Tema 12Corriente alterna

12.1 Producción de fem alternas sinusoidales

12.2 Valores medios y eficaces

12.3 Corriente alterna en elementos de circuito

12.4 Circuitos LCR. Impedancia

12.5 Notación fasorial

12.6 Potencia en corriente alterna

12.7 Resonancia. Factor de calidad

12.8 Transformadores

BIBLIOGRAFÍA  - Alonso; Finn. "Física ". Cap. 27. Addison-Wesley Iberoamericana.

- Edminister. “Circuitos eléctricos”. Cap. 8, 9 y 30. McGraw-Hill

- Fraile Mora. “Electromagnetismo y circuitos eléctricos”. E.T.S.I.T. Madrid.

- Gettys; Keller; Skove. "Física clásica y moderna". Cap. 31 McGraw-Hill.

- Halliday; Resnick. "Fundamentos de física". Cap. 39. CECSA.

- Roller; Blum. "Física". Cap. 39. Reverté.

- Serway. "Física". Cap. 33. McGraw-Hill.

- Tipler. "Física". Cap. 30. Reverté

12.1 Producción de fem alternas sinusoidales

Se dice que una corriente es alterna si cambia de sentido periódicamente.

Generador de corriente alterna

Una espira que gira con velocidad angular constante en el seno de un campo magnético uniforme

θ=Φ cos S BB

Como ot θ+ω=θ

)t cos( S B oB θ+ω=Φ

Tomando θo=π/2, para una espira con N vueltas

t sen S B NB ω−=Φ

Aplicando la ley de Faraday t cos S B Ndt

d B ωω=Φ−=ε

t cos o ωε=ε Generador de corriente alterna Aut

ores

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, Man

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Fís

ica

Apl

icad

a, E

scue

la P

olité

cnic

a S

uper

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de A

lbac

ete

(UC

LM

)

Representación gráficaRepresentación gráfica

p 2 p 3 pTHsL

-4

-2

2

4

eHVLGenerador de corriente alterna

T

εo: Amplitud de la función Fuerza electromotriz máxima

T=2π/ω: Periodo de la fem Tiempo que tarda en recorrer un ciclo completo

f=1/T: Frecuencia Ciclos realizados por unidad de tiempo (Hz)

Aut

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cnic

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ete

(UC

LM

)

12.2 Valores medios y eficaces

Caracterización de una corriente utilizando valores medios

∫=T

0

dt fT1

f ∫=T

0

dt VT1

V

∫=T

0

dt IT1

I

ωπ=ω= 2

Tcon tcosVV Si o

[ ]∫ =ωπ

=ωπ

ω= ωπT

0

/20oo 0tsenV

21

dtt cosV2

V

[ ]∫ =ωπ

=ωπ

ω= ωπT

0

/20oo 0tsenI

21

dtt cosI2

I

Los valores medios no dan información sobre las corrientes alternas.

Aut

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LM

)

Caracterización de las corrientes alternas utilizando valores eficaces

2ef ff =

2ef VV =

2ef II =

Los voltímetros y amperímetros están diseñados para medir valores eficaces de la corriente o la tensión.

∫ ∫ =ωπ

πω=+ω

πω=ω

πω=

ωπT

0

202

o

/2

0

2o

22o

2

2V2

21

V2

dt2

1t2cosV

2dtt cosV

2V 2

VV o

ef =

∫ ∫ =ωπ

πω=+ω

πω=ω

πω=

ωπT

0

202

o

/2

0

2o

22o

2

2I2

21

I2

dt2

1t2cosI

2dtt cosI

2I

2I

I oef =

Aut

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scue

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de A

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(UC

LM

)

12.3 Corriente alterna en elementos de circuito

I.I. Corriente alterna en una resistenciaCorriente alterna en una resistencia

La tensión aplicada y la corriente están en fase

p 2 p 3 pwt

-10

-5

5

10V,I Circuito con R

I

V

tcosR

)t(I o ωε= tcosI)t(I o ω=

Para calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V

R I=ε R Itcoso =ωε

Aut

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LM

)

