numeros complejos

Click here to load reader

  • date post

    02-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    17.692
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of numeros complejos

1

1

NUMEROS COMPLEJOS

1.1 Definicin y origen de los nmeros complejos. Todo nmero complejo (o imaginario) es una expresin de la forma a+bi donde a es la parte real y bi es la parte imaginaria. Tanto a como b son reales, e i=-1 . Los nmeros complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipo x2+ 1=0. Despejando a x se obtiene x=-1 , que se escribe x=i . El origen de los nmeros complejos se remonta al siglo XVI en que Cardano llam raz ficticia a las races negativas de una ecuacin. Otros matemticos posteriormente las llamaron races falsas o races sordas. En 1572 Rafael Bombelli seal que eran necesarias las cantidades imaginarias para resolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma x2+c=0., donde c es cualquier nmero positivo. El brillante matemtico Leonhard Euler design por i a -1 . El smbolo i expresa en forma precisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar Existe algn nmero que se multiplique por s mismo y de -1 ? Los nmeros complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el gran matemtico Gauss, quien coloc en el eje x la parte a, y en el eje y la parte bi , es decir, el eje x o eje real (Re) representa la parte real de un nmero complejo y el eje y o eje imaginario (Im) la parte imaginaria bi del nmero complejo. Otra forma de representar un nmero complejo es el par real a,b . Im

b

.a, b

0, 0

a

Re

Grfica 1: Representacin del nmero complejo

(a+bi) .

De acuerdo a la grfica anterior los nmeros reales estn contenidos en los nmeros complejos, ya que en el plano R2 el nmero complejo a,0 coincide con el nmero real a, donde aR. En el caso de los nmeros complejos de la forma 0,b son llamados imaginarios puros. 1.2 Operaciones fundamentales con nmeros complejos.

2

Los nmeros complejos cumplen las reglas del lgebra ya que se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir (excepto la divisin por 0+0i). Antes de ver la suma de nmeros complejos escribiremos en funcin de i diferentes expresiones: 1. -9=9-1=9-1=3i , recordar que -1=i 2. -4-4=-8=8(-1)=4(2)(-1)=42-1=22i Es 2i NO 2i 3. -104+23=-81=81(-1)=81-1=9i 4. 5-16=516-1=516-1=54i=20i 5. -36+9-49 =36-1+949-1=36-1+949-1=6i+97i -36+9-49 =6i+63i=69i 6. -3-32=-316(2)-1=-3162-1=-342i=-122i Es 2i NO 2i 7. 4-50=450-1=425(2)-1=4252-1=452i=202i Es 2i NO 2i 8. 6-18=618-1=69(2)-1=692-1=632i=182i Es 2i NO 2i 9. -9-128=-9128-1=-964(2)-1=-9642-1=-982i=-722i Con los resultados de los ejercicios 7, 8 y 9 resuelva el ejercicio 10. 10. 4-50+6-18-9-128=202i+182i-722i=20+18-722i=-342i COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. 11. -125=55i 12. -310-200=-32i 13. -12=22i 14. 8-49100-9-1625=-165i 15. -8+3-82=2i-1 Suma de un nmero complejo Para sumar dos nmeros complejos se suma primero la parte real del primer nmero con la parte real del segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer nmero con la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuacin queda como sigue: a+bi+ c+di=a+c+ bi+di a+bi+ c+di=a+c+ b+di Por ejemplo:

