Numeros complejos

1 Santa Ana de Coro Marzo 2012

UNEFM

NUMEROS COMPLEJOS

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL“FRANCISCO DE MIRANDA”

ÁREA DE POSTGRADOESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

MENCIÓN EDUCACIÓN BÁSICA

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NÚMEROS COMPLEJOS

Definicióno Operacioneso Isomorfismoo Unidad

Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma

Exponencial

Matemáticas Básicas

Definición de un Número Complejo

Es un par ordenado de números reales.

Representación Gráfica de un Número Complejo

Para graficar un complejo en el plano real se debe tener en cuenta que el eje

de las abscisas es el Eje Real (Re) y el eje de las ordenadas Eje Imaginario (Im)

Dado el Complejo

es el Vector Posición

El punto de coordenadas es el Afijo

Ejemplo: Graficar el complejo

Ing. Adrián G. Aldama G. (Esp.) © Departamento Física y Matemática UNEFM Marzo 2012

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Parte Real e Imaginaria de un Complejos

Dado un complejo el primer componente se denomina parte real

(Re(z)) y la segunda componente parte imaginaria (Im(z))

Los complejos de la forma complejos reales puros

Los complejos de la forma complejos imaginarios puros

Ejemplo: Graficar los complejos

Opuesto y Conjugada de un Complejos

Dado un complejo

Su opuesto es

Su conjugado es


NÚMEROS COMPLEJOS

Definicióno Operacioneso Isomorfismoo Unidad


Exponencial

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Ejemplo: Dado el complejo , graficarlo, hallar su opuesto y su conjugado

Complejo Nulo

es el complejo nulo si y solo si ,

Igualdad de Complejos

Dados los complejos y , , si y solo si

Ejemplo: ¿Para que valores reales de y , la ecuación siguiente será un

postulado verdadero?

Operaciones con Números Complejos

Adición

Dados los complejos y

+=


NÚMEROS COMPLEJOS

o DefiniciónOperaciones

o Isomorfismoo Unidad


Exponencial

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La sustracción se obtiene usando el opuesto del segundo:

+=

Propiedades:

Ley de composición interna:

Conmutatividad:

Existencia del elemento neutro:

Existencia del elemento opuesto:

Asociatividad:

Ejemplo: Dados los complejos encuentre:

, ,


NÚMEROS COMPLEJOS




Exponencial

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Producto por un escalar

Dado el complejo y ,

Propiedades:

Ley de composición externa:

Distributividad con respecto a la adición de complejos:

Distributividad con respecto a la adición de escalares:

Asociatividad mixta:


Ejemplo: Dados el complejo encuentre


NÚMEROS COMPLEJOS




Exponencial

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Multiplicación de Complejos

Dados los complejos y

.=

Propiedades:

Ley de composición interna:

Conmutatividad:


Existencia del elemento inverso:

Asociatividad:


NÚMEROS COMPLEJOS




Exponencial

8


Ejemplo: Dados los complejos encuentre:

,

Ejemplo: Demuestre que el inverso multiplicativo de es

Ejemplo: Calcular

Potenciación

La potenciación de un número complejo con potencia natural, se resuelve

como una multiplicación reiterada.

n veces

Ejemplo: Calcular


NÚMEROS COMPLEJOS




Exponencial

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Isomorfismo entre el conjunto de los números complejos reales puros y los

números reales

Existe una función biyectiva denominada isomorfismo entre el conjunto de

los números reales puros y el conjunto de los números reales de manera que

Producto de un número complejo por su conjugado

El producto entre un complejo y su conjugado es igual a la suma de los

cuadrados de sus respectivas partes reales y partes imaginarias.

Ejemplo: Calcular el producto entre un número complejo cualquiera y su

conjugado.


NÚMEROS COMPLEJOS

o Definicióno Operaciones

Isomorfismoo Unidad


Exponencial

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Unidad Imaginaria

La unidad imaginaria es el complejo imaginario puro y se representa con la

letra i o j.

Potencia sucesivas de la unidad imaginaria

Se calculan algunas potencias de la unidad imaginaria i.

Ejemplo: Demuestre que ,

Ejemplo: Simplifique ,


.

NÚMEROS COMPLEJOS

o Definicióno Operacioneso Isomorfismo

Unidad Imaginaria

o Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma

Exponencial

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Forma Binómica de los Números Complejos

Dado un complejo cualquiera se le puede escribir:

Operaciones en forma Binómica

Sean los complejos y

Adición:

Producto por un escalar:

Multiplicación:

División: si


NÚMEROS COMPLEJOS

o Definicióno Operacioneso Isomorfismoo Unidad

ImaginariaForma Binómica

o Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma

Exponencial

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Ejemplo: Dado el complejo expréselo en forma binómica, hallar su parte real,

su parte imaginaria y su conjugado

Ejemplo: Dado los complejos y demuestre que

Ejemplo: Dado , y , calcular

Ejemplo: Dado y calcular

Ejemplo: Calcular


NÚMEROS COMPLEJOS




Exponencial

13


Propiedades de los Conjugados de los Números Complejos

Dado los complejos y

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.


NÚMEROS COMPLEJOS




Exponencial

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Modulo de un Complejo

El modulo de un complejo es igual a la raíz cuadrada de la suma de los

cuadrados de la parte real y la parte imaginaria.

Dado el complejo

Propiedades del Modulo de un Complejo

Dado los complejos y

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ejemplo: Calcular el modulo de y


NÚMEROS COMPLEJOS


Imaginariao Forma Binómica

Moduloo Argumentoo Forma Polaro Forma

Exponencial

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Argumento de un Complejo

Es el ángulo determinado entre el semieje positivo de abscisas y el vector

Argumento principal (

Cuando el argumento está comprendido dentro del primer giro

Conocido el argumento principal existen infinitos ángulos congruentes con él.

Si los ángulos equivalentes en los restantes cuadrantes

Ejemplo: Hallar los argumentos de los siguientes compleos, , , , , ,


NÚMEROS COMPLEJOS


Imaginariao Forma Binómicao Modulo

Argumentoo Forma Polaro Forma

Exponencial

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Forma Polar de un Complejo

Dado el complejo

Ejemplo: Hallar la expresión polar de , ,

Ejemplo: Hallar la expresión binómica de


NÚMEROS COMPLEJOS


Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumento

Forma Polaro Forma

Exponencial

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Forma Exponencial de un Complejo

Se define la forma exponencial compleja de la siguiente manera:

Formula de Euler

Así:

Ejemplo: Dado , ,

escribirlo en forma exponencial, luego encuentre y

Ejemplo: Dado y escribirlo en forma polar y binómica


NÚMEROS COMPLEJOS


Imaginariao Forma Binómicao Moduloo Argumentoo Forma Polar

Forma Exponencial

Numeros complejos

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