7 Guia 06 Semestre 1 Numeros Complejos

7/23/2019 7 Guia 06 Semestre 1 Numeros Complejos

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Profesor: Erwin Coronado C.

Sector: Matemtica

Puerto Montt Curso: III Medio

1

Gua de ejercicios N6, Segundo Semestre

Tema: EL conjunto de los nmeros complejos.

Debes saber que:

Los nmeros complejos fueron usados por Johann Lambert en proyecciones, por JeanDAlemberten hidrodinmica y por Euler, DAlembert y Joseph-Louis Lagrange en pruebaserrneas del teorema fundamental del algebra. Euler fue el pr imero en usar la notacin

1i , haciendo adems un uso fundamental de los nmeros complejos al r elacionar la

exponencial con l as funciones tr igonomtr icas por la expresin cos senixe x i x . Euler seexpresaba en los siguientes trmi nos:

Como todos los nmeros imaginables son mayores, menores o iguales a cero, entonces esclaro que la raz cuadrada de un nmero negativo no puede ser uno de estos nmeros,[...] yesta circunstancia nos lleva al concepto de tales nmeros, que por su naturaleza sonimposibles y ordinariamente son llamados imaginarios o nmeros falsos, porque sloexisten en la imaginacin

Leonard Eul er (1707-1783)

Fuente: Breve historia de los Nmeros Complejos

En niveles anteriores identificaste y determinaste las propiedades de distintos conjuntos numricos:Los naturales , los enteros , los racionales , los irracionales II , los reales . Adems,y lo ms importante, es que se present la generacin de varios de estos conjuntos por la necesidad de

dar solucin a un tipo particular de ecuaciones. Por ejemplo, los enteros dan solucin a ecuaciones de

la forma x a b , los racionales dan solucin a ecuaciones de la forma ax b c , los irracionales se

generaron, a partir de la solucin de la ecuacin 2 2x y mostrar que 2 no es un nmero racional.De lo anterior se generaron los reales como la unin de los racionales y los irracionales, Pero este

conjunto, con sus propiedades, no da solucin a un tipo particular de ecuaciones, que veremos a

continuacin, por lo que se genera un nuevo conjunto: el conjunto de los nmeros complejos .Se presenta la relacin entre estos conjuntos.


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I. NMEROS IMAGINARIOS

Una propiedad importante en los nmeros reales es que para todo x se cumple que 2 0x , por lo

que las races cuadradas de nmeros negativos, como por ejemplo 9 , no son nmeros reales.

Es decir, los nmeros reales no dan solucin, en particular a la ecuacin 2 1 0x , esto es 1x

Definicin:

Se define como unidad imaginaria al nmero 1 y escribiremos

1i

Observacin:

Si a , tal que 0a , entonces tendremos

1 1a a a i a

Ejemplo

1. 6 6i

2. 9 9 3 3i i i

3.

16 4i

Observacin:

De la definicin, se determina que 2 1i

Ejemplo

1. 23 3 1 3i

2. 210 10 1 10i


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Observacin:

Los nmeros imaginarios se pueden operar. Esto es sumar, restar, multiplicar, dividir.

Observacin:

En general, ai bi ci a b c i

Observacin:

Al multiplicar o dividir dos nmeros imaginarios se debe tener en cuenta la definicin de nmero

imaginario, as como la propiedad de multiplicacin de races, la que es vlida para valores no

negativos.

Ejemplo

1. Multiplique 16 2

Solucin

2

16 2 4 2

=4 2

= 4 2

i i

i

Un error frecuente sera (sin considerar que la propiedad de multiplicacin de races es vlida

para valores no negativos).

16 2 16 2

= 32

=4 2


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Ejercicios

1. Utiliza la unidad imaginaria i para escribir los siguientes nmeros imaginarios.

a.

3 c. 81 e. 8 g.

1

16

b. 32 d. 0,01 f.49

100 h.

1

4

2. Determina el valor de las siguientes operaciones entre nmeros imaginarios.

a. 4 16 f. 225 1 8i i

b. 9 3 4 g. 3 5 10i i i

c. 4 3 1 4 9 5 16 h. 3 3 2 81 5 4 10i i i

d.