II.II. Corriente alterna en un condensadorCorriente alterna en un condensador

Para calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V

Cq

Vc ==εCq

tcoso =ωε

tcosC)t(q o ωε=

Dondeω

=ΧC1

c Reactancia capacitiva o capacitancia

En este caso, corriente y voltaje están desfasados: la corriente está adelantada π/2 respecto del voltaje

p 2 p 3 pwt

-10

-5

5

10V,I Circuito con C

I

V

tsen Cdt

)t(dq)t(I o ωωε−==

π+ω=

π+ω

ωε=

2tosc I

2tosc

C/1)t(I o

o

Aut

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LM

)

III.III. Corriente alterna en una bobinaCorriente alterna en una bobina

Para calcular la corriente en el circuito aplicamos la L.K.V

0dtdI

L =−ε dtdI

Ltcoso =ωε

Donde ω=Χ LL Reactancia inductiva o inductancia

En este caso, corriente y voltaje están desfasados: la corriente está atrasada π/2 respecto del voltaje

p 2 p 3 pwt

-10

-5

5

10V,I Circuito con L

I

V

dt tcosL

dI o ωε=

π−ω=

π−ω

ωε=

2tosc I

2tosc

L)t(I o

o

Aut

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LM

)

Circuito LCR en serieCircuito LCR en serie

12.4 Circuitos LCR: Impedancia

dtdI

LR ICq

tcoso ++=ωε

Derivando con respecto al tiempo

2

2

odt

IdL

dtdI

R CI

tens ++=ωωε−

Ángulo de faseR

tg CL Χ−Χ=δ

Corriente máxima( ) ZR

I o2

CL2

oo

ε=Χ−Χ+

ε=

CL Χ−Χ Reactancia total

( ) 2CL

2RZ Χ−Χ+= Impedancia

Esta ecuación es una ecuación diferencial, con dos constantes de integración, cuya solución se puede escribir de la forma

)tcos(II o δ−ω= constantes :,Io δ

Aut

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)

12.5 Notación fasorial

La relación entre corriente y voltaje en una bobina o en un condensador puede representarse mediante vectores bidimensionales llamados fasores.

Podemos representar la caída de potencial en una resistencia como un vector de módulo IoR, que forma un ángulo θ con el eje X

El valor instantáneo de la caída de tensión es la componente x del vector VR, que gira en sentido antihorario con una velocidad ω.

A cos(ωt-δ1) Fasor A ( )A

B cos(ωt-δ2) Fasor B ( )B BAC

+=

Uso de los fasoresCualquier función A cos(ωt-δ), será la componente x de un fasor que forma un ángulo (ωt-δ) con el eje x

Aut

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LM

)

Esta representación fasorial, la podemos llevar a cabo en el plano complejo

θ

r

a

b

Re

Im

Coordenadas cartesianas jbaz +=

Coordenadas polares θ= rz

Cambio de coordenadas

Cartesianas a polares

ab

tg arc

bar 22

=θ

+=

Polares a cartesianas θ=θ=

sen rb

cosra

Fórmula de Euler θ±θ=θ± sen jrcosrre j

Aut

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LM

)

Circuito: ε, R, L, C. tt ωεε cos)(max

=

ε

ω

RMK

FasorNúmero complejo

Ecuación Diferencial de 2º orden:

dt

dI

Cdt

dIR

dt

IdL

ε=++ 12

2

Solución con dos parámetros

Solución 1 Solución 2

)cos()(max

φω −= tItI C, impedancia

Ζφ

φZZ =

CA=CC+C

NO SI

Fasor

Ley de Ohm

Valores eficaces

Número complejo

φ: Defasaje ZI maxmax

ε=

ZI

ε=

Ohm

Enrique ArribasConsuelo Gallardo

Representación compleja de elementos de corriente alternaRepresentación compleja de elementos de corriente alterna

Vamos a reproducir las corrientes encontradas en circuitos de corriente alterna utilizando el formalismo de los números complejos. Representaremos por ε e i las tensiones y corrientes, teniendo en cuenta que las magnitudes de interés físico serán Re(ε) y Re(i). Así, los circuitos de corriente alterna se pueden resolver considerando la ley de Ohm con el formalismo de los números complejos.

