Tecnicatura en

Matemática I

Unidad I

Orden de PresentaciónIntroducion1. Ecuaciones irresolubles en R2. Numeros complejos3. Operaciones Vectoriales

1. Adicion y Sustraccion2. Multiplicacion3. Division4. Potencias5. Reconstruccion

4. Numeros complejos y vectores5. Forma

1. Polar2. Trigonometrica

6. Operaciones Polares1. Adicion y Sustraccion2. Multiplicacion3. Division4. Potencias

7. Aplicaciones

Numeros Complejos

Numeros Complejos

Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos. Así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles. 

Presentaremos este mundo: expresión de los números complejos, su representación gráfica, operaciones y su forma polar. El enfoque es muy geométrico para facilitar la comprensión.

La importancia de los números complejos está marcada por sus múltiples aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería o Tecnología)

1. Ecuaciones irresolubles en R

Durante todo ese tiempo se manejaron esas soluciones sin definirlas claramente, aunque sí Albert

Girard en 1629 afirmaba ya que una ecuación polinómica de grado n, tiene n soluciones.

Desde Al'Khwarizmi (800 DC), precursor del Álgebra, que sólo obtenía las soluciones

positivas de las ecuaciones, pasaron más de ocho siglos, hasta que finalmente Descartes en

1637 puso nombre a las raíces cuadradas de números negativos, imaginarios, y dedujo que las soluciones no reales de las ecuaciones son números de la forma a+bi, con a y b reales.

Historia

Numeros Complejos

1. Ecuaciones irresolubles en R

Con los conocimientos que poseemos seriamos capaces de resolver bastantes ecuaciones algebraicas, como por ejemplo:

x2 – 2 x - 3 = 0Que tiene por soluciones

x = -1 y x = 3Sin embargo existen ecuaciones irresolubles en R (números reales), pues por ejemplo la ecuación

x2 – 2 x + 3 = 0.Tiene por soluciones

x = 1 ±(-2)que no son soluciones reales.

Para resolver este tipo de ecuaciones las matemáticas han tenido la necesidad de ampliar los conjuntos numéricos, de tal manera que dichos conjuntos incluyan soluciones como las expuestas en el ejemplo anterior.

Numeros Complejos

Esquema de los numeros

Numeros Complejos

Un número complejo es un número de la forma z = a + b.î , donde a y b son número reales y î = (-1).Al número a se le denomina parte real, al número b se le denomina parte imaginaria y a î unidad imaginaria.Si b = 0, z = a es un número rel.Si a = 0, z = b.î es un número imaginario puroCon esta notación, podemos representar cualquier número que contenga una raíz negativa, por ejemplo: 3 + (-10) = 3 + 10.î.

El conjunto de los números complejos se representa por ℂ, es decir: ℂ = { a + b.î : a, b ℝ}

Ejemplo: Hallar las soluciones complejas de la ecuación x2 – 2 x + 5.

22 2 4.1.5 1 11 . 16 1 .4. 1 2.2 2 2

x i i

2. Numeros complejos

Numeros Complejos

3.1 Adicción y sustracción. Para sumar o restar números complejos, basta con sumar o restar

sus partes reales y sus partes imaginarias respectivamente, es decir:

(a+b.î) (c+d.î) = (ac) + (bd).î Ejemplo.- Si z1 = 2 – î , z2 = 1 + 3.î. Calcular z1 + z2 y z1 – z2.

z1 + z2 = (2+1) + (-1+3).î = 3 + 2.î

z1 - z2 = (2-1) + (-1-3).î = 1 - 4.î

Numeros Complejos

Para multiplicar números complejos, se multiplican como si fueran polinomios de variable î, después se agrupan los términos y se sustituye î2 por (-1), ya que î2 = (-1)2 = -1 :

(a+b.î) (c+d.î) = (ac) + (bd).î

Ejemplo.- Si z1 = 2 – î , z2 = 1 + 3.î. Calcular z1 . z2. z1 . z2 = ( 2 – î ) . (1+3.î) = 2.1 + 2.3.î - î.1 – î.3.î = 5 5.î

3.2 Multiplicación

Numeros Complejos

3.3 División. Números complejos conjugados.

El número complejo conjugado de a + b.î es a – b.î Ejemplo.- El conjugado de 2 + 3.î es 2 – 3.î Para dividir dos números complejos, se multiplica el numerador y

el denominador por el conjugado del denominador

Ejemplo.- Si z1 = 2 – î , z2 = 1 + 3.î. Calcular z1 / z2.