54 150 24

i.

5 2

3 3

i i

i i

e.2 2

9 16x x x j.4 64

2 84

ii

Potencias de i

Ms arriba se defini 1i y adems 2 1i , pero se pueden obtener otras potencias de i . En efecto,observa que

1

2

3 2

4 2 2

1

1

i i

i i i

i i i i

i i i

5 4

6 5

7 6

8 7

1

1

i i i i

i i i

i i i i

i i i

Como puedes observar, se presenta una regularidad en las potencias de i , por lo que podemos presentar

la siguiente conclusin.

En general, para cada n , se tiene que

4

4 1

4 2

4 3

1

1

n

n

n

n

i

i i

i

i i


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Observacin:

De lo anterior se desprende que para determinar una potencia de i con un exponente mayor que 4,

puedes analizar el residuo que resulta de dividir el exponente por 4. As se tiene que

1. Si el residuo es 0, entonces el valor de la potencia es 1

2. Si el residuo es 1, entonces el valor de la potencia es i

3. Si el residuo es 2, entonces el valor de la potencia es -1

4. Si el residuo es 3, entonces el valor de la potencia es i

Ejemplo

1. Determine el valor de 27i

1. Solucin

2. 27 4 6 3i i i

Ejercicios

1. Determina los valores de las potencias

a. 14i d. 37i g. 101i

b. 24i e. 94i h. 23i

c. 15i f. 55i i. 77i

2. Determina los valores de las potencias y luego opera.

a. 3 52 3i i d. 9 12 15 232 3i i i i

b.

4 3 16 5

3 3 4i i i i e.100 24

5 4i i c.

55 34 77i i i f. 1 2 3 4 5 6 100...i i i i i i i


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II. EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS

Este conjunto se genera al operar los nmeros reales y los imaginarios. Los elementos de este conjunto

tienen varias formas de representarlos. A continuacin se presentarn estas representaciones y lacorrespondiente definicin del conjunto de los Complejos

A.Forma algebraica de un nmero complejo

Definicin:

Un nmero complejo en su forma algebraica (tambin llamada binomial o rectangular) se representa

por la expresin z a bi , donde , ,a b con a la parte real del complejo z y b la parte

imaginaria del complejo z. Lo anterior se simboliza como

Rea z y Imb z As, el conjunto de los nmeros complejos, que se simboliza por , se define como

; , ,z z a bi a b

Ejemplo

Dado el nmero complejo 4 3z i , se tiene

4 Re z y 3 Im z

Observacin:

Dado el nmero complejo z a bi se tiene que:

1. Si 0b , entonces 0z a bi a i a y se llama nmero real. (Esto implica que )

2. Si 0a , entonces 0z a bi bi bi y se llama nmero imaginario puro

Observacin:

Tambin se puede decir que

1. Un nmero es real cuando en el complejo z, se tiene 0 Im z

2. Un nmero es imaginario puro cuando en el complejo zse tiene 0 Re z


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Ejercicios

1. Identifique para cada complejo Re z e Im z . En el caso que corresponda indique si elcomplejo es un nmero real o un imaginario puro.

a. 1 6z i e. 13z b. 8 3z i f. 5 10z i c. 2z i g. 2 12z i d. 4 4z i h. z i

Observacin:

Dados los complejosz a bi

y1z c di

, se tiene que

1z z s y slo s a c y b d

Ejemplo

1. Determine el valor de x e y para que se cumpla que 2 3 5 1 4yi x i

Solucin

Para que dos nmeros complejos sean iguales se debe cumplir que sus partes reales sean iguales,as como sus partes imaginarias. Por lo tanto se debe tener

5 1 2

5 1

1

5

x

x

x

3 4

4

3

y

y

Ejercicios

1. Determine los valores x e y para que se tenga:

a. 3 5 15ix y i c. 5 6 3 7 9x y i x i

b. 3 2 7 5yi x i i d.3 2

5 47 3

x i y i


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A.1.Suma de nmeros complejos

Definicin:

Dados los complejos z a bi y 1z c di , se define la suma 1z z como

1z z a bi c di a c b d i

Ejemplo

1. Dados los complejos 8 2z i y 1 5z i , determinar 1z z

Solucin

1 8 2 0 5 8 0 2 5

8 3

z z i i i

i

A.2.Resta de nmeros Complejos

Definicin:

Dados los complejos z a bi y 1z c di , se define la resta 1z z como

1z z a bi c di a c b d i

Ejemplo

1. Dados los complejos 4 7z i y 1 1 5z i , determinar 1z z

Solucin

1 4 7 1 5 4 1 7 5

3 12

z z i i i

i


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Ejercicios

1. Sume y/o reste los siguientes complejos 3 7z i , 1 1 5z i , 1 1 5z i , 1 1 5z i

a.

Si 2 3z i y 1 5 4z i determine 1z z

b. Si1

3 2z i y2

3 2z i determine1 2

z z

c. Si1

4 5z i y2

4 5z i determine1 2

z z

d. Si 1z i ; 1 1z i y 2z i determine 1 2z z z

e. Si 7 3z i ;1

14

2z i determine

1z z

f. Si 2 3z i ;1

10z i y2

2 3z i determine2 1

z z z

A.3.Multiplicacin de un escalar por un complejo y multiplicacin de nmeros complejos

Definicin:

Dado el nmero real w y el complejo z a bi , se define la multiplicacin por un escalar

,w z donde w se llamar escalar, como w z w a bi aw bwi

Ejemplo

1. Dados el real 4 y el complejo 5 3z i , realiza la multiplicacin escalarSolucin

4 4 5 3 4 5 4 3 20 12z i i i

Definicin:

Dados los complejos z a bi y 1z c di , se define la multiplicacin 1z z como

1z z ac bd ad bc i


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Ejemplo

1. Dados los complejos 5z i y 1 1 5z i , determinar 1z z

Solucin

1 5 1 5 5 5 25 1

10 24

z z i i i

i

A.4.Conjugado de un nmero complejo

Definicin:

Dados el complejo z a bi , se define su conjugado como z a bi

Ejemplo

1. Determine el conjugado del complejo 3 5z i

Solucin

Por definicin, se tiene que 3 5z i

2. Determine el conjugado del complejo 7 10z i

Solucin

Por definicin, se tiene que 7 10z i

Considerando la definicin de conjugado, se determinan los siguientes teoremas, que aceptaremos sin

demostracin.

Teorema

Para todo complejo z a bi , se tiene que z z . Esto es, si zes un nmero complejo, entonces elconjugado de su conjugado es exactamente el mismo nmero complejo z.


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Teorema

Para todo nmero complejo z z , se cumple que:

1. 2 Rez z z

2.

2 Imz z z 3. z z s y solo s zes un nmero real

Teorema

3. Dados los complejos zy 1z , se cumple que:

1. 1 1z z z z

2. 1 1z z z z

Ejercicios

1. Determina el resultado de las siguientes multiplicaciones.

a. 3 2 5i e.5 3

1

3 5

i

b. 5 i f. 2 18 32i

c. 2 4 6i g. 3 1 1

2 5 34 2 2

i i

d.1 3

4 4i

h. 3 7 4 2 3 2i i

2. Resuelve las siguientes multiplicaciones.

a.

3 2 4 5i i e. 5 2 1 6i i

b. 2 5 2 5i i f.1 3

3 22 5

i i

c. 3 5 8 3i i g. 2

1 2i

d. 2 3 4i i h. 2 3 2 3i i


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3. Aplica los teoremas para determinar el valor de:

a. Si 3 2z i , determina el valor de z z

b. Si 1 036z , determina el valor de z

c. Si2

55

z i , determina z z

d. Si1

9 3z i 2 1

1

3z z , calcula 1 2z z

4. Resuelve los ejercicios de acuerdo a la informacin entregada.

a. Determinar el valor de x e y para que se tenga 2 3 1 8x yi i i

b. Determinar el valor de x e y para que se tenga 2

2x yi i

c.

Si 6 2z i y 3w i , determina z w

d. Si 1 3z i ,1

1

3z y 2w i , determina 1z z w

A.5.Divisin de nmeros complejos

Para la definicin de la divisin, consideremos la siguiente observacin.

