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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERA QUMICA
Escuela Profesional de Ingeniera Qumica
ASIGNATURA: MATEMTICA BSICA
RESOLUCIN DE EJERCICIOS
TEMA: Lnea recta Circunferencia Parbola
PRESENTADO POR: LEONARDO ALMEYDA TEJADA DIANA SUPO OSORIO
ADRIAN A. RAMIREZ VERA VALERIA SALDAA QUIROZ
RENATO BRIGGES LOAYZA THALIA TAQUIA PORRAS
BELLAVISTA 23 DE ABRIL DEL 2015
LA L NEA RECTA
8. Determinar el valor del parmetro k correspondiente a la recta de lafamilia 5x-12y+k=0, cuya distancia del origen es igual a 5. Teniendo el parmetro, hllese la ecuacin de la recta.
Solucin: Sea la familia de rectas L: 5x 12y + k = 0
Si d (0, L) = 5 ||
25+144 = 5 || = 65 k = 65 v k = -65
Luego, en L se tiene dos soluciones:
9. La ecuacin de una familia de rectas es 2x+3y+k=0. El producto de lossegmentos de una recta de la familia determina sobre los ejes coordenados es 24. Hllese la ecuacin de la recta.
Solucin: Sea la familia de rectas L: 2x + 3y + k = 0., cuya interseccin con los ejes coordenados es a = -k/2 y b = -k/3.
Si a b = 24 (-k/2)(-k/3) = 24 k=12 v k= -12
Luego, en L se tiene dos soluciones:
5x 12y + 65 = 0 v 5x 12y 65 = 0
L1: 5x 12y + 65 = 0
L2: 5x 12y - 65 = 0
2x + 3y + 12 = 0 v 2x + 3y 12 = 0
L1: 2x + 3y 12 = 0
L2: 2x + 3y + 12 = 0
10. Usando el mtodo del parmetro, hallar la ecuacin de la recta quepasa por A(2,-3) y es paralela a la recta L1: 5x - y + 11 = 0.
Solucin: La ecuacin que representa al haz de rectas paralelas a L1 es:
5x - y + k = 0 (1)
Si A(2,-3) L 5(2) (-3) + k = 0 k = -13
Sustituyendo en (1) se tiene la recta buscada:
11. Por el mtodo del parmetro hallar la ecuacin de la recta que pasa porel punto A(2,-1) y es perpendicular a la recta L1: 7x 9y + 8 = 0
Solucin: L a ecuacin de la familia de rectas perpendiculares a L1 es:
L: 9x + 7 y + k = 0 (1)
Si A(2,-1) L 9(2) + 7(-1) + k = 0 k = -11
Sustituyendo en (1) se tiene la recta pedida: L: 9x + 7 y - 11 = 0
L: 5x y 13 = 0
A (2,-3)
L: 5x y 13 = 0
L1: 5x y + 11 = 0
L1: 7x 9 y + 8 = 0
A (2,-1)
L: 9x + 7y 11 = 0
12.- La suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejescoordinados es igual a 3. Por el mtodo del parmetro hallar la ecuacin de
la recta sabiendo que contiene al punto (2,10). (Dos soluciones).
Solucin:
Por la forma simtrica o segmentaria de la recta:
:
+
3= 1 (1)
Si el punto A pertenece a L:
A (2,10) :2
+
10
3= 1
2(3)+10
(3)= 1
6 2 + 10 = 3 2
2 + 5 + 6 = 0
32
( + 3)( + 2) = 0
1 = 3 2 = 2
Al sustituir resultan 2 rectas:
1:
3+
3+3= 1
3+
6= 1
63
18= 1
1: 6 3 + 18 = 0 1: 2 + 6 = 0
2:
2+
3+2= 1
2+
5= 1
52
10= 1
2: 5 2 + 10 = 0
Por dato del problema:
a+3=3
b=3-a
13.- La diferencia de los segmentos que una recta determina sobre losejes coordenados es 1. Por el mtodo del parmetro hallar la ecuacin de
la recta si se debe pasar por el punto (6,-4). (Dos soluciones).
