5/22/2018 numeros complejos

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Pgina 146

PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE

El paso de Z a Q

Imaginemos que solo se conocieran los nmeros enteros, Z .

Sin utilizar otro tipo de nmeros, intenta resolver las siguientes ecuaciones:

a) 3x = 15 b) 2x= 18

c) 11x= 341 d) 4x= 34

a)x= 5 b)x= 9

c)x= 31 d) No se puede.

Di cules de las siguientes ecuaciones se pueden resolver en Z y para cules esnecesario el conjunto de los nmeros enteros, Q .

a) 5x= 60 b) 7x= 22

c) 2x+ 1 = 15 d) 6x 2 = 10

e) 3x 3 = 1 f) x+ 7 = 6

a)x= 12 b)x=

c)x= 7 d)x= 2

e)x= f)x= 1

Para b) y e) necesitamos Q .

Pgina 147El paso de

Qa

Intenta resolver, sin salir de Q , las siguientes ecuaciones:

a) 3x2 12 = 0 b) x2 6x+ 8 = 0

c) 2x2 + x 1 = 0 d) x2 2 = 0

a)x1 = 2, x2 = 2 b)x1 = 2, x2 = 4

c)x1 = 1, x2 = d)x2 = 2 No se puede.1

2

43

227

Unidad 6. Nmeros complejos 1

NMEROS COMPLEJOS6

5/22/2018 numeros complejos

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Resuelve, ahora, las siguiente ecuaciones:

a) x2 9 = 0 b) 5x2 15 = 0

c) x2 3x 4 = 0 d) 2x2 5x+ 1 = 0

e) 7x2 7x= 0 f) 2x2 + 3x= 0

Qu ecuaciones se pueden resolver en Q ?

Para qu ecuaciones es necesario el conjunto de los nmeros reales, ?

a)x1 = 3, x2 = 3 b)x1 = , x2 =

c)x1 = 1, x2 = 4 d)x1 = , x2 =

e)x1 = 0, x2 = 1 f)x1 = , x2 = 0

Para b) y d), necesitamos .

an no es suficiente

Intenta resolver en las siguientes ecuaciones:

a) x2 2 = 0 b) 2x2 5x+ 1 = 0

c) 5x2 x 2 = 0 d) x2 + 1 = 0

e) x2 2x+ 5 = 0 f ) 5x2 + 10 = 0

a)x1 = , x2 = b)x1 = , x2 =

c)x1 = , x2 = d)x2 = 1 No se puede.

e)x= No se puede. f)x2 = 2 No se puede.

Resuelve las tres ltimas ecuaciones d), e) y f) utilizando para las soluciones

nmeros reales y la expresin .

d)x= , x1 = , x2 =

e)x1 = 1 2 , x2 = 1 + 2

f)x1 = , x2 =

Pgina 149

1. Representa grficamente los siguientes nmeros complejos y di cules sonreales, cules imaginarios y, de estos, cules son imaginarios puros:

5 3i; + i; 5i; 7; i; 0; 1 i; 7; 4i354

12

121211

111

1

2 162

1 + 4110

1 4110

5 + 17

4

5 17

4

22

32

5 + 174

5 174

33

Unidad 6. Nmeros complejos 2

5/22/2018 numeros complejos

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Reales: 7, 0 y 7

Imaginarios: 5 3i, + i, 5i, i, 1 i, 4i

Imaginarios puros: 5i, i, 4i

Representacin:

2. Obtn las soluciones de las siguientes ecuaciones y represntalas:

a) x2 + 4 = 0 b) x2 + 6x+ 10 = 0 c) 3x2 + 27 = 0 d) 3x2 27 = 0

a)x= = = 2i;