Observacin:

Dado el complejo z a bi , se tiene que

2 2

2 2

z z a bi a bi

a b ab ab i

a b

De esta manera, se define la divisin de dos complejos como

Definicin:

Dados los complejos z a bi y 1z c di , se define la divisin1

z

zcon

10z como

2 2 2 2

1

a bi c di ac bd bc ad z a bii

z c di c di c di c d c d


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Ejemplo

1. Calcula el valor de6 4

3 5

i

i

Solucin

18 20 12 306 4 2 42 1 213 5 9 25 9 25 34 34 17 17

ii i i

i

Ejercicios

1. Calcula las siguientes divisiones.

a.1

1 2i f.

3 4

2

i

i

b.1

1 i g.

9

4 3

i

i

c.2

i h.

2

1

i

i

d.1 3

3

i

i

i.

13

21

23

i

i

e.3 2

3 2

i

i

j.

2 3

2 3

i

i

2. Determina el valor segn lo solicitado.

a. Si1

3 2z i y 2 1 2z i , calcula1

2

z

z

b. Si1

3 2z i y2

1z i , calcula 1

2

z

z

c.

Si1

1 7z i y2

1 2z i , calcula 1

2

zz


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B.Representacin cartesiana de los nmeros complejos

Como se indic, un nmero complejo tiene ms de una representacin1. Para presentar la siguiente

definicin de nmero complejo, primero consideremos que dado el conjunto de los nmeros reales ,

se define el producto cartesiano 2 como , ; ;a b a b

Esto es, 2 est formado por todos los elementos ,a b llamados

pares ordenados, donde a se llama primera coordenada y b

segunda coordenada, siendo ambas coordenadas nmeros reales.

En niveles anteriores ya has trabajado en diversos tpicosrelacionado con pares ordenados y debes recordar que se

representan en el Sistema Cartesiano. De acuerdo a esto se entrega

la siguiente definicin.

En 2 se tiene que:

1.

Si ,a b y ,c d son tales que , ,a b c d entonces a c y b d

2. Dados ,a b y ,c d , se define la suma como:

, , ,a b c d a c b d

3. Dados ,a b y ,c d , se define la multiplicacin como:

, , ,a b c d ac bd ad bc

Definicin:

Un nmero complejo en su forma cartesiana se representa por la expresin ,z a b , donde

, ,a b con a la parte real del complejo zy b la parte imaginaria del complejo z. Lo anterior se

simboliza como

Rea z y Imb z As, el conjunto de los nmeros complejos, que se simboliza por , se define como

; , , ,z z a b a b

1Introduccin de Nmero Complejo. Pgina N6


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Observacin:

De la definicin y considerando el complejo ,z a b se

desprende que la parte real Rea z corresponde a losvalores que se ubican en el eje X , el que para nuestro

estudio ser el eje Real y por otra parte, la parte imaginaria

Imb z corresponde a los valores que se ubican en eleje Y , el que para nuestro estudio ser el eje Imaginario.

Este nuevo sistema recibe el nombre de Plano de Argand-Gauss.

Observacin:

De lo ms arriba indicado, se tiene que

, 0, 0 0,0

,0 0,

,0 0 1 0, 1 0 0

,0 ,0 0,1

a b a b a b

a b

a b b

a b

De esta manera, se define el imaginario 1 0,1i y se tiene

,a b a bi

Observacin:

Con lo anterior, dado un nmero complejo en su forma cartesiana, se puede representar en su forma

algebraica y viceversa. Pudiendo adems dar una representacin grfica del nmero complejo.


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Ejemplo

1. Representa en su forma cartesiana el nmero complejo

2z i y presntelo grficamente.