Solucin:
Por la forma simtrica o segmentaria de la recta:
:
+
1+= 1 (1)
Si el punto A pertenece a L:
A (6,-4) :6
+
4
1+= 1
6(1+)4
(1+)= 1
6 + 6 4 = 2
2 6 = 0
32
( 3)( + 2) = 0
1 = 3 2 = 2
Al sustituir resultan 2 rectas:
1:
3+
1+3= 1
3+
4= 1
4+3
12= 1
1: 4 + 3 12 = 0
2:
2+
12= 1
2+
1= 1
2
2= 1
2: 0 = + 2 + 2
14.- El producto de los segmentos que una recta determina sobre los ejescoordenados es igual a -6. Por el mtodo del parmetro hallar la ecuacin
de la recta si su pendiente es igual a 3.
Solucin:
Por la forma simtrica o segmentaria de la recta:
:
6= 1 (1)
Resolviendo:
:62
6= 1
: 6 2 6 = 0
Si la m=3 =
3 =6
2 2 = 2
1 = 2 2 = 2
Al sustituir resultan 2 rectas:
1:
2
2
6= 1
62
62= 1
1: 6 2 62 = 0 1: 3 32 = 0
2:
2+
2
6= 1
62
62= 1
1: 6 2 + 62 = 0 1: 3 + 32 = 0
Por dato del problema:
b.a=1
b=-6/a
15.- Una recta pasa por el punto A (-6,7) y forma con los ejescoordenados un tringulo de rea igual a 10 . Hallar su ecuacin.
Solucin:
Por la forma simtrica o segmentaria de la recta:
:
+
21= 1
21+2
21= 1
: 2 + 21 21 = 0
Si el punto A pertenece a L:
A (-6,7) : 72 + 21(6) 21 = 0
: 72 126 21 = 0
2 3 18 = 0
63
( 6)( + 3) = 0
1 = 6 2 = 3
Sustituyendo en L, tenemos dos ecuaciones:
1:
6+
6
21= 1
21+36
126= 1
1: 21 + 36 126 = 0 1: 7 + 12 42 = 0
2:
3
3
21= 1
3
7= 1
7+3
21= 1
2: 7 + 3 + 21 = 0
Por dato del problema:
rea=.
2=
21
2
a.b=21
b=21
16. Una recta pasa por los puntos A (2,4/3) y forma con los ejes de coordenados un tringulo de permetro igual a 12. Halle su ecuacin.
Solucin:
Sea la ecuacin L: 1
Si A (2,4/3) L 1
De donde: 4 6 3 ............ (1) Pero: 12 12 .(2) Evaluando el cuadro tenemos:
2 144 24 Por Pitgoras: 2 144 24 126 (3)
Sustituyendo en (1): 4 6 366 2 3 186 2 186 212 186 421
4 . . 4 Sustituyendo (4) en (2): 12 84 16 35 24 . . 5 Reemplazando (4) y (5) en (3): 1221 45 24 126
en donde: 10 101 225 0 5 ; 3 ;
4
Finalmente en L obtenemos:
: :
17. La distancia de una recta al origen es 3. La recta pasa por el punto
A,. Hallar su ecuacin.
Solucin:
La ecuacin de la recta que pasa por A y de pendiente m es:
3 35 : 35 3 0..(1)
Si 0, 3 3 5 1 1
Elevando al cuadrado resulta: 2 5 0 0
Luego en (1) se tiene: : 3 0: 5 2 9 0
18. la suma de los segmentos que una recta determina sobre los ejes coordenados es igual a 10. Hallar la ecuacin de la recta si forma con los ejes coordenados un tringulo de rea 12 u2.
