Nmeros Complejos

Nmeros Complejos

Unidad imaginaria:Se llama as al nmero

Nmeros imaginarios:Un nmero imaginario se denota por bi, donde :b es un nmero real,e i es la unidad imaginaria.Con los nmeros imaginarios podemos calcular races con ndice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

Potencias de la unidad imaginaria

i0 = 1

i1 = i

i2 = 1

i3 = i

i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cunto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i22

i22 = (i4)5 i2 = 1

Nmeros complejos en forma binmica

Al nmero a + bi le llamamos nmero complejo en forma binmica.

El nmero a se llama parte real del nmero complejo.

El nmero b se llama parte imaginaria del nmero complejo.

Si b = 0 el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el nmero complejo se reduce a bi, y se dice que es un nmero imaginario puro.

El conjunto de todos nmeros complejos se designa por .

Los nmeros complejos a + bi y a bi se llaman opuestos.

Los nmeros complejos z = a + bi y z = a bi se llaman conjugados.

Dos nmeros complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representacin grfica de nmeros complejos

Los nmeros complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El nmero complejo a + bi se representa:

Por el punto (a,b), que se llama su afijo,

z

Los afijos de los nmeros reales se sitan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

Operaciones con nmeros complejos en la forma binmica

Suma y diferencia de nmeros complejos

La suma y diferencia de nmeros complejos se realiza sumando y restando partes reales entre s y partes imaginarias entre s.(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i (5 + 2i) + ( 8 + 3i) (4 2i) = (5 8 4) + (2 + 3 + 2)i = 7 + 7i Multiplicacin de nmeros complejos

El producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = 1.

(a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i (5 + 2i) (2 3i) =10 15i + 4i 6 i2 = 10 11i + 6 = 16 11iDivisin de nmeros complejos

El cociente de nmeros complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de ste.

Nmeros complejos en forma polar

Mdulo de un nmero complejo

El mdulo de un nmero complejo es el mdulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un nmero complejo

El argumento de un nmero complejo es el ngulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

.

Expresin de un nmero complejo en forma polar.z = rNmeros complejos en forma trigonomtrica.A partir de la forma polar es muy fcil pasar a una nueva forma denominada trigonomtrica.a + bi = r = r (cos + i sen )

Ejemplos: Pasar a la forma polar y trigonomtrica:

z = 260 = 2(cos 60 + i sen 60)

z = 2120=2(cos 120 + i sen 120)

z = 2240

=2(cos 240 + i sen 240)

z = 2300=2(cos 300 + i sen 300)

z = 2

z = 20 =2(cos 0 + i sen 0)z = 2

z = 2180 =2(cos 180 + i sen 180)

z = 2i

z = 290 =2(cos 90 + i sen 90)z = 2i

z = 2270 =2(cos 270 + i sen 270)

Pasar a la forma binmica:

z = 2120

Para pasar de la forma polar a la binmica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonomtrica

r = r (cos + i sen )z = 2 (cos 120 + i sen 120)

Nmeros complejos iguales

Dos nmeros complejos son iguales si tienen el mismo mdulo y el mismo argumento.

Nmeros complejos conjugados

Dos nmeros complejos son conjugados si tienen el mismo mdulo y el opuestos sus argumento.

Nmeros complejos opuestos

Dos nmeros complejos son opuestos si tienen el mismo mdulo y sus argumentos se diferencian en radianes.

Nmeros complejos inversos

El inverso de un nmero complejo no nulo, tiene por mdulo el inverso del mdulo y por argumento su opuesto.

Producto y cociente de complejos en forma polar

La multiplicacin de dos nmeros complejos es otro nmero complejo tal que:

Su mdulo es el producto de los mdulos. Su argumento es la suma de los argumentos.

645 315 = 1860La divisin de dos nmeros complejos es otro nmero complejo tal que:

Su mdulo es el cociente de los mdulos. Su argumento es la diferencia de los argumentos.

