numeros complejos

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  • 5/22/2018 numeros complejos

    1/45

    Pgina 146

    PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE

    El paso de Z a Q

    Imaginemos que solo se conocieran los nmeros enteros, Z .

    Sin utilizar otro tipo de nmeros, intenta resolver las siguientes ecuaciones:

    a) 3x = 15 b) 2x= 18

    c) 11x= 341 d) 4x= 34

    a)x= 5 b)x= 9

    c)x= 31 d) No se puede.

    Di cules de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cules esnecesario el conjunto de los nmeros enteros, Q .

    a) 5x= 60 b) 7x= 22

    c) 2x+ 1 = 15 d) 6x 2 = 10

    e) 3x 3 = 1 f) x+ 7 = 6

    a)x= 12 b)x=

    c)x= 7 d)x= 2

    e)x= f)x= 1

    Para b) y e) necesitamos Q .

    Pgina 147El paso de

    Qa

    Intenta resolver, sin salir de Q , las siguientes ecuaciones:

    a) 3x2 12 = 0 b) x2 6x+ 8 = 0

    c) 2x2 + x 1 = 0 d) x2 2 = 0

    a)x1 = 2, x2 = 2 b)x1 = 2, x2 = 4

    c)x1 = 1, x2 = d)x2 = 2 No se puede.1

    2

    43

    227

    Unidad 6. Nmeros complejos 1

    NMEROS COMPLEJOS6

  • 5/22/2018 numeros complejos

    2/45

    Resuelve, ahora, las siguiente ecuaciones:

    a) x2 9 = 0 b) 5x2 15 = 0

    c) x2 3x 4 = 0 d) 2x2 5x+ 1 = 0

    e) 7x2 7x= 0 f) 2x2 + 3x= 0

    Qu ecuaciones se pueden resolver en Q ?

    Para qu ecuaciones es necesario el conjunto de los nmeros reales, ?

    a)x1 = 3, x2 = 3 b)x1 = , x2 =

    c)x1 = 1, x2 = 4 d)x1 = , x2 =

    e)x1 = 0, x2 = 1 f)x1 = , x2 = 0

    Para b) y d), necesitamos .

    an no es suficiente

    Intenta resolver en las siguientes ecuaciones:

    a) x2 2 = 0 b) 2x2 5x+ 1 = 0

    c) 5x2 x 2 = 0 d) x2 + 1 = 0

    e) x2 2x+ 5 = 0 f ) 5x2 + 10 = 0

    a)x1 = , x2 = b)x1 = , x2 =

    c)x1 = , x2 = d)x2 = 1 No se puede.

    e)x= No se puede. f)x2 = 2 No se puede.

    Resuelve las tres ltimas ecuaciones d), e) y f) utilizando para las soluciones

    nmeros reales y la expresin .

    d)x= , x1 = , x2 =

    e)x1 = 1 2 , x2 = 1 + 2

    f)x1 = , x2 =

    Pgina 149

    1. Representa grficamente los siguientes nmeros complejos y di cules sonreales, cules imaginarios y, de estos, cules son imaginarios puros:

    5 3i; + i; 5i; 7; i; 0; 1 i; 7; 4i354

    12

    121211

    111

    1

    2 162

    1 + 4110

    1 4110

    5 + 17

    4

    5 17

    4

    22

    32

    5 + 174

    5 174

    33

    Unidad 6. Nmeros complejos 2

  • 5/22/2018 numeros complejos

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    Reales: 7, 0 y 7

    Imaginarios: 5 3i, + i, 5i, i, 1 i, 4i

    Imaginarios puros: 5i, i, 4i

    Representacin:

    2. Obtn las soluciones de las siguientes ecuaciones y represntalas:

    a) x2 + 4 = 0 b) x2 + 6x+ 10 = 0 c) 3x2 + 27 = 0 d) 3x2 27 = 0

    a)x= = = 2i;