Fuente de tensión δε=ε o )tcos()Re( o δ+ωε=ε)t(joe δ+ωε=ε

Resistencia RZR = Corriente y tensión están en fase.

Condensador ω−=

C

jZC

Corriente adelantada π/2 respecto de la tensión.

Inducción ω= jLZL Corriente atrasada π/2 respecto de la tensión.

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)

I.I. Corriente alterna compleja en una resistenciaCorriente alterna compleja en una resistencia

RZ

e

R

tjo

=ε=ε ω

Aplicando la ley de Ohm

tjo

Re

RZi ωε=ε= tcos

R)iRe(I o ωε==

II.II. Corriente alterna compleja en un condensadorCorriente alterna compleja en un condensador

ω−=

ε=ε ω

C

jZ

e

C

tjo

Aplicando la ley de Ohm

)/t(jotjo

Ce

C/e

C/jZi 2

1π+ωω

ωε=

ω−ε=ε= )/tcos(

C/)iRe(I o 2

1π+ω

ωε==

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)

III.III. Corriente alterna compleja en una bobinaCorriente alterna compleja en una bobina

ω=ε=ε ω

jLZ

e

L

tjo Aplicando la ley de Ohm

)/t(jotjo

Le

Le

jLZi 2π−ωω

ωε=

ωε=ε= )/tcos(

L)iRe(I o 2π−ω

ωε==

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LM

)

Circuito LCR en serieCircuito LCR en serie

)XX(jR)C

L(jRZ

e

CLT

tjo

−+=ω

−ω+=

ε=ε ω

1

tj

CL

o

Te

)XX(jRZi ω

−+ε=ε=

R

XXtan CL −=δ

22 )XX(RI

CL

oo

−+

ε=

)tcos(I)iRe(I o δ−ω==

Multiplicando numerador y denominador por el conjugado, se obtiene

)t(j

CL

o

Te

)XX(RZi δ−ω

−+

ε=ε=22

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LM

)

Para una impedancia cualquiera y un circuito que no sea RCL en serie, tendremos, suponiendo que el voltaje no tiene fase inicial, magnitudes del tipo

δ

ω

=

=j

tjo

eZZ

eVv

Para calcular la corriente compleja aplicamos la ley de Ohm de forma que, operando con fasores podemos escribir

)t(jo eZ

V

Z

vi δ−ω==

)tcos(Z

V)iRe(I o δ−ω==Con lo cual

)ZRe(

)ZIm(tan =δ

Z

VI oo =

Aut

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12.6 Potencia en corriente alterna

Potencia en una resistencia

Potencia instantánea )t(I)t()t(P ε=

Como la resistencia no introduce diferencia de fase entre corriente y voltaje, podemos escribir

tcosR

tcostcosI)t(P ooo ωε=ωωε= 2

2

Potencia media212

22

Rtcos

R)t(PP oo ε=ωε==

La resistencia disipa energía en forma de calor por efecto Joule.

Con valores eficaces I RR

P efef 22

=ε=

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)

Potencia en un condensador

En un instante dado, la energía puede estar entrando o saliendo del condensador, dependiendo si en ese momento se carga o se descarga. Como la corriente oscila sinusoidalmente, la energía promedio disipada en el condensador es cero.

Potencia instantánea )t(I)t()t(P ε=

tsen tcosX

)/tcos(tcosI)t(PC

ooo ωωε−=π+ωωε=

22

Potencia media 02

=ωωε−== tsen tcosX

)t(PPC

o

Potencia en una bobina: Ocurre lo mismo que con el condensador, luego

Potencia instantánea )t(I)t()t(P ε=

tsen tcosX

)/tcos(tcosI)t(PL

ooo ωωε=π−ωωε=

22

Potencia media 02

=ωωε== tsen tcosX

)t(PPL

o

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)

Caso generalCaso general

Supongamos un circuito caracterizado por)tcos(II

tcosVV

o

o

δ−ω=ω=

siendoZ

VI oo =

)ZRe(

)ZIm(tan =δ

Potencia instantánea )t(I)t(V)t(P =

)tos(c tcosIV)t(P oo δ−ωω=

Potencia media

δωω+δω=δωω== sent sen tcosIVcostcosIV)-tcos( tcosIV)t(PP oooooo2

0δ== cosIV

)t(PP oo2

Con valores eficaces δ= cosIVP efef

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Potencia complejaPotencia complejaδ