1

1

2 1 32 1 7 1 71 3 1 3 1 3 10 10 10

i iz i i iz i i i

— —— — — — ——

Numeros Complejos

3.4 Potencias de î. Potenciación. Teniendo en cuenta que se cumple:î1 = î î2 = -1 î3 = - î î4 = 1 î5 = î î6 = -1 î7 = - î î8 = 1

Y en general para cualquier número entero k se cumple

î4k = î î4k+1 = -1 î4k+2 = - î î4k+3 = 1 La potencia é-nésima de un número complejo a + b.î es decir ( a +

b.î) n, consiste en multiplicar n veces a + b.î. Ejemplo.- Calcular (2 – î)3

32 2 2 2 1 4 2 2 9i i i i i i i — — — — — — —

Numeros Complejos

3.5 Reconstrucción de una ecuación con soluciones complejas. Si una ecuación con coeficientes reales tiene por solución el número complejo

a + b.î, también tiene por solución el complejo conjugado a – b.î. Ejemplo.- Construir una ecuación de tercer grado con coeficientes reales, sabiendo

que dos de sus soluciones son r1 = 2 y r2 = 1 + 2.î

Solución: Como la ecuación buscada tiene también por raíz r3 = 1 – 2.î, será

(x – r1).(x - r2).(x – r3) = 0

(x - 2).(x – (1 + 2.î)).(x – (1 - 2.î)) = 0 (x - 2).(x – 1 - 2.î).(x –1 + 2.î) = 0 (x - 2).[(x – 1)2 – (2.î)2] = 0 (x - 2).[x2 – 2.x + 1 + 4] = 0 (x - 2).[x2 – 2.x + 5] = 0 x3 - 4.x2 + 9.x -10 = 0

Numeros Complejos

4.a Números complejos y vectores. Dado que podemos representar cada

número complejo z = a + b.î, en el plano real, representando a en el eje real (eje de abscisas OX) y representado b en el eje imaginario (eje de ordenadas OY), cada número complejo z = a + b.î, viene representado en el plano por el afijo z(a,b) o por el vector Oz

Ejemplo.- Los número complejos z1 = 4 + 3.î y

z2 = 3 – 2.î tiene por afijos z1(4,3) y z2(3,-2) y

el complejo z2 – z1 = (3 – 2.î) – (4 + 3.î) tiene

por vector asociado a (-1,-5)

Numeros Complejos

4.b Adición y sustracción gráfica de números complejos Teniendo en cuenta que lo

números complejos z = a + b.î, lo podemos representar por el vector vz = (a,b). Gráficamente, la suma de dos complejos z1 y z2 será el vector diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2 y la resta de dos complejos z1 y z2 será el vector diagonal del paralelogramo de lados z1 y –z2

Ejemplo.- Representar gráficamente gráficamente z1+z2 y z1–z2, siendo z1=1+î y z2=1–2.î

Numeros Complejos

4.c Producto gráfico de un números complejos por î. Teniendo en cuenta z=a+b.î, lo

podemos representar por el vector vz=(a,b). El producto de z.î=(a+b.î).î=-b+a.î, que tiene de afijo (-b,a) representa gráficamente el giro respecto del origen de z de 90º

Ejemplo: Representar gráficamente z.î2, siendo z=1+î

Numeros Complejos

5.1 Forma polar de un número complejo. Dado un número complejo z = a+b.î de afijo z(a,b) y vector asociadoz(a,b), se define:

MÓDULO de z = r = |z(a,b) | = (a2+b2).ARGUMENTO de z = = ángulo de z con el semieje positivo = arc tg

(b/a) De este modo en número complejo, se puede

representar en forma polar z(r,) o de forma

abreviada z = r.

Un número complejo en forma polar z = r, tendrá

de forma binómicaz = r.cos + î.r.sen

Ejemplos.-* Dado el número z = -2+2.î, como r = (a2+b2) = 2, y arc tg (b/a) = { 135º, 315º} y se encuentra en el segundo cuadrante, su forma polar abreviada será z = 2315º.

* Dado el complejo z = 4150º, su forma binómica

z = r.cos + î.r.sen = r.cos 150º + r.sen 150º . Î = -2.3+2.î.