    x1 = 2i, x2 = 2i

    b)x= = =

    = = 3 i; x1 = 3 i, x2 = 3 + i

    c)x2 = 9 x= = 3i

    x1 = 3i, x2 = 3i

    9

    6 2i2

    6 42

    6 36 402

    4i2

    162

    3

    354

    12

    Unidad 6. Nmeros complejos 3

    i

    +i12

    54

    53i

    4i

    5i

    771i

    3i

    1

    3 + i

    3i

    3i

    3i

    2i

    2i

  • 5/22/2018 numeros complejos

    4/45

    d)x2 = 9 x= 3

    x1 =3, x2 = 3

    3. Representa grficamente el opuesto y el conjugado de:

    a) 3 5i b) 5 + 2i

    c) 1 2i d) 2 + 3i

    e) 5 f) 0

    g) 2i h) 5i

    a) Opuesto:3 + 5i

    Conjugado: 3 + 5i

    b) Opuesto:52i

    Conjugado: 52i

    c) Opuesto: 1 + 2i

    Conjugado:1 + 2i

    Unidad 6. Nmeros complejos 4

    3 3

    3 + 5i 3 + 5i

    35i

    52i

    5 + 2i

    52i

    12i

    1 + 2i 1 + 2i

  • 5/22/2018 numeros complejos

    5/45

    d) Opuesto: 23i

    Conjugado:23i

    e) Opuesto:5

    Conjugado: 5

    f) Opuesto: 0

    Conjugado: 0

    g) Opuesto:2i

    Conjugado:2i

    h) Opuesto: 5i

    Conjugado: 5i

    Unidad 6. Nmeros complejos 5

    2 + 3i

    23i 23i

    55

    0

    2i

    2i

    5i

    5i

  • 5/22/2018 numeros complejos

    6/45

    4. Sabemos que i2 = 1. Calcula i3, i4, i5, i6, i20, i21, i22, i23. Da un criteriopara simplificar potencias de i de exponente natural.

    i3 =i i4 = 1 i5 = i i6 =1

    i20 = 1 i21 = i i22 =1 i23 =i

    CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue:

    in = i4c + r= i4c ir= (i4)

    cir= 1c ir= 1 ir= ir

    Por tanto, in = ir, donde r es el resto de dividir n entre 4.

    Pgina 151

    1. Efecta las siguientes operaciones y simplifica el resultado:

    a) (6 5i) + (2 i) 2(5 + 6i) b) (2 3i) (5 + 4i) + (6 4i)

    c) (3 + 2i) (4 2i) d) (2 + 3i) (5 6i)

    e) (i+ 1) (3 2i) (1 + 3i) f )

    g) h)

    i) j)

    k) l) 6 3

    (5 + i

    )m)

    a) (65i) + (2i)2(5 + 6i) = 65i+ 2i+ 1012i= 1818i

    b) (23i)(5 + 4i) + (64i) = 23i54i+ 32i=9i

    c) (3 + 2i) (42i) = 126i+ 8i4i2 = 12 + 2i+ 4 = 16 + 2i

    d) (2 + 3i) (56i) = 1012i+ 15i18i2 = 10 + 3i+ 18 = 28 + 3i

    e) (i+ 1) (32i) (1 + 3i) = (3i+ 2i2 + 3 2i) (1 + 3i) = (325i) (1 + 3i) =

    = (15i) (1 + 3i) = 1 + 3i5i15i2 = 1 + 152i= 162i

    f ) = = = = = i

    g) = = = = =

    = i1310

    110

    113i10

    313i49 + 1

    3i12i+ 4i2

    9i2(14i) (3i)(3 + i) (3i)

    14i3 + i

    20i20

    20i16 + 4

    8 + 4i+ 16i+ 8i2

    164i2(2 + 4i) (4 + 2i)(42i) (4 + 2i)

    2 + 4i42i

    12

    (3i)2 (1 2i)2 + 2i

    2

    5

    4 2i

    i

    1 + 5i3 + 4i

    5 + i2 i

    4 + 4i3 + 5i

    1 4i3 + i

    2 + 4i4 2i

    12

    Unidad 6. Nmeros complejos 6

  • 5/22/2018 numeros complejos

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    h) = = = =

    = = i= i

    i) = = = = =

    = + i

    j) = = = =

    = = + i

    k) = = =4i2 =24i

    l) 63 (5 + i) = 615 + i=9 + im) = = = =

    = = = =

    = = + i= + i

    2. Obtn polinomios cuyas races sean:

    a) 2 + i y 2 i

    b) 3i y 3i

    c) 1 + 2i y 3 4i

    (Observa que solo cuando las dos races son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales).

    a)[x(2 + i)] [x(2 i)] =

    = [(x2) i] [(x2) + i] = (x2)2( i)2 =

    =x24x+ 43i2 =x24x+ 4 + 3 =x24x+ 7

    b) [x(3i)] [x3i] = [x+ 3i] [x3i] =x29i2 =x2 + 9

    c) [x(1 + 2i)] [x(34i)] = [(x1)2i] [(x3) + 4i] =

    = (x1) (x3) + 4 (x1) i2 (x3) i8i2 =

    =x24x+ 3 + (4x42x+ 6) i+ 8 =x24x+ 11 + (2x+ 2)i=

    =x24x+ 11 + 2ix+ 2i=x2 + (4 + 2i)x+ (11 + 2i)