δ−ω

ω

=

=

=

j

)t(jo

tjo

eZZ

eIi

eVv

)sen j(cosIVeIV21

i v21

S efefj

oo δ+δ=== δ∗

Cada uno de los términos de esta potencia compleja tiene un significado

Potencia activa (se mide en Watios, W) δ== cosIV)SRe(P efef

Potencia reactiva (se mide en Voltio·Amperio reactivo, VAR)

δ== sen IV)SIm(Q efef

Potencia aparente (se mide en Voltio·Amperio, VA) efef IVSS ==

Factor de potencia

S

Pcos =δ

Con estos tres términos se define el triángulo de potencias, de forma que

jQPS +=δ

SQ

P

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12.7 Resonancia. Factor de calidad

En un circuito RCL en serie, tanto la corriente máxima como la diferencia de fase dependen de la frecuencia angular ω.

Respuesta máxima del circuito

Frecuencia natural de oscilaciónLa frecuencia de la fuerza impulsora (fem alterna) coincide con esta frecuencia natural

R

XXtan CL −=δ

22

oo

C1

LR

I

ω−ω+

ε=

En este caso la impedancia alcanza su valor mínimo y la corriente su valor más alto

Circuito en resonancia

δ vale cero y el factor de potencia vale 1

Io será máxima cuando CL XX =Frecuencia de resonancia

oLC1 ω==ω

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Curvas de resonancia Representan la potencia media suministrada por el generador al circuito en función de la frecuencia del generador.

La potencia media es máxima cuando ω = ωo. Cuando R es pequeña, la anchura de la curva también lo es, mientras que se ensancha a medida que R aumenta.

Anchura de resonancia

∆ω = Diferencia entre los dos puntos de la curva en que la potencia es la mitad de su valor máximo

Factor de calidad

RL

Q oω= Q alto implica curva de resonancia estrecha ω∆

ω= oQ

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12.8 Transformadores

Un transformador es un dispositivo utilizado para aumentar o disminuir el voltaje en un circuito sin pérdida apreciable de potencia. Consta de dos bobinas arrolladas sobre un núcleo de hierro.

Primario Secundario

dtd

NV 11φ=

El flujo que atraviesa cada espira en ambos arrollamientos es el mismo, luego la tensión que aparece en el secundario es

dtd

NV 22φ=

Comparando las dos ecuaciones 1

1

22 V

NN

V =

Transformador Reductor

1212 VV NN <⇒<

Transformador Elevador

1212 VV NN >⇒>

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Si colocamos una resistencia de carga en el secundario, aparecerá una corriente I2 en fase con V2 y aparecerá un flujo adicional proporcional a N2 I2

Como el flujo en el primario debe tener el mismo ritmo de variación al estar conectado a una fem externa, debe aparecer una corriente I1en el primario de forma que

2211 ININ −=

Si no existen pérdidas, se debe cumplir que 2ef2ef1ef IVI =ε

Uso de los transformadores

Transporte de energía eléctrica con pérdidas mínimas de energía por efecto Joule utilizando alto voltaje y baja corriente.

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Ejemplo:En Albacete, con una población de 100.000 habitantes, si suponemos que cada uno consume una potencia media de 1.5 kW, se necesita para cada persona una corriente

A 7220

1500I ==I VP =

La corriente total necesaria para Albacete sería de 700.000 A, para lo cual se necesitarían gruesos cilindros de cobre con grandes pérdidas.

Si se utilizan transformadores de alta (elevadores) para transportar la potencia, la corriente necesaria se reduce a

2ef2ef1ef IVI =ε A 250000.700000.600

220I ef2 ==

Dentro de la ciudad se sitúan transformadores que reducen el valor del voltaje hasta 10.000 V, por ejemplo. Cerca de las casa se sitúan nuevos transformadores que reducen el voltaje de nuevo hasta 220 V. Debido a esta facilidad para aumentar o reducir el voltaje de la corriente alterna, se utiliza este tipo de corriente y no la corriente continua.

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