645 : 315 = 230Interpretacin geomtrica del producto de nmeros complejos.Al multiplicar un nmero complejo z = r por 1 se gira z un ngulo alrededor del origen.r 1 = r +

Potencia de nmero complejo

La potencia ensima de nmero complejo es otro nmero complejo tal que:

Su mdulo es la potencia n-sima del mdulo.Su argumento es n veces el argumento dado.

(230)4 = 16120Esta operacin conviene hacerla siempre en forma polar.A partir del modo de clculo de las potencias de nmeros complejos se obtiene la Frmula de Moivre

Raz de nmeros complejos

La raz ensima de nmero complejo es otro nmero complejo tal que:

Su mdulo es la en raz ensima del mdulo.

Su argumento es:

k = 0,1 ,2 ,3, (n-1)Al igual que las potencias, las races conviene que se hagan expresando el nmero complejo en forma polar.

EJERCICIOS

1 Calcular todas las races de la ecuacin: x6 + 1 = 0

2 Realiza las siguientes operaciones:

3 Resuelve la siguiente raz, expresando los resultados en forma polar.

4Escribe una ecuacin de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.

5Calcula , dando el resultado en forma polar.

6 Calcula el valor de , y representa los afijos de sus races cbicas.

7 Expresa en forma polar y binmica un complejo cuyo cubo sea:

8 Escribe en las formas polar y trigonomtrica, los conjugados y los opuestos de:

14 + 4i22 + 2i9 Calcular todas las races de la ecuacin: x5 + 32 = 0

Ejercicios resueltos de nmeros complejos

1

Calcular todas las races de la ecuacin: x6 + 1 = 0

Ejercicios resueltos de nmeros complejos

2

Realiza las siguientes operaciones:

1

2

3

4

Ejercicios resueltos de nmeros complejos

3

Resuelve la siguiente raz, expresando los resultados en forma polar.

Ejercicios resueltos de nmeros complejos

4

Escribe una ecuacin de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.

Ejercicios resueltos de nmeros complejos

5

Calcula , dando el resultado en forma polar.

Ejercicios resueltos de nmeros complejos

6

Calcula el valor de , y representa los afijos de sus races cbicas.

Ejercicios resueltos de nmeros complejos

7

Expresa en forma polar y binmica un complejo cuyo cubo sea:

Ejercicios resueltos de nmeros complejos

8

Expresa en funcin de cos y sen :

cos 5 y sen 5Binomio de Newton

Frmula de Moivre

Ejercicios resueltos de nmeros complejos

9

Escribe en las formas polar y trigonomtrica, los conjugados y los opuestos de:

14 + 4i

22 + 2i

Ejercicios resueltos de nmeros complejos

10

Calcular todas las races de la ecuacin: x5 + 32 = 0

Nmeros Complejos. Actividades

11

Expresa en funcin de cos y sen :

cos 3 y sen 3Binomio de Newton

Frmula de Moivre

Igualamos con la parte real e imaginaria de la expresin anterior.

10Calcula k para que el nmero complejo que obtenemos al dividir est representado en la bisectriz del primer cuadrante.

11 Halla el valor de k para que el cociente sea:

1.-Un nmero imaginario puro.

2.-Uno nmero real.

12 Se considera el complejo 2 + 2 i, se gira 45 alrededor del origen de coordenadas en sentido contrario a las agujas del reloj. Hallar el complejo obtenido despus del giro.

13 Halla las coordenadas de los vrtices de un hexgono regular de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vrtices es el afijo del complejo 190.14 Determina el valor de a y b para que el cociente sea igual a:

15 Cules son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90, en sentido antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i.

16 Halla las coordenadas de los vrtices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas, sabiendo que uno de los vrtices es el punto (0, 2).

17 La suma de los componentes reales de dos nmeros complejos conjugados es seis, y la suma de sus mdulos es 10. Determina esos complejos en la forma binmica y polar.Binmicaz = a + bi Polarz = rtrigonomtricaz = r (cos + i sen )