numeros complejos

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muy buen aporte a los numero complejos

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Diapositiva 1

Ahora veamos:NMEROS COMPLEJOS

Prestemos Atencin Por favoreste tema es muy Importante.

El trmino nmero complejo describe la suma de un nmero real y un nmero imaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los nmeros complejos se utilizan en todos los campos de las matemticas, en muchos de la fsica (y notoriamente en la mecnica cuntica) y en ingeniera, especialmente en la electrnica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnticas y la corriente elctrica.INTRODUCCIN

CONCEPTOQU SON?

Los nmeros complejos son una extensin de los nmeros reales, cumplindose que R y C. Los nmeros complejos representan todas las races de los polinomios, a diferencia de los reales. Los nmeros complejos son la herramienta de trabajo del lgebra ordinaria, llamada lgebra de los nmeros complejos, as como de ramas de las matemticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinmica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.UBICACINEN ELPLANOCOMPLEJO

VALOR ABSOLUTO O MDULO DE UN NMERO COMPLEJO

El valor absoluto, mdulo o magnitud de un nmero complejo z viene dado por la siguiente expresin:

Si pensamos en z como algn punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitgoras, que el valor absoluto de un nmero complejo coincide con la distancia eucldea desde el origen del plano.

Si el complejo est escrito en forma exponencial z = r ei, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z = r (cos + isen), donde cos + isen = ei es la conocida frmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

REPRESENTACIN TRIGONOMTRICA (POLAR ) YREPRESENTACIN GEOMTRICA

Algunas veces, la representacin de nmeros complejos en la forma z = a + i b (coordenadas ortogonales) es menos conveniente que otra representacin, usando coordenadas polares.

Representamos el nmero complejo z en el plano de nmeros complejos como un punto con coordenadas (a, b), denominado vector de posicin.

Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al mdulo de z, expresado | z | .

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ngulo, denominado

La representacin polar nos permite expresar este nmero complejo en funcin de r y del ngulo

donde k pertenece a ,

PLANO COMPLEJO

Todos los nmeros imaginarios podrn representarse grficamente a lo largo de una lnea que se extiende desde cero y es perpendicular a la lnea que representa los nmeros reales. Esta lnea ser considerada infinita en ambas direcciones, positiva y negativa, y todos los mltiplos de i debern representarse sobre ella. Este grfico es similar al sistema de coordenadas rectangulares estudiado antes.

En este sistema, el eje vertical Y se llama eje de los imaginarios y el eje horizontal X se denomina eje real. En el sistema de coordenadas rectangulares los nmeros reales pertenecen tanto a los ejes X como Y, y el plano limitado por los ejes se llama plano real. Cuando el eje Y es el eje de los imaginarios el plano determinado por los ejes X e Y recibe el nombre de PLANO COMPLEJO

En todo sistema de nmeros se necesita una unidad para contar, A lo largo del eje real la unidad es el nmero 1. Como se indica en la figura 15-6, a lo largo del eje imaginario la unidad es i. Los nmeros que estn sobre el eje imaginario se llaman IMAGINARIOS PUROS. stos sern siempre algn mltiplo de i, la unidad imaginaria. Los nmeros 5i, 3i, 2, - 7 son ejemplos de imaginarios puros

NMEROS EN EL PLANO COMPLEJO

Todos los nmeros del plano complejo son nmeros complejos, incluyendo los reales y los imaginarios puros. Sin embargo, puesto que los reales e imaginarios tienen la propiedad especial de estar ubicados sobre ejes, por lo general se los identifica por sus nombres distintivos.

El trmino nmero complejo se ha definido como la suma o diferencia indicada de un nmero real y un nmero imaginario.

Por ejemplo, 3 + 5 - l, 3 + 5i, 2 - 6i, y - 2 + -5 son nmeros complejos. En el nmero complejo 7 - 1 2, 7 es la parte real y - 1 2 es la parte imaginaria.

