numeros complejos

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Unidad imaginariaLa unidad imaginaria es el nmero letra i. y se designa por la

Nmeros imaginariosUn nmero imaginario se denota por bi, donde :

b es un nmero real

i es la unidad imaginaria

Con los nmeros imaginarios podemos calcular races con ndice par y radicando negativo.

x2 + 9 = 0

Potencias de la unidad imaginaria i0 i1 i2 i3= 1

=

i1

=

=

i

i4

= 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cunto vale una determinada potencia de i , se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i22

i22 i27

= (i4)5

i2

=

1

=

i Nmeros complejos en forma binmica

Al nmero a + bi le llamamos nmero complejo en forma binmica.

El nmero a se llama parte real del nmero complejo.

El nmero b se llama parte imaginaria del nmero complejo.

Si b = 0 el nmero complejo se reduce a un nmero real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el nmero complejo se reduce a bi, y se dice que es un nmero imaginario puro.

El conjunto de todos nmeros complejos se designa por

.

Los nmeros complejos a + bi y

a

bi se llaman opuestos.

Los nmeros complejos z = a + bi y z = a llaman conjugados.

bi se

Dos nmeros complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Representacin grfica de nmeros complejosLos nmeros complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El nmero complejo a + bi se representa:

1 Por el punto (a,b), que se llama su afijo,

z

2 Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

Los afijos de los nmeros reales se sitan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

Operaciones de nmeros complejos en la forma binmica Suma y diferencia de nmeros complejosLa suma y diferencia de nmeros complejos se realiza sumando y restando partes reales entre s y partes imaginarias entre s.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi)

(c + di) = (a

c) + (b

d)i

(5 + 2 i) + (

8 + 3 i)

(4

2i ) =

= (5

8

4) + (2 + 3 + 2 ) i =

7 + 7i

Multiplicacin de nmeros complejosEl producto de los nmeros complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i 2 = 1.

(a + bi) (c + di) = (ac

bd) + (ad + bc)i

(5 + 2 i) (2

3 i) =

= 10

15i + 4 i

6 i 2 = 10

11 i + 6 = 16

11i

Divisin de nmeros complejosEl cociente de nmeros complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de ste.

Nmeros complejos en forma polar

Mdulo de un nmero complejo

El mdulo de un nmero complejo es el mdulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un nmero complejo

El argumento de un nmero complejo es el ngulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

.

Expresin de un nmero complejo en forma polar.

z = r

|z| = r r es el mdulo.

arg(z) =

es el argumento.

Ejemplos

Pasar a la forma polar:

z = 260

z = 2120

z = 2240

z = 2300

z = 2

z = 20

z =

2

z = 2180

z = 2i

z = 290

z =

2i

z = 2270

Pasar a la forma binmica:

z = 2120

Para pasar de la forma polar a la binmica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonomtrica:

r

= r (cos

+ i sen

)

z = 2 (cos 120 + i sen 120)

z =1 0 = 1

z =1 1 8 0 =

1

z =1 9 0 = i

z =1 2 7 0 =

i

Nmeros complejos iguales, conjugados, opuestos e inversos

Nmeros complejos igualesDos nmeros complejos son iguales si tienen el mismo mdulo y el mismo argumento.

Nmeros complejos conjugadosDos nmeros complejos son conjugados si tienen el mismo mdulo y el opuestos sus argumento.

Nmeros complejos opuestosDos nmeros complejos son opuestos si tienen el mismo mdulo y sus argumentos se diferencian en radianes.

Nmeros complejos inversosEl inverso de un nmero complejo no nulo, tiene por mdulo el inverso del mdulo y por argumento su opuesto.

Producto y cociente de complejos en forma polar Multiplicacin de complejos en forma polarLa multiplicacin de dos nmeros complejos es otro nmero complejo tal que:

Su mdulo es el producto de los mdulos.

Su argumento es la suma de los argumentos.