    333

    33

    33

    27

    4

    9

    4

    54

    8

    18

    8

    18 + 54i

    8

    18 + 54i+ 364 + 4

    18 + 18i+ 36i36i2

    44i2(9 + 18i) (22i)(2 + 2i) (22i)

    9 + 18i(2 + 2i)

    9(12i)(2 + 2i)

    9i2 (12i)(2 + 2i)

    (3i)2 (12i)(2 + 2i)

    65

    65

    25

    4i+ 2i21

    (42i) (i)i(i)

    42ii

    1125

    2325

    23 + 11i25

    3 + 11i+ 209 + 16

    34i+ 15i20i2

    916i2(1 + 5i) (34i)(3 + 4i) (34i)

    1 + 5i3 + 4i

    35

    115

    11 + 3i5

    10 + 3i15

    10 + 5i2i+ i2

    4 + 1

    (5 + i) (2 + i)(2i) (2 + i)

    5 + i2i

    16

    17

    4

    17

    32

    34

    8

    34

    832i

    34

    1232i+ 209 + 25

    1220i12i20i2

    925i2(4 + 4i) (35i)(3 + 5i) (35i)

    4 + 4i3 + 5i

    Unidad 6. Nmeros complejos 7

  • 5/22/2018 numeros complejos

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    3. Cunto debe valer x, real, para que (25 xi)2 sea imaginario puro?

    (25xi)2 = 625 +x2i250xi= (625x2)50xi

    Para que sea imaginario puro:

    625x2 = 0 x2 = 625 x= = 25

    Hay dos soluciones: x1 =25, x2 = 25

    4. Representa grficamente z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 5i, z1 + z2. Comprueba quez1 + z2 es una diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2.

    z1 + z2 = 5 + 7i

    Pgina 1531. Escribe en forma polar los siguientes nmeros complejos:

    a) 1 + i b) + i c) 1 + i

    d) 5 12i e) 3i f) 5

    a) 1 + i= 260 b) + i= 230 c)1 + i= 135

    d) 512i= 13292 37' e) 3i= 390 f )5 = 5

    2. Escribe en forma binmica los siguientes nmeros complejos:

    a) 5 (/6) rad b) 2135 c) 2495

    d) 3240 e) 5180 f) 4 90

    a) 5(/6) = 5 (cos + i sen ) = 5 ( + i ) = + i

    b) 2135 = 2(cos135 + i sen 135) = 2 ( + i ) = + i222222

    52

    532

    12

    32

    6

    6

    233

    33

    625

    Unidad 6. Nmeros complejos 8

    7i

    i

    5i

    z1+ z2

    z1

    z2

    1 2 3 4 5

  • 5/22/2018 numeros complejos

    9/45

    c) 2495 = 2135 = + i

    d) 3240 = 3(cos240 + i sen 240) = 3( i ) = ie) 5180 =5

    f) 490 = 4i

    3. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del nmero complejo z= r.

    Opuesto:z= r180 +

    Conjugado: z= r360

    4. Escribe en forma binmica y en forma polar el complejo:

    z = 8 (cos 30 + i sen 30)

    z= 830 = 8 (cos30 + i sen 30) = 8 ( + i ) = + i= 4 + 4i

    5. Sean los nmeros complejos z1 = 460 y z2 = 3210 .

    a) Expresa z1 y z2 en forma binmica.

    b)Halla z1 z2 y z2/z1, y pasa los resultados a forma polar.

    c) Compara los mdulos y los argumentos de z1 z2 y z2/z1 con los de z1 yz2 e intenta encontrar relaciones entre ellos.

    a)z1 = 460 = 4 (cos60 + i sen 60) = 4 ( + i ) = 2 + 2 i

    z2 = 3210 = 3 (cos210 + i sen 210) = 3 ( i ) = i

    b)z1 z2 = (2 + 2 i)( i) ==3 3i9i3 i2 =3 12i+ 3 =12i= 12270

    = = =

    = = = = ( )150

    c)z1 z2 = 460 3210 = (4 3)60 + 210 = 12270

    = = ( )210 60

    = ( )1

    34

    34

    3210460

    z2z1

    34

    6

    3 + 6i

    16

    3

    3 + 6i3

    3

    4 + 12

    3

    33i+ 9i+ 3

    3i2

    412i2

    3

    3 3

    ( i) (22

    3i)2 2(2 + 2

    3i) (22

    3i)

    3

    3 3

    ( i)2 2(2 + 2 3i)z2z1

    3333

    32

    332

    3