Solucin:
Si 10 10 ,::
1
Adems |10 | 12 10 24 0 4 6
Sustituyendo en obtenemos las soluciones: : 3 2 12 0: 2 3 12 0
19. Una recta pasa por el origen y por la interseccin de las rectas : y : . Hallar la ecuacin, sin determinar el punto de interseccin.
Solucin:
Ecuacin. de la familias de rectas que pasan por 3 2 14 3 1 0
P(0,0) , reemplazando 0 0 14 0 0 1 0
Reemplazando el valor de k en
3 2 14 3 1 0
:
20. Una recta pasa por el punto A (-2,3) y por la interseccin de las rectas y . Hallar su ecuacin sin determinar su punto de interseccin
Solucin:
Ecuacin de la familia de rectas que pasan por
5 2 3 4 5 0 ..
A (-2,3) , reemplazamos: 2 15 2 6 12 5 0
15
Reemplazando el valor de k en 5 2 3 4 5 0 5 2 153 4 5 0
21. Una recta pasa por la interseccin de las rectas de ecuaciones y . Hallar su ecuacin sabiendo que es paralela a la recta . Solucin:
Ecuacin de la familia de rectas que pasan por 3 2 8 2 9 5 0 .
, entonces 6 2 11 0 3 3 2 8 2 9 5 0
3
Reemplazando el valor de k en 3 2 8 2 9 5 0 3 2 8 2 9 5 0
22. Una recta pasa por la interseccin de las rectas de ecuaciones L1: 7x -2y = 0 y L2: 4x y 1 = 0 y es perpendicular a la recta L3: 3x + 8y - 19 = 0.
Hallar su ecuacin.
Solucin:
a) L: 7x 2y + k(4x y 1) = 0
L: (7 + 4k)x (2+k)y k = 0
b) L1 n L2 = (X,Y)
L1: 7x - 2y = 0
2(L2): 8x 2y 2 = 0
x = 2 ; y = 7
c) La perpendicular a L3
ML . ML3 = -1
ML . -3/8 = -1
ML = 8/3
d) Hallando pendiente de L:
7+ 4K = 8 2 + K 3
K = - 5/4
e) Hallando la ecuacion de L:
L: (7 + 4k)x (2+k)y k = 0
L: 2x y + 5/4 = 0
L: 8x 3y + 5 =0
23. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por la interseccin de las dosrectas L1: 3x + y 9 = 0, L2: 4x - 3y + 1 = 0 y cuya distancia del origen
es 2.
Solucin:
a) Hallando la interseccin de L1 y L2:
3(L1): 9x + 3y 27 = 0
L2 : 4x 3y + 1 =0
x = 2; y = 3
b) Hallando la ecuacin de L:
L: 3x + y 9 + k(4x 3y +1) = 0
L: (3 + 4k)x +(1-3k)y +k 9 = 0
c) Hallando la distancia desde el
origen a la recta :
(3 +4k)(0) + (1 3y) (0) + k 9 = 2 (3 + 4k)2 + (1 3k)2
(k 9)2 = 4(9 + 24k + 16k2 + 1 + 9k2 6k)
K2 + 81 18k = 100k2 + 72k + 40 99k2 + 90k 41 = 0 (3k - 1)(33k + 41) = 0 K1 = 1/3; k2 = - 41/3
d) Hallando la ecuacin de la recta:
. CUANDO K = 1/3
L: (3 + 4.1/3)x + (1 3.1/3)y +1/3 9 = 0
L: 13X 26 = 0
. CUANDO K = - 41/3
L: (3 + 4.- 41/3)x + (1 3. 41/3)y - 9 41/3 = 0
L: 155x 126y + 68 = 0
24. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por la interseccin de las dosrectas L1: 3x - 4y = 0, L2: 2x - 5y + 7 = 0 y forma con los ejes coordenados
un tringulo de rea 8.
