DICIEMBRE

DEL

2015

NÚMEROS COMPLEJOS APLICADO A LA

INGENIERÍA

Matemática Básica Para La Ingeniería Página 1

“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación”

UNIVERSIDAD CATÓLICA SEDES SAPIENTIAE

INFORME DE NÚMEROS COMPLEJOS APLICADO A LA

INGENIERÍA

CURSO : MATEMÁTICA BÁSICA PARA LA INGENIERÍA

TEMA : NÚMEROS COMPLEJOS

DOCENTE : ING. JAVIER LA ROSA BOTANERO

JEFE DE ÁREA : LIC. PABLO GARCIA AGUILAR

FACULTAD : INGENIERÍA

SICLO : I

SALÓN : 130-A

INTEGRANTES : BRAYAN XAVIER VARGAS GONGORA

JAIME ELVIS QUISPE JARA

ROBERTO CARRILLO

LIMA-PERÚ

Matemática Básica Para La Ingeniería Página 2

INDICE

Introducción

Objetivo

Historia De Los Números Complejos

Primeros estudios: SXVI Actualidad

CAPITULO I

Definición de los Números Complejos Parte Real e Imaginario Forma Binómica Potencias de la Unidad Imaginaria Suma y Producto en Forma Binómica Complejos Conjugados Cociente en Forma Binómica Módulo de un Número Complejo Argumento de un Número Complejo Interpretación Geométrica Forma Trigonométrica y Polar Forma Expotencial Potencia de Número Complejo- Formula de Moivre Raíces de Números Complejos Potencia de Base Exponente Complejo Formula de Euler Ejemplos Desarrollados

¿Para qué sirven los números complejos?

Aplicaciones de los Números Complejos

Aplicación En Diversos Ámbitos en la Ingeniería

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CAPITULO II

Números Complejos Y Su Representación En Circuitos CA

CAPITULO III

Números Complejos Aplicado A La Ingeniería Civil

CONCLUSIÓN

BIBLIOGRAFÍA

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INTRODUCCIÓN

"Quien quiere hacer algo encuentra un medio; quien no quiere hacer nada encuentra una excusa". (Proverbio chino)

Todos vivimos resolviendo problemas: desde el más básico de asegurar la

Cotidiana subsistencia, común a todos los seres vivos, hasta los más complejos

desafíos planteados por la ciencia y la tecnología. La importancia de la actividad

de resolución de problemas es evidente; en definitiva, todo el progreso científico y

tecnológico, el bienestar y hasta la supervivencia de la especie humana dependen

de esta habilidad. No es de extrañar por lo tanto que la misma se haya convertido

en un nuevo objeto de estudio, atrayendo por igual la atención de psicólogos,

ingenieros, matemáticos, especialistas en inteligencia artificial y científicos de

todas las disciplinas. En el campo educativo se ha reconocido ampliamente su

importancia. Y en muchas Universidades el desarrollo de la creatividad y de la

habilidad para resolver problemas es una parte integral del curriculum.

Estamos abriendo la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas

las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles.

A lo que nos referimos es al mundo mágico de Los Números Complejos, donde

se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de los números negativos. En

esta Unidad se presenta este mundo: expresión de los números complejos, su

representación gráfica, operaciones y su forma polar. El enfoque es muy

geométrico para facilitar la comprensión.

La importancia de los números complejos está marcada por sus múltiples

aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería, Tecnología,...)

Matemática Básica Para La Ingeniería Página 5

OBJETIVO

Objetivo General:

Entender la necesidad de los números complejos para solucionar

diversos problemas que nos presentan en la vida diaria.

Esto se debe a la carrera de ingeniería que estamos desarrollando como

estudiantes.

Objetivo Secundario:

Relacionar el signo del discriminante de una ecuación de 2º grado

con el número de soluciones de la ecuación.

Conocer los conceptos: unidad imaginaria, nº complejo, parte real y

parte imaginaria.

Representar gráficamente números complejos.

Conocer el concepto de afijo de un complejo.

Hallar potencias de i (unidad imaginaria).

Sumar y restar complejos en forma binómica y gráficamente

Expresar un complejo en forma polar.