Todos los nmeros complejos corresponden a la forma general a + bi, donde a y b son nmeros reales. Cuando a tiene valor cero el trmino real desaparece y el nmero complejo se transforma en un imaginario puro. Cuando b tiene valor cero el trmino imaginario desaparece y el nmero complejo se transforma en un nmero real. Entonces, 4 podr pensarse como 4 + 0i , 3i podr considerarse corno 0 + 3i. De esto deducimos que los nmeros reales y los imaginarios puros son casos especiales de los nmeros complejos. Consecuentemente, el nmero complejo podr considerarse como la forma ms general de los nmeros y pueden desarrollarse para incluir todos los nmeros del lgebra, conforme se muestra en el diagrama de la figura siguiente.

REPRESENTACIN DE LOS NMEROS COMPLEJOSSUMA DE NMEROS COMPLEJOS. PROPIEDADES.Consideremos los nmeros complejos: z=(a,b) y z'=(c,d).Definimos: z + z' = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)(2,3) + (5,6) = (2+5, 3+6) = (7,9). OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS.PRODUCTO DE NMEROS COMPLEJOS. PROPIEDADES. Consideremos los nmeros complejos: z=(a,b) y z'=(c,d). Definimos: z @ z' = (a,b) @ (c,d) = (ac-bd, ad+bc) (2,3) @ (5,6) = ([email protected]@6, [email protected][email protected]) = (-8,27)

FORMA BINMICA DE UN NMERO COMPLEJO.Los nmeros complejos de la forma (a,0) son nmeros reales:(a,0) = a (0,1) = i se llama unidad imaginaria.Los nmeros complejos de la forma (0,b) son nmeros imaginariospuros: (0,b) = bi (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + bi (FORMA BINMICA)a) parte real.b) parte imaginaria.POTENCIA DE NMEROS COMPLEJOS.Calculemos las potencias de la unidad imaginaria i.i0 = 1 por convenio.i1 = ii2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1 Yi3 = i2 i = (-1,0)(0,1) = (0,-1) = -ii4 = i2 i2 = (-1,0)(-1,0) = (1,0) = 1i5 = i4 i = (1,0)(0,1) = (0,1) = iCONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO.Dado el nmero complejo z=a+bi, se define el conjugado de z, y se escribe , al nmero complejo=a-bi.Los nmeros complejos z=a+bi y =a-bi son simtricos respecto del eje de abscisas.Si z=2+3i entonces =2-3iSi z=4-5i entonces =4+5iSi z=-6+7i entonces =-6-7iSi z=-8-9i entonces =-8+9iRAZ CUADRADA DE NMEROS COMPLEJOS.= x+yiDe la definicin de raz: (x+yi)2 = a+bi Y {x2-y2=a, 2xy=b} Las soluciones de este sistema son las races cuadradas de a+bi.MDULO Y ARGUMENTO DE UN NMERO COMPLEJO.Un nmero complejo z=(a,b)=a+bi queda determinadotambin mediante otros dos elementos que definimos a continuacin.Mdulo del nmero complejo z, es el mdulo del vector .Lo representaremos por: m = = *z*

OPERACIONES CON NMEROS COMPLEJOS

SUMAPara sumar nmeros complejos, se siguen las normas bsicas de la aritmtica, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios:

RESTAAl igual que en la suma, se opera como con los nmeros reales ordinarios.

MULTIPLICACINPara multiplicar dos nmeros complejos, se multiplica cada trmino del primero por los dos del segundo, con lo que obtenemos 4 trminos:

DIVISINLa divisin de nmeros complejos requiere un mayor trabajo que la multiplicacin y partimos de un artificio previo, basado en que el producto de un numero complejo por su conjugado da como resultado un nmero real:

POTENCIASPara elevar un nmero complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables. Se debe tener en cuenta la igualdad i2 = 1:

Muchas gracias. aplaudan