Solucin:
a) Hallando la interseccin de L1 Y L2:
L1: 3x 4y = 0
L2: 2x 5y + 7 = 0
X = 4; y = 3
b) Hallando la ecuacin de la familia de
rectas que pasan por el punto de
interseccin:
L: 3x 4y + k(2x 5y + 7) = 0
L: (3 + 2k)x (4 + 5k)y + 7k =0
c) Cuando:
x = 0; y = b = 7/4 + 5k y
d) Cuando:
x = a = -7k/3 + 2k; y = 0:
Entonces:
1/2 .a.b = 8 a.b = 16
e) Reemplazando valores:
(7
4+5) (
7
3+2) = 16
1112 + 368 + 192 = 0
= 8
3 = 24/37
f) Sustituyendo cada valor de k en la ecuacin
: + = : =
25. Una recta pasa por el punto de interseccin de las rectas L1: 2x - 3y 5 = 0 y L2: x + 2y 13 = o y el segmento que determina sobre el eje x es
igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuacin de dicha recta.
Solucin:
a) Hallando la ecuacin L:
L: 2x 3y 5 + k(x + 2y 13) = 0
L: (2 + k)x + (2k - 3)y (5 + 13k) = 0
b) Aplicado: 2.mL = x ; cuando y = 0
2.(-2-k) /(2k 3)= 5 + 13k/ (2+k)
28k2 21k 7 = 0
(4k - 7)(k + 1) = 0
K1 = 7/4; k2 = -1
. Cuando K1 = 7/4
L: (2 + 7/4)x + (2.7/4 - 3)y - (5 +
13.7/4) = 0
L: 15x + 2y 111 = 0
.Cuando k2 = -1
L: (2 + -1)x + (2.-1 - 3)y (5 + 13.-1) = 0
L: x 5y + 8 = 0
GUA DE PRA CTCA CRCUNFERENCA PARA BOLA
1.-) Determinar la ecuacin de la circunferencia en cada uno de los casos
siguientes:
A.-) El dimetro de la circunferencia es el segmento que una los puntos
(, ), (, ).
Solucin:
Aplicando distancia entre dos puntos tenemos:
(, ) = (2 1)2 + (2 1)2
= (6 (2))2 + (1 5)2
= (8)2 + (4)2
= 64 + 16
= 80 = 45 = 2
Luego para hallar el centro de la circunferencia (, ) Utilizamos el punto medio
del segmento que une .
=2 + 1
2 ; =
2 + 12
= 6 + (2)
2 ; =
1 + 5
2
Obtenemos el centro (, ) = ; =
: (2,3)
,
:
( )2 + ( )2 = 2
(2,3) En la ecuacin ordinaria:
(x 2)2 + (y 3)2 = (25)2
x2 4x + 4 + y2 6y + 9 = 20
x2 + y2 4x 6y + 4 + 9 20 = 0
x2 + y2 4x 6y 7 = 0
Entonces ya tenemos la ecuacin de la circunferencia que nos pedan:
C = x2 + y2 4x 6y 7 = 0
B.-) El centro de la circunferencia est en el eje de abscisas y pasa por los
puntos (, ), (, ).
Solucin:
Ambos puntos forman parte de la circunferencia, reemplazaremos e
igualaremos ambos puntos en la ecuacin ordinaria de la circunferencia para
hallar el centro C:
(1 )2 + 1
2 = 2
(2 )2 + 2
2 = 2
(1 )2 + 1
2 = (2 )2 + 2
2
(1 )2 + 32 = (7 )2 + 52
2 + 2 + 1 + 9 = 2 14 + 49 + 25
16 = 74 10
= 4
Entonces el Centro de la circunferencia es: = (4,0)
Ahora para hallar el radio de la circunferencia utilizamos la formula distancia
entre dos puntos de P1(1,3) o P2(7,5) a = (4,0)
= (3 2)2 + (3 2)2
= (4 (1))2 + (0 3)2
= 25 + 9
= 34
Donde = = 34 2 = 34
Reemplazando en la ecuacin ordinaria de la circunferencia:
( )2 + ( )2 = 2
( 4)2 + ( 0)2 = 34
2 8 + 16 + 2 = 34
2 + 2 8 + 16 34 = 0
2 + 2 8 18 = 0
Entonces la ecuacin de la circunferencia que nos pedan es:
= + =
C.-) El centro de la circunferencia es el punto (, ) y es tangente a la
recta : + = .