Representar un complejo dado en forma polar.

Operar con complejos en forma polar (multiplicación, potenciación y

división) e interpretarlo gráficamente.

JUSTIFICACIÓN:

Escogimos este tema con todos los integrantes del grupo, para dar a

conocer su gran importancia que tiene hacia cada uno de nosotros

como estudiantes de ingeniería.

¿ Porque? Nos hemos dado cuenta que es un tema sumamente

importante, y que cada uno de los estudiantes de diferentes

ingenierías u otras carreras profesional, están obligados a conocer

sus herramientas potentes que nos brinda este curioso tema.

¿Para Qué? Para demostrar que el estudio de números complejos puede

ayudarnos a resolver una gama de problemas que afrentamos a diario por la

necesidad del hombre, de desarrollarse tecnológicamente y científicamente.

Matemática Básica Para La Ingeniería Página 6

HISTORIA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Teniendo conocimiento de cómo la raza humana ha adquirido su sabiduría sobre ciertos

hechos y conceptos, estaremos en mejor disposición de juzgar como los niños adquieren tal

conocimiento. George Polya (1887-1985)

La primera referencia escrita de la raíz cuadrada de un número negativo la encontramos en la

obra Estereometría de Herón de Alejandría (Greciaaprox. 10-75) alrededor de la mitad del siglo

I. Es este trabajo comparece la operación √81 − 144 aunque es tomada como √144 − 81, no

sabiéndose si este error es debido al propio Herón o al personal encargado de transcribirlo.

La siguiente referencia sobre esta cuestión se data en el año 275 en la obra de Diophantus

(aprox. 200-284) Arithmetica. En su intento de cálculo de los lados de un triángulo rectángulo

de perímetro 12 y área 7, Diophantus planteo resolver la ecuación 336x2+24 = 172x, ecuación

de raíces complejas como puede ser comprobado fácilmente.

Son los matemáticos hindúes los que dan las primeras explicaciones a este tipo de

problemas. Mahavira, alrededor del año 850, comenta en su tratado de los números negativos

que “como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por

tanto no puede tener raíz cuadrada”.

Alrededor de 1150 es Bhaskara quien lo describe de la siguiente forma:

El cuadrado de un número, positivo o negativo, es positivo; la raíz cuadrada de un numero positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz cuadrada de un

numero negativo ya que un número negativo no es un cuadrado

Primeros Estudios: SXVI

En 1545, Jerome Cardan (Italia, 1501-1576), un matemático, físico y filósofo

italiano, publica “Ars Magna” (El Gran Arte) en el cual describe un método para

resolver ecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro. Esta obra se convertía así

en el mayor tratado de algebra desde los Babilónicos, 3000 años antes, que

dedujeron como resolver la ecuación cuadrática. Un problema planteado por

Cardan en su trabajo es el siguiente:

Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyo producto sea... 40, es evidente que esta cuestión es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma.

Cardan aplicaba entonces su algoritmo al sistema de ecuaciones x+y = 10, xy = 40

dando como soluciones 5 +√−15 y 5 −√−15. Por multiplicación probaba Cardan

que el producto era 40. Esta es la primera constancia escrita de la raíz de un

número negativo y de su manejo algebraico. Cardan también tropieza con estas

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raíces en las soluciones que presenta de la ecuación cubica x3 = ax + b. Tales

soluciones vienen dadas por:

Así Bombelli “daba sentido” a las expresiones “sin sentido” de Cardan.

Este razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable

compleja. Bombelli desarrollo un cálculo de operaciones con números complejos

que se ajusta a los que conocemos en la actualidad. Comentar en este punto que

comúnmente se dice que fue la ecuación cuadrática la que forzó la definición de

los números complejos. Con lo expuesto anteriormente debemos asignar a la

ecuación de orden tres tal papel.

A pesar de lo aportado por Bombelli, su trabajo sobre esta materia (L’Algebra) fue

ampliamente ignorado y considerado como misterioso e incierto. Simón Stevin

apunto en 1585 lo siguiente en esta dirección:

Tiene toda la legitimidad el que uno se ejercite en otras tareas y no pierda el tiempo en inexactitudes.