x1 = 2i, x2 = 2i

b)x= = =

= = 3 i; x1 = 3 i, x2 = 3 + i

c)x2 = 9 x= = 3i

x1 = 3i, x2 = 3i

9

6 2i2

6 42

6 36 402

4i2

162

3

354

12

Unidad 6. Nmeros complejos 3

i

+i12

54

53i

4i

5i

771i

3i

1

3 + i

3i

3i

3i

2i

2i

5/22/2018 numeros complejos

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d)x2 = 9 x= 3

x1 =3, x2 = 3

3. Representa grficamente el opuesto y el conjugado de:

a) 3 5i b) 5 + 2i

c) 1 2i d) 2 + 3i

e) 5 f) 0

g) 2i h) 5i

a) Opuesto:3 + 5i

Conjugado: 3 + 5i

b) Opuesto:52i

Conjugado: 52i

c) Opuesto: 1 + 2i

Conjugado:1 + 2i

Unidad 6. Nmeros complejos 4

3 3

3 + 5i 3 + 5i

35i

52i

5 + 2i

52i

12i

1 + 2i 1 + 2i

5/22/2018 numeros complejos

5/45

d) Opuesto: 23i

Conjugado:23i

e) Opuesto:5

Conjugado: 5

f) Opuesto: 0

Conjugado: 0

g) Opuesto:2i

Conjugado:2i

h) Opuesto: 5i

Conjugado: 5i

Unidad 6. Nmeros complejos 5

2 + 3i

23i 23i

55

0

2i

2i

5i

5i

5/22/2018 numeros complejos

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4. Sabemos que i2 = 1. Calcula i3, i4, i5, i6, i20, i21, i22, i23. Da un criteriopara simplificar potencias de i de exponente natural.

i3 =i i4 = 1 i5 = i i6 =1

i20 = 1 i21 = i i22 =1 i23 =i

CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y lo escribimos como sigue:

in = i4c + r= i4c ir= (i4)

cir= 1c ir= 1 ir= ir

Por tanto, in = ir, donde r es el resto de dividir n entre 4.

Pgina 151

1. Efecta las siguientes operaciones y simplifica el resultado:

a) (6 5i) + (2 i) 2(5 + 6i) b) (2 3i) (5 + 4i) + (6 4i)

c) (3 + 2i) (4 2i) d) (2 + 3i) (5 6i)

e) (i+ 1) (3 2i) (1 + 3i) f )

g) h)

i) j)

k) l) 6 3

(5 + i

)m)

a) (65i) + (2i)2(5 + 6i) = 65i+ 2i+ 1012i= 1818i

b) (23i)(5 + 4i) + (64i) = 23i54i+ 32i=9i

c) (3 + 2i) (42i) = 126i+ 8i4i2 = 12 + 2i+ 4 = 16 + 2i

d) (2 + 3i) (56i) = 1012i+ 15i18i2 = 10 + 3i+ 18 = 28 + 3i

e) (i+ 1) (32i) (1 + 3i) = (3i+ 2i2 + 3 2i) (1 + 3i) = (325i) (1 + 3i) =

= (15i) (1 + 3i) = 1 + 3i5i15i2 = 1 + 152i= 162i

f ) = = = = = i

g) = = = = =

= i1310

110

113i10

313i49 + 1

3i12i+ 4i2

9i2(14i) (3i)(3 + i) (3i)

14i3 + i

20i20

20i16 + 4

8 + 4i+ 16i+ 8i2

164i2(2 + 4i) (4 + 2i)(42i) (4 + 2i)

2 + 4i42i

12

(3i)2 (1 2i)2 + 2i

2

5

4 2i

i

1 + 5i3 + 4i

5 + i2 i

4 + 4i3 + 5i

1 4i3 + i

2 + 4i4 2i

12

Unidad 6. Nmeros complejos 6

5/22/2018 numeros complejos

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h) = = = =

= = i= i

i) = = = = =

= + i

j) = = = =

= = + i

k) = = =4i2 =24i

l) 63 (5 + i) = 615 + i=9 + im) = = = =

= = = =

= = + i= + i

2. Obtn polinomios cuyas races sean:

a) 2 + i y 2 i

b) 3i y 3i

c) 1 + 2i y 3 4i

(Observa que solo cuando las dos races son conjugadas, el polinomio tiene coeficientes reales).

a)[x(2 + i)] [x(2 i)] =

= [(x2) i] [(x2) + i] = (x2)2( i)2 =

=x24x+ 43i2 =x24x+ 4 + 3 =x24x+ 7

b) [x(3i)] [x3i] = [x+ 3i] [x3i] =x29i2 =x2 + 9

c) [x(1 + 2i)] [x(34i)] = [(x1)2i] [(x3) + 4i] =

= (x1) (x3) + 4 (x1) i2 (x3) i8i2 =

=x24x+ 3 + (4x42x+ 6) i+ 8 =x24x+ 11 + (2x+ 2)i=

=x24x+ 11 + 2ix+ 2i=x2 + (4 + 2i)x+ (11 + 2i)