Solucin:
Para hallar el radio de la circunferencia usamos para formula de la distancia
de un punto a una recta dada. Donde d = r
(, 1) =| + + |
2 + 2
y C(x, y):
=|3 + 2 12|
32 + 22
=|3(4) + 2(1) 12|
13
=| 22|
13 =
22
13 2 =
484
13
:
( + 4)2 + ( 1)2 =484
13
2 + 8 + 16 + 2 2 + 1 =484
13
2 + 2 + 8 2 + 17 484
13= 0
Donde la ecuacin de la circunferencia reducida a su forma general sera la
siguiente:
= + + + (
) =
D.-) El dimetro de la circunferencia es la cuerda comn de las
circunferencias : + + = y :
+ +
=
Solucin:
Ya que ambas satisfacen la ecuacin de una circunferencia C igualaremos
las ecuaciones =
x2 + y2 + 2x 2y 14 = x2 + y2 4x + 4y 2
2 2 14 = 4 + 4 2
6x 6y = 12
x y = 2
= x 2
Ahora reemplazaremos = 2 en la ecuacin :
x2 + (x 2)2 + 2x 2(x 2) 14 = 0
x2 + x2 4x + 4 + 2x 2x + 4 14
2x2 4x 6 = 0
x2 2x 3 = 0
Factorizando tenemos (x + 1)(x 3) = 0 = 1 ^ = 3
Hemos encontrado dos valores para X que cumple con la ecuacin as que
reemplazaremos en la relacin = x 2 para hallar los dos valores de Y.
= 1 = 3
= 3 = 1
A los cuales les llamaremos 1(3,1) 2(1, 3)
Ahora para hallar el radio, utilizamos distancia entre dos puntos = (1, 2)
y lo dividiremos entre 2 ya que dicha distancia es el dimetro.
(1, 2) = (1 3)2 + (3 1)2
= 32 = 42 = 22
Para hallar el centro P0 de la circunferencia C utilizamos punto medio de
un segmento de recta:
= 1 + 3
2 ; =
3 + 1
2
= 1 ; = 1 = ; =
0(1, 1)
Reemplazando P0 para hallar la ecuacin de la circunferencia pedida:
(x 1)2 + (y (1))2 = (22)2
2 2 + 1 + 2 + 2 + 1 = 8
2 + 2 2 + 2 6 = 0
La ecuacin de la circunferencia pedida es:
: + + =
: 2 + 2 + 2 2 14 = 0
: 2 + 2 4 + 4 2 = 0
(1, 1) ; (3,1) (1, 3)
: + + =
(, ) = (2 1)2 + (2 1)2
= (6 (2))2 + (1 5)2
= (8)2 + (4)2
= 64 + 16
= 80 = 45 = 2
Luego para hallar el centro de la circunferencia (, ) utilizamos el punto medio
del segmento que une .