Dos siglos y medio cubrieron las dudas sobre el significado y la autenticidad de los

números complejos. No obstante, fueron estudiados por un gran número de

matemáticos.

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Rene Descartes (Francia, 1596-1650), que bautizo con el nombre de imaginarios

a los nuevos números, apunto también que toda ecuación debía tener tantas

raíces como indica su grado, aunque números no reales podían ser alguna de

ellas.

Varias controversias que se hacían los matemáticos fue resuelta por Leonard

Euler (Suiza 1707-1783) con su identidad eπi = −1.

Los números complejos fueron usados por Johann Lambert en proyecciones, por

Jean D’Alembert en hidrodinámica y por Euler, D’Alembert y Joseph-Louis

Lagrange en pruebas erróneas del teorema fundamental del ´algebra. Euler fue el

primero en usar la notación i =√−1, haciendo además un uso fundamental de los

números complejos al relacionar la exponencial con las funciones trigonométricas

por la expresión eix = cosx + i sen x.

En el siglo XIX ya proponen algunos matemáticos, de Cambridge principalmente,

que debía haber unas reglas que gobernasen esta herramienta que ya

demostraba a todas luces su utilidad para muchos. La representación geométrica

de los complejos como puntos del plano tiene sus primeras citas en los trabajos de

1797 del noruego Caspar Wessel y en 1806 en los del suizo Jean-Robert Argand.

No obstante serıa la referencia de Gauss de 1831 la que tendría el impacto

suficiente.

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En 1833, William Rowan Hamilton (Inglaterra 1805-1865) da la primera definición

algebraica rigurosa de los complejos como pares de números reales.

Actualidad El 1847 es Agoustin-Louis Cauchy (Francia, 1789-1857) quien da una definición

abstracta de los números complejos como clases de congruencias de polinomios

reales, basándose en las clases de congruencias de enteros dada por Gauss.

Ya comenzada la segunda mitad del siglo XIX, las dudas y misterios sobre los

números complejos ya han desaparecido, aunque haya textos del siglo XX que

aun huían de utilizarlos. La presencia de los números complejos en diversas áreas

de las matemáticas en este siglo puede ser clasificada de manera muy genérica

de la siguiente forma:

a) Álgebra. La solución de ecuaciones algebraicas motivo la introducción de los

números complejos.

Estos complejos constituyen por su parte un cuerpo cerrado donde muchos

problemas de álgebra lineal y otras áreas del ´algebra abstracta encontraron

solución.

b) Análisis. El siglo XIX fue testigo del desarrollo de una poderosísima y bellísima

rama de las matemáticas, la teoría de funciones complejas. Uno de los elementos

más sorprendentes es que la condición de diferenciable implica la de infinitamente

diferenciable, hecho sin análogo en las funciones reales.

c) Geometría. Los números complejos introdujeron generalidad y propiedades de

simetría en varias ramas de la geometría, tanto en la Euclides como la no

Euclides.

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d) Teoría De Números. Ciertas ecuaciones diofanticas pueden ser resueltas con el

uso de complejos.

Hadamard decía que

“el camino más corto entre dos verdades en el campo real pasa a través del

campo complejo”

Un ejemplo de este autor es altamente ilustrativo: el producto de la suma de

cuadrados es de nuevo suma de cuadrados, y lo probaba de la siguiente forma:

Fuente: I. Kleiner, ”Thinking the Unthinkable: The Story of Complex Numbers (with a Moral)”, The Mathematics Teacher, 81:7 (1988), 583-592.

D. E. Smith, History of Mathematics (Vol I-II). Dover. 1958. New York.

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CAPITULO I

Definición de los Números Complejos

Los Números Complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose

que . Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las

raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.

Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria

llamada número i, que verifica la propiedad:

y un número complejo por (A + B.i ), donde A y b pertenecen a

los IR.

Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con

esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado

de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no

confundiendo ambas partes. Una unidad imaginaria nunca se junta con una unidad

real.

