 4 3

Rpta.: ............................................................

6. Cules son los dos nmeros primos entre si, cuyoMCM es 408 y su suma es 41?

Rpta.: ............................................................

7. Si R y T son dos nmeros primos entre si, cuyo MCM es 4 400. Calcule el valor de: (RT) siendo R mayor que T.

Rpta.: ............................................................

8. Siendo A y B enteros positivos se cumple:A 0, 8; M C D A, B M C M A, B 840BCalcule: MCM (A; B)

Rpta.: ............................................................

9. Si el MCM de 24m y 72m es 1080. Calcule el MCMde 20m y 45m.

Rpta.: ............................................................

ARITMETICA 5

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