=2 + 1
2 ; =
2 + 12
= 6 + (2)
2 ; =
1 + 5
2
Obtenemos el centro (, ) = ; =
: (2,3)
,
:
( )2 + ( )2 = 2
(2,3) En la ecuacin ordinaria:
(x 2)2 + (y 3)2 = (25)2
x2 4x + 4 + y2 6y + 9 = 20
x2 + y2 4x 6y + 4 + 9 20 = 0
x2 + y2 4x 6y 7 = 0
Entonces ya tenemos la ecuacin de la circunferencia que nos pedan:
C = x2 + y2 4x 6y 7 = 0
2.-) Hallar la recta tangente a la circunferencia : + = en
el punto (, )
Solucin:
Completando cuadrados en la ecuacin para conseguir:
( )2 + ( )2 = 2
(x2 8x + 16) 16 + (y2 6y + 9) 9 = 0
(x 4)2 + (y 3)2 = 25
Entonces ya encontramos el centro P0(h, k) = (4,3)
y el radio que sera: r = 5
Reemplazando en la recta L1 que pasa por P0 y P1
( 1) =0 10 1
( 1)
( 4) =3 4
4 11( 11)
( 4) =1
7( 11)
7 28 = 11
1: 7 + 17 = 0
Ahora para hallar la ecuacin de la recta 2 tangente a por ser
perpendicular con la recta 1 el producto de pendientes es igual a -1.
1(2) = 1
Reemplazando:
1
7(2) = 1
2 = 7
Entonces reemplazamos en la ecuacin de la pendiente:
= 1 1
7 = 4
11
7 + 77 = 4
2 = 7 81 = 0
Representando en la grfica los elementos empleados en la resolucin,
vemos que no hay intercepcin del punto P1 con la circunferencia C1 as que
no habra respuesta para este ejercicio.
3.-) Hallar el centro y radio de la circunferencia : + + + =
y grafica.
Solucin:
Completando cuadrados en la ecuacin C1 tenemos:
(x2 + 6x + 9) 9 + (y2 2y + 1) = 0
(x + 3)2 + (y 1)2 = 9
De la ecuacin ordinaria de la circunferencia:
: ( )2 + ( )2 = 2
Obtenemos el centro P0 (h, k)= (-3, 1)
y el radio que sera: 2 = 9 = 3
4.-) Encontrar la ecuacin de la circunferencia: C0 con centro en el origen de
coordenadas y que es tangente a la circunferencia
: + + + = .
Solucin:
De la circunferencia pedida, como tiene centro en el origen su ecuacin tiene
la forma: 0: 2 + 2 = 2
Completando cuadrados en tenemos:
(x2 4x + 4) 4 + (y2 + 10y + +25) 25 + 28 = 0
(x 2)2 + (y + 5)2 = 1
centro de C1(2, 5) r = 1
Tenemos que la distancia entre el centro de C0 (P0) y el centro de C1 (P1), es
el radio de la circunferencia pedida, ms el radio de C1. Entonces:
0(0,0) 1(2, 5)
(0, 1) = (1 0)2 + (1 0)2
= (2)2 + (5)2
= 29 5.3851
Teniendo la distancia entonces le quitamos el radio de C1 y obtenemos el
radio de la circunferencia pedida.
= 0 + 1
0 = 1
Reemplazando tenemos:
0 = 5.3851 1
0 = 4.3851
Reemplazando en la ecuacin pedida C con centro en el origen tenemos la
ecuacin:
2 + 2 = (4.3851)2
: + . =
5.-) Determinar la ecuacin de la familia de circunferencia con centro en y
x = 0 y que pasa por el origen P0 (0, 0).
Solucin:
Dada la ecuacin y x = 0; deducimos x=y
La ecuacin de la circunferencia cuyo centro se ubica en el origen:
2 + 2 = 2 (1)
Reemplazando x=y en (1)
2 + 2 = 2
22 = 2
2 =
: + =
6. Si (, ) es el punto medio de una cuerda de la circunferencia
: + + = . Encontrar la ecuacin de la cuerda.