Las raíces de un polinomio son P(x), son los valores de X que anulan a dicho

polinomio, es decir, son las soluciones para la ecuación de P(X)=0.

Cuando hablamos de números reales IR hablamos de un subconjunto de los

números complejos. Además, los números complejos están presentes en varias

ramas y aplicaciones de la matemática. También, cabe menciones que tienen

diferentes formas de presentación una de ella por ejemplo es la cartesiana o la

potencial.

a = Re (z)

b = Im (z)

Esto se define como:

Suma

Producto por escalar

Multiplicación

Igualdad

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A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

Resta

División

Partes Real E Imaginaria

Entre el conjunto de los números reales R y el subconjunto C de los números

complejos, constituido por los elementos de la forma (a,0) , se puede establecer

un isomorfismo, de manera que al complejo (a,0) le hacemos corresponder el

número real a .

Por otro lado, los complejos de la forma (0,b) , reciben el nombre de imaginarios

puros. Así, en z = (a,b) , a la componente ” a ” se le llama parte real y a ”b ” parte

imaginaria. En particular, al número (0,1) se le llama unidad imaginaria y lo

representamos por i.

Forma Binómica

Potencias De La Unidad Imaginaria

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Suma Y Producto En Forma Binómica

La utilización de la forma binómica nos permite operar con los complejos como si

fueran polinomios.

Suma

Producto

Complejos Conjugados

Cociente En Forma Binómica Para dividir complejos en forma binómica se multiplican, respectivamente, el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

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Módulo De Un Número Complejo

Argumento De Un Número Complejo

Interpretación Geométrica

Podemos establecer una correspondencia entre el conjunto C de números complejos y el conjunto de puntos del plano R2, de tal forma que representando en el eje horizontal (eje real) la parte real y en el eje vertical (eje imaginario), la parte imaginaria, a cada elemento z ∈C le corresponde uno y sólo un punto de R2. Este punto recibe el nombre de afijo del número complejo.

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Asimismo, a cada número complejo le corresponde uno y solo un vector de R2.

Vector que tendrá como origen el origen de coordenadas y como extremo el afijo

del complejo.

Con las operaciones suma, ya definida, y la operación externa ∗, producto por un

escalar perteneciente a un cuerpo K, el conjunto C adopta la estructura de espacio

vectorial y podemos establecer un isomorfismo entre C y el espacio vectorial V de

los vectores libres de R2, lo cual nos va a permitir trabajar indistintamente con

números complejos o con vectores, según convenga a nuestras aplicaciones. Se

observa que:

Formas Trigonométrica Y Polar

Forma Expotencial

Potencia de un Número Complejo. Fórmula de Moivre.

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Raíces de Números Complejos.

En principio, k puede adoptar los valores 0,±1,±2,±3,..., pero solo se obtienen argumentos α distintos para ” n ” valores. Tomaremos k = 0, 1, 2,3,..., n −1. Para otros valores de k se repetirían valores de raíces ya obtenidos.

Potencias de Base y Exponente Complejo.

Fórmulas de Euler.

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EJEMPLOS

Expresar en las formas trigonométrica y exponencial los complejos

Solución

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Se encuentra el argumento y el modulo.

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¿Para Qué Sirven los Números Complejos?

Los números complejos permiten representar cuyas situaciones de la realidad cuya descripción y tratamiento es posible gracias a las propiedades de estos números. Como ejemplos de aplicación podemos citar:

En el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma permita que el aire fluya sin turbulencias. Esto solamente se logra si se utilizan las formas aerodinámicas de kutta y Jouwkoski.

Para el estudio de fractales que a su vez tienen numerosas aplicaciones en otros campos.

El concepto de señal juega un papel importante en áreas diversas de la ciencia y de la tecnología como las comunicaciones, la aeronáutica y astronáutica, el diseño de circuitos, la acústica, la sismología, la ingeniería biomédica, los sistemas de generación y distribución de energía, el control de procesos químicos y el procesamiento de voz. En el lenguaje para describir las señales. y en las herramientas para analizarlas intervienen los números complejos.