3 16. 3+7i+ 2+4i=3+2+ 7i+4i=5+7+4i=5+ 11i La suma anterior se realiz en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos, con un poco de prctica podemos realizar solo los dos ltimos pasos, cuando tengamos varios ejercicios resueltos podremos aplicar directamente el ltimo paso. Veamos otros ejemplos con dos pasos: 17. 8-11i+13+2i=8+13+ -11+2i=21-9i 18. -6+9i+5-3i=-6+5+ 9-3i=-1+6i 19. -4-6i+-7+8i=-4-7+ -6+8i=-11+2i 20. -10-4i+-1-9i=-10-1+ -4-9i=-11-13i 21. 23+67i+-13-47i=23-13+ 67-47i=13+ 27i 22. 67+58i+23-49i=67+23+ 58-49i Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y as obtenemos un resultado exacto. 67+23=18+1421=3221 58-49i=45-3272i=1372i 22. 67+58i+23-49i=3221+1372i Observe que el resultado anterior est en fracciones por lo que es exacto, si usamos decimales el resultado NO es exacto. Veamos el caso de: 3221=1.523809523809523809. En el caso anterior se puede reportar el resultado como: 1.5238095 1.5238 1.52 los cuales no son iguales y NO son exactos. Es por esto que debemos siempre tratar de dar resultados en fracciones (quebrados) y no en decimales. Resolvamos otro ejercicio. RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO. 23. 310-14i+-67-811i= 24. 4a+7bi+-4a-5bi=4a-4a+ 7b-5bi=2bi 25. -10a+3bi+4a-3bi=-10a+4a+ 3b-3bi=-6a 26. 7+-20+-11--125=7+45(-1)+-11-255(-1) 7+-20+ -11--125 =7+45-1+-11-255-1 7+-20+ -11--125=7+25i+-11-55i 26. 7+-20+ -11--125=7-11+2-55i=-4-35i Resta de un nmero complejo Para restar dos nmeros complejos hay dos formas para hacerlo:

4 La primera es que se le resta a la parte real del primer nmero la parte real del segundo. Luego se resta a la parte imaginaria del primer nmero la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuacin queda como sigue: a+bi-c+di=a-c+bi-di a+bi-c+di=a-c+b-di Resolvamos varios ejemplos: 27. 4+7i-6+3i=4-6+7i-3i=-2+7-3i=-2+4i 28. 15+4i-9-i=15-9+4-(-1)i=6+5i Para resolver el ejercicio anterior se aplic la ley de los signos --=(+) 29. -11+2i-4-14i=-11-4+2-(-14)i=-15+16i 30. -9-8i--13+i=-9-(-13)+-8-1i=4-9i 31. -17-15i-(-12-19i)=-17-(-12)+-15-(-19)i=-5+4i 32. 4+35i-67-2i=4-67+35--2i Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual: 4-67=41-67=28-67=227 35--2i=35+21i= 3+105i=135 i 32. 4+35i- 67-2i=227+135 i 33. 32+57i-25-49i=32-25+57--49i=32-25+57+49i Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso a paso en forma manual, y as obtenemos un resultado exacto. 32-25=15-410=1110 57+49i=45+2863i=7363i 33. 32+57i-25-49i=1110+7363i RESUELVA EL SIGUIENTE EJERCICIO. 34. -89+1011i- -34-56i= La segunda forma de restar nmeros complejos es usar las leyes de los signos para cambiar el signo a la parte real e imaginaria del segundo nmero complejo con lo que la ecuacin se transforma en una suma de nmeros complejos, esto es muy til, en especial cuando hay signos negativos en el segundo nmero complejo. En forma de ecuacin queda as: a+bi-c+di=a+bi+-c-di a+bi-c+di=a-c+b-di

5 Resolveremos con la segunda forma algunos de los ejercicios que hicimos con la primera forma, observe que se requiere de un paso adicional para hacer el cambio de signo en el segundo nmero complejo quedando la ecuacin como suma de dos nmeros complejos en vez de resta: 35. 4+7i-6+3i=4+7i+-6-3i=(4-6)+7-3i=-2+4i 36. 15+6i-9-i=15+6i+-9+i=15-9+6+1i=6+7i 37. -11+2i-4-14i=-11+2i+-4+14)i=-11-4+2+14i=-15+16i RESUELVA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. 38. -2-8i--15+4i= 39. -12-17i-(6-9i)= 40. 5+27i-913-4i= 41. -14-67i- -1316-511i= Si comparamos las dos formas de restar nmeros complejos aunque la segunda tiene un paso adicional (que es transformar una resta en suma a travs del cambio de signo del segundo nmero complejo) puede ser ms til que la primera forma, por no tener que estar al pendiente de los signos. Multiplicacin de nmeros complejos Para multiplicar dos nmeros complejos se procede a multiplicar como si se tratase del producto de dos binomios. Uno de los trminos tendr i2, donde i2 es equivalente a: i2=ii=-1 -1 =-112 -112=-112 +12=-122=-1. En forma de ecuacin: a+bic+di=ac+adi+bci+bdi2 a+bic+di=ac+bd-1+adi+bci=ac-bd+ad+bci Resolvamos algunos ejemplos: 42. 1+2i5+4i=5+4i+10i+8i2=5+8-1+4i+10i 1+2i5+4i=5-8+(4+10)i=-3+14i Observe que i2 se sustituy en la ecuacin por -1. Siempre se debe hacer as. 43. 3+4i6-5i=18-15i+24i-20i2=18-20-1-15i+24i 3+4i6-5i=18+20+(-15+24)i=38+9i Para resolver el ejercicio anterior se aplic la ley de los signos --=(+) 44. 2-7i-1+4i=-2+8i+7i-28i2=-2-28-1+8i+7i 2-7i-1+4i=-2+28+(8+7)i=26+15i