Solucin:
A) Hallando los valores de h y k en C
: 2 + 2 + 2 2 14 = 0
: 2 + 2 2 2 + 2 + 2 2 = 0
: 2 + 2 + + + = 0
2 = 2 2 = 2
= 1 = 1
B) Hallando la pendiente de L1
(1,1) (8,6) 1
1 =61
8(1)=
5
9
C) Sean las siguientes rectas: 1 2 D. Hallando la ecuacin de 2
1 2 = 1 (8,6) 2
2 = 9
5 ( 6) =
9
5( 8)
: + =
(-1,1)
7. Determinar la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos P (4,6),
Q (-2,-2), R (5,-1)
Solucin:
A) Hallando la ecuacin de C reemplazando
los puntos M, N, P
: 2 + 2 2 2 + 2 + 2 2 = 0
Reemplazando M (4,6).. (1)
: 52 8 12 + 2 + 2 2 = 0
Reemplazando N (5,-1).. (2)
: 26 10 + 2 + 2 + 2 2 = 0
Reemplazando P (-2,-2). (3)
: 8 + 4 + 4 + 2 + 2 2 = 0
B) Simplificando (1) y (2)
: 52 8 12 + 2 + 2 2 = 0 (-)
: 26 10 + 2 + 2 + 2 2 = 0
: 26 + 2 14 = 0 (i)
C) Simplificando (2) y (3)
: 26 10 + 2 + 2 + 2 2 = 0 (-)
: 8 + 4 + 4 + 2 + 2 2 = 0
: 14 14 2 = 0 .(ii)
D) Multiplicando a (i) por 7
: 26 + 2 14 = 0
: 182 + 14 98 = 0 .. (iii)
E) Hallando h, k por (iii) y (ii)
: 182 + 14 98 = 0 (+)
: 14 14 2 = 0
196 94 = 0
196 96 = 0
=49
25
F) Reemplazando k en (ii)
: 14 14 2 = 0
: 14 14 2(49
25) = 0
=18
25
G) Hallando r, reemplazando h y k en (1)
: 52 8 12 + 2 + 2 2 = 0
: 52 8(18
25) 12(
49
25) + (
18
25)2 + (
49
25)2 2 = 0
=677
25
H) Hallando la ecuacin de la circunferencia con h,k y r
: (
) + (
) =
8. Hallar la ecuacin de la circunferencia cuyo centro es la interseccin de
las rectas : = ; : + + = y es tangente a la recta
: =
Solucin:
A) Hallamos el punto de interseccin de 1y 2
1: = 0 y 2: + + 2 = 0
= 0 = + + 2
= 1 = 1
Siendo el punto de interseccin el
centro de la circunferencia, tenemos el
centro O(-1,-1) siendo:
= 1 = 1
B) (,3) = C) Teniendo h, k y r construimos la ecuacin
3: 2 = 0 de la circunferencia
(,3) = |1(1)2|
2= = 1 = 1 = 2
= 2 : ( + 1)2 + ( + 1)2 = 2
: + + + =
9.-) Determinar la ecuacin de la circunferencia que es tangente a los ejes
coordenados y tiene su centro sobre la recta L1= x + 2y 2 = 0
Solucin:
Por condicin de tangencia para ambos semiejes se obtiene que; x = y
Para la circunferencia h = k = r
Reemplazando:
h + 2k = 2
3h = 2
h = 2
3; k =
2
3; r =
2
3
Reemplazando en la forma general de la circunferencia tenemos: ( 2
3)2 +
( 2
3)2 = (
2
3)2
( 32
3)2 + (
32
3)2 = (
2
3 )2 Simplificando 32 de ambos miembros
(3 2)2 + (3 2)2 = 4
9x2 12x + 4 + 9y2 12x + 4 = 4
La ecuacin de la circunferencia es: 9x2 + 9y2 12x 12y + 4 = 0
10.-) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia
: + + + = que son perpendiculares a la recta
: + = .