Solucin

2 2,1z i y su representacin grfica

Observacin:

Dado el nmero complejo ,z a b se tiene que:

1. Un nmero real a corresponde al complejo en su forma cartesiana ,0z a .

2. Un imaginario puro bi corresponde al complejo en su forma cartesiana 0,z b .

Ejercicios

1. Escribe en su forma cartesiana los siguientes complejos.

a. 8 3i f.1

52

i

b. 1 5i g.3

34

i

c. 9 i h. 3

d. 2 4i i. 5i

e.2

73

i j.2

511

i

2. Escribe en forma algebraica los siguientes complejos.

a. 4,5 d. 1, 2

b. 1, 7 e. 7,0

c. 0,3 f.6

2,7


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3. Representa los siguientes nmeros complejos en su forma algebraica o cartesiana, segn sea el

caso y luego presntalo grficamente.

a. 2 3i g. 0, 2

b. 1, 5 h.1

3

c. 7i i. 3,0

d.2 5

3 4i j.

25

11i

e. 5 2i

f.1 6

,2 7

k. 1 i

Observacin:

Se desprende de las definiciones para2

dadas ms arriba2, que si dados los complejos ,z a b

y 1 ,z c d , se tiene que 1z z , entonces a c y b d

Ejercicios

1. Determine los valores x e y para que se tenga:

a. 4 , 4 20 5 ,2x y x y c. 2 4 , 24 10,5 4y x

b. 3 ,6 8, 2 22

xx y

d.

2, 5 1, 2

5 4

yx

2Pgina N14


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Operaciones de complejos en su forma cartesiana.

Las operaciones de complejos en su forma cartesiana, se definen de acuerdo con la definiciones para 2.

B.1Suma de complejos en su forma cartesiana.

Definicin:

Dados los complejos ,z a b y 1 ,z c d , se define la suma 1z z como

1 ,z z a c b d

B.2Resta de complejos en su forma cartesiana.

Definicin:

Dados los complejos ,z a b y 1 ,z c d , se define la suma 1z z como

1 ,z z a c b d

Observacin:


1. El nmero complejo nulo es el par 0,0

2. 0,0ae es el neutro aditivo, ya que se tiene

, 0,0 0, 0 ,az e a b a b a b z

3.

Dado un nmeros complejo ,z a b , el inverso aditivo de zes el complejo ' ,z a b


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B.3Multiplicacin de complejos en su forma cartesiana

Definicin:

Dado el nmero real r y el complejo ,z a b , se define la multiplicacin por un escalar r z donde rse llamar escalar, como , ,r z r a b ar br

Definicin:

Dados los complejos ,z a b y 1 ,z c d , se define la multiplicacin 1z z como

1 ,z z ac bd ad bc

Observacin:


1. El neutro multiplicativo es el complejo 1,0z , ya que se tiene

, 1,0 1 0, 0 1 ,mz e a b a b a b a b z

2. El inverso multiplicativo de zes el inverso2 2 2 2

'' ,a b

za b a b

B.4Divisin de nmeros complejos en su forma cartesiana

Definicin:

Dados los complejos ,z a b y 1 ,z c d , se define la divisin1

z

zcon

10z como

2 2 2 2

1

,z ac bd bc ad

z c d c d


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Ejercicios

1. Resuelve las siguientes operaciones, presenta el complejo en sus dos representaciones y luego

grafica cada complejo.

a. 3,2 7 i f. 2

1 2i

b. 1

2 1, 3 5 1,5

g.

10,1

1

i

i

c.

5,0 0,12 2

2,0i

h. 3, 1 2,0 1, 1

d. 2,3 1, 1 i.

1,2 2, 1

0,1

e. 1 2, 1i j. 32, 3 2

1 3 4

i

i

2. Determina el valor segn lo solicitado y luego grafica cada complejo resultante.

a. Si1

6 2z i y2

3z i , calcula 11

2

4 z

zz

b. Si 1 4, 1z , 2 2, 3z y 3 1,1z , calcula 3 1 2z z z

c.

Si 1 3z i , 2v i y 1 ,03w

, calcula z w v

d. Si 1 3z i y 2,7w Cul es el resultado de2

w

z?

e. Si 2 3z i , v i y 1,1w , determina el valor2

z w

v


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B.5Norma y Mdulo de un complejo

Definicin:

Se llama Norma del complejo ,z a b a bi al valor

2 2 2

N z z a b

Definicin:

Se llama Mdulo del complejo ,z a b a bi al valor2 2

z a b

Observacin:

Geomtricamente, el mdulo de un nmero complejo,

corresponde a la distancia desde el origen del sistema

hasta el punto.