333

33

33

27

4

9

4

54

8

18

8

18 + 54i

8

18 + 54i+ 364 + 4

18 + 18i+ 36i36i2

44i2(9 + 18i) (22i)(2 + 2i) (22i)

9 + 18i(2 + 2i)

9(12i)(2 + 2i)

9i2 (12i)(2 + 2i)

(3i)2 (12i)(2 + 2i)

65

65

25

4i+ 2i21

(42i) (i)i(i)

42ii

1125

2325

23 + 11i25

3 + 11i+ 209 + 16

34i+ 15i20i2

916i2(1 + 5i) (34i)(3 + 4i) (34i)

1 + 5i3 + 4i

35

115

11 + 3i5

10 + 3i15

10 + 5i2i+ i2

4 + 1

(5 + i) (2 + i)(2i) (2 + i)

5 + i2i

16

17

4

17

32

34

8

34

832i

34

1232i+ 209 + 25

1220i12i20i2

925i2(4 + 4i) (35i)(3 + 5i) (35i)

4 + 4i3 + 5i

Unidad 6. Nmeros complejos 7

5/22/2018 numeros complejos

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3. Cunto debe valer x, real, para que (25 xi)2 sea imaginario puro?

(25xi)2 = 625 +x2i250xi= (625x2)50xi

Para que sea imaginario puro:

625x2 = 0 x2 = 625 x= = 25

Hay dos soluciones: x1 =25, x2 = 25

4. Representa grficamente z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 5i, z1 + z2. Comprueba quez1 + z2 es una diagonal del paralelogramo de lados z1 y z2.

z1 + z2 = 5 + 7i

Pgina 1531. Escribe en forma polar los siguientes nmeros complejos:

a) 1 + i b) + i c) 1 + i

d) 5 12i e) 3i f) 5

a) 1 + i= 260 b) + i= 230 c)1 + i= 135

d) 512i= 13292 37' e) 3i= 390 f )5 = 5

2. Escribe en forma binmica los siguientes nmeros complejos:

a) 5 (/6) rad b) 2135 c) 2495

d) 3240 e) 5180 f) 4 90

a) 5(/6) = 5 (cos + i sen ) = 5 ( + i ) = + i

b) 2135 = 2(cos135 + i sen 135) = 2 ( + i ) = + i222222

52

532

12

32

6

6

233

33

625

Unidad 6. Nmeros complejos 8

7i

i

5i

z1+ z2

z1

z2

1 2 3 4 5

5/22/2018 numeros complejos

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c) 2495 = 2135 = + i

d) 3240 = 3(cos240 + i sen 240) = 3( i ) = ie) 5180 =5

f) 490 = 4i

3. Expresa en forma polar el opuesto y el conjugado del nmero complejo z= r.

Opuesto:z= r180 +

Conjugado: z= r360

4. Escribe en forma binmica y en forma polar el complejo:

z = 8 (cos 30 + i sen 30)

z= 830 = 8 (cos30 + i sen 30) = 8 ( + i ) = + i= 4 + 4i

5. Sean los nmeros complejos z1 = 460 y z2 = 3210 .

a) Expresa z1 y z2 en forma binmica.

b)Halla z1 z2 y z2/z1, y pasa los resultados a forma polar.

c) Compara los mdulos y los argumentos de z1 z2 y z2/z1 con los de z1 yz2 e intenta encontrar relaciones entre ellos.

a)z1 = 460 = 4 (cos60 + i sen 60) = 4 ( + i ) = 2 + 2 i

z2 = 3210 = 3 (cos210 + i sen 210) = 3 ( i ) = i

b)z1 z2 = (2 + 2 i)( i) ==3 3i9i3 i2 =3 12i+ 3 =12i= 12270

= = =

= = = = ( )150

c)z1 z2 = 460 3210 = (4 3)60 + 210 = 12270

= = ( )210 60

= ( )1

34

34

3210460

z2z1

34

6

3 + 6i

16

3

3 + 6i3

3

4 + 12

3

33i+ 9i+ 3

3i2

412i2

3

3 3

( i) (22

3i)2 2(2 + 2

3i) (22

3i)

3

3 3

( i)2 2(2 + 2 3i)z2z1

3333

32

332

3