6 4 5 3 1 5 = 18 6 0

Producto por un complejo de mdulo 1Al multiplicar un nmero complejo z = r ngulo alrededor del origen. por 1 se gira z un

r

1

= r

+

Divisin de complejos en forma polarLa divisin de dos nmeros complejos es otro nmero complejo tal que:

Su mdulo es el cociente de los mdulos.

Su argumento es la diferencia de los argumentos.

645 : 315 = 230

Potencia de nmero complejoLa potencia ensima de nmero complejo es otro nmero complejo tal que:

Su mdulo es la potencia n-sima del mdulo.

Su argumento es n veces el argumento dado.

(2 3 0 ) 4 = 16 1 2 0

Raz de nmeros complejos

La raz ensima de nmero complejo es otro nmero complejo tal que:

Su mdulo es la en raz ensima del mdulo.

Su argumento es:

k = 0,1 ,2 ,3,

(n-1)

Conversin de coordenadas polares a cartesianas

x = r cos

y = r sen

Ejemplos

2120

1 0 = (1, 0)

1180 = (

1, 0)

1 9 0 = (0, 1)

1270 =

(0,

1)

Conversin de coordenadas cartesianas a polares

Ejemplos

260

2120

2240

2300

(2, 0)

20

(

2, 0)

2180

(0, 2)

290

(0,

2)

2270

Nmeros complejos en forma trigonomtricaa + bi = r = r (cos + i sen )

Binmica Polar trigonomtrica

z = a + bi z=r z = r (cos + i sen )

Pasar a la forma polar y trigonomtrica:

z = 260

z = 2 (cos 60 + i sen 60)

z = 2120

z = 2 (cos 120 + i sen 120)

z = 2240z = 2 (cos 240 + i sen 240)

z = 2300

z = 2 (cos 300 + i sen 300)

z = 2

z = 20z = 2 (cos 0 + i sen 0)

z =

2

z = 2180z = 2 (cos 180 + i sen 180)

z = 2i

z = 290z = 2 (cos 90 + i sen 90)

z =

2i

z = 2270z = 2 (cos 270 + i sen 270)

Escribe en forma binmica:

z = 2120

z = 2 (cos 120 + i sen 120)

z =1 0 = 1

z =1 1 8 0 =

1

z =1 9 0 = i

z =1 2 7 0 =

i

Ejercicios de nmeros complejos

1 2

Calcular todas las races de la ecuacin: x 6 + 1 = 0

Realiza las siguientes operaciones:

1 2

3

4

3polar.

Resuelve la siguiente raz, expresando los resultados en forma

4 Escribe

una ecuacin de segundo grado que tenga por soluciones 1

+ 2i y su conjugado.

5 Calcula

, dando el resultado en forma polar.

6cbicas.

Calcula el valor de

, y representa los afijos de sus races

7

Expresa en forma polar y binmica un complejo cuyo cubo sea:

8

Expresa en funcin de cos

y sen

:

cos 5

y sen 5

9

Escribe en las formas polar y trigonomtrica, los conjugados y los

opuestos de:

1 4 + 4i 2 2 + 2i

10 11

Calcular todas las races de la ecuacin: x 5 + 32 = 0

Expresa en funcin de cos

y sen

:

cos 3

y sen 3

SOLUCIN EJERCICIOS NMEROS COMPLEJOS

1Calcular todas las races de la ecuacin: x 6 + 1 = 0

2Realiza las siguientes operaciones:

1

2

3

4

3Resuelve la siguiente raz, expresando los resultados en forma polar.

4Escribe una ecuacin de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.

5

Calcula

, dando el resultado en forma polar.

6

Calcula el valor de cbicas.

, y representa los afijos de sus races

7Expresa en forma polar y binmica un complejo cuyo cubo sea:

8Expresa en funcin de cos y sen :

cos 5

y sen 5

Binomio de Newton

Frmula de Moivre

9Escribe en las formas polar y trigonomtrica, los conjugados y los opuestos de:

1 4 + 4i

2 2 + 2i

10Calcular todas las races de la ecuacin: x 5 + 32 = 0

11Expresa en funcin de cos y sen :

cos 3

y sen 3

Binomio de Newton

Frmula de Moivre