Solucin:
Completando cuadrados en C:
+ + 10 2 + 6 = 0
(2 + 10 + 25) 25 + (2 2 + 1) 1 + 6 = 0
( + 5)2 + ( 1)2 = 20
Centro P0 (-5, 1) ; r = 20 = 25
De la recta 3: 2 + 3 = 0 obtenemos su pendiente:
3 =1
2
Por ser perpendicular a las rectas
3() = 1
1
2() = 1
=
La ecuacin de la recta la hallaremos por medio de su pendiente en la
ecuacin:
1 = 1 1
:
2 = 1 1
2 + 21 = 1
2 + (21 + 1) = 0
Aplicando distancia de un punto a una recta dada hallaremos ambas rectas
donde 1es el punto de tangencia entre L1 y C; 2 es el punto de
tangencia entre L2 y C: P0 (-5, 1)
(0, 1) = (0, 2) =
(0, 1) =|2(5) + (1) 21 1|
22 + 12
(5)25 = | 9 (21 + 1)|
10 = | 9 (21 + 1)|
(9 (21 + 1)) > 0 (21 + 1) = 19
(9 (21 + 1)) < 0 (21 + 1) = 1
: + + = : + =
11.-) Hallar la ecuacin de la parbola cuyo foco es el punto (2,1) y la
ecuacin de su recta directriz es L: y+4=0
Solucin:
: =
+ 4 = 0
= 4 = 4 . . (1)
Dada la ecuacin de la directriz LD: y=-4 se obtiene que el eje focal es
paralelo al eje Y.
: (, + ) (2,1)
= 2 ^ + = 1 . . (2)
+ = 1
= 4
2 = 3
=3
2
De (1) y (2) se obtiene:
= 3
2 ; =
5
2
(, ) = (2, 3
2)
Reemplazando en la ecuacin general de la parbola:
: ( )2 = 4( )
( 2)2 = 4 (5
2) ( (
3
2))
2 4 + 4 = 10( +3
2)
2 4 + 4 = 10 + 15
: =
12.-) Hallar la ecuacin de la parbola cuyo eje focal es paralelo al eje X, y
pasa por los puntos (3; 3), (6; 5) y (6; -3)
Solucin:
Por dato la ecuacin de la Parbola tiene forma:
2 + + + = 0
(3,3),(6,5),(6,-3) {
(3)2 + 3 + 3 + = 0
(5)2 + 5 + 6 + = 0
(3)2 3 + 6 + = 0
Resolviendo el sistema obtenemos los siguientes valores:
= 2, = 4 , = 12
Reemplazando en la ecuacin de la parbola:
2 4 2 + 12 = 0
13.-) Si la directriz de una parbola es la recta L1: x-y + 14=0, y la
circunferencia que pasa por el vrtice y los extremos del lado recto de
la parbola es ( ) + ( ) = 50. Halla la ecuacin de la parbola:
Solucin:
Por la definicin :
d(P,F1) = d(P,L)
{
| + 14|
2
( 2)2 + ( 2)2
(|+14|
2)2=(( 2)2 + ( 2)2)2
()2+ 142+14(2)()
2 = ( 2)2 + ( 2)2
2 + 2 + 2xy + 28x -28y + 196 = 22 -8x + 2 + -8y + 16
2 + 2 +2xy + 36x + -20y + 180 = 0
14.-) Una parbola tiene eje focal paralelo al eje Y, vrtice (3, 1) y lado recto
igual a 8. Encontrar:
A.-) La ecuacin de la parbola
B.-) El foco
C.-) la ecuacin de la directriz
Solucin:
Por dato obtenemos que = 8
|| = 4
|8| = 4
= 2
A.-) hallando la ecuacin de le parbola con vrtice V (h, k) = (3, 1)
: ( )2 = 4( )
( 3)2 = 4(2)( 1)
2 6 + 9 = 8 8
: + =
B.-) Sabiendo el vrtice (, ) = (3, 1)
(, + )
= (3, 1 + 2)
= (3, 3)
C.-) La ecuacin de la directriz tiene la forma:
: =
= 1 2
= 1
La ecuacin de la directriz es:
: + =