Numeros Complejos

5.2 Forma trigonométrica de un número complejo. Dado un número complejo z = a+b.î de afijo z(a,b) de modulo r y argumento , su

forma trigonométrica será

z = r.(cos + î.sen )

Ejemplo.- Dado el número complejo z = 3+î, como su modulo es r = 2 y como está en

el primer cuadrante su argumento es = arc tg (1/3) = arc tg (3/3) = 30º y su forma trigonométrica será

z = 2.(cos 30º + en 30º). î .

Numeros Complejos

5.3 Números complejos iguales. Dos números complejos expresados en forma binómica z1 = a+b.î y z2 = c+d.î son

iguales si y solo si a = c y b = d. Dos números complejos en forma polar z1 = r y z2 = s son iguales si y solo si r = s y

- = 360º.k, siendo k un número entero cualquiera Ejemplo.- Para comprobar si son iguales z1 = 2315º y z2 = - 2 + 2.î, utilizando por

ejemplo la forma polar, como |z2 | = 2 y arc tg (2/-2 ) = -1 = {135º,315º}, pero como

z2 está en el segundo cuadrante, será z2 = 2135º , luego z1 z2

Numeros Complejos

6.1 Multiplicación de números complejos en forma polar. Dados dos complejos z1 = r = r.(cos +î.sen ) y z2 = s = s.(cos +î.sen ), será:

z1. z2 = r.s = r.s. (cos +î.sen ).(cos +î.sen ) =

= r.s. [ cos .cos - sen .sen + î. (sen .cos + cos .sen ) ] =

= r.s. [ cos (+) + î . sen (+) ] = r.s+ Ejemplo.- Si z1 = 360º y z2 = 230º, será

z1.z2 = 3.2(60+30)º = 690º

Numeros Complejos

6.2 División de números complejos en forma polar. Dados dos complejos z1 = r = r.(cos +î.sen ) y z2 = s = s.(cos +î.sen ), será:

Ejemplo.- Si z1 = 360º y z2 = 230º, será

z1/z2 = (3/2)(60-30)º = (3/2)30º

1

2

2 2

cos sen cos sencos sencos sen cos sen cos sen

cos cos sen sen sen cos cos sen

cos sen

cos sen

1

i irz r i rz s s i s i i

irs

ir rs s

cos sen ris

Numeros Complejos

6.3 Potenciación de números complejos en forma polar. Si z = a + b.î tiene su forma polar z = r, teniendo en cuenta el producto de números

complejos en forma polar y también que la potencia n-ésima de z (zn) es el producto n veces de z, se obtiene.

Ejemplo.-

n nnz r

5 55 30º 150º2 32 32 cos150º 150ºz sen

Numeros Complejos

6.4a Radicación de números complejos en forma polar. Sea el número complejo z = r. Si w = s es una raíz en enésima de z, se tiene

que cumplir wn =z, es decir

Ejemplo.- Para hallar las raíces cuartas de z=1, como z=1= 1.(cos 0º + î.sen 0º) = 10º.Como

360º (t un entero cualquier)360º ; k = 0, 1, 2, 3, ..., n-1

n n

n nn

s r s rn n ts r s r

kn

1 2

3 4

1 0º 2 90º 3 180º 4 270º

0º 360º 0 0º 360º 11 1 0º 90º4 4

0º 360º 2 0º 360º 3 180º 270º4 4

dichas raíces seránz 1 z 1 z 1 z 1

n

Numeros Complejos

6.4b Radicación de números complejos en forma polar. Si el número complejo z = r. La representación en el plano de las raíces

enésimas de z, son los vértices de un polígono regular de n lados cuyo centro es el origen y radio es r1/n.

Ejemplo.- Representar en el plano las raíces cuartas de z=1.

Numeros Complejos

Soluciones de ecuaciones polinómicas Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0.

Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado ntienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. También se cumple que si z es una raíz entonces su conjugado también es una raíz delpolinomio p. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

Variable compleja o análisis complejo Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una

gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas; mientras que las funciones reales de variable real necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suele utilizar una fotma coloreada en un espacio de tres dimensiones para representar la cuarta coordenada.

Ecuaciones diferenciales En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales

lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas)   del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma:  .

Fractales Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a

través de cálculos con números complejos en el plano.

Aplicaciones En matemática

Números Complejos. APLICACIONES

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo   podemos pensar en   como la amplitud y en   como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma   donde ω representa para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

Aplicaciones En física

Números Complejos. APLICACIONES

? Dudas | ? consultas -> udc@gustavoarza.com.ar

Números Complejos. aplicaciones al área de redes y telecomunicaciones

Expositor: Gustavo Arza