Numeros complejos

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Resume de manera rápida ciertas ecuaciones y definiciones acerca de los números complejos.

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INSTITUTO TECNOLGICO DE APIZACO

DEPARTAMENTO DE METAL-MECNICA

ANLISIS DE CIRCUITOS

NMEROS POLARES

Aspirante: Gustavo Hernndez Lpez

Especialidad: MecatrnicaMatrcula: 13370678

Apizaco Tlax., Febrero de 2015.

Unidad imaginariaLaunidad imaginariaes el nmeroy se designa por la letrai.

Nmeros imaginariosUnnmero imaginariose denota porbi, donde:bes un nmero realies la unidad imaginariaCon losnmeros imaginariospodemos calcular races con ndice par y radicando negativo.x2+ 9 = 0

Potencias de la unidad imaginariai0= 1; i1=i; i2= 1; i3=i; i4= 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cunto vale una determinada potencia dei, se divide el exponente entre4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Nmeros complejos en forma binmicaAl nmeroa+bile llamamos nmero complejo en forma binmica.El nmeroaes laparte realdel nmero complejo.El nmerobes laparte imaginariadel nmero complejo.Sib = 0el nmero complejo se reduce a un nmero real ya quea + 0i= a.Sia = 0el nmero complejo se reduce abi, y se dice que es un nmero imaginario puro.El conjunto de todos nmeros complejos se designa por.

Los nmeros complejosa + biy-a -bise llamanopuestos.Los nmeros complejosz= a + biyz= a bise llamanconjugados.Dos nmeros complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representacin de nmeros complejosLos nmeros complejos se representan en unos ejes cartesianos.El eje X se llamaeje real.El eje Y se llamaeje imaginario.El nmero complejoa + bise representa:1) Por el punto (a, b), que se llama suafijo.

2) Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

Los afijos de los nmeros reales se sitan sobre el eje real, X.Los afijos de los nmerosimaginariosse sitan sobre eleje imaginario, Y.

Operaciones con nmeros complejosLa suma y diferencia de nmeros complejos se realiza sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre s, respectivamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i

Ejemplo: (5 + 2i) + ( 8 + 3i) (4 2i) = (5 8 4) + (2 + 3 + 2)i = 7 + 7i

Multiplicacin de nmeros complejos

El producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = 1.

(a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)iEjemplo: (5 + 2 i) (2 3 i) = 10 15i + 4i 6i2 = 10 11i + 6 = 16 11i

Divisin de nmeros complejos

El cociente de nmeros complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Ejemplo:

Nmeros complejos en forma polar y trigonomtrica

Mdulo de un nmero complejoEl mdulo de un nmero complejo es el mdulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por|z|.

Expresin de un nmero complejo en forma polarz = r|z| = r(res el mdulo)arg(z) =(es el argumento)Conversin de la forma polar a la forma binmica:z = 2120Para pasar de la forma polar a la binmica, tenemos que pasar en primer lugar a laforma trigonomtrica:z = r= r (cos +isen )

Reales e imaginarios puros de mdulo unidad:z =10=1z =1180=1z =190=iz =1270=i

Multiplicacin de complejos en forma polarLa multiplicacin de dos nmeros complejos es otro nmero complejo tal que:Su mdulo es el producto de los mdulos.Su argumento es la suma de los argumentos.Ejemplo:

Producto por un complejo de mdulo 1Al multiplicar un nmero complejo z = rpor 1se gira z un ngulo alrededor del origen.

Divisin de complejos en forma polarLa divisin de dos nmeros complejos es otro nmero complejo tal que:Su mdulo es el cociente de los mdulos.Su argumento es la diferencia de los argumentos.Ejemplo: Potencia de complejos en forma polarLa potencia ensima de nmero complejo es otro nmero complejo tal que:Su mdulo es la potenciansimadel mdulo.Su argumento esnveces el argumento dado.Ejemplo:

Forma trigonomtricaa + bi =r= r (cos +isen )

Formas:Binmicaz = a + bi

Polarz = r

Trigonomtricaz = r (cos +isen )

Circuitos RLC excitados por seales sinusoidalesObtencin de la solucin en rgimen permanente Sea el circuito de la Fig. 2.11 excitado por una fuente sinusoidal de valor e(t): + e(t)vRt ) ( i(t) R LC vL( t ) vC( t )

Circuito RLC de una malla con una excitacin sinusoidal. Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff sobre la nica malla del circuito obtenemos: (1)Se trata de una ecuacin diferencial lineal con coeficientes reales constantes y positivos cuya solucin, una vez que el rgimen libre resulta despreciable, es una corriente en rgimen permanente o forzado. Dado que este rgimen corresponde a la solucin particular de la ecuacin diferencial sabemos (por la teora de ecuaciones diferenciales) que la corriente presenta la misma forma que la excitacin. Por lo tanto si e(t) es una sinusoide de una frecuencia dada, i(t) lo ser tambin. Sea, por tanto, e(t) = E0 cos(t +) la tensin conocida del generador. La corriente i(t) deber de ser de la forma i(t) = I0 cos(t +) , expresin en la que I0 y son incgnitas. Reemplazando estos valores e incgnitas en la ecuacin: (2)Si derivamos los trminos correspondientes e igualamos por un lado las partes dependientes del tiempo y por el otro las independientes podemos llegar a una solucin para I0 y . Sin embargo, el procedimiento de resolucin puede simplificarse sustancialmente si observamos que la ecuacin nicamente involucra sumas de seales sinusoidales con la misma pulsacin, derivaciones e integraciones, operaciones todas que se ha visto cmo llevar a cabo en el dominio fasorial o complejo. Por lo tanto, si sustituimos en la ecuacin (1) cada trmino por su fasor podemos escribir una nueva ecuacin en este nuevo dominio:

Denotando los fasores corriente y tensin respectivamente como E (= E0e j) e I(= I0e j ) la ecuacin puede rescribirse como:

, ecuacin que relaciona fasores de tensin, de acuerdo con la 2 Ley de Kirchhoff y en la que podemos despejar el fasor de corriente buscado:

Una vez obtenido el fasor resultante (como resultado de una operacin con nmeros complejos), y teniendo en cuenta que las seales estaban expresadas en forma coseno, la expresin temporal de la corriente buscada queda:

Si esta corriente est adelantada respecto a la tensin (>) se dice que el circuito presenta carcter capacitivo (dado que en un condensador la corriente que lo atraviesa est adelantada respecto a a tensin que en l cae), mientras que si est restrasada se dice que presenta carcter inductivo (por similar motivo). En la Fig. 2.12 se muestran los diagramas de los fasores de corriente y tensin para ambas situaciones. Este tipo de diagramas, adems de ofrecer una visin clara y concisa de las relaciones entre todas las tensiones y corrientes, permiten en ocasiones resolver problemas geomtricamente.