Como ejemplos de algunas señales (3) sinusoidales podemos citar:

Las magnitudes eléctricas que caracterizan a cada elemento de un circuito de corriente alterna (intensidad, diferencia de potencial, etc.) se expresan utilizando la notación exponencial de los números complejos. De este modo, pueden definirse sus amplitudes y sus desfases relativos; facilitando mucho el cálculo de las propiedades del circuito; que consiste en realizar las operaciones algebraicas básicas con los (4)fasores o vectores que representan dichas magnitudes.

En el movimiento ondulatorio, la amplitud de una onda armónica en función del tiempo, en algunos casos tiene mucho interés representarla en notación compleja. Por ejemplo, cuando se estudia la interferencia de ondas producidas por dos fuentes sincrónicas. La onda que resulta es la composición de dos movimientos armónicos simples, de la misma dirección y frecuencia. La amplitud de dicha onda se obtiene sumando los vectores que representan las respectivas ondas que interfieren.

El análisis de Fourier nos permite representar cualquier función periódica, con la exactitud que deseemos, mediante una suma de funciones sinusoidales, denominadas armónicos. Sustituyendo estas funciones seno y coseno por las expresiones exponenciales equivalentes, utilizando la fórmula de Euler, se obtiene la forma compleja de la serie de Fourier de f(t),

así: f(t)= ∑ n=−∞ +∞ C n ⋅ e i n  ω 0 t La forma concisa de esta serie compleja es la razón fundamental por la cual se usa. El primer armónico de la serie corresponde al valor n = 1 y posee la frecuencia más baja, ω 0 = 2 π T , siendo T el período de la función f(t). Los

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restantes armónicos poseen frecuencias múltiplos de la frecuencia

fundamental, ω n =n⋅ ω 0 , y su amplitud es el módulo del coeficiente complejo Cn, es decir |    C n  | . En la investigación con instrumentos musicales es muy frecuente construir una onda periódica arbitraria a partir de un número finito de sus armónicos componentes, operación que se denomina síntesis. Si P(t) es la variación de la presión del aire producida por un diapasón, un clarinete y una corneta tocando la misma nota musical, todas las ondas tienen el mismo período porque corresponden a la misma nota musical, pero las intensidades relativas de los armónicos que intervienen no son las mismas, sino que son características para cada instrumento. La aplicación del análisis de Fourier aporta la información detallada de los armónicos de cada instrumento, que permite diseñar o sintetizar las ondas periódicas deseadas.

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. Estas teorías son publicada por primera vez por Albert Einstein en 1905 y describe la física del movimiento en ausencia de campos gravitacionales.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C.

Nota: (1)Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o

irregular, se repite a diferentes escalas.1 El término fue propuesto por el

matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus, que significa quebrado o

fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática

clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractal es un número

no entero.// (2)El Teorema Kutta-Joukowski es un teorema fundamental de

la aerodinámica. Empezaron a desarrollar sus ideas clave a principios del siglo XX. El

teorema relaciona la fuerza de sustentación generada por un cilindro recto con

la velocidad del fluido por el cilindro, la densidad del fluido, y la circulación. La circulación

es la integral de línea de la velocidad del fluido, en una curva cerrada que contiene al

cilindro. Puede ser entendido como la cantidad total "hilado" del fluido alrededor del

cilindro. En las descripciones del teorema Kutta-Joukowski el cilindro recto por lo general

es limitado a un cilindro circular o un perfil alar.//(3)La proyección sinusoidal es una

proyección cartográfica pseudocilíndrica de áreas equivalentes.//(4)Un fasor es una

representación gráfica de un número complejo que se utiliza para representar

una oscilación, de forma que el fasor suma de varios fasores puede representar

la magnitud y fase de la oscilación resultante de la superposición de varias oscilaciones

en un proceso de interferencia.

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Aplicaciones De Los Números Complejos Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para

una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión

del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de

una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una

función de variable compleja de la forma: f(t) = z eiωt donde ω representa

la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el

tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades En

inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las

dos últimas.

Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez

de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya

matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C

(ℂ).

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica

del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una

variable imaginaria.

En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones

diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero

las raíces (en general complejas) del polinomio característico, lo que permite

expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la

forma

: Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original,

se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.

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Aplicación a Diversos Ámbitos en la Ingeniería

En ingeniería mecánica los números complejos se usan para representar la

relación espacial de los esfuerzos en un sistema o internamente en un material y

para poner en números el comportamiento de los fluidos.

■ Para análisis dinámico de estructuras y para el control numérico de acciones de

una máquina-herramienta por medio de números.

■ En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la

métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como

una variable imaginaria.

■ Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión

original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.

■ Los números complejos son usados en los modelamientos matemáticos de

procesos físicos; entre esos procesos está el análisis de corriente eléctrica y de

señales electrónicas.

■ Es por eso que se emplea en formatos de compresión, transmisión en banda

ancha, amplificadores de señales, procesamiento digital de señales, transmisión

eléctrica, centrales hidroeléctricas.

■ Por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de

cargas sobre vigas (para los arquitectos e ingenieros civiles), estudio de ondas

(para los físicos), además se emplea en los estudios concernientes a la

propagación del calor.

■ En sistemas de control, como control de robots industriales, sistema de

navegación de buques, control de aviones, lanzamiento de cohetes al espacio.

Una herramienta fundamental es la llamada transformada de Fourier (esta

herramienta se emplea para las aplicaciones anteriores) que usa intensivamente a

los números complejos.

■ Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos

para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una

expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la

fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de

una función de variable compleja de la forma: f (t) = z eiωt donde ω representa la

frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el

tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e

inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las

dos últimas.

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CAPITULO II

Números Complejos y su Representación en Circuitos CA

Muy probablemente, en todo el bachillerato no hayas estudiado los números

complejos; pero no te preocupes, que nosotros nos vamos a centrar sólo en la

parte que nos es útil; y es que ese es el motivo por el que los usamos, su

utilidad.

Sabrás que el origen de los mismos es dar solución a las raíces cuadradas de

números negativos, de tal manera que:

Como puedes imaginar, si nosotros utilizamos i para representar la intensidad y

además para representar los números complejos, nos vamos a hacer un lío, por

lo que de aquí en adelante sustituiremos la i por j, o sea, que tal y como indican

los ejemplos:

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Los números complejos se pueden expresar de forma binómica, polar y

exponencial; pero a nosotros nos basta con las dos primeras.

Forma binómica: la formarán un par de números reales, al primero, a, se le

denomina parte real y al segundo, b, parte imaginaria; pudiéndose escribir

en la forma (a,b) o (a+bj). Si llevamos al valor de a sobre la abscisa de unos

ejes coordenados y b sobre la ordenada, la intersección de las

proyecciones me dará un punto, que desde el origen, se corresponderá con

el módulo de un fasor. A a la llamamos parte real y a b parte imaginaria.

Forma polar: el mismo punto anterior lo podíamos haber representado si

hubiéramos conocido el módulo del fasor y el valor del ángulo que forma

con la horizontal o argumento. En este caso lo expresamos de la forma rα:

Matemática Básica Para La Ingeniería Página 25

Antes de pasar al último apartado, puede ser interesante aclarar por qué a los

ejes los llamamos real e imaginario. Para ello pensemos en un número, a, que

podemos representar en una recta numérica; este número es un número real.

Si lo multiplicamos por -1, tendremos -a, también número real, con lo que si lo representamos nos quedará:

Observa que al multiplicar por si mismo el valor de j:

Se obtiene (-1) y si te fijas la representación de -a se obtiene al

multiplicar a por -1, que en definitiva es como si hubiéramos girado a 180º. Así

pues, podemos imaginar que, si multiplicamos un número a por √‾-1, es decir,

por j, en vez de girarlo 180º lo estaríamos girando 90º; es decir, que un

número complejo del tipo a+bj puede representarse llevando a al eje horizontal

o real y b al eje vertical o imaginario.

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CAPITULO III

Números Complejos Aplicado A La Ingeniería Civil

Por sus componentes reales e imaginarias se usan para facilitar el estudio de cargas sobre vigas.

Debemos iniciar ahora el estudio del comportamiento de las tensiones y deformaciones en el interior de una viga. La concepción de dicho fenómeno es algo complejo y una de las formas de comprenderlo mejor, es analizar la modalidad de rotura de una viga de hormigos armado. Las deformaciones y modalidad de rotura las estudiaremos en función de:

a) La relación entre sección de armadura y sección de armadura y sección de hormigón (cuantía geométrica).

b) Tipo de solicitación externa que actúa sobre la viga.

Y antes de iniciar con cada uno de dichos análisis, es conveniente aclarar y definir los distintos estados tensionales característicos en una viga de hormigón:

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EJEMPLOS

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CONCLUSIÓN

Debido que somos estudiantes de ingeniería de la Universidad Católica Sedes

Sapientiae-Lima- Perú, y estamos desarrollando diversos temas de matemáticas

que son muy útiles para nuestra preparación académica y profesional, gracias al

empeño de cada uno de nosotros y de los docentes, hacemos de este trabajo que

sea una herramienta útil en cada uno de ustedes.

En la elaboración de este trabajo fue necesario retomar los temas que se imparten

en el nivel de educación básica y universitaria. En donde los propósitos de la

matemática de proporcionar nociones y conceptos, desarrollar habilidades para un

razonamiento deductivo, lógico, imaginativo, la generalización y reversibilidad de

pensamiento que se aplica en la resolución de problemas de la vida.

El desarrollo de esas habilidades crea bases sólidas que facilita entender y aplicar

los algoritmos utilizados en las ciencias exactas, no perdamos de vista que las

matemáticas es un lenguaje universal numérico que permite comunicar y atender

situaciones simples y complejas.

La curricular de la ingeniería, tiene sus antecedentes en la educación básica y

científica, lo cual se muestra con la continuidad y amplia aplicación, por pertenecer

al área de ciencias que soluciona problemas de la vida diaria.

Para esto la educación básica es el elemento fundamental para crear las

capacidades que se usan en la trayectoria de preparación de cualquier área a la

que se dedique, cualquier persona necesita conocer y hacer uso de las

matemáticas por muy simple o compleja que sea su vida.

Por esa participación tan elemental que tiene las matemáticas en la vida, es

importante crear en los jóvenes el interés por conocer, dominar y aplicar los

conocimientos que se imparten en los diferentes niveles que se desarrolla, sea

inicial, primaria, secundaria y superior. Y no consideremos a las matemáticas una

materia que solo deben de estudiar los interesados en carreras muy difíciles, o los

que tienen un cerebro privilegiado.

Las matemáticas no son solo para los que saben mucho, también para los

pacientes ordenados y perseverantes.

Matemática Básica Para La Ingeniería Página 29

BIBLIOGRAFÍA

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Los_numeros

_complejos/index.htm#intro

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

http://neetescuela.com/importancia-de-los-numeros-complejos/

http://www.monografias.com/trabajos65/numeros-complejos/numeros-

complejos.shtml

http://www.cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/eudoxus/article/view/543/535

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/29/Articulo01.pdf

http://itzamna.bnct.ipn.mx/handle/123456789/14784

https://www.colibri.udelar.edu.uy/handle/123456789/3995

http://jeremiaswillmore.blogspot.pe/2010/09/aplicaciones-o-usos-de-los-

numeros.html

https://www.google.com.pe/?gfe_rd=cr&ei=vQmUVvvcMomN8Qfc0rc4#q=importan

cia+de+los+numeros+complejos+en+la+tecnologia+de+punta

http://www.aula365.com/numeros-complejos/

I. Kleiner, ”Thinking the Unthinkable: The Story of Complex Numbers (with a

Moral)”, The Mathematics

Teacher, 81:7 (1988), 583-592.

D. E. Smith, History of Mathematics (Vol I-II). Dover. 1958. New York.

Trigonometría – fondo Editorial Rodo

Pre- cálculo- Larson y Hostler

Pre- Cálculo- Matemáticas Previas Al Calculo, 3ed - Leithold

Libro.Pre_Calculo_-_James_Stewar

Matemática Básica para Estudiantes de Ingeniería- Eduardo Espinoza Ramos