6

COMPRUEBE LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES 45. -4-8i-3+9i=84-12i 46. -5-3i-4-7i=-1+47i 47. -1-4i-3+5i2+3i=3-5i+12i-20i22+3i -1-4i-3+5i2+3i=3-20-1-5i+12i2+3i -1-4i-3+5i2+3i=3+20+(-5+12)i2+3i=23+7i2+3i -1-4i-3+5i2+3i=46+69i+14i+21i2=46+21-1+69i+14i -1-4i-3+5i2+3i=46-21+69+14i=25+83i Observe que en el ejercicio anterior se inicia multiplicando los primeros dos binomios, luego se simplific el resultado hasta tener un binomio a+bi=23+7i, enseguida se multiplicaron el nuevo binomio 23+7i por el ltimo binomio y se simplific. Resolvamos otros ejercicios. COMPRUEBE LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES 48. -2-i9-2i6-5i=-145+70i 49. 1-i2+2i-3+4i-4-6i=144+8i Resolvamos ahora una multiplicacin de fracciones de nmeros complejos 50. 38+47i23-12i=3823+38-12i+47i23+47i-12i 38+47i23-12i=624-316i+821i-414i2=624-414(-1)-316i+821i Al aplicar ley de los signos --=+ y simplificando las fracciones queda: 38+47i23-12i=14+27-316i+821i=14+27+-316+821i Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma manual: 14+27=7+828=1528 -316+821i=-63+128336i=65336i 50. 38+47i23-12i=1528+65336i COMPRUEBE LA SIGUIENTE MULTIPLICACION 51. -23+45i-67+89i=-44315-1,208945i Divisin de dos nmeros complejos Antes de tratar la divisin de dos nmeros complejos es necesario definir: El conjugado de un nmero complejo Z=a+bi es Z=a-bi , es decir, se cambia el signo de la parte imaginaria del nmero complejo. Por ejemplo Z=7-9i y Z=7+9i son conjugados. Tambin son conjugados W=-5+14i y W=-5-14i , observe que el signo de la parte real a no cambia.

7

Demuestre que son vlidas las proposiciones siguientes, para los nmeros complejos: Z=7-9i, Z=7+9i, W=-5+14i y W=-5-14i 52. Z+W=Z+W Primero calculamos el lado izquierdo y luego el lado derecho. Z+W=7-9i+-5+14i=7-5+-9i+14i2+5i=2-5i Z+W=7+9i+-5-14i=7-5+9i-14i=2-5i Z+W=Z+W= 2-5i 53. Z-W=Z-W Primero calculamos el lado izquierdo y luego el lado derecho. Z-W= 7-9i--5+14i =7-9i+5-14i=7+5+-9i-14i=12-23i Z-W= 12+23i Z-W=7+9i--5-14i=7+9i+5+14i=7+5+9i+14i= 12+23i Z-W=Z-W=12+23i 54. ZW=ZW Primero calculamos el lado izquierdo y luego el lado derecho. ZW=7-9i-5+14i=-35+98i+45i-126i2=-35-126-1+143i ZW=-35+126+143i=91+143i=91-143i ZW=7+9i-5-14i =-35-98i-45i-126i2=-35-126-1-143i ZW=-35+126-143i=91-143i ZW=ZW=91-143i COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: Si Z=2+3i, Z=2-3i, W=4-8i y W=4+8i 55. Z-W=Z-W=12+23i 56. ZW=ZW=32+4i Para dividir dos nmeros complejos se multiplican el numerador y el