El mdulo de un nmero complejo tambin se conocecomo magnitud o valor absoluto.

Ejemplo

1. Determina la norma y el mdulo del complejo 3,4z Solucin

De la definicin se tiene que

a. 2 23 4 9 16 25N z

b. 25 5z


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22

Teorema

Dados los complejos zy 1z , se cumple que:1. 0z

2. 0z s y slo s zes nulo

3. z z

4.1 1

z z z z

5.1 1

zz

z z

6.1 1

z z z z

Ejercicios

1. Determina la norma y el mdulo de los siguientes complejos.

a. 4, 3z f.1 1

,4 2

z

b. 1,2z g. 1, 7z

c.

1 3

2 2z i h. 2z

d. 3 3z i i.2

,53

z

e.2 1

3 3z i j.

42

3z i

2. Representa grficamente el complejo y su mdulo que se presenta.

a. 2,4z d. 2,6z

b.

3z i

e. 1z i

c.

1 1,

2 3z

f. 5 4z i

3. Resuelve segn lo solicitado

a. Si 2 3z i y 1 1,2z determina el mdulo de 1z z .

b. Si 2 1z i y 1 4 2z i determina1

3z

z.


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Ejercicios

1. El valor de 0 3 62i i i i es:

A. 3 2i B. 2 i C. i D. i E. 2 i

2. El inverso aditivo de 2 5z i es:

A. 2 5i

B. 2 5i

C. 2 5i

D. 5 2i

E. 5 2i

3. El valor de 25 2 4 36 es

A. 3i B. 4i C. 5i D. 6i E. 6i

4. Al reducir 3 5 4i i i i se obtiene:

a. 9 3i B. 6 5i C. 7 5i D. 4 5i E. 9 5i

5. El valor de 9 12 15 232 3i i i i

a. 2 i B. 3 2i C. 5 2i D. 2 5i E. N.A.

6. Al calcular 1 2 3 4 23i i i i i se obtiene:

a. 1 B. i C. - 1 D. 1 i E. 1 2i

7.

Si z a ai , entonces 2

Re Imz z i es igual a:

a. 0 B. 2a C. a D. 2a E. a i

8. Si 1 4 2z i y 2 3 5z i , entonces 1 2z z

a. 7 3i B. 1 3i C. 1 3i D. 1 3i E. 7 3i


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Sector: Matemtica


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9. Si1

2 5z i y 2 5z i , entonces 1 2z z

a. 2 10i B. 2 10i C. 2 10i D. 2 10i E. 2

10.Respecto del resultado del binomio 2

a bi , Cules de las proposiciones son siempre

verdaderas?

I. Si a b corresponde a un nmero imaginario

II. Si 0a o 0b entonces es un nmero real

III.

2 2 2a b abi es equivalente a 2a bi

a. Slo I B. Slo II C. Slo III D. I y II E. II y III

11.En la igualdad 2 1 3x i i , el valor de x es igual a:

a. 0 B. 1 C.2 D. -1 E.i

12.Se tiene que 6 5 3 6z x y i y 1 4 6 15z x y i tal que 1z z luego

A. 5x ; 4y

B. 4x ; 5y

C. 5,5x ; 4,5y

D. 4,5x ; 5,5y

E. 9x ; 7y

13.Si2 4

4 2

iz

i

, entonces el z

a. 1 B. 2 C. 1 D.41

5 E. 4


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Sector: Matemtica


14.Sea el nmero complejo p a bi , con a y b nmeros reales distintos de cero, cul de las

siguientes igualdades es siempre verdadera?

a. 2 2p a b

b. 1 0p i a

c. 12 2

a bip

a b

d. 0p p

e. 2p p p

15.En la figura se representa el nmero complejo

a. 3 4i

b. 4 3i

c. 3 4i

d. 4 3i

e. 4 3i

f.

16.Si 2z i , el valor 2

z es igual a:

a. 13 B. 29 C. 41 D. 5 E. 13

7 Guia 06 Semestre 1 